Composizione di funzioni

Le funzioni elementari ovviamente non esauriscono il panorama delle funzioni che si studiano nelle scienze economiche. Spesso una funzione è in realtà ottenuta compiendo due o più operazioni “a catena” sulla variabile di ingresso x. Ad esempio, nella funzione sono indicate due operazioni: la prima associa alla variabile di ingresso x, l’espressione ; la seconda prende questo risultato e ne calcola la radice quadrata. Naturalmente, perché ciò sia possibile è necessario che il risultato della prima operazione sia ammissibile come valore di input per la seconda.

DEFINIZIONE: date due funzioni, e tali che ogni valore immagine di f cada nell’insieme C, si applichi f e successivamente g. Si dice funzione composta di f e g la funzione ottenuta associando alla variabile di input di f l’output della g e si indica con .

Nell’esempio appena descritto f e g sono entrambe funzioni reali di variabile reale, e . L’applicazione di f porta x in ; la successiva applicazione di g porta al risultato finale .

Si riesce a comprendere bene il significato delle operazioni di composizione se si pensa alle funzioni come a delle “regole” di svolgimento dei calcoli. In questo senso, la f del precedente esempio associa ad un numero la somma del numero stesso e del suo quadrato, mentre la g associa ad un numero la sua radice quadrata.

OSSERVAZIONE: la composizione delle funzioni non è commutativa, nel senso che se si inverte l’ordine di applicazione delle funzioni, in generale il risultato è diverso. Ad esempio, siano e . Si ha

,

mentre

La spiegazione è la seguente. Nel primo caso si applica prima f e poi g. La f porta x in e lo dà come valore di input a g. La g opera elevando al quadrato il suo argomento e quindi eleva al quadrato dando come risultato . Nel secondo caso si applica prima la g che porta x in e lo dà come valore di ingresso a f. La f opera elevando al quadrato il suo argomento e sottraendo 1. Il quadrato di è e quindi il risultato finale è .

In qualche caso, la composizione di funzioni si estende a più di due funzioni, ad esempio nel caso della funzione che può essere considerata composta dalle funzioni , e secondo la relazione .

Inversione di funzioni

Una funzione associa ad un valore di x un unico valore di y. In questo modo viene fissato un legame tra le coppie x e y. Questo legame può essere visto anche nel senso opposto, cioè partendo dal codominio e arrivando nel dominio. Da questo punto di vista, opposto rispetto al precedente, il legame può dare origine a una funzione ma non è necessariamente così. Si considerino i seguenti esempi.

Sia data la funzione lineare ; questa funzione associa ad un numero il suo doppio diminuito di 3. Così, ad esempio, f associa al numero 4 il numero 5 (il doppio di 4 meno 3). È evidente che, se volessimo seguire il percorso a ritroso partendo dal 5 (e volendo risalire al 4) dovremmo svolgere le operazioni inverse nell'ordine inverso e cioè prima sommare 3 e poi dividere per 2 (infatti 5 + 3 diviso 2 fa effettivamente 4). Il legame inverso dà quindi origine ad un'altra funzione che, per quanto abbiamo scritto, può essere ragionevolmente chiamata 'inversa di f'. essa viene indicata con ed in questo caso è data da .

La procedura per trovare una tale funzione è particolarmente semplice se nell'espressione che definisce la f si sostituisce al posto di la y e poi si cerca di risolvere rispetto a x l'equazione. Così, nell'esempio considerato, si avrebbe da cui e infine . Poiché per convenzione siamo soliti attribuire alla lettera x il ruolo di variabile indipendente e alla y quello di variabile dipendente, scambiando la x in y e viceversa si ottiene di nuovo il risultato che avevamo già trovato precedentemente con un po' di ragionamento.

