Varbûtîbu teorijas elementi

Varbûtîbu teorijas elementi

4.1.Gadîjuma mçìinajumu iznakumu kopa un gadîjuma notikumi

4.2. Darbîbas ar notikumiem

4.3. Varbûtîbas jçdziens, varbûtîbas aprçíinašanas metodes

4.4. Notikumu summas varbûtîba

4.5. Neatkarîgu notikumu reizinajuma varbûtîba

4.1. Gadîjuma mçìinajumu iznakumu kopa un gadîjuma notikumi

Ïoti daudzu procesu un paradîbu iznakumu nevar iepriekš precîzi paredzçt. Piemçram, nevar precîzi paredzçt, kads laiks bûs parît – makoòains vai saulains. Mçìinajumus vai eksperimentus, kurus izpildot vienados apstakïos, var iegût dažadus rezultatus, sauc par gadîjuma mçìinajumiem. Vienkaršakais gadîjuma mçìinajums ir monçtas mešana. Šaja gadîjuma var droši apgalvot, ka monçta nepaliks lidinamies gaisa, bet nokritîs zemç. Taèu nevar precîzi paredzçt, vai augšup bûs pavçrsts ìerbonis vai cipars.

Gadîjuma mçìinajumu piemçri: spçïu karts vilkšana no pilna karšu komplekta, šautriòu mešana mçríî, skaitïu minçšana Latloto loterija, balvas izloze, spçïu kauliòa mešana.

Par gadîjuma mçìinajuma iznakumu kopu sauc kopu, kuras elementi ir tieši visi iespçjamie gadîjuma mçìinajuma rezultati un tikai šie iznakumi.

Aplûkosim tikai gadîjuma mçìinajumus, kuriem iznakumu kopa ir galîga.

Piemçri.

Gadîjuma mçìinajuma „met spçïu kauliòu vienu reizi” iznakumu kopa ir .

Gadîjuma mçìinajuma – 2 dalîbnieku spçles „akmens, šíçres, papîrîts” iznakumu kopa ir  .

Gadîjuma mçìinajuma „monçtas mešana” iznakumu kopa ir .

Gadîjuma mçìinajuma „velk lozi” no urnas, kura ir 3 tukšas un 1 pilna loze, iznakumu kopa ir .

Piemçri

Par gadîjuma notikumu sauc jebkuru gadîjuma mçìinajuma iznakumu kopas apakškopu..

Piemçrs.

Ja griež zîmçjuma redzamo ratu, tad

notikumam „uzgriezt para skaitli” labvçlîgo iznakumu kopa ir ;

notikumam „uzgriezt dzeltenas krasas sektoru” labvçlîgo iznakumu kopa ir ;

notikumam „uzgriezt nepara skaitli zaïas krasas sektora” labvçlîgo iznakumu kopa ir Ø.

notikumam „uzgriezt vismaz 3 punktus” labvçlîgo iznakumu kopa ir .

IT_11_04_01

Piemçri

Par neiespçjamu notikumu sauc notikumu, kas nevar realizçties neviena mçìinajuma.

Piemçrs

Ja griežot zîmçjuma redzamo ratu, notikums „viena grieziena uzgriezt 10 punktus” ir neiespçjams notikums.

Piemçri

Par drošu notikumu sauc notikumu, kurš neizbçgami realizçjas katra mçìinajuma.

Piemçrs

Ja griežot zîmçjuma redzamo ratu, tad notikums „uzgriezt vismaz 1 punktu” ir drošs notikums, jo tas îstenojas katra mçìinajuma.

Piemçri

Divus notikumus sauc par nesavienojamiem notikumiem, ja abi notikumi nevar realizçties (îstenoties) vienlaikus.

Piemçrs

Notikums A „uzgriezt zaïo sektoru” un notikums B „uzgriezt nepara skaitli” ir nesavienojami, jo nav iespçjama tie abi nevar realizçties vienlaikus.

Notikums A „uzgriezt zaïo sektoru” un notikums C „uzgriezt ne vairak ka 2 punktus” ir savienojami, jo, uzgriežot sektoru vienlaikus realizçsies abi notikumi.

IT_11_04_01

Divus notikumus sauc par neatkarîgiem, ja viena notikuma îstenošanas neietekmç otra notikuma îstenošanos. Pretçja gadîjuma notikumus sauc par atkarîgiem notikumiem.

Piemçrs

Ja urna ir 1 biïete uz kino un 4 tukšas lozes, tad notikumi „pirmais spçlçtajs izvelk pilno lozi” un „otrais spçlçtajs izvelk pilno lozi” ir atkarîgi, jo pirma notikuma iestašanas ietekmç otra notikuma iestašanos.

Piemçri

4.2. Darbîbas ar notikumiem

Par divu notikumu A un B summu jeb apvienojumu sauc notikumu, kurš realizçjas tad un tikai tad, ja iestajas vismaz viens no notikumiem A un B. To apzîmç: AÈB vai A+B.

