Stereometrijas pamatjēdzieni, paralelitate un perpendikularitate telpa

Stereometrijas pamatjēdzieni, paralelitate un perpendikularitate telpa

5.1.Taišņu savstarpējais novietojums telpa

5.2. Taisnes un plaknes savstarpējais stavoklis

5.2.1. Paralēlu taišņu īpašības

5.3. Divu plakņu savstarpējais stavoklis telpa

5.3.1. Paralēlu plakņu īpašības

5.4. Plaknei perpendikulara taisne, slīpne, slīpnes projekcija

5. 5. Triju perpendikulu teorēma

5.6. Divplakņu kakts, divplakņu kakta leņķis

5.7. Daudzskaldņa šķēlums ar plakni.

5.1.Taišņu savstarpējais novietojums telpa

Divas taisnes telpa var būt:

krustiskas – tas atrodas viena plaknē un krustojas,

IT_11_05_21

paralēlas - tas atrodas viena plaknē un nekrustojas,

IT_11_05_22

šķērsas – taisnes neatrodas viena plaknē.

IT_11_05_23

Piemērs

Paralēlas ir taisnes, kas satur kuba šķautnes BC un A₁D₁, bet šķērsas ir taisnes, kas satur šķautnes BC un A₁B₁.

Caur paralēlam taisnēm ir iespējams novilkt plakni, bet caur šķērsam taisnēm novilkt vienu plakni nav iespējams.

/šīs saites varētu atvērties šaja paša lapa, un pēc apskatīšanas varētu būt iespēja saites saturu aizvērt ciet. Pirmas trīs saites varētu paradīties makonītī, bet pie saites/
5.2. Taisnes un plaknes savstarpējais stavoklis

Ir iespējami trīs dažadi taisnes un plaknes savstarpējie novietojumi:

• Taisne atrodas plaknē. To pieraksta šadi .

• Taisne krusto plakni. Taisnei un plaknei var būt tikai viens krustpunkts. To, ka taisnes a un plaknes a krustpunkts ir A, var pierakstīt šadi: a a=A.

• Taisne ir paralēla plaknei – a a

• Taisne un plakne ir paralēlas, ja tam nav kopīgu punktu.

Piemērs

• Taisne un plakne ir paralēlas, ja taisne ir paralēla kadai taisnei, kas atrodas plaknē.

Piemērs

5.2.1. Paralēlu taišņu īpašības

• Ja caur katru no divam paralēlam taisnēm novilkta plakne un šīs plaknes šķeļas, tad plakņu šķēluma līnija ir paralēla abam taisnēm

Piemērs

• Ja katra no divam taisnēm a un b ir paralēla ar trešo taisni c, tad taisnes a un b ir paralēlas sava starpa.

Piemērs

5.3. Divu plakņu savstarpējais stavoklis telpa

Divas plaknes telpa var:

• sakrist – ja tam ir vismaz 3 kopīgi punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes;

• šķelties pa taisni

• būt paralēlas – ja tam nav kopīgu punktu.

• Ja vienas plaknes divas krustiskas taisnes ir attiecīgi paralēlas ar otras plaknes divam krustiskam taisnēm, tad arī pašas plaknes ir paralēlas.

Piemērs.

Plaknes ABCD un A₁B₁C₁D₁ ir paralēlas, jo taisnes AB un BC, kas ir krustiskas un pieder plaknei ABCD, ir attiecīgi paralēlas ar taisnēm A₁B₁ un B₁C₁, kas ir krustiskas un pieder plaknei A₁B₁C₁D₁.

IT_11_05_38

5.3.1. Paralēlu plakņu īpašības

• Ja kada taisne krusto vienu no paralēlam plaknēm, tad ta krusto arī otru plakni.

• Ja divas paralēlas plaknes šķeļ treša plakne, tad šķēluma taisnes ir savstarpēji paralēlas.

Piemērs

Ja paralēlas plaknes ABCD un A₁B₁C₁D₁, šķeļ ar plakni AA₁C₁C, tad šķēluma taisnes A₁C₁ un AC ir savstarpēji paralēlas.

IT_11_05_39

• Ja kada plakne šķeļ vienu no paralēlam plaknēm, tad ta šķeļ arī otru plakni.

