Trigonometriskas izteiksmes, trigonometriskie vienadojumi un nevienadības

Trigonometriskas izteiksmes, trigonometriskie vienadojumi un nevienadības

6.1. Trigonometrisko funkciju redukcijas formulas

6.2. Sakarības starp viena un ta paša leņķa trigonometriskajam funkcijam

6.3. Argumentu saskaitīšanas formulas

6.4. Divkarša argumenta formulas

6.5. Trigonometrisko vienadojumu atrisinašana

6.5.1 Vienadojuma sinx = a atrisinašana

6.5.2. Vienadojuma cosx = a atrisinašana

6.5.3. Vienadojumu tgx = a un ctgx = a atrisinašana

6.5.4. Vienadojuma sinx = siny atrisinašana

6.5.5. Vienadojuma cosx = cosy atrisinašana

6.5.6. Vienadojumu tgx = tgy un ctgx = ctgy atrisinašana

6.5.7. Trigonometrisko vienadojumu parveidošana par pamatvienadojumiem

6.6. Trigonometrisko pamatnevienadību atrisinašana

6.1. Trigonometrisko funkciju redukcijas formulas

Ar redukcijas formulu palīdzību iespējams trigonometriskas funkcijas no leņķiem p p p un 2p aizstat ar trigonometriskam funkcijam no šaura leņķa α.

Redukciju veic divos soļos, balstoties uz šadiem likumiem:

1.solis. Zīmes noteikšana.

Reducētajai funkcijai ir tada pati zīme ka sakotnējai funkcijai dotaja kvadranta.

2.solis. Funkcijas nosaukuma noteikšana.

• Ja dotas funkcijas arguments ir p vai 2p (leņķis pie x ass), funkcijas nosaukums nemainas.
• Ja dotas funkcijas arguments ir p vai 3p (leņķis pie y ass), funkcijas nosaukums mainas:

no sinuss uz kosinuss;

no kosinuss uz sinuss;

no tangens uz kotangens;

no kotangens uz tangens.

Redukcijas formulas var izmantot, lai aprēķinatu trigonometrisko funkciju vērtības, ja arguments ir 120⁰, 150⁰, 210⁰ u.c.

Piemērs

6.2. Sakarības starp viena un ta paša leņķa trigonometriskajam funkcijam

Izmantojot vienības riņķi, var pamatot šadas formulas:

sin²α + cos² α = 1, (trigonometriska pamatidentitate)

Sareizinot formulas (2) un (3), iegūst formulu, kas izsaka sakarību starp viena un ta paša leņķa tangensu un kotangensu:

tg α   ctg α

No formulas (4) iegūst

un .

Izdalot trigonometriskas pamatidentitates sin²α + cos²α = 1 abas puses attiecīgi ar sin²α un cos²α, iegūst nakamas 2 formulas:

(5) , kur α ¹ pn, nIZ

(6) , kur α ¹ p pn, nIZ

Izmantojot šīs sešas formulas var veikt trigonometrisko izteiksmju parveidojumus, ka arī aprēķinat citu trigonometrisko funkciju vērtības, ja dota viena trigonometriskas funkcijas vērtība.

6.3. Argumentu saskaitīšanas formulas

Argumentu saskaitīšanas formulas ļauj aizstat trigonometriskas funkcijas ar argumentiem (α+b) vai (α–b) par trigonometriskajam funkcijam ar argumentiem α un b

6.4. Divkarša argumenta formulas

Izmantojot argumentu saskaitīšanas formulas, var iegūt jaunas formulas funkcijam , un .

6.5. Trigonometrisko vienadojumu atrisinašana

Par trigonometrisku vienadojumu sauc vienadojumu, kura nezinamais ietilpst tikai trigonometriskas funkcijas argumenta.

Jaievēro, ka trigonometriskajam vienadojumam var būt bezgalīgi daudz atrisinajumu, jo trigonometriskas funkcijas ir periodiskas.

6.5.1 Vienadojuma atrisinašana

ir tads intervala leņķis, kura sinuss ir vienads ar skaitli . Leņķi var mērīt arī grados.