Piemçrs

Ja notikums A „uzgriezt zaïo sektoru” (A = ), notikums B „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaïš4, dzeltens5; zaïš6}), tad notikums

AÈB=

Piemçri

Notikumu summu var attçlot ar Eilera-Venna diagrammu.

IT_11_04_01

Par divu notikumu A un B šíçlumu jeb reizinajumu sauc notikumu, kurš realizçjas tikai tad, ja realizçjas gan notikums A, gan notikums B. To apzîmç: ar A B vai A B.

Piemçrs

Ja notikums A „uzgriezt zaïo sektoru” (A = ) un notikums B ir „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaïš4, dzeltens5; zaïš6}), tad notikums A B realizçjas tikai tad, ja realizçjas notikums gan notikums A (uzgriezts zaïais sektors), gan notikums B (uzgriezti vismaz 4 punkti).

A B =.

Piemçri

Notikumu šíçlumu var attçlot ar Eilera-Venna diagrammu.

Par notikumu A un B starpîbu sauc notikumu, kurš realizçjas tikai tad, ja ir iestajies notikums A, bet nav iestajies notikums B. To apzîmç AB.

Piemçrs

Ja notikums A ir „uzgriezt zaïo sektoru” (A = ) un notikums B ir „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaïš4, dzeltens5; zaïš6}), tad notikums AB realizçjas tad, ja ir uzgriezts zaïš sektors, bet nav uzgriezti vismaz 4 punkti. Tatad

AB=.

Jaievçro, ka . Aplûkotaja piemçra iestajas tad, ja ir realizçjies notikums B – tatad ir uzgriezti vismaz 4 punkti, bet nav realizçjies notikums A – uzgriezts zaïš sektors. Tatad

BA=.

Piemçri

Notikumu starpîbu var attçlot ar Eilera-Venna diagrammu.

Par notikuma pretçjo notikumu sauc notikumu, kurš realizçjas tikai tad, ja notikums A nerealizçjas. To apzîmç ar .

Piemçrs

Ja notikums A ir „uzgriezt zaïo sektoru”, tad iestajas tad, kad zaïo sektoru neuzgriež, tatad tiek uzgriezts dzeltens sektors. Tapçc

Savukart notikuma B „uzgriezt vismaz 4 punktus” pretçjais notikums „uzgriezt mazak neka 4 punktus” iestajas tikai tad, ja uzgriež mazak neka 4 punktus.

Piemçri

4.3. Varbûtîbas jçdziens, varbûtîbas aprçíinašanas metodes

Par notikuma varbûtîbu sauc skaitli, kas raksturo šî notikuma realizçšanas iespçju.

Notikuma A varbûtîbu apzîmç ar P(A), turklat 0 £ P(A) £

Ja visi gadîjuma mçìinajuma iznakumi ir vienadi iespçjami un , tad jebkura notikuma varbûtîbu var aprçíinat šadi:

Piemçrs

P(uzgriezt zaïo sektoru) = , jo šim notikumam labvçlîgi ir 3 iznakumi, bet pavisam iespçjami 6 dažadi iznakumi.

Piemçri

Ja gadîjuma mçìinajumu iznakumu kopu un notikumu kopas ir iespçjams attçlot ar ìeometriskam figûram, tad, aprçíinot notikuma varbûtîba, var izmantot varbûtîbas ìeometrisko aprçíinašanas metodi.

Piemçrs

Zîmçjuma redzamaja mçríî tiek mesta šautriòa (mçría maza riòía radiuss ir 1, bet liela riòía radiuss 2). Nepieciešams aprçíinat varbûtîbu notikumam A „šautriòa trapa sarkanaja sektora”.

Skaidrs, ka šaja gadîjuma nav iespçjams saskaitît visus iespçjamos labvçlîgos iznakumus, taèu ir iespçjams aprçíinat notikumam A atbilstošas figûras laukumu.

S(sarkanajam figûram)  .

IT_11_04_02

S(visai figûrai) = 2² p p

(vai nevajag izkrasot vidu zaïa krasa?)

Tatad

4.4. Varbûtîbu saskaitîšanas teorçma

Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar realizçties vienlaikus) tad notikuma AÈB varbûtîba vienada ar atsevišío notikumu A un B varbûtîbu summu.

P(AÈB)=P(A)+P(B)

Piemçrs

Urna ir 5 kino biïetes, 3 biïetes uz sporta sacensîbam un 12 tukšas lozes. Noteikt varbûtîbu, ka no urnas izvilkta loze ir pilna..

Šis notikums „izvilkta loze ir pilna” ir divu nesavienojamu notikumu A – „izvilkt kino biïeti” un B – „izvilkt biïeti uz sporta sacensîbam” apvienojums, jo A un B nevar îstenoties vienlaikus. Tapçc .

