Studio della prontezza di un sistema di primo ordine

Oggetto: Sistema del primo ordine.

Scopo: Determinare

le funzioni di trasferimento  delle reti RC e CR

il tempo di salita (t_r)

il tempo di discesa (t_f)

il tempo di assestamento (t_a)

la costante di tempo t

Sono stati utilizzati:

• Pspice
• Excel
• Vbasic
• Matlab
• Simulink

In basso si riporta lo schema circuitale realizzato in ambiente SCHEMATICS delle reti e la successiva analisi nel dominio di LAPLACE. Va premesso che in tale dominio le resistenze rimangono invariate mentre i condensatori divengono .

RETE CR

RETE RC

PSPICE

L’analisi delle due reti È stata effettuata utilizzando il software applicativo PSPICE, che ha consentito di simularne il funzionamento e di analizzarne la risposta al gradino (studio della prontezza).

1.Come prima operazione si sono disegnati gli schemi circuitali in ambiente SCHEMATICS.

2.Successivamente si sono impostati i parametri della simulazione

Si noti che all’interno della finestra transient viene definito l’intervallo di tempo preso in considerazione.

E’ molto importante attivare la casella   in quanto consentirÀ di visualizzare sul grafico l’andamento di V_o durante il transitorio

3.Mediante il tasto F11 o il percorso ANALYSIS-SIMULATE il programma va in simulazione e l’applicativo ci fornisce il grafico che consente di visualizzare l’andamento della tensione di uscita V_o nel tempo.

RISPOSTA AL GRADINO DI UN CIRCUITO RC

Analisi grafica

Nell’istante t=0 in cui applichiamo alla rete il gradino il circuito RC È sottoposto alla d.d.p E e per la legge di Kirchhoff deve essere istante per istante. Dato che il condensatore non puÃ’ caricarsi istantaneamente, nell’istante t=0 v_c È ancora nulla. Pertanto E=V_R=R(0). La corrente È massima e vale . Tale corrente fluisce nel circuito con verso concorde a quello della f.e.m. E caricando il condensatore. La tensione cresce e di conseguenza la corrente circolante nel circuito diminuisce essendo, in ogni istante . Quando il C È completamente carico V_c=E e la corrente nel circuito È nulla. Le equazioni che governano la carica di un condensatore per il circuito RC, sono :

La rapiditÀ con cui il condensatore si carica dipende dal prodotto RC. Tale quantitÀ È denominata costante di tempo t e si misura in secondi.

Considerando i valori precedentemente forniti relativi a R1 e C1 si ottiene ts. La costante t viene definita come il tempo necessario affinché la tensione di uscita si porti al 63% del valore finale E.

Lo stesso software applicativo grazie alla funzionalitÀ PROBE CURSOR ha consentito di ricavare direttamente dal grafico il valore di t. Infatti mediante questo cursore ci si È posizionati sul punto della curva dove V_o=630mV (63% di E che È uguale a 1) riscontrando un valore del tempo che coincide con il valore di t calcolato precedentemente

Dopo un tempo t_a t la tensione ai capi del condensatore differisce dal valore finale E per meno del 2% e pertanto il condensatore si puÒ ritenere completamente carico. t_a È detto tempo di assestamento È rappresenta il tempo che impiega il segnale a portarsi al 98% del valore finale.

Nel nostro caso t_a = 2ms. CiÒ È possibile verificarlo ancora una volta grazie al PROBE CURSOR posizionandoci sul punto della curva dove V_o=980mV (98% di E).

Si definisce tempo di salita t_r (rise time) il tempo necessario affinché la tensione di uscita passi dal 10% al 90% del valore finale. t_r = 2.2t s.