Vienadojuma atrisinajums ir . Vienadojumam atrisinajums eksistē tikai tad, ja jeb

Piemērs.

Vienadojumam sinx = 2,5 atrisinajuma nav.

Piemērs.

Vienadojuma atrisinajums ir

Atrisinajumu var iegūt, izmantojot vienības riņķi.

Ir vērts atcerēties dažus vienadojuma specialgadījumu atrisinajumus:

6.5.2. Vienadojuma atrisinašana

ir tads intervala leņķis, kura kosinuss ir vienads ar skaitli . Leņķi var mērīt arī grados.

Vienadojuma atrisinajums ir .

Vienadojumam atrisinajums eksistē tikai tad, ja jeb aI

Piemērs.

Vienadojuma atrisinajums ir

Atrisinajumus var iegūt, arī izmantojot vienības riņķi.

Ir vērts atcerēties dažus vienadojuma specialgadījumu atrisinajumus.

6.5.3. Vienadojumu tgx = a un ctgx = a atrisinašana

ir tads intervala leņķis, kura tangenss ir vienads ar skaitli . Leņķi var mērīt arī grados.

Vienadojuma tgx = a atrisinajums x = arctga + pn, nIZ

ir tads intervala leņķis, kura kotangenss ir vienads ar skaitli . Leņķi var mērīt arī grados.

Vienadojuma ctgx = a atrisinajums x = arcctga+pn, nIZ 

Piemērs.

Vienadojuma tgx = 1 atrisinajums ir

Atrisinajumu var iegūt, izmantojot vienības riņķi.

Ir vērts atcerēties vienadojumu tgx = 0 un ctgx = 0 atrisinajumus:

6.5.4. Vienadojuma sinx = siny atrisinašana

No vienības riņķa ir viegli nolasīt, ka divu argumentu x un y sinusa vērtības ir vienadas, ja x = y+2pn vai x = p–y+2pn.

sinx = sina

x = y+2pn vai x = p–y+2pn,

Piemērs.

Vienadojuma atrisinajums:

6.5.3 Vienadojuma cosx = cosy atrisinašana

No vienības riņķa ir viegli nolasīt, ka divu argumentu x un y kosinusa vērtības ir vienadas, ja x = y + 2pn vai x = – y + 2pn

osx cosy

x y pn vai x -y pn

Piemērs

Vienadojuma cos3x = cos5x atrisinajums iegūstams šadi:

6.5.4 Vienadojumu tgx = tgy un ctgx = ctgy atrisinašana

No vienības riņķa ir viegli nolasīt:

ja divu argumentu tangensa vērtības ir vienadas (), tad

kur ,

ja divu argumentu kotangensa vērtības ir vienadas (), tad kur.

Piemērs.

Atrisinat vienadojumu .

6.5.7. Trigonometrisko vienadojumu parveidošana par pamatvienadojumiem

Lietojot viena argumenta formulas, redukcijas formulas, divkarša argumenta formulas un argumentu saskaitīšanas formulas, daudzus vienadojumus iespējams parveidot par pamatvienadojumiem.

Piemērs.

Atrisinat vienadojumu .

Lai doto trigonometrisko vienadojumu parveidotu par pamatvienadojumu, tiek izmantotas arī visparīgas vienadojumu risinašanas metodes - sadalīšana reizinatajos, substitūcijas metode u.c.

Piemērs.

Atrisinat vienadojumu sin2x = cosx. Izmantosim sadalīšanu reizinatajos.

Piemērs.

Atrisinat vienadojumu 2 cos²x = 3cosx + 2 Izmantosim substitūcijas metodi.

6.6. Trigonometrisko pamatnevienadību atrisinašana

Trigonometriskas pamatnevienadības sin x < a, cos x < a, tg x < a un ctg x < a (arī >, £ ³) ir atrisinamas izmantojot šadu visparīgu risinašanas shēmu:

Aplūkosim šo shēmu vairakos piemēros:

Piemērs

1.solis a vērtības atlikšana

2.solis Atbilstošo vērtību atzīmēšana uz ass

3.solis Atbilstoša loka iezīmēšama

4.solis Galapunktu noteikšana

5.solis Atbilstoša intervala nolasīšana

1.solis Sinusa funkcijai atbilst y ass , uz tas atliek

2.solis , tapēc uz y ass atzīmē vērtības lielakas neka

3.solis Iezīmē loku, kura leņķiem atbilst sinusa vērtības iekrasotaja y ass daļa.