Piemērs

Ja kada plakne a šķeļ kuba skaldni A₁B₁C₁D₁, tad ta noteikti šķels plakni, kura atrodas skaldne ABCD.

IT_11_05_40

• Ja katra no divam plaknēm a un b ir paralēlas kadai trešajai plaknei g, tad plaknes a un b ir savstarpēji paralēlas.

5.4. Plaknei perpendikulara taisne, slīpne, slīpnes projekcija

Ja taisne krusto plakni, var būt divas iespējas – taisne ir perpendikulara plaknei vai taisne nav perpendikulara plaknei.

Ja taisne ir perpendikulara divam krustiskam plaknes taisnēm, tad taisne ir perpendikulara šai plaknei.

Piemērs

Taisne DD₁ ir perpendikulara taisnei DC un arī taisnei AD. Taisnes DC un AD ir krustiskas un atrodas plaknē ABCD. Tatad taisne DD₁ir perpendikulara plaknei ABCD (DD₁ ABCD).

IT-11_05_41

Ja taisne nav perpendikulara plaknei, tad no jebkura taisnes punkta iespējams novilkt perpendikulu pret plakni. Šadas (neperpendikularas) taisnes nogriezni no jebkura tas punkta līdz krustpunktam ar plakni sauc par slīpni. Ja no viena punkta, kas atrodas arpus plaknes, novelk gan perpendikulu, gan slīpni, tad nogriezni, kas savieno perpendikula un slīpnes galapunktus plaknē, sauc par slīpnes projekciju. Perpendikuls, kas novilkts no punkta pret plakni, ir īsakais attalums no punkta līdz plaknei.

Ja taisne nav perpendikulara plaknei, tad ta veido ar plakni no 90⁰ atšķirīgu leņķi. Par leņķi starp taisni un plakni sauc leņķi starp taisni un tas projekciju plaknē.

Piemērs

Taisne D₁B attiecība pret plakni ABCD ir slīpne. Lai noteiktu leņķi starp D₁B un plakni ABCD, ir jaatrod taisnes D₁B projekcija plaknē ABCD. Ta ka DD₁ ir perpendikuls, kas novilkts no D pret plakni ABCD, tad slīpnes D₁B projekcija ir DB un meklētais leņķis ir Ð D₁BD.

5. 5. Triju perpendikulu teorēma

Triju perpendikulu teorēma savu nosaukumu guvusi no ta, ka sasaista trīs perpendikularitates faktus – perpendikulu pret plakni, taisnes plaknē perpendikularitati pret slīpni, taisnes plaknē perpendikularitati pret slīpnes projekciju.

IT-11_05_47 IT-11_05_48 IT-11_05_49

/Atverot lapu, attēli nav redzami. Aktivizējot saiti „pret plakni”, paradas zīmējums IT_11_05_47, aktivizējot saiti „pret slīpni”, paradas zīmējums IT_11_05_49, Aktivizējot saiti „pret slīpnes projekciju”, paradas zīmējums IT_11_05_48./

Triju perpendikulu teorēmu bieži izmanto ģeometrijas uzdevumos, lai pamatotu, ka veidojas 90⁰ liels leņķis.

Teorēma

5.6. Divplakņu kakts, divplakņu kakta leņķis

Par divplakņu kaktu sauc figūru, kuru veido divas pusplaknes ar kopīgu robežu, ja abas pusplaknes neatrodas viena plaknē. Abas pusplaknes sauc par divplakņu kakta skaldnēm, bet kopējo robežu - par divplakņu kakta šķautni.

Divplakņu kaktu iegūst, „parlokot” plakni pa kadu tas taisni. Divplakņu kakta piemēri ir majas jumts, parlocīta papīra lapa, telpas stūris.

Divplakņu kakta leņķis ir leņķis starp perpendikuliem, kas novilkti katra no kakta skaldnēm pret ta šķautni.

Divam plaknēm šķeļoties, veidojas četri divplakņu kakti, no kuriem divi ir vienadi sava starpa. Ja visi četri divplakņu kakta leņķi ir vienadi, tad to veidojošas plaknes ir perpendikularas.

Ja divplakņu kakta leņķi nav vienadi, tad par leņķi starp šīm plaknēm sauc mazako no diviem dažadajiem divplakņu kakta leņķiem.