Sempre in ambiente PROBE grazie alla funzione GOAL FUNCTION VALUE È stato possibile verificare l’esattezza del valore teorico

RISPOSTA AL GRADINO DI UN CIRCUITO CR

Analisi grafica

Nell’istante t=0 in cui viene applicato il gradino dato che il condensatore non puÃ’ caricarsi istantaneamente risulta

Il condensatore comincia a caricarsi quindi v_C(t) cresce e di conseguenza si ha una diminuzione sia della corrente che della d.d.p. ai capi della resistenza. La corrente i(t) e la tensione v_R(t) sono governate dalle seguenti relazioni:

La costante di tempo t = RC caratterizza l’andamento esponenziale della curva sopra riportata. In questo caso la costante di tempo rappresenta il tempo necessario affinché la tensione di uscita v_O subisca una variazione del 63% rispetto al valore massimo E portandosi quindi al valore di 0.37E.

Mediante PROBE CURSOR ci si È posizionati sul punto della curva dove V_o=370mV (37% di E che È uguale a 1) riscontrando un valore del tempo che coincide con ts.

Il tempo di assestamento vale ancora t_a = 2ms. CiÒ È possibile verificarlo posizionandoci col PROBE CURSOR sul punto della curva dove V_o=18mV in quanto .

Si definisce tempo di discesa t_f (fall time) il tempo necessario affinché la tensione di uscita passi dal 90% al 10% del valore finale. t_f = 2.2t =s.

Grazie alla funzione GOAL FUNCTION VALUE È stato possibile verificare l’esattezza del valore teorico

BLOCCO LAPLACE

Tra i vari componenti disponibili nella libreria di PSPICE compare anche il blocco di Laplace. Inserendo al suo interno la funzione di trasferimento della rete in esame È possibile, sempre mediante la stessa procedura, analizzare l’andamento del segnale di uscita sia di una rete CR che di una rete RC.

EXCEL

=$B$9*EXP(-D4/$B$12)

=$B$9*(1-EXP(-D4/$B$12))

Un’altra analisi delle due reti È stata effettuata utilizzando il software applicativo Excel. In basso viene riportato il foglio grafico.

All’interno delle caselle B3, B6 e B9 sono riportati i valori, rispettivamente, di R1, C1 e l’ampiezza del gradino. Il valore della costante di tempo t È presente nella casella B12. Esso È dato dal prodotto R1C1. All’interno della casella B14 È stato definito il valore dello step (passo=0,0001). La colonna D contiene i vari valori assunti dalla variabile indipendente t (si È tenuto conto del passo precedentemente stabilito), che verranno successivamente riportati sull’asse delle x. Nelle colonne E e F sono riportati i vari valori assunti dalla tensione di uscita Vo, rispettivamente relativi al circuito RC e CR. Tali valori sono ottenuti sfruttando le formule e precedentemente ricavate.

Mediante il comando autocomposizione grafico si È ottenuto:

						ta

I due grafici ottenuti in ambiente EXCEL ci forniscono un’ulteriore conferma riguardo l’esattezza dei valori teorici, precedentemente calcolati, relativi al tempo di salita (t_r), al tempo di discesa (t_f), al tempo di assestamento (t_a) e alla costante di tempo t.

MATLAB

Un ulteriore studio della rete È stato effettuato con il software applicativo MATLAB. Mediante la scrittura di semplici righe di comando, il software ci ha fornito i due grafici relativi alla risposta al gradino delle reti RC-CR

RISPOSTA AL GRADINO RC

RISPOSTA AL GRADINO CR

I due grafici ottenuti in ambiente MATLAB ci forniscono un’ulteriore conferma riguardo l’esattezza dei valori teorici, precedentemente calcolati, relativi al tempo di salita (t_r), al tempo di discesa (t_f), al tempo di assestamento (t_a) e alla costante di tempo t.

SIMULINK

All’interno di MATLAB vi È Simulink, un ulteriore ambiente adibito prettamente alle simulazioni di reti elettriche. Si cosÃŒ proceduto alla realizzazione del sotto riportato schema.

