Gli asteroidi: le risonanze

Abbiamo visto nei precedenti capitoli che molte caratteristiche della distribuzione di asteroidi nella fascia principale sono associate a risonanze. Queste caratteristiche riguardano l’esistenza di “lacune” (le lacune di Kirkwood), di “gruppi” isolati dal resto della popolazione e di raggruppamenti nello spazio degli elementi orbitali, cioè di “famiglie”. Abbiamo anche esaminato in dettaglio il numero e le proprietà delle famiglie: è ora necessario esaminare cosa siano e come funzionino le risonanze. Tratteremo principalmente le risonanze con Giove, ma è inteso che i discorsi che faremo si applicano ugualmente anche agli altri pianeti.

Cos’è una risonanza

Si ha una risonanza quando il periodo di rivoluzione di un asteroide è in rapporto con il periodo di Giove nella forma p/(p+q), dove p e q sono interi piccoli. Più comunemente, invece dei periodi si usano i moti medi; il rapporto verrà indicato nella forma (p+q):p e la risonanza verrà detta di moto medio. La caratteristica principale di una risonanza è la sua periodicità. Se l’asteroide e Giove sono in congiunzione (cioè allineati con il Sole) ad una certa longitudine, questo allineamento si ripeterà più o meno alla stessa longitudine dopo qualche rivoluzione dell’asteroide; l’effetto di questa configurazione è di rinforzare le perturbazioni che il pianeta esercita sull’asteroide. Inoltre, le perturbazioni divengono cicliche cosicché i parametri orbitali principali (semiasse, eccentricità ed inclinazione) subiranno fasi di variazione positiva seguite ciclicamente da fasi di variazione negativa: in breve, delle oscillazioni che prendono il nome di librazioni.

Il valore dei due termini del rapporto di risonanza ne definisce l’ordine. Sono risonanze del primo ordine quelle in cui il valore di q è 1, come nel caso delle 2:1, 3:2, 4:3. Le risonanze 5:3 e 7:5 sono di ordine 2, e così via.

E’ utile introdurre una variabile di risonanza che chiameremo s. Questa variabile indica la posizione della congiunzione rispetto alla longitudine del perielio dell’asteroide, che è data dalla somma dell’argomento del perielio w e della longitudine del nodo W, . Sarà cioè

Per s la congiunzione avviene quando l’asteroide è in perielio, per s p la congiunzione avverrà con l’asteroide in afelio. E’ chiaro che il primo caso è più stabile, data la maggiore distanza dell’oggetto da Giove, mentre nel secondo caso tutto dipende dal valore dell’eccentricità: se questa è grande saranno possibili incontri ravvicinati che potrebbero distruggere la risonanza. La quantità s è quindi una misura di stabilità ed è la quantità che oscilla nel tempo indicando la librazione. Infatti, la longitudine L può essere espressa nella forma

dove p e q sono i termini della risonanza, l_J è la longitudine eliocentrica di Giove e l quella dell’asteroide. Così facendo si ha

che prende il nome di argomento di librazione. Un esempio grafico illustrerà meglio il concetto.

Nella figura 7.1 (tratta dal Near-Earth Object Atlas of Long-Term Evolutions, Carusi e Dotto, 1996) è riportata l’integrazione numerica dell’asteroide 5370 Taranis, un NEO con semiasse di circa 3.3 UA ed eccentricità 0.64. Pur potendosi avvicinare alla Terra (il perielio è a 1.24 UA, tipico di un Amor, come vedremo), 5370 Taranis passa la maggior parte del suo periodo ben dentro la fascia principale. Inoltre, esso libra attorno alla risonanza 2:1, il bordo esterno della fascia. Il grafico in alto della figura riporta l’andamento del rapporto tra i moti medi dell’asteroide e di Giove tra il 1585 e il 2406; la metà inferiore del grafico in alto riporta l’andamento temporale dell’argomento di librazione. Il grafico in basso è un diagramma polare in cui l’angolo è l’argomento di librazione e il raggio-vettore il rapporto dei moti medi. E’ evidente che l’asteroide oscilla attorno al valore s , evitando accuratamente di trovarsi in congiunzione con Giove quando si trova in afelio: essendo questo a 5.46 UA, la possibilità di incontri ravvicinati sarebbe inevitabile.