Ja notikumi A un B ir savienojami notikumi, tad P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(A B)

Piemçrs

No klases 30 skolçniem 12 skolçni nodarbojas sporta sekcija, 8 skolçni –makslinieciskas pašdarbîbas pulciòos, bet 6 skolçni nodarbojas gan ar sportu, gan makslinieciskaja pašdarbîba. Apçíinat varbûtîbu, ka nejauši izvçlçts klases skolçns nodarbojas vai nu ar sportu, vai maksliniecisko pašdarbîbu.

Apskatîsim notikumu A „skolçns piedalas sporta sekcija” un notikumu B „skolçns piedalas makslinieciskas pašdarbîbas kolektîva”. Abi šie notikumi ir savienojami, jo var izradîties, ka nejauši izvçlçts skolçns gan nodarbojas ar sportu, gan piedalas makslinieciskaja pašdarbîba.

Ta ka ,

tad P(AÈB)=P(A)+P(B)–P(A B) .

4.5. Neatkarîgu notikumu reizinajuma varbûtîba

Notikuma A nosacîto varbûtîbu, ja B ir realizçjies, apzîmç un sauc par notikuma A nosacîto varbûtîbu ar nosacîjumu, ka B ir realizçjies.

Piemçrs.

Aplûko šadu gadîjuma mçìinajumu: urna ir 3 zaïas un 2 sarkanas bumbiòas. Vienu pçc otras divas bumbiòas tiek izòemtas no urnas.

Aplûko šadus notikumus:

B – „pirma bumbiòa ir zaïa”, A – „otra bumbiòa ir sarkana”.

Aprçíinam varbûtîbu:

; .

Aprçíinasim notikuma A nosacîto varbûtîbu, ja notikums B ir realizçjies: (Kad izòemta viena zaïa bumbiòa, urna ir atlikušas 2 zaïas un 2 sarkanas bumbiòas).

Savukart, notikuma A nosacîta varbûtîba, ja notikums B nav realizçjies: .

Tatad notikuma A varbûtîba ir atkarîga no notikuma B realizçšanas vai nerealizçšanas.

Notikumu A sauc par neatkarîgu no notikuma B, ja , kur . Pretçja gadîjuma notikumu A sauc par atkarîgu no B.

Varbûtîbu reizinašanas teorçma: jebkuriem diviem notikumiem A un B, kur B nav neiespçjams notikums, ir pareiza vienadîba .

Ja notikumi A un B ir neatkarîgi, tad šo notikumu reizinajuma varbûtîba ir vienada ar šo notikumu varbûtîbu reizinajumu, tatad. .

Atkarîgu notikumu piemçri:

• Spçïu kauliòu met divas reizes. Notikums A „pirmaja mçìinajuma pirmo reizi uzmet 2 punktus” un notikums B „otraja mçìinajuma pirmo reizi uzmet 2 punktus”. Ja îstenosies pirmais, otrais bûs neiespçjams notikums.
• Ja tiek griezts laimes rats, kura viena sektora minçts automašînas laimests, bet parçjos naudas laimesti, tad notikumi A „Janis vinnç mašînu” un B „Anna vinnç mašînu” nav neatkarîgi, jo viena notikuma îstenošanas ietekmç otra notikuma îstenošanos.

Saturs saitçm

Saturs saitei Piemçri

Uzklikšíinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemçri

Uzklikšíinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemçri

Uzklikšíinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemçri

Uzklikšíinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemçri

Saturs saitei Piemçri (pie notikumu apvienojuma)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšíinot paradas animacija

IT_11_04_03

Saturs saitei Piemçri (pie notikumu šíçluma)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšíinot paradas animacija

IT_11_04_04

Saturs saitei Piemçri (pie notikumu starpîbas)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšíinot paradas animacija

IT_11_04_05

Saturs saitei Piemçri (pie pretçja notikuma)

Saturs saitei Piemçri (pie varbûtîbas aprçíinašanas)

Spçïu kauliòu met divas reizes un aprçíina iegûto punktu summu. Kada varbûtîba uzmest summa vismaz 10 punktus?

Ja met spçïu kauliòu divas reizes, visu iepçjamo iznakumu kopas elementu skaits ir 36.

Labvçlîgi no tiem ir pari (6;6), (6;5), (5;6), (6;4), (4;6) un (5;5) – tatad ir 6 labvçlîgi iznakumi.

P(uzmest vismaz 10 punktus) .

Urna ir 3 pilnas lozes un 7 tukšas lozes. Ar vienu paòçmienu tiek izvilktas 2 lozes. Kada varbûtîba, ka abas izvilktas lozes ir pilnas?

Iespçjamajam izvilkto paru skaitam atbilst (izvelk 2 lozes no 10), bet notikumam labvçlîgo iznakumu skaits ir atbilst (izvelkt2 lozes no trim laimîgajam).

P(izvilkt 2 pilnas lozes) =