Da coordinate a parametri orbitali e viceversa

Da coordinate a parametri orbitali e viceversa

In questo paragrafo vengono fornite le formule di trasformazione tra parametri orbitali, come definiti in precedenza, e coordinate cartesiane. In quel che segue si adotteranno le comuni unità di misura UA (unità astronomiche, =1 495 979 km, unità di lunghezza), massa del Sole (=1, unità di massa), giorno solare medio (=86 400 secondi, unità di tempo). La massa dell'oggetto m sarà quindi espressa in unità solari, le lunghezze in UA e i tempi in giorni. La costante di gravità, G = k², sarà allora data da: k = 0.01720209895 (costante di Gauss).

Coordinate dai parametri orbitali

Sia t l'istante per il quale si vogliono calcolare le coordinate e siano dati i parametri osculanti dell'orbita di un oggetto attorno ad un altro:

a semiasse

e eccentricità

i inclinazione

w argomento del perielio

W longitudine del nodo

t tempo del passaggio al perielio

Per prima cosa calcoliamo l'anomalia vera dell'oggetto, cioè l'angolo, contato a partire dalla posizione del perielio nel verso di percorrenza dell'orbita, tra perielio e posizione dell'oggetto. Per far ciò dobbiamo passare attraverso altri due angoli: l'anomalia media, M (da non confondere con la massa del Sole) e l'anomalia eccentrica, E. La prima si ottiene dalla relazione

(21)

dove è il moto medio e T il periodo:

(22)

L’anomalia media e quella eccentrica sono legate dall'equazione di Kepler che, essendo un'equazione trascendente, va risolta numericamente. L'anomalia vera f è l’angolo che denota la posizione dell’oggetto sull’orbita contato a partire dal perielio ed è quindi pari alla quantità (J w che compare nella (17); essa è legata a quella eccentrica dalla relazione

(23)

Il modulo del vettore posizione r, di componenti (x,y,z), è dato allora (ricordando la 17) dalla

(24)

Le coordinate (x,y,z) si ottengono quindi dalle

(25)

Le componenti della velocità si ottengono derivando le (5) rispetto al tempo:

(26)

Ricordiamo che il momento angolare dell'oggetto è dato da

(27)

e che 

(28)

La costante m nella (27) è pari a .

Parametri orbitali dalle coordinate

Siano date le coordinate e le componenti della velocità di un oggetto in orbita attorno ad un altro ad un certo istante t. Indicheremo queste quantità con x, y, z, v_x ,v_y ,v_z

Per prima cosa calcoliamo il momento angolare dell'oggetto per unità di massa

  (29)

dove è il vettore posizione, r(x,y,z), e il vettore velocità, v(v_x,v_y,v_z).

Le componenti di H lungo gli assi coordinati saranno fornite da

(30)

e naturalmente

L'inclinazione i si ottiene semplicemente dalla e il semiasse a dalla velocità:

(31)

Utilizzando di nuovo la (27) si ottiene quindi l'eccentricità e. Per gli altri angoli, notiamo che

(32)

da cui

(33)

Nelle (32) bisogna prendere i segni superiori o inferiori a seconda che i sia minore o maggiore di 90° (nel primo caso l’orbita si dice diretta, nel secondo retrograda), cioè che H_z sia positivo o negativo. Questo risolve l'ambiguità di segno nella (33). Notiamo che se i = 0° allora H_x e H_y sono nulli: in tal caso si assume W

Dalle (25), con semplici passaggi, si ottengono le

(34)

che danno (f + w senza ambiguità. Se i = 0° si possono usare le formule

(35)

si ottengono quindi f e w separatamente facendo uso della (24).

Rimane da calcolare il tempo del passaggio al perielio, t, che si ottiene facilmente dalle (21), (22) e (23), passando attraverso l’equazione di Kepler