Si noti che le uscite delle due reti in esame sono convogliate su di un multiplexer, la cui uscita viene visualizzata sullo schermo di un oscilloscopio virtuale. Sull’oscilloscopio sono visibili, dunque, entrambe le curve che, come detto, costituiscono l’andamento delle tensioni di uscita delle reti RC-CR a cui viene applicato in ingresso un gradino

VISUAL BASIC

Questo software È un particolare linguaggio di programmazione che ha consentito di realizzare un programma applicativo inerente l’esercitazione. Mediante la stesura dei seguenti codici relativi al circuito RC-CR

Private Sub Command1_Click()

tmin = 0

I valori di t e Vbb vengono forniti dalle due text

tmax = 20

Vbb = Val(Text3.Text)

tau1 = Val(Text4.Text)

t0 = 1

V0 = 1

Taratura asse t(x) e V(y)

Picture1.Cls

Picture1.Scale (0, 10)-(20, 0)

Picture1.Line (0, V0)-(20, V0)

Picture1.Line (t0, 0)-(t0, 10)  t

Picture1.Line (t0, Vbb + V0)-(20, Vbb + V0)  V

For t = Val(tmin) To Val(tmax) Step 0.01

V = Vbb * (1 - Exp(-t / tau1))

Picture1.PSet (t + t0, V + V0), RGB(255, 0, 0)

Next

End Sub

Private Sub Form_Load()

Text3.Text = 5

Text4.Text = 4

End Sub

Private Sub Command1_Click()

tmin = 0

tmax = 20

Vbb = Val(Text3.Text)

tau1 = Val(Text4.Text)

t0 = 1

V0 = 1

Picture1.Cls

Picture1.Scale (0, 10)-(20, 0)

Picture1.Line (0, V0)-(20, V0)

Picture1.Line (t0, 0)-(t0, 10)  t

Picture1.Line (t0, Vbb + V0)-(20, Vbb + V0)  V

For t = Val(tmin) To Val(tmax) Step 0.01

V = Vbb * Exp(-t / tau1)

Picture1.PSet (t + t0, V + V0), RGB(255, 0, 0)

Next

End Sub

Private Sub Form_Load()

Text3.Text = 5

Text4.Text = 4

End

Nel programma sono state evidenziate le espressioni di V_o relative al circuito RC e CR.

Si sono ottenuti i seguenti applicativi che consentono di tracciare piÙ grafici variando di volta in volta il valore della t e della tensione V_bb. Non È consentito variare invece i valori del tempo (minimo e massimo) a meno di non intervenire sul codice. Il grafico È disegnato per punti utilizzando il metodo RGB

Si noti che le sopra riportate finestre sono state realizzate utilizzando le proprietÀ dell’ambiente FORM tramite il quale si È curato l’aspetto grafico dei programmi (realizzazione dei command-Button , label, text e picture box).

Ad esempio, tale finestra, consente di variare i caratteri grafici in questo caso relativi il command-Button.

ESPERIENZA PRATICA

Tale esperienza consiste nel realizzare praticamente le due reti circuitali prese in esame, e visualizzare l’andamento della tensione V_o mediante l’utilizzo di un oscilloscopio.

Sull’oscilloscopio È stato possibile verificare, ancora una volta, l’esattezza dei valori teorici.

Oscilloscopio da laboratorio

Strumento digitale per la misurazione della tensione in ciruciti elettrici o elettronici, mostrata su uno schermo a raggi catodici opportunamente graduato. Sono evidenti, a destra, i pulsanti per la regolazione della scala di visualizzazione dell'onda. La scala verticale riporta le tensioni (due le possibili scelte di volt/div), mentre la scala orizziontale È quella dei tempi (sec/div). Altre manopole regolano, ad esempio, la posizione della forma d'onda sullo schermo (vertical position; horizontal position) e il meccanismo interno dello strumento di sincronizzazione con la variazione di tensione letta (trigger).

