Varbūtību teorijas elementi

Varbūtību teorijas elementi

4.1.Gadījuma mēģinajumu iznakumu kopa un gadījuma notikumi

4.2. Darbības ar notikumiem

4.3. Varbūtības jēdziens, varbūtības aprēķinašanas metodes

4.4. Notikumu summas varbūtība

4.5. Neatkarīgu notikumu reizinajuma varbūtība

4.1. Gadījuma mēģinajumu iznakumu kopa un gadījuma notikumi

Ļoti daudzu procesu un paradību iznakumu nevar iepriekš precīzi paredzēt. Piemēram, nevar precīzi paredzēt, kads laiks būs parīt – makoņains vai saulains. Mēģinajumus vai eksperimentus, kurus izpildot vienados apstakļos, var iegūt dažadus rezultatus, sauc par gadījuma mēģinajumiem. Vienkaršakais gadījuma mēģinajums ir monētas mešana. Šaja gadījuma var droši apgalvot, ka monēta nepaliks lidinamies gaisa, bet nokritīs zemē. Taču nevar precīzi paredzēt, vai augšup būs pavērsts ģerbonis vai cipars.

Gadījuma mēģinajumu piemēri: spēļu karts vilkšana no pilna karšu komplekta, šautriņu mešana mērķī, skaitļu minēšana Latloto loterija, balvas izloze, spēļu kauliņa mešana.

Par gadījuma mēģinajuma iznakumu kopu sauc kopu, kuras elementi ir tieši visi iespējamie gadījuma mēģinajuma rezultati un tikai šie iznakumi.

Aplūkosim tikai gadījuma mēģinajumus, kuriem iznakumu kopa ir galīga.

Piemēri.

Gadījuma mēģinajuma „met spēļu kauliņu vienu reizi” iznakumu kopa ir .

Gadījuma mēģinajuma – 2 dalībnieku spēles „akmens, šķēres, papīrīts” iznakumu kopa ir  .

Gadījuma mēģinajuma „monētas mešana” iznakumu kopa ir .

Gadījuma mēģinajuma „velk lozi” no urnas, kura ir 3 tukšas un 1 pilna loze, iznakumu kopa ir .

Piemēri

Par gadījuma notikumu sauc jebkuru gadījuma mēģinajuma iznakumu kopas apakškopu..

Piemērs.

Ja griež zīmējuma redzamo ratu, tad

notikumam „uzgriezt para skaitli” labvēlīgo iznakumu kopa ir ;

notikumam „uzgriezt dzeltenas krasas sektoru” labvēlīgo iznakumu kopa ir ;

notikumam „uzgriezt nepara skaitli zaļas krasas sektora” labvēlīgo iznakumu kopa ir Ø.

notikumam „uzgriezt vismaz 3 punktus” labvēlīgo iznakumu kopa ir .

IT_11_04_01

Piemēri

Par neiespējamu notikumu sauc notikumu, kas nevar realizēties neviena mēģinajuma.

Piemērs

Ja griežot zīmējuma redzamo ratu, notikums „viena grieziena uzgriezt 10 punktus” ir neiespējams notikums.

Piemēri

Par drošu notikumu sauc notikumu, kurš neizbēgami realizējas katra mēģinajuma.

Piemērs

Ja griežot zīmējuma redzamo ratu, tad notikums „uzgriezt vismaz 1 punktu” ir drošs notikums, jo tas īstenojas katra mēģinajuma.

Piemēri

Divus notikumus sauc par nesavienojamiem notikumiem, ja abi notikumi nevar realizēties (īstenoties) vienlaikus.

Piemērs

Notikums A „uzgriezt zaļo sektoru” un notikums B „uzgriezt nepara skaitli” ir nesavienojami, jo nav iespējama tie abi nevar realizēties vienlaikus.

Notikums A „uzgriezt zaļo sektoru” un notikums C „uzgriezt ne vairak ka 2 punktus” ir savienojami, jo, uzgriežot sektoru vienlaikus realizēsies abi notikumi.

IT_11_04_01

Divus notikumus sauc par neatkarīgiem, ja viena notikuma īstenošanas neietekmē otra notikuma īstenošanos. Pretēja gadījuma notikumus sauc par atkarīgiem notikumiem.

Piemērs

Ja urna ir 1 biļete uz kino un 4 tukšas lozes, tad notikumi „pirmais spēlētajs izvelk pilno lozi” un „otrais spēlētajs izvelk pilno lozi” ir atkarīgi, jo pirma notikuma iestašanas ietekmē otra notikuma iestašanos.

Piemēri

4.2. Darbības ar notikumiem

Par divu notikumu A un B summu jeb apvienojumu sauc notikumu, kurš realizējas tad un tikai tad, ja iestajas vismaz viens no notikumiem A un B. To apzīmē: AÈB vai A+B.