È interessante osservare che questa procedura ha un'importante spiegazione grafica. Consideriamo infatti il grafico della funzione

Partendo dalla x si arriva alla y muovendosi in verticale fino a raggiungere il grafico della funzione (la retta in questo caso) e poi orizzontalmente fino a raggiungere l'asse y dove si legge il valore della funzione. Nella figura, in blu è indicato il percorso che porta dal punto (2.5, 0) al punto (0, 2). La funzione inversa segue il percorso opposto: parte dall'asse y, incontra il grafico e arriva sull'asse x. Nella figura, in rosso è indicato il percorso che porta dal punto (0, –1) al punto (1, 0); infatti . Non è difficile intuire che in questo caso, cioè quello delle funzioni lineari e lineari affini, una tale procedura è sempre eseguibile eccetto per le funzioni 'costanti', quelle cioè il cui grafico è una retta orizzontale.

La procedura per costruire l'inversa di una funzione nel caso generale è la stessa descritta sopra, sia da un punto di vista algebrico sia da un punto di vista grafico. Tuttavia, ci sono casi in cui questa procedura non può essere eseguita perché non darebbe luogo ad una funzione. Consideriamo, ad esempio, il caso della funzione , il cui grafico è quello di una parabola con il vertice nell'origine degli assi.

Come si vede non è possibile arrivare univocamente ad un punto sull'asse delle x partendo da un punto sull'asse delle y. Per esempio, in rosso sono mostrati i due percorsi che si potrebbero fare a partire dal punto (0, 4) e che portano ai punti (2, 0) e (–2, 0). L'impossibilità di costruire una inversa per la funzione risulta anche analiticamente, perché posto si può risolvere rispetto ad x solo estraendo la radice quadrata ma allora rimane il problema del segno da attribuire alla radice: bisogna porre o ? Si può risolvere la questione ignorando il ramo di parabola che giace nel secondo quadrante. In questo caso (considerando cioè solo le x positive) la funzione risulta invertibile e la sua inversa è .

Riassumendo, perché una funzione risulti invertibile in un dato intervallo è necessario che su di esso la corrispondenza tra i valori della x e della y sia biunivoca, cioè ad ogni x corrisponda una sola y e viceversa.

Se tracciamo sullo stesso grafico una funzione e la sua inversa notiamo una particolarità: i due grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (in figura i grafici di (in rosso) e della sua inversa (in blu) insieme con la bisettrice y = x.

ATTENZIONE: non si confonda il simbolo con che rappresenta tutt'altra cosa che la funzione inversa. In generale, gli esponenti applicati subito dopo il simbolo della funzione non hanno valore algebrico ma simbolico. Allo stesso modo, non vuol dire ma .

Dopo questa lunga discussione, possiamo dare finalmente la definizione di funzione invertibile e di inversa di una funzione.

DEFINIZIONE: una funzione si dice invertbile quando essa è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e di B. In questo caso, la funzione che associa ad ogni elemento y di B l'elemento x (unico) di A tale che si chiama funzione inversa e si indica con il simbolo

Nella lezione precedente abbiamo già incontrato alcune 'coppie' di funzioni, una l'inversa dell'altra. Ad esempio, le funzioni potenza sono inverse a coppie (ogni funzione del tipo ha come inversa – ad esempio, l'inversa di è ). Inoltre la funzione logaritmica e quella esponenziale sono una l'inversa dell'altra (ovviamente se hanno la stessa base!). Infatti, posto ad esempio si ha per definizione

Da ricordare

Le definizioni di funzione composta e di funzione inversa

Quando una funzione è invertibile (corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio – analogia grafica)

Simmetria dei grafici di una funzione e della sua inversa

Procedura per il calcolo dell'inversa di una funzione

Esercizi

Date e scrivere l'espressione analitica di e di

Scrivere come funzione composta

Scrivere le funzioni inverse delle seguenti funzioni:

a)     

b)     

c)     

d)    

Soluzioni

e

Se e allora

a)      quindi e allora la funzione inversa è

b)      quindi . Non si può estrarre la radice quadrata senza introddure ambiguità: decidiamo di limitarci alle sole x positive (analogamente al caso della parabola). Poniamo quindi e quindi la funzione inversa è

c)      quindi cioè . La funzione inversa è dunque

d)     Il grafico della funzione è rappresentato in figura.

Poiché per ogni y esiste una sola x corrispondente, la funzione è invertibile. Per le x negative l'inversa coincide con la funzione stessa. Per le x positive la funzione è il ramo di parabola che ha come inversa . La funzione inversa è quindi