RETE RLC

Obiettivo: scopo dell’esercitazione È quello di analizzare la prontezza di un sistema del secondo ordine R-L-C e la risposta in frequenza delle reti RLC-RCL-LCR dal punto di vista teorico, pratico e mediante la simulazione al PC

STUDIO DELLA PRONTEZZA RETE RLC

Si riporta lo schema circuitale relativo alla rete RLC

	Fig.1

Analisi circuitale

Il circuito in esame costituisce un circuito risonante serie ed È alla base della realizzazione dei filtri passa-banda ed annulli-banda. Il segnale d’uscita viene prelevato sulla capacitÀ C₁, mentre la resistenza R₁, che prende il nome di resistenza critica, costituisce la resistenza di perdita della bobina L₁. Si È deciso di applicare in ingresso un gradino di ampiezza massima pari ad 1V che istantaneamente si porta al suo valore massimo.

Studio della rete nel dominio di Laplace

Si considera il circuito di partenza e lo si trasforma nel dominio di Laplace, facendo rimanere invariate la resistenza e tramutando l’induttanza e la capacitÀ rispettivamente in sL e 1/sC.

Circuito nel dominio di Laplace

Dato che il segnale d’uscita va prelevato sulla capacitÀ si applica la legge del partitore, tenendo conto che si È applicato in ingresso un gradino unitario pari a 1/s nel dominio di Laplace. da cui si ricava attraverso opportuni procedimenti matematici . Tale relazione mostra che il circuito È del secondo ordine e generalmente si esprime nella forma . Da ciÃ’ deriva che:

1. la pulsazione naturale e la ;
2. lo smorzamento (rapiditÀ con cui si esaurisce un fenomeno) .

Se si considera la funzione di trasferimento G(s), essa presenta il seguente denominatore e due poli (radici del denominatore) individuati dall’espressione . A tal punto si presentano tre casi distinti prettamente legati al valore dello smorzamento che puÃ’ essere maggiore, minore o uguale a 1.

I grafici che seguiranno sono stati ottenuti mediante la simulazione della seguente rete mediante il software applicativo Pspice.

Come prima operazione si È disegnata la seguente rete in ambiente SCHEMATICS.

Successivamente si sono impostati i parametri della simulazione

Si noti che all’interno della finestra transient viene definito l’intervallo di tempo preso in considerazione.

E’ molto importante attivare la casella in quanto consentirÀ di visualizzare sul grafico l’andamento di V_o durante il transitorio

All’interno della finestra parametric si È stabilito che la resistenza R assumesse tre differenti valori che sono riportati nella casella evidenziata

x

In questo particolare caso i poli della funzione di trasferimento G(s) risultano essere reali e coincidenti e valgono p₁ = p₂ = -w_n. E’ da notare che tal caso si ha solo nella circostanza in cui attribuiamo alla resistenza critica R₁ il valore di 2KW (. L’equazione del segnale d’uscita diviene pertanto .

Applicando il metodo dei residui si ottiene A = 1, B = -e C = -A = -1.

Si ottiene cosÃŒ l’espressione finale. Antitrasformando si ottiene la risposta nel dominio del tempo v_o(t) = .

La risposta al gradino della rete in esame attribuendo il valore di 2kW alla resistenza R₁ È la seguente:

Si noti che la risposta È esponenziale pura senza alcuna sovraoscillazione (overshoot).

x>

In questo caso i poli della funzione di trasferimento G(s) risultano essere reali e distinti e valgono:

L’equazione del segnale d’uscita Vo(s) vale . Antitrasformando tale espressione si ottiene v_o(t) = . Applicando il metodo dei residui si determinano i valori di A, B, C.

; ; . Sostituendo tali valori nella formula precedente si ottiene l’espressione finale v_o(t) = .

La risposta al gradino della rete in esame attribuendo il valore di 5kW alla resistenza R₁ È la seguente:

Si noti che la risposta È esponenziale pura senza alcuna sovraoscillazione (overshoot).

x<1

Nel caso in cui lo smorzamento valga meno della quantitÀ 1, i poli della G(s) risultano essere complessi e coniugati a parte reale negativa e valgono:

Dove la quantitÀ = costituisce la costante di tempo , mentre È detta pulsazione naturale smorzata. La risposta di un sistema del secondo ordine con poli complessi coniugati vale dunque:

Il software applicativo MICROSIM ha consentito la simulazione del circuito di fig.1 attribuendo il valore di 500W alla resistenza R₁.