Piemērs

Ja notikums A „uzgriezt zaļo sektoru” (A = ), notikums B „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaļš4, dzeltens5; zaļš6}), tad notikums

AÈB=

Piemēri

Notikumu summu var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.

IT_11_04_01

Par divu notikumu A un B šķēlumu jeb reizinajumu sauc notikumu, kurš realizējas tikai tad, ja realizējas gan notikums A, gan notikums B. To apzīmē: ar A B vai A B.

Piemērs

Ja notikums A „uzgriezt zaļo sektoru” (A = ) un notikums B ir „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaļš4, dzeltens5; zaļš6}), tad notikums A B realizējas tikai tad, ja realizējas notikums gan notikums A (uzgriezts zaļais sektors), gan notikums B (uzgriezti vismaz 4 punkti).

A B =.

Piemēri

Notikumu šķēlumu var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.

Par notikumu A un B starpību sauc notikumu, kurš realizējas tikai tad, ja ir iestajies notikums A, bet nav iestajies notikums B. To apzīmē AB.

Piemērs

Ja notikums A ir „uzgriezt zaļo sektoru” (A = ) un notikums B ir „uzgriezt vismaz 4 punktus” (B = (zaļš4, dzeltens5; zaļš6}), tad notikums AB realizējas tad, ja ir uzgriezts zaļš sektors, bet nav uzgriezti vismaz 4 punkti. Tatad

AB=.

Jaievēro, ka . Aplūkotaja piemēra iestajas tad, ja ir realizējies notikums B – tatad ir uzgriezti vismaz 4 punkti, bet nav realizējies notikums A – uzgriezts zaļš sektors. Tatad

BA=.

Piemēri

Notikumu starpību var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.

Par notikuma pretējo notikumu sauc notikumu, kurš realizējas tikai tad, ja notikums A nerealizējas. To apzīmē ar .

Piemērs

Ja notikums A ir „uzgriezt zaļo sektoru”, tad iestajas tad, kad zaļo sektoru neuzgriež, tatad tiek uzgriezts dzeltens sektors. Tapēc

Savukart notikuma B „uzgriezt vismaz 4 punktus” pretējais notikums „uzgriezt mazak neka 4 punktus” iestajas tikai tad, ja uzgriež mazak neka 4 punktus.

Piemēri

4.3. Varbūtības jēdziens, varbūtības aprēķinašanas metodes

Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī notikuma realizēšanas iespēju.

Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A), turklat 0 £ P(A) £

Ja visi gadījuma mēģinajuma iznakumi ir vienadi iespējami un , tad jebkura notikuma varbūtību var aprēķinat šadi:

Piemērs

P(uzgriezt zaļo sektoru) = , jo šim notikumam labvēlīgi ir 3 iznakumi, bet pavisam iespējami 6 dažadi iznakumi.

Piemēri

Ja gadījuma mēģinajumu iznakumu kopu un notikumu kopas ir iespējams attēlot ar ģeometriskam figūram, tad, aprēķinot notikuma varbūtība, var izmantot varbūtības ģeometrisko aprēķinašanas metodi.

Piemērs

Zīmējuma redzamaja mērķī tiek mesta šautriņa (mērķa maza riņķa radiuss ir 1, bet liela riņķa radiuss 2). Nepieciešams aprēķinat varbūtību notikumam A „šautriņa trapa sarkanaja sektora”.

Skaidrs, ka šaja gadījuma nav iespējams saskaitīt visus iespējamos labvēlīgos iznakumus, taču ir iespējams aprēķinat notikumam A atbilstošas figūras laukumu.

S(sarkanajam figūram)  .

IT_11_04_02

S(visai figūrai) = 2² p p

(vai nevajag izkrasot vidu zaļa krasa?)

Tatad

4.4. Varbūtību saskaitīšanas teorēma

Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar realizēties vienlaikus) tad notikuma AÈB varbūtība vienada ar atsevišķo notikumu A un B varbūtību summu.

P(AÈB)=P(A)+P(B)

Piemērs

Urna ir 5 kino biļetes, 3 biļetes uz sporta sacensībam un 12 tukšas lozes. Noteikt varbūtību, ka no urnas izvilkta loze ir pilna..

Šis notikums „izvilkta loze ir pilna” ir divu nesavienojamu notikumu A – „izvilkt kino biļeti” un B – „izvilkt biļeti uz sporta sacensībam” apvienojums, jo A un B nevar īstenoties vienlaikus. Tapēc .

