Corso di Scienza delle Costruzioni

	Corso di Scienza delle Costruzioni

Testo:

Sia dato un corpo continuo ed in un punto P lo stato di tensione sia individuato dalle seguenti componenti speciali di tensione:

Descrivere lo stato tensionale, valutare le tensioni principali e l’orientamento della terna principale, individuare la giacitura che sopporta la tensione tangenziale massima.

1) Individuazione dello stato tensionale

Per caratterizzare lo stato tensionale occorre valutare gli invarianti della matrice delle tensioni:

(1)

Tali invarianti sono:

(2a)

(2b)

(2c)

Poiché , , lo stato di tensione È piano.

2) Individuazione delle tensioni principali

Il polinomio caratteristico nel caso in esame È dato da:

(3)

che fornisce le soluzioni:

Sostituendo le radici del polinomio caratteristico all’interno dell’equazione

(4)

si ottengono le direzioni principali.

Sostituendo nella (4) si ottiene la normale al piano scarico

che fornisce il seguente sistema:

Le prime due equazioni costituiscono un sistema lineare omogeneo a determinante non nullo e pertanto deve esistere la sola soluzione banale , la terza esprime la circostanza che qualunque sia la terza equazione risulta soddisfatta. Alla radice, cioÈ alla tensione principale , corrisponde il vettore , normalizzando si ottiene , come era da attendersi, infatti n È parallelo all’asse , cioÈ l’areola di normale È scarica. CiÃ’ si poteva dire immediatamente in quanto le tensioni agenti sull’areola di normale sono .

Sostituendo nella (4) si ottiene

che fornisce il seguente sistema:

dalla terza equazione si ottiene , mentre dalla prima di ottiene:

che ovviamente soddisfa anche la seconda, ne consegue che il vettore normale al piano che sopporta la tensione principale ha direzione definita dal vettore (ottenuto ponendo, ad esempio, ) :

la cui norma È , da cui , ne consegue che il versore normale al piano principale che sopporta la tensione È .

Sostituendo nella (4) si ottiene

che fornisce il seguente sistema:

Dalla terza equazione si ottiene , mentre dalla prima si ottiene:

che soddisfa anche la seconda equazione. Il vettore perpendicolare all’areola che sopporta la tensione principale È definito da che normalizzato fornisce .

Si noti che, poiché le tre radici del polinomio caratteristico, cioÈ le tensioni principali, sono distinte, deve accadere che le direzioni principali sono tra loro ortogonali. Tali condizioni sono . Infatti:

In Figura 1 sono riportati gli assi speciali e il cubetto elementare, riferito a tali assi, e le relative tensioni speciali.

Figura1.

In Figura 2.a È riportata la terna principale , il cubetto elementare orientato in accordo alle direzioni principali e le tensioni su di esso agenti. Si noti che la posizione degli spigoli del cubetto elementare rispetto all’origine degli assi È ininfluente ai fini dell’orientazione degli assi principali. La Figura 2.b rappresenta il cubetto elementare di figura 2.a visto dall’asse .

Figura 2.a Figura 2.b

3) Tensione tangenziale massima

La tensione tangenziale È massima sulla giacitura che sopporta la tensione media (ciÒ in quanto lo stato di tensione È piano). Tale tensione media È . La tensione tangenziale massima su tale giacitura È pari al raggio del cerchio di Mohr in cui valore È:

Analogo risultato si sarebbe ottenuto riferendosi alla terna principale:

Tale risultato era da attendersi in quanto le giaciture che sopportano la tensione tangenziale massima sono due (ortogonali tra loro), tali giaciture devono essere identiche sia che ci si riferisca alle direzioni speciali sia che ci si riferisca alle direzioni principali.