Si deduce che per poli complessi la risposta È oscillatoria

Vanno definiti i seguenti parametri caratteristici della curva:

1. tempo di massima elongazione T_M. E’ il tempo necessario affinché l’uscita raggiunga il punto di massima sovraoscillazione (overshoot). Si determina ponendo pari a 0 la derivata prima della funzione u(t) precedentemente calcolata.

2. tempo di ritardo T_d. E’ il tempo necessario affinché l’uscita raggiunga il 50 % del valore di regime.
3. costante di tempo . Precedentemente calcolata, e pari a , È definita come il tempo necessario affinché l’esponenziale decrescente della u(t) diventi .
4. tempo di assestamento T_a. E’ il tempo necessario affinché l’uscita differisca dal valore di regime di non piÙ del 1
5. tempo di salita T_s. E’ il tempo necessario affinché l’uscita passi dal 10% al 90% del valore di regime.

STUDIO DELLA STABILITA’ RETI RLC-RCL-LCR

Le reti sopra riportate sono filtri del secondo ordine in quanto caratterizzati dall’avere, al denominatore della f.d.t., una funzione di secondo grado D(s) che generalmente viene espressa nella forma:

o nella forma equivalente:

dove si È posto

La pulsazione È quella di taglio che caratterizza i filtri passa-basso o passa-alto ovvero la pulsazione di centro-banda per i filtri passa banda e annulli-banda. Lo smorzamento caratterizza la risposta in frequenza. Come si È giÀ visto per =1 i poli sono coincidenti, per >1 sono reali distinti e negativi e per <1 complessi coniugati a parte reale negativa.

FILTRO PASSA-BASSO DEL SECONDO ORDINE (rlc)

La f.d.t G(s), come giÀ visto, assume la forma:

La G(s) presenta cosÌ due poli e per s=jw il modulo e la fase valgono rispettivamente:

Attraverso Pspice, si È potuto ottenere il diagramma di Bode (risposta in frequenza del modulo per tre differenti valori dello smorzamento) della rete in esame. CiÃ’ consente di visualizzare l’andamento dell’espressione matematica sopra riportata.

Come prima operazione si È disegnata la seguente rete in ambiente SCHEMATICS.

Successivamente si sono impostati i parametri della simulazione

All’interno della finestra AC sweep sono stati tarati l’asse delle ascisse e quello delle ordinate secondo una scala logaritmica.

Si noti che il valore di f_n coincide con quello calcolato precedentemente a livello teorico.

Alla f_n, che costituisce la frequenza di taglio, corrisponde una pulsazione

Per valori si ha =K (zona piatta ad amplificazione costante), mentre per si ha che corrisponde, nel grafico, ad una pendenza di –40db/dec.

Si noti che quando lo smorzamento È minore di 1 viene generato un picco di risonanza.

FILTRO PASSA-ALTO DEL SECONDO ORDINE (rcl)

La f.d.t. assume la forma:

La G(s) presenta, per <1 due poli complessi coniugati e due zeri nell’origine. In regime sinusoidale il modulo e la fase valgono:

.

La risposta in frequenza della rete È stata ottenuta con l’applicativo pspice. Si È disegnata la rete sotto riportata in ambiente schematics e si sono impostati i parametri della simulazione alla stessa maniera con cui si È proceduto per la simulazione della rete precedente.

Si riporta la risposta in frequenza della rete RCL

Si noti che il valore di f_n coincide con quello calcolato precedentemente a livello teorico.

Alla f_n, che costituisce la frequenza di taglio, corrisponde una pulsazione

Per valori si ha =K (zona piatta ad amplificazione costante), mentre per si ha che corrisponde, nel grafico, ad una pendenza di +40db/dec.