Ja notikumi A un B ir savienojami notikumi, tad P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(A B)

Piemērs

No klases 30 skolēniem 12 skolēni nodarbojas sporta sekcija, 8 skolēni –makslinieciskas pašdarbības pulciņos, bet 6 skolēni nodarbojas gan ar sportu, gan makslinieciskaja pašdarbība. Apēķinat varbūtību, ka nejauši izvēlēts klases skolēns nodarbojas vai nu ar sportu, vai maksliniecisko pašdarbību.

Apskatīsim notikumu A „skolēns piedalas sporta sekcija” un notikumu B „skolēns piedalas makslinieciskas pašdarbības kolektīva”. Abi šie notikumi ir savienojami, jo var izradīties, ka nejauši izvēlēts skolēns gan nodarbojas ar sportu, gan piedalas makslinieciskaja pašdarbība.

Ta ka ,

tad P(AÈB)=P(A)+P(B)–P(A B) .

4.5. Neatkarīgu notikumu reizinajuma varbūtība

Notikuma A nosacīto varbūtību, ja B ir realizējies, apzīmē un sauc par notikuma A nosacīto varbūtību ar nosacījumu, ka B ir realizējies.

Piemērs.

Aplūko šadu gadījuma mēģinajumu: urna ir 3 zaļas un 2 sarkanas bumbiņas. Vienu pēc otras divas bumbiņas tiek izņemtas no urnas.

Aplūko šadus notikumus:

B – „pirma bumbiņa ir zaļa”, A – „otra bumbiņa ir sarkana”.

Aprēķinam varbūtību:

; .

Aprēķinasim notikuma A nosacīto varbūtību, ja notikums B ir realizējies: (Kad izņemta viena zaļa bumbiņa, urna ir atlikušas 2 zaļas un 2 sarkanas bumbiņas).

Savukart, notikuma A nosacīta varbūtība, ja notikums B nav realizējies: .

Tatad notikuma A varbūtība ir atkarīga no notikuma B realizēšanas vai nerealizēšanas.

Notikumu A sauc par neatkarīgu no notikuma B, ja , kur . Pretēja gadījuma notikumu A sauc par atkarīgu no B.

Varbūtību reizinašanas teorēma: jebkuriem diviem notikumiem A un B, kur B nav neiespējams notikums, ir pareiza vienadība .

Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad šo notikumu reizinajuma varbūtība ir vienada ar šo notikumu varbūtību reizinajumu, tatad. .

Atkarīgu notikumu piemēri:

• Spēļu kauliņu met divas reizes. Notikums A „pirmaja mēģinajuma pirmo reizi uzmet 2 punktus” un notikums B „otraja mēģinajuma pirmo reizi uzmet 2 punktus”. Ja īstenosies pirmais, otrais būs neiespējams notikums.
• Ja tiek griezts laimes rats, kura viena sektora minēts automašīnas laimests, bet parējos naudas laimesti, tad notikumi A „Janis vinnē mašīnu” un B „Anna vinnē mašīnu” nav neatkarīgi, jo viena notikuma īstenošanas ietekmē otra notikuma īstenošanos.

Saturs saitēm

Saturs saitei Piemēri

Uzklikšķinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemēri

Uzklikšķinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemēri

Uzklikšķinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemēri

Uzklikšķinot uz saites, šaja paša lapa paradas tabula:

Saturs saitei Piemēri

Saturs saitei Piemēri (pie notikumu apvienojuma)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšķinot paradas animacija

IT_11_04_03

Saturs saitei Piemēri (pie notikumu šķēluma)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšķinot paradas animacija

IT_11_04_04

Saturs saitei Piemēri (pie notikumu starpības)

Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu

Uzklikšķinot paradas animacija

IT_11_04_05

Saturs saitei Piemēri (pie pretēja notikuma)

Saturs saitei Piemēri (pie varbūtības aprēķinašanas)

Spēļu kauliņu met divas reizes un aprēķina iegūto punktu summu. Kada varbūtība uzmest summa vismaz 10 punktus?

Ja met spēļu kauliņu divas reizes, visu iepējamo iznakumu kopas elementu skaits ir 36.

Labvēlīgi no tiem ir pari (6;6), (6;5), (5;6), (6;4), (4;6) un (5;5) – tatad ir 6 labvēlīgi iznakumi.

P(uzmest vismaz 10 punktus) .

Urna ir 3 pilnas lozes un 7 tukšas lozes. Ar vienu paņēmienu tiek izvilktas 2 lozes. Kada varbūtība, ka abas izvilktas lozes ir pilnas?

Iespējamajam izvilkto paru skaitam atbilst (izvelk 2 lozes no 10), bet notikumam labvēlīgo iznakumu skaits ir atbilst (izvelkt2 lozes no trim laimīgajam).

P(izvilkt 2 pilnas lozes) =