5.7. Daudzskaldņa šķēlums ar plakni

Lai konstruētu daudzskaldņa šķēlumu ar plakni, visbiežak izmanto šadas īpašības:

1. Ja divi punkti pieder šķēluma plaknei, tad taisne, kas novilkta caur šiem punktiem arī pieder šķēluma plaknei;
2. Ja taisne pieder šķēluma plaknei, tad katrs tas punkts pieder šķēluma plaknei;
3. Paralēlas plaknēs šķēluma taisnes ir paralēlas;
4. Divas taisnes krustojas tikai tad, ja tas atrodas viena plaknē.

Piemērs.

Jakonstruē kuba šķēlums ar plakni, kas novilkts caur punktiem K, L un M.

Saturs saitēm:

Saturs saitei paralēlas

Paradas animacija:

IT_11_05_24

Saturs saitei šķērsas

Paradas animacija:

IT_11_05_25

Saturs saitei novilkt plakni

Paradas animacija:

IT_11_05_26

Saturs saitei atrodas plaknē :

IT_11_05_27

Saturs saitei krusto plakni.

IT_11_05_28

Saturs saitei paralēla plaknei

IT_11_05_29

Saturs saitei BC ir paralēla plaknēm AA₁DD₁ un A₁B₁C₁D₁

Taisne BC ir paralēla plaknēm AA₁DD₁ un A₁B₁C₁D₁, jo tam nav kopīgu punktu.

IT_11_05_30 IT_11_05_31

Saturs saitei BC ir paralēla taisnei AD

Taisne BC ir paralēla plaknei AA₁DD₁, jo taisne BC ir paralēla taisnei AD, kas atrodas plaknē AA₁DD₁.

Atveras animacija:

IT_11_05_32

Saturs saitei Piemērs

IT_11_05_33

Saturs saitei Piemērs

Taisne AB ir paralēle taisnei DC, arī D₁C₁ ir paralēla ar DC, tatad AB ir paralēla ar D₁C₁.

IT_11_05_34

Saturs saitei sakrist

Paradas animacija

IT_11_05_35

Saturs saitei šķelties pa taisni

Paradas animacija

IT_11_05_36

Saturs saitei paralēlas

IT_11_05_37

Saturs saitei Piemērs

IT_11_05_39

Saturs saitei Piemērs

IT_11_05_40

Saturs saitei perpendikulu pret plakni.

IT_11_05_42

Saturs saitei slīpni.

IT_11_05_43

Saturs saitei slīpnes projekciju

IT_11_05_44

Saturs saitei īsakais attalums

IT_11_05_45

Saturs saitei Piemērs

IT_11_05_46

Saturs saitei Teorēma

Atveras animacija  Šeit būs animacija IT_11_05_50

1.solis

Uzzīmējas plakne un plaknē taisnstūris

2.solis

Novilkts perpendikuls pret plakni, redzamas perpendikulu zīmītes

3.solis

Novelkas slīpne

4.solis

Novelkas slīpnes projekcija

5.solis

Novelkas taisne

6.solis

Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulara slīpnes projekcijai šaja plaknē,

Pauze, zīmējuma iekrasojas taisnais leņķis taisnstūrī

tad ta ir perpendikulara arī slīpnei.

Pauze, zīmējuma iekrasojas taisnais leņķis pret slīpni

7.solis

Apgriezta teorēma:

Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulara slīpnei,

Pauze, zīmējuma iekrasojas taisnais leņķis pret slīpni

tad ta ir perpendikulara arī slīpnes projekcijai šaja plaknē.

Pauze, zīmējuma iekrasojas taisnais leņķis taisnstūrī

IT_11_05_50

Saturs saitei divplakņu kakta

IT_11_05_51

Saturs saitei „parlokot” plakni

IT_11_05_59

Saturs saitei majas jumts

home_1

Saturs saitei parlocīta papīra lapa

open-chinle_1888

Saturs saitei telpas stūris

lib108a_left_corner_view

Saturs saitei Divplakņu kakta leņķis

IT_11_05_56 IT_11_05_57

Saturs saitei četri divplakņu kakti

IT_11_05_55

Saturs saitei mazako

IT_11_05_60

Saturs saitei šķēlums ar plakni