FUNKCIJAS NEPARTRAUKTĪBA

Literatūra:

1. Šteiners K. Augstaka matematika III daļa. R.: Zvaigzne ABC, 1997.

2. Bože D., Bieza L., Siliņa B., Strence A. Uzdevumu krajums augstakaja matematika. - R.; Zvaigzne ABC, 2001.

3. Volodko I. Augstaka matematika: īss teorijas izklasts, uzdevumu risinajumu paraugi I daļa., R.: Zvaigzne ABC, 2008.

Argumenta pieaugums un funkcijas pieaugums

Bieži ir svarīgi zinat, par cik izmainas funkcijas vērtība, ja kada definīcijas apgabala punkta palielina vai samazina argumenta vērtību. Piemēram, alpīnistam ir svarīgi zinat atmosfēras spiediena izmaiņu, uzkapjot no vienas nometnes līdz nakamajai.

Aplūkosim divas noteikta secība izraudzītas argumenta vērtības un no funkcijas definīcijas apgabala. Funkcijas vērtības šajos punktos ir attiecīgi un .

Definīcija. Starpību starp divam argumenta vērtībam un sauc par argumenta pieaugumu. To apzīmē ar simbolu un raksta .

Starpību starp divam funkcijas vērtībam un sauc par funkcijas pieaugumu. To apzīmē ar simbolu jeb un raksta .

Ta ka no iegūst , tad

.

Argumenta pieaugums var būt pozitīvs vai negatīvs atkarība no ta, kura argumenta vērtība ir lielaka: vai . Ja argumenta pieaugums ir pozitīvs, tad funkcijas pieaugums ir pozitīvs lielums vai negatīvs lielums atkarība no ta, vai funkcija ir augoša vai dilstoša.

Argumenta un funkcijas pieauguma jēdzieni ilustrēti 1. zīm. augošai funkcijai un 2. zīm. dilstošai funkcijai.

Ja ir jaatrod funkcijas pieauguma izteiksme brīvi izraudzīta definīcijas apgabala punkta , tad vieta ievieto un iegūst funkcijas pieauguma formulu

.

Piemēri.

Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi.

Vispirms atrod .

Tad uzraksta funkcijas pieaugumu .

Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1) un ; 2) un ; 3) un ; 4) un .

Atrod .

Funkcijas pieaugums ir

.

No iegūtas izteiksmes var aprēķinat funkcija pieaugumu jebkura definīcijas apgabala punkta. Tatad

;

;

;

.

. Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi.

Vispirms atrod .

Funkcijas pieauguma izteiksme ir:

.

Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi.

Rīkojoties līdzīgi ka iepriekšējos piemēros, iegūstam

,

Vingrinajumi

1. Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1) un ; 2) un ; 3) un .
2. 1. Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1) un ; 2) un ; 3) un .
3. Uzrakstīt funkcijas pieauguma izteiksmi.

2. Funkcijas nepartrauktība

Daudzi procesi noris nepartraukti. Piemēram, ūdens spiediens uz akvalangistu pieaug nepartraukti, palielinoties ieniršanas dziļumam. Tas nozīmē, ka, mazliet palielinot dziļumu, nedaudz pieaug arī spiediens. Nepartrauktiem procesiem raksturīgi, ka mazam argumenta izmaiņam atbilst mazas funkcijas izmaiņas.

Definīcija. Funkcija f ir nepartraukta punkta , ja šis punkts pieder pie funkcijas definīcijas apgabala un bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst arī bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums , t. i. .

3. zīmējuma paradīts punkta nepartrauktas funkcijas grafiks. Neierobežoti samazinot argumenta pieaugumu , arī funkcijas pieaugums samazinas neierobežoti.

Savukart 4. zīmējuma dota partraukta funkcija ir definēta punkta , taču, argumenta pieaugumam tiecoties uz nulli, funkcijas pieaugums šaja punkta netiecas uz nulli.

Turpretim 5. un 6. zīmējuma paradītas partrauktas funkcijas punkta nav definētas.

Izšķir divu veidu partraukuma punktus. Ievērosim, ka 4. un 5. zīmējuma attēloto funkciju vienpusējas robežas, kad nav bezgalība. Šados gadījumos saka, ka funkcijai pirma veida partraukuma punkts. Savukart 6. zīmējuma funkcijai . Punktu sauc par funkcijas otra veida partraukuma punktu.