Origine delle lacune di Kirkwood

Abbiamo già avuto modo di notare che le principali risonanze di moto medio con Giove sono localizzate dove si trovano le lacune di Kirkwood. Questa disposizione appare chiarissima nella figura 7.2 dove sono riportate, in posizione e forma, le principali risonanze di moto medio della fascia principale. Le risonanze con Giove – che sono le più pronunciate – sono in grigio chiaro, quelle con Saturno in grigio medio e quelle con Marte in grigio scuro. Il grafico è tratto da Nesvorný ed altri (2002). Sin dalla scoperta delle lacune (1867) questa osservazione ha fatto pensare che vi sia un nesso stretto tra le due cose, ma sono state date diverse interpretazioni del fenomeno, che possono essere riunite in quattro classi.

1. Le lacune sono un fenomeno statistico.
2. Gli asteroidi che hanno avuto origine nelle lacune sono stati rimossi in seguito a causa del campo gravitazionale di Giove.
3. La rimozione non è stata puramente gravitazionale ma ha coinvolto anche collisioni.
4. Gli asteroidi non avrebbero mai potuto formarsi nelle lacune.

Vediamo queste ipotesi separatamente. La prima (ipotesi statistica) sostiene che gli asteroidi librano attorno alle lacune e spendono la maggior parte del loro periodo fuori da esse, esattamente come fa un pendolo rispetto alla posizione d’equilibrio. Quindi sarebbe statisticamente improbabile trovarne uno esattamente al valore della risonanza. Questa ipotesi è stata studiata numericamente da Schweizer (1969), che ha integrato oggetti vicino alla lacuna di Hecuba (la 2:1), alla lacuna a 5:2 e alla lacuna di Hestia (3:1). Mediando su lunghi intervalli di tempo si vede che le lacune vanno restringendosi, pur senza scomparire del tutto. Lo stesso problema è stato affrontato analiticamente da Message (1966) e da Diesel (1976) utilizzando tecniche di miscelamento nei parametri orbitali. Ambedue questi studi mostrano che le lacune vanno scomparendo su lunghi archi di tempo. Ne deriva che l’ipotesi statistica, che pure istantaneamente è valida, non può spiegare con accuratezza la presenza di lacune su periodi lunghi.

La seconda ipotesi (ipotesi gravitazionale) richiede un meccanismo capace di rimuovere un gran numero di asteroidi dalle risonanze interne alla fascia, pur lasciando sopravvivere oggetti nei raggruppamenti esterni (le risonanze 3:2, 4:3 e 1:1). Testare questa ipotesi è particolarmente difficile, perché le equazioni del moto vicino alle risonanze hanno nel termine perturbativo dei divisori molto piccoli che fanno crescere l’eccentricità all’infinito. Vari autori hanno tentato di risolvere il problema utilizzando la teoria di Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM), ma senza un vero successo. In sostanza la stabilità o instabilità di oggetti, ad esempio nella lacuna di Hecuba o nel gruppo di Hilda (risonanza 3:2), non è provata.

La terza ipotesi (ipotesi collisionale) sostiene che gli asteroidi nelle lacune sono rimossi a seguito di collisioni con gli asteroidi immediatamente sui bordi delle lacune. Anche questa ipotesi è stata testata con metodi numerici, integrando il moto di molti asteroidi per lunghi periodi. In base a varie assunzioni (non provate) questo meccanismo fornirebbe la corretta forma a V delle lacune, ma gli esperimenti numerici non sembrano supportare l’ipotesi, che resta problematica.

La quarta e ultima ipotesi (ipotesi cosmologica) sostiene che le lacune di Kirkwood sono primigenie, cioè si sono formate sin dall’origine del sistema, e che gli asteroidi non avrebbero potuto formarsi lì a causa delle perturbazioni del crescente Giove. Tuttavia le nostre conoscenze sull’origine del sistema solare non sono ancora così dettagliate da fornirci prove indiscutibili a favore o contro l’ipotesi.

Come si vede nessuna delle ipotesi menzionate è sufficientemente forte da spiegare da sola la struttura della fascia asteroidale, anche se la seconda e la terza sembrano più promettenti delle altre. Più recentemente, però, tra il 1982 e il 1992, altri studi sono intervenuti a chiarire un po’ il problema. Questi studi sono stati iniziati da Wisdom (1982, 1983, 1985) e continuati da Ferraz-Mello e altri (1991, 1992). Essi trovano, in particolare per la risonanza 3:1, che le perturbazioni indotte da Giove non sono regolari, ma producono spesso improvvisi “salti” nell’eccentricità, spiegabili con le teorie del caos. Questi salti, a semiasse costante, fanno sì che gli asteroidi si trovino ad incrociare l’orbita di Marte e la probabilità di incontri ravvicinati con questo pianeta è sufficientemente elevata da far supporre che sia proprio Marte il responsabile dello svuotamento della lacuna. Gli ultimi studi hanno anche mostrato che i valori di eccentricità che possono essere raggiunti in queste fasi sono molto elevati, ben al di là di 0.9. E’ allora chiaro che anche gli altri pianeti interni – in particolare la Terra e Venere, ben più grandi di Marte – possono dare il loro contributo. Infine, Farinella ha mostrato che oltre al meccanismo di svuotamento dovuto alle perturbazioni dirette dei pianeti interni, o alle collisioni con essi, esistono altri fenomeni perturbativi a causa dei quali gli asteroidi possono raggiungere eccentricità tali che il loro perielio si trovi a passare “dentro” la superficie del Sole: in altre parole essi colliderebbero col Sole. Le ricerche più recenti a proposito della 3:1 fanno pensare che circa il 70% degli asteroidi siano estratti dalla lacuna da Terra e Venere e il restante 30% cada nel Sole.