4.solis Loka sakumpunktam A atbilst vērtība , bet galapunktam B atbilst vērtība

5.solis

1.solis Kosinusa funkcijai atbilst x ass, uz tas atliek

2.solis , tapēc uz x ass atzīmē vērtības mazakas neka.

3.solis Iezīmē loku, kura leņķiem atbilst kosinusa vērtības iekrasotaja x ass daļa

4.solis Loka sakumpunktam A atbilst vērtība , bet galapunktam B atbilst vērtība  .

5.solis

1.solis Tangensa funkcijai atbilst tangensu ass, uz tas atliek 1

2.solis , tapēc uz ass atzīmē vērtības lielakas par 1

3.solis Iezīmē 2 lokus, kuru leņķiem atbilst tangensa vērtības iekrasotaja ass daļa

4.solis Loka sakumpunktam A atbilst vērtība ,  bet galapunktam B atbilst vērtība . Otrs loks atšķiras no pirma par periodu p, tapēc ta galapunkti papildus nav janosaka.

5.solis Atceries! Punktos tangensa funkcija nav definēta, tapēc šos punktus nevar ietvert atrisinajuma.

1.solis Kotangensa funkcijai atbilst kotangensu ass, uz tas atliek 0.

2.solis , tapēc uz ass atzīmē vērtības mazakas par 0.

3.solis Iezīmē 2 lokus, kuru leņķiem atbilst kotangensa vērtības iekrasotaja ass daļa

4.solis Loka sakumpunktam A atbilst vērtība ,  bet galapunktam B vērtība p. Nakamais loks atšķiras no pirma par periodu p, tapēc ta galapunkti papildus nav janosaka.

5.solis xI p pn p pn) nIZ Atceries! Punktos kotangensa funkcija nav definēta, tapēc šos punktus nevar ietvert atrisinajuma.

Saturs saitei specialas tabulas

Šeit vajadzētu ielikt tabulas fragmentus ar sin un tg vērtībam. Blakus 1. tabulai saite sin α=0.821. Uzklikšķinot uz šīs saites, tabula iezīmējas 0,821 un tai atbilstoša leņķa α vērtība. Blakus otrajai tabulai saite tgα=-2,4. Uzklikšķinot uz šīs saites, tabula iezīmējas -2,4 un tai atbilstoša leņķa α vērtība.

Saturs saitei kalkulatora palīdzību

Ir redzams interaktīvs kalkulators. Taja īpaši izceltas ciklometrisko funkciju pogas. Blakus tam teksts

Zinams, ka cosα=-0,4. Janosaka leņķa α vērtība.

1.solis

2.solis

Uzklikšķinot saiti 1.solis, paradas teksts:

Ievadiet skaitli -0,4

Skolēnam javar kalkulatora to ierakstīt

Uzklikšķinot saiti 2.solis, paradas teksts:

Nospiediet atbilstošo ciklometrisko funkciju – arccos (vai cos^-1).

Pēc tam, kad skolēns to izdarījis kalkulatora monitora redzama leņķa vērtība.

Saturs saitei inversas funkcijas

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei ļauj aprēķinat leņķi, ja zinama kadas ta trigonometriskas funkcijas vērtība.

Piemēram, ja zinams, ka sinα=0,4, tad arcsin0,4 ļauj aprēķinat leņķa α vērtību.

arcsin0,4≈23,58

Ja zinams, ka tg α=-2,6, tad artg(-2,6) ļauj aprēķinat leņķa α vērtību.

arctg(-2,4) ≈-67,38⁰

Saturs saitei iegūstami, izmantojot vienības riņķi.

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei izmantojot vienības riņķi..

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei iegūstami, izmantojot vienības riņķi.