No nepartrauktības definīcijas var iegūt šadu secinajumu: ja

,

tad

jeb

. (1)

Ta ka ir konstants lielums attiecība pret , tad

. (2)

Ta ka un , ja tad no vienadībam (1) un (2) iegūstam, ka

.

Tatad: ja funkcija ir nepartraukta punkta , tad funkcijas robeža, kad , ir vienada ar funkcijas vērtību punkta .

Var pieradīt, ka no vienadības seko vienadība . Tatad abi apgalvojumi ir savstarpēji ekvivalenti:

.

TEORĒMAS PAR NEPARTRAUKTAM FUNKCIJAM

Ja funkcijas f(x) un g(x) ir nepartrauktas punkta a, tad šaja punkta ir arī nepartrauktas funkcijas , un (ja ).

Ja funkcija g(x) ir nepartraukta punkta a un funkcija f(y) ir nepartraukta punkta , tad salikta funkcija ir nepartraukta punkta a.

Katra elementara funkcija ir nepartraukta sava definīcijas apgabala.

(Veierštrasa teorēma) Ja funkcija ir nepartraukta slēgta intervala, tad šaja intervala ta ir ierobežota un vismaz viena intervala punkta sasniedz savu minimalo vērtību m un vismaz viena intervala punkta sasniedz savu maksimalo vērtību M.

Piemēri.

Pieradīt, ka funkcija ir nepartraukta visiem realiem x.

Atradīsim dotas funkcijas pieauguma izteiksmi:

Aprēķinasim :

.

Ta ka visiem realiem x, tad funkcija ir nepartraukta visiem realiem x.

Pieradīt, ka funkcija ir nepartraukta visiem realiem x.

Ta ka visiem realiem x, tad funkcija ir nepartraukta visiem realiem x.

. Noteikt funkcijas partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Dota funkcija nav definēta punkta , tatad tas ir partraukuma punkts. Lai noteiktu ta veidu, aprēķinasim vienpusējas robežas:

,

.

Ta ka abas vienpusējas robežas ir bezgalības, punkts ir otra veida partraukuma punkts.

Noteikt funkcijas partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Šī funkcija nav definēta, ja . Tas ir šīs funkcijas partraukuma punkts.

Atradīsim vienpusējas robežas:

,

.

Ta ka robeža no kreisas puses ir bezgalība, tad ir otra veida partraukuma punkts.

Noteikt funkcijas partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Funkcija nav definēta, ja , tas ir šīs funkcijas partraukuma punkts.

,

.

Abas vienpusējas robežas ir galīgas. Tatad ir pirma veida partraukuma punkts.

Uzdevumi: 726., 727., 728.‑739. uzd. no uzd. kraj augst. mat.

753. uzd.

Izmantojot nepartrauktu funkciju īpašības, pieradīt, ka vienadojumam intervala ir vismaz viena reala sakne.

Aprēķinasim funkcijas vērtības dota intervala galapunktos:

; .

Ta ka funkcija ir nepartraukta, tad intervala ta pieņem visas vērtības no līdz 7, tatad arī 0. Tapēc var apgalvot, ka dotaja intervala eksistē vismaz viena tada x vērtība, kurai .

3. Ievads atvasinajuma jēdziena izpratnei.

Aplūkosim ķermeņa kustību taisna virziena ar mainīgu atrumu. Lietosim apzīmējumus:

t – laiks,

s – attalums,

v – atrums.

Tad ķermeņa veiktais attalums ir laika funkcija .

Pieņemsim, ka ķermenis desmitas sekundes beigas atrodas punkta ar koordinatu , bet pēc 10 sekundēm ta koordinata ir . (Skat. 7.zīm.) Tad laika intervala tas ir veicis attalumu un . Aprēķinasim ķermeņa vidējo atrumu šaja laika intervala .

Ja laika intervalu samazinasim, tad samazinasies arī veiktais attalums un mainīsies vidējais atrums. (Skat. tabulu.)

No tabulas datiem redzams, ka maziem laika intervaliem atruma vidēja vērtība maz atšķiras no 10 m/s. Ir pamats secinat, ka desmitas sekundes beigas ķermeņa atrums ir 10 m/s. Fizika to sauc par momentano atrumu.

Precīzi momentana atruma vērtību iegūtu, ja laika sprīdi ņemtu bezgalīgi mazu t. i., kad . Tad .