E’ probabile che tutti i meccanismi accennati siano operanti ed è particolarmente difficile distinguere tra di essi. La visione attuale quindi è che le lacune siano aperte per motivi gravitazionali, legati alle risonanze, e collisionali; comunque, se facciamo un’istantanea della distribuzione ad una data epoca, è difficile “pescare” un asteroide in risonanza per motivi statistici, ma sui bordi delle risonanze è facile trovare dei libratori.

Le risonanze secolari nella fascia asteroidale

Abbiamo parlato estesamente delle risonanze di moto medio. Vi sono però altri tipi di risonanze nella fascia asteroidale che ne rendono il paesaggio ancora più accidentato: si tratta delle risonanze secolari. Un asteroide si trova in una risonanza secolare se le sue frequenze orbitali di precessione o sono uguali a uno degli autovalori del sistema di orbite planetarie nel quadro della teoria delle perturbazioni secolari. Le due quantità accennate (non le loro derivate) sono la longitudine del perielio e la longitudine del nodo ascendente.

Le perturbazioni esercitate dai pianeti sugli asteroidi possono essere suddivise in termini a corto periodo, che dipendono direttamente dal tempo, e termini a lungo periodo. Sono questi ultimi che formano l’oggetto delle teorie sulle perturbazioni secolari, quelle stesse che vengono usate per il calcolo degli elementi propri. A causa dei termini secolari, gli elementi orbitali degli asteroidi, liberati dai termini diretti, oscillano; queste oscillazioni, a loro volta, possono essere chiamate oscillazioni libere se derivano direttamente dai pianeti supposti su orbite circolari e complanari, e oscillazioni forzate che dipendono invece dall’eccentricità e dall’inclinazione delle orbite planetarie. Normalmente le oscillazioni forzate sono molto più piccole di quelle libere; questo non più è vero se l’asteroide si trova in una risonanza secolare, dove le oscillazioni forzate possono dominare su quelle libere.

Per comprendere meglio quanto detto esaminiamo la cosiddetta “teoria lineare” delle perturbazioni secolari degli asteroidi, dovuta a Laplace e Lagrange. In questa teoria le eccentricità e le inclinazioni planetarie compaiono alla prima potenza (sono cioè lineari) nelle equazioni differenziali, ma alla seconda potenza nella funzione di disturbo. Le equazioni così ottenute, che governano il moto di asteroidi perturbati da N pianeti, possono essere integrate direttamente.

Consideriamo, con Brouwer e van Woerkom (1950), un asteroide di massa trascurabile e facciamo uso delle variabili

(1)

dove

(2)

La teoria di Brouwer e van Woerkom tiene conto delle perturbazioni di tutti i pianeti escluso Plutone e dei due termini più importanti che descrivono la “grande ineguaglianza” (great inequality) di Giove e Saturno, che si trovano nella commensurabilità 5:2. Si hanno così 10 autofrequenze che descrivono la variazione delle eccentricità e delle longitudini del perielio e 8 autofrequenze che descrivono le variazioni delle inclinazioni e longitudini del nodo. Una di queste ultime, l’autofrequenza , è nulla tenendo conto del fatto che il piano invariante del sistema solare (il piano medio delle orbite planetarie) è fisso.