Va sottolineato che alla fn viene associata la pulsazione di taglio che, sia per il passa alto che per il passa basso, È definita come quella pulsazione che produce un’attenuazione di (-3db) rispetto al valore massimo del modulo .

Anche in questo caso la risposta in frequenza per presenta un picco di risonanza.

FILTRO PASSA-BANDA DEL SECONDO ORDINE (lcr)

Nell’analisi dei filtri attivi passa-banda la f.d.t. si esprime in funzione del fattore di merito Q=1/2x piuttosto che in funzione dello smorzamento e ciÃ’ per poter esprimere l’analogia di questi filtri con quelli passivi passa-banda realizzati con circuiti risonanti RLC. Nei circuiti risonanti il fattore di merito Q caratterizza la larghezza della banda passante B definita come B=f_s-f_i dove f_s ed f_i sono, rispettivamente, la frequenza di taglio superiore e inferiore del filtro. Si dimostra, inoltre, che B=f_o/Q dove f_o È la frequenza di centro banda del filtro e Q=. Elevati valori di Q consentono di ottenere filtri a banda stretta ovvero filtri ad elevata selettivitÀ. La  f.d.t. di un filtro passa-banda assume la forma:

La G(s) presenta, per Q>1/2 due poli complessi coniugati e uno zero nell’origine. In regime sinusoidale il modulo e la fase valgono:

.

La risposta in frequenza della rete È stata ottenuta con l’applicativo pspice. Si È disegnata la rete sotto riportata in ambiente schematics e si sono impostati i parametri della simulazione alla stessa maniera con cui si È proceduto per la simulazione della rete precedente.

Si riporta la risposta in frequenza della rete LCR

Dal grafico si deduce che il modulo della f.d.t  presenta un massimo alla pulsazione di centro banda che vale K. Si hanno inoltre due frequenze di taglio f_s ed f_i, rispettivamente, la frequenza di taglio superiore e inferiore del filtro. Sono du particolari valori di f alle quali il modulo della f.d.t. si riduce di rispetto al valore massimo di centro banda.

ESPERIENZA CON MATLAB

Attraverso il software applicativo Matlab È stato possibile ottenere gli stessi risultati derivati dalla simulazione delle tre differenti reti con Pspice.

In particolari si sono calcolati analiticamente i vari numeratori e denominatori delle tre differenti f.d.t per i 3 valori prefissati di R.

RLC-FILTRO PASSA-BASSO

Il comando ltiview ha consentito di aprire l’ambiente LTI Viewer utile per ottenere diversi diagrammi e grafici inerenti le tre f.d.t.

Nel nostro caso si È analizzato, e confrontato con quello ottenuto precedentemente, il diagramma di Bode (risposta in frequenza).

RCL-FILTRO PASSA ALTO

LCR-FILTRO PASSA BANDA

ESPERIENZA PRATICA

In laboratorio È stato possibile effettuare un ulteriore studio, a livello pratico si intende, della prontezza delle rete RLC sempre attribuendo ad R i tre valori ohmici fissati in precedenza. Si riporta la rete in esame realizzata su bread-board.

La visualizzazione del segnale di uscita È stata possibile grazie all’utilizzo dell’oscilloscopio.

Questo particolare strumento digitale ha consentito la visualizzazione della tensione V_O e V_i (mediante l’utilizzo di due sonde) su uno schermo a raggi catodici opportunamente graduato. Sono evidenti, a destra, i pulsanti per la regolazione della scala di visualizzazione dell'onda. La scala verticale riporta le tensioni (due le possibili scelte di volt/div), mentre la scala orizziontale È quella dei tempi (sec/div). Altre manopole regolano, ad esempio, la posizione della forma d'onda sullo schermo (vertical position; horizontal position) e il meccanismo interno dello strumento di sincronizzazione con la variazione di tensione letta (trigger).

Si riportano le tre visualizzazioni del segnale di uscita per R=500,2000,5000