Ja attaluma funkcijas vieta ņemam funkciju , tad ir argumenta pieaugums kada intervala, bet funkcijas pieaugums šaja intervala. Attiecība parada funkcijas izmaiņas vidējo atrumu. Robežgadījuma, kad , šī attiecība parada funkcijas izmaiņas atrumu punkta. Matematika to sauc par funkcijas atvasinajumu.

4. Atvasinajuma definīcija.

Apskatīsim funkciju . Izvēlēsimies kadu argumenta vērtību un dosim tam pieaugumu . Atradīsim funkcijas pieaugumu .

Definīcija.

Par funkcijas atvasinajumu punkta funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu šaja punkta, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.

Atvasinajumu apzīmē ar simbolu jeb .

Atvasinajuma punkta definīcijas formula: .

Parasti funkcijas atvasinajumu meklē jebkurai argumenta vērtībai x, kurai atvasinajums eksistē. Tad atvasinajuma definīcijas formula ir

jeb

Jaatceras:

• funkcijas atvasinajums dota punkta ir skaitlis,
• funkcijas atvasinajums jebkurai argumenta vērtībai x ir funkcija.

5. Atvasinašanas formulas.

Izmantojot atvasinajuma definīciju, atradīsim dažam pamatfunkcijam atvasinašanas formulas.

1. Konstantas funkcijas atvasinajums.

Ja , tad arī un . Tatad .

Tatad konstanta lieluma atvasinajums ir nulle.

Piemēram.  , .

2. Funkcijas atvasinajums.

Atradīsim .

Tad .

3. Funkcijas atvasinajums.

Funkcijas pieaugums ir

.

Atvasinajums .

Aprēķinasim šīs funkcijas atvasinajumu vairakos punktos:

; ; ; ;

8. zīmējuma paradīts funkcijas grafiks. Aplīšos ierakstītas šīs funkcijas atvasinajuma vērtības atbilstošajos punktos. Varam secinat, ka augošai funkcijai atvasinajuma vērtības ir pozitīvas, dilstošai – negatīvas. Ja funkcija aug straujak, tad atvasinajuma vērtība ir lielaka. Dilšanas intervala otradi. Parabolas virsotnē atvasinajums ir 0.

4. Funkcijas atvasinajums.

Šīs funkcijas pieauguma izteiksme ir atrasta iepriekš un ta ir:

.

Pēc definīcijas atrodam šīs funkcijas atvasinajumu:

5. Pakapes funkcijas atvasinajums.

Pakapes funkcijas atvasinašanas formulu jebkuram realam kapinatajam šeit nepieradīsim. Šī formula ir

Aplūkosim dažus piemērus:

; ;

;

.

Der atcerēties dažas ar pakapi saistītas sakarības:

Talak dota biežak lietoto funkciju atvasinašanas formulas.

ATVASINAŠANAS FORMULAS

PAMATFUNKCIJAS ATVASINAŠANAS FORMULA	SALIKTAS FUNKCIJAS ATVASINAŠANAS FORMULA
(pakapes funkcijas atvasinašanas formula, )	(pakapes funkcijas atvasinašanas formula)

6. Atvasinašanas likumi.

Aplūkosim funkcijas un , kuram eksistē atvasinajumi un .

1. Funkciju summas vai starpības atvasinašana:

Piemēri.

;

.

2. Funkciju reizinajuma atvasinajums.

Piemēri.

;

.

3. Konstanta reizinataja iznešana pirms atvasinajuma zīmes:

Piemēri.

;

;

.

4. Funkciju dalījuma atvasinajums.

Piemēri.

;

;

Vingrinajumi.

Izpildīt 1. uzdevuma I, II un III.

1. uzdevums.

ATVASINAT DOTO FUNKCIJU:

7. Salikta funkcija un tas atvasinašana.

Apskatīsim divas funkcijas , kur un, kur . Ta ka pirmas funkcijas definīcijas apgabalam un otras funkcijas vērtību kopai ir kopīga daļa, tad var izveidot funkciju . Ta ir salikta funkcija. To veido arēja funkcija un iekšēja funkcija .

Visparīga veida saliktu funkciju varam uzrakstīt , kur arēja funkcija ir un iekšēja funkcija .

Piemēri.

Dotajai saliktai funkcijai noteikt iekšējo un arējo funkciju.