Le variabili nelle (1) sono costanti d’integrazione e costituiscono esattamente gli elementi propri (il semiasse proprio, nella teoria lineare, è uguale al semiasse osculante); esse determinano le oscillazioni libere dei primi termini a destra nelle (1). La longitudine propria del perielio precede con frequenza , mentre la longitudine propria del nodo recede con frequenza . I secondi termini a destra delle (1) sono invece le oscillazioni forzate: le funzioni G_l e G’_l   sono funzioni delle masse planetarie e dei semiassi dei pianeti e dell’asteroide, mentre le funzioni e sono le autofrequenze del sistema planetario nella teoria delle perturbazioni secolari. Guardando le equazioni (2) si vede subito che l’ampiezza delle oscillazioni forzate diviene molto grande quando oppure . Questo è proprio ciò che avviene alle risonanze secolari: esse hanno luogo quando la frequenza di variazione della longitudine del nodo o del perielio di un asteroide è quasi uguale ad una delle autofrequenze del sistema planetario nel suo insieme. La teoria di Brouwer e van Woerkom dà gli autovalori di queste frequenze, e quindi i tempi scala delle risonanze secolari.

Si è fin qui parlato della teoria lineare, ma le risonanze secolari compaiono anche in teorie più generali, come quella di Williams, e quindi hanno una rilevanza fisica. Senza entrare nei dettagli, possiamo dire che nella teoria di Williams le prime due equazioni (1) dipendono anche dalle altre due variabili, così come le seconde due equazioni dipendono dalle eccentricità e dalle longitudini del perielio. Le equazioni sono cioè accoppiate. In pratica questo significa che le oscillazioni libere e forzate non sono indipendenti, ma le une modulano le altre. Williams trova singolarità nell’ampiezza delle oscillazioni forzate quando con l = 1,10 e con l = 11,14 e 16,18, dove s è un intero. L’indice va da 1 a 18, perché l’accoppiamento delle variabili in questa teoria porta ad utilizzare un unico set di 18 autofrequenze.

Le principali risonanze secolari nella fascia asteroidale sono tre: la , la e la (si noti che in questa teoria la prima non rappresenta più il piano invariante, che è invece rappresentato dalla 15). La prima è correlata con la frequenza d’oscillazione della longitudine del perielio di Giove, la seconda con quella di Saturno e la terza con la frequenza della mutua longitudine del nodo.

Cosa accade ad un asteroide posto in una risonanza secolare? Nel caso della possiamo aspettarci un forte aumento dell’inclinazione, mentre nelle altre due si avrebbe un aumento di eccentricità. Poiché però, secondo la teoria di Williams, le variabili h, k, p e q sono accoppiate in realtà dovremmo avere incrementi di eccentricità anche nella e di inclinazione nelle altre. Le integrazioni numeriche confermano questa aspettativa.

Cosa succede se una risonanza “taglia” una famiglia?

Le risonanze secolari, come quelle di moto medio, sono anch’esse associate a regioni della fascia asteroidale dove la densità di oggetti è molto piccola. Ad esempio, abbiamo detto che il bordo interno della fascia è marcato dalla risonanza di moto medio 4:1 con Giove. A questo dovremmo ora aggiungere che anche la e la si trovano in quella zona: un oggetto che si trovi ad orbitare con un semiasse di 2.06 UA (corrispondente alla 4:1) si troverebbe prima o poi intrappolato in una delle tre risonanze e con tutta probabilità la sua eccentricità (e anche l’inclinazione) verrebbe “pompata” verso alti valori. Ma alti valori di eccentricità implicano che l’asteroide si troverebbe ad un certo punto ad incrociare l’orbita di Marte e probabilmente anche quelle della Terra e di Venere. A parte la possibilità di un urto diretto, questo significherebbe che incontri ravvicinati con questi tre pianeti diverrebbero abbastanza frequenti. A seguito di questi incontri i parametri dell’asteroide potrebbero cambiare quanto basta perché venga “estratto” dalla risonanza d’origine e “congelato” nelle zone interne del sistema: in sostanza diverrebbe un NEO.

E’ molto istruttivo osservare il contorno delle risonanze secolari nel piano semiasse-inclinazione propri. Come si vede dalla figura 7.3, infatti, la risonanza delimita molto bene il profilo interno della fascia e separa il gruppo di asteroidi di cui fa parte la famiglia di Flora (la più numerosa della parte interna della fascia) dai gruppi sparpagliati ad inclinazioni più alte. Il gruppo più vistoso di questi, a circa 2.4 UA, fu da Hirayama considerato una famiglia (la famiglia di Phocaea, ora denominata “gruppo”): ora sappiamo che questa classificazione non era dovuta ad una parentela genetica tra gli asteroidi del gruppo, quanto piuttosto al fatto che essi fossero isolati dagli altri dalla risonanza . Separazioni analoghe isolano altri due gruppi: gli Hungaria, asteroidi con piccolo semiasse (minore di 2 UA) e alta inclinazione (maggiore di 20°), si trovano a sinistra della risonanza e sotto la risonanza , mentre il gruppo a cui appartiene 2 Pallas si trova nel quadrante opposto.