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei sinusa vērtības ir vienadas

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei kosinusa vērtības ir vienadas

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei tangensa un kotangensa vērtības ir vienadas

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei viena argumenta formulas

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei redukcijas formulas

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei divkarša argumenta formulas

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei saskaitīšanas formulas

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei sadalīšana reizinatajos

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei substitūcijas metode

Uzklikšķinot jabūt linkam uz vietu materiala, kur par to ir runats.

Saturs saitei tangensu ass

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei kotangensu ass

Uzklikšķinot uz saites redzams šads zīmējums un teksts blakus tam:

Saturs saitei 1.solis

Uzklikšķinot uz tas zīmējuma uz y ass paradas ½

Saturs saitei 2.solis

Uzklikšķinot uz tas zīmējuma uz y ass paradas iezīmējas stars uz augšu no ½ un caur ½ novelkas x asij paralēla līnija(var būt partraukta).

Saturs saitei 3.solis

Uzklikšķinot uz tas uz vienības riņķa iekrasojas atbilstošais fragments.

Saturs saitei 4.solis

Uzklikšķinot uz tas uz blakus vienība riņķim paradas bultiņa, kas norada pret pulksteņa radītaja virzienu. Iezīmējas loka sakumpunkts ar burtu A un blakus tam arcsin1/2=p/6, iezīmējas loka galapunkts ar burtu B un blakus tam p-arcsin1/2=5p

Saturs saitei 5.solis

Uzklikšķinot uz tas blakus riņķim paradas atbilde xI p pn, 5p pn) nIZ.

Tieši tada pati shēma attiecinama uz visam saitēm nakamajos 3 piemēros.

Saturs saitei sin²α + cos² α = 1

Trijstūris AOB ir taisnleņķa. Ta katešu garumi ir vienadi ar AB = sin a un OB = cos α, bet hipotenūzas AO garums ir 1 (vienības riņķa līnijas radiuss). Pēc Pitagora teorēmas

sin²α + cos² α = 1.

Saturs saitei tg α=sin α/cos α

Trijstūris AOB ir taisnleņķa. Ta katešu garumi ir vienadi ar AB = sin a un OB = cos α, bet hipotenūzas AO garums ir 1 (vienības riņķa līnijas radiuss).

Saturs saitei : ctg α= cos α/ sin α

Trijstūris AOB ir taisnleņķa. Ta katešu garumi ir vienadi ar AB = sin a un OB = cos α, bet hipotenūzas AO garums ir 1 (vienības riņķa līnijas radiuss).

Saturs saitei : tg α ctg α=1.

Saturs saitei : parveidojumus trigonometriskajas izteiksmēs

Vienkaršot izteiksmi (sin²2x + cos²2x + tg²3x)   sin²3x.

Saturs saitei aprēķinat citas trigonometriskas funkcijas vērtības

Piemēram, ja zinama sin α vērtība, parējo trigonometrisko funkciju vērtības var aprēķinat šadi:

Saturs saitei sin2α = 2sinα cosα

Izmantojot formulu sin (α+b sinα cosb + cosα sinb, iegūsim

sin2α = sin (α+α) = sinα cosα +cosα sinα = 2 sinα cosα

Saturs saitei cos2α = cos²α - sin²α

Izmantojot formulu cos (α+b) = cosα cosb - sinα sinb, iegūsim

cos2α = cos (α+α) = cosα cosα – sinα sinα = cos²α - sin²α

Saturs saitei cos2α =1-2sin²α

Izmantojot formulu sin²α + cos² α = 1 un no tas izrietošщ sakarību sin²α = 1 - cos² α, iegūsim

cos2α = cos² α - sin² α = cos² α - (1 - cos² α) = cos² α – 1 + cos² α = 2cos2 α - 1

Saturs saitei cos2α = 2cos²α -1

Izmantojot formulu sin²α + cos²α = 1 un no tas izrietoši sakarību cos²α = 1 - sin²α, iegūsim

cos2α = cos²α - sin²α = (1 - sin²α) - sin²α = 1 - sin²α - sin²α = 1 - 2sin2α

Saturs saitei tg2α=2tgα/1-tg²α,

Izmantojot formulu , iegūsim

tg2α = =2 tgα/1-tg2α