1) un

2) un

3) , un

4) un

5) un

6) , un

7) , , un

Saliktu funkciju atvasina pēc formulas:

jeb

Lai atvasinatu saliktu funkciju, vispirms atvasina arējo funkciju, pēc tam iekšējo funkciju un iegūtos atvasinajumus sareizina.

Piemēri.

Dažus piemērus pildīsim ļoti pakapeniski.

1. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija ir , bet iekšēja funkcija . Vispirms atvasina arējo funkciju , pēc tam iekšējo funkciju .

Tad .

2. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija , iekšēja funkcija .

To atvasinajumi , .

Tad .

3. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija , iekšēja funkcija .

To atvasinajumi , .

Tad .

4. Atvasinat funkciju .

Tagad pierakstu saīsinasim.

Arējas funkcijas atvasinajums ,

iekšējas funkcijas atvasinajums .

Tad .

5. Atvasinat funkciju .

Talak jau lietošu īsu pierakstu. Ja nepieciešams, tad pēc iepriekšējiem piemēriem var atvasinat pakapeniski.

(Lietota formula .)

6. Atvasinat funkciju .

(Lietotas formulas un .)

Vingrinajumi.

1. uzdevums IV un 2. uzdevums.

2. uzdevums.

Atvasinat dotas funkcijas.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21.

8. Funkcijas atvasinajuma aprēķinašana dotaja punkta.

Pieņemsim, ka dota funkcija un jaatrod tas atvasinajums .

Lai to izdarītu,

atvasina doto funkciju,

aprēķina .

Piemērs.

Aprēķinat funkcijas atvasinajumu argumenta vērtībai .

Atvasinasim doto funkciju. Ta ir salikta funkcija.

Aprēķinasim .

Vingrinajumi.

3. uzdevums.

3. uzdevums.

APRĒĶINAT DOTAS FUNKCIJAS ATVASINAJUMU NORADĪTAJA PUNKTA

a) ; ; ; ; ;

b) ; ; ;

c) ; ; ;

d) ; ; ;

e) ; ; .

9. Apslēptas funkcijas atvasinašana.

Funkcija ir dota atklata veida. Savukart ar vienadību funkcija y ir dota apslēpta veida.

Lai atrastu apslēptas funkcijas atvasinajumu , vienadības abas puses atvasina pēc x un no iegūtas sakarības izsaka .

Piemēri.

1. Noteikt funkcijai .

Atvasinasim doto vienadību pēc x, ņemot vēra, ka y² ir salikta funkcija:

.

2. Noteikt funkcijai .

Atvasinasim doto vienadību pēc x:

.

10. Logaritmiska atvasinašana.

Vispirms jaatkarto dažas logaritmu īpašības: .

Mums ir jaatvasina funkcija . Šī funkcija neatbilst pakapes vai eksponentfunkcijas definīcijai. Līdz ar to nevaram lietot atbilstošas formulas. Tapēc logaritmēsim šo funkciju.

Tad . Pielietojot logaritmu īpašību . Vienadības abas puses atvasinasim pēc x:

.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

1. Atvasinat funkciju , to vispirms logaritmējot.

2. Atvasinat funkciju , to vispirms logaritmējot.

.

11. Parametriski dotas funkcijas atvasinašana.

Ja funkcija ir uzdota parametriska veida, t. i., ar sistēmu

,

tad funkcijas atvasinajumu atrod ar sakarību .

Piemērs.

Atvasinat parametriska veida dotu funkciju . (Grafiks ir riņķa līnija ar centru koordinatu sakumpunkta.)

Vispirms atrod un . Tad .

12. Augstaku kartu atvasinajumi.

Pieņemsim, ka funkcijai eksistē atvasinajums . Ta ka šis atvasinajums arī ir funkcija, tad to var atvasinat. Līdz ar to iegūstam dotas funkcijas otras kartas atvasinajumu .

Otras kartas atvasinajumu vēlreiz atvasinot, iegūst trešas kartas atvasinajumu .

Talak seko ceturtas kartas atvasinajums, kuru apzīmē u. t. t.

Tie ir dotas funkcijas augstaku kartu atvasinajumi.

Piemēri.

1. Atrast otras, trešas un ceturtas kartas atvasinajumu funkcijai .

,

,

,

.

2. Atrast otras kartas atvasinajumu funkcijai .

,

.

Vingrinajumi.

923. uzdevums no uzdevumu krajuma augstakaja matematika.