Può capitare, e di fatto capita, che una risonanza “tagli” una famiglia. Questo significa che la collisione che ha dato origine alla famiglia è avvenuta quando gli asteroidi implicati si trovavano abbastanza vicino ad una risonanza. La variazione di velocità causata dalla collisione ha quindi portato alcuni frammenti a superare il limite della risonanza. E’ abbastanza chiaro quello che può succedere in tali casi: gli elementi dei frammenti così intrappolati cominceranno ad oscillare molto di più di quelli dei loro “fratelli” e alla fine questi frammenti verranno spostati in altre zone della fascia asteroidale, se non addirittura in altre zone del sistema solare. E’ ben difficile per ora riuscire ad identificare frammenti di una collisione (cioè membri di una famiglia) che abbiano subito notevoli variazioni orbitali ed è probabile che non si riuscirà mai ad effettuare questa operazione.

Per avere un’idea quantitativa della rilevanza di questi fenomeni sono stati condotti molti esperimenti simulando numericamente l’evoluzione orbitale di frammenti di collisioni per alcuni milioni di anni. I risultati sono molto illuminanti.

Ad esempio alcuni studi condotti da Froeschlé e Scholl nel 1991 hanno mostrato che la frammentazione di asteroidi vicino alla risonanza , tra 2.3 e 2.4 UA, produce una gran quantità di materiale che resiste nella risonanza anche per milioni di anni. Durante questo periodo le eccentricità vengono aumentate fino a 0.85, generando una popolazione di “planet-crossers” che può interagire con i pianeti interni. Gli studi di Farinella ed altri (1991) hanno poi mostrato che un meccanismo di questo tipo inserisce nella risonanza fino al 50% dei frammenti tra 2.4 e 2.5 UA, e che questo processo è attivo anche nella parte più esterna della fascia, intorno a 2.8 UA.

Una figura estremamente interessante è la 7.4, tratta da Morbidelli e altri (2002). Vi sono due diagrammi nella figura: quello in alto riporta l’inclinazione e quello in basso l’eccentricità in funzione del semiasse. I primi 10.000 asteroidi di fascia principale sono indicati in grigio chiaro.

Gli oggetti indicati con punti neri sono i “Mars-crossers” secondo la definizione di Fabio Migliorini, cioè oggetti con 1.3 < q < 1.8 UA che nei prossimi 300.000 anni si troveranno a intersecare l’orbita di Marte. Come si vede essi si trovano naturalmente nella parte interna della fascia e sono frequenti nei gruppi di Hungaria e Phocaea. Gli altri simboli denotano i NEO nelle tre classi Aten, Apollo e Amor.

Le principali risonanze di moto medio (2:1, 5:2 e 3:1) sono indicate con linee tratteggiate verticali mentre la risonanza secolare , che non dipende dall’eccentricità, è mostrata con una curva tratteggiata nel grafico superiore e accennata con una linea tratteggiata verticale nel grafico inferiore. La curva punteggiata sulla destra in alto del grafico inferiore mostra il valore del parametro di Tisserand T = 3 rispetto a Giove. Come si vede, non vi sono praticamente asteroidi per valori di T < 3 (che è il dominio delle comete di corto periodo). La figura mostra molto bene il (lento) processo di diffusione degli asteroidi verso le regioni interne del sistema solare. Gli oggetti, al crescere della loro eccentricità, divengono dapprima Mars-crossers e quindi NEO.

Questo cammino evolutivo è mostrato ancora più chiaramente nella figura 7.5, sempre tratta da Morbidelli ed altri (2002). I tre grafici mostrano i risultati di integrazioni numeriche di oggetti nella , 5:2 e 3:1 (in alto), una integrazione lunga di un oggetto nella (al centro) e un’altra di un oggetto nella 3:1 (in basso). Sono tracciate le curve di tangenza di Venere, Terra, Marte e Giove.

Nel grafico in alto è ben visibile la diffusione verso le alte eccentricità che porta gli oggetti a divenire NEO. Naturalmente se questi, uscendo in particolare dalla 5:2,  si avvicinano troppo alla curva di tangenza inferiore di Giove (riportata in alto a destra), il pianeta ne provoca rapidamente la rimozione, in genere estromettendoli dal sistema solare.

Il grafico centrale riporta una integrazione lunga: i primi 20 milioni di anni sono indicati da punti neri, i successivi da punti grigi. Lo stesso si può dire del grafico in basso, con i punti neri che coprono i primi 15 milioni di anni di integrazione. Torneremo ad esaminare questi grafici in un prossimo capitolo.