CATEGORII DOCUMENTE |
Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
Varbūtību teorijas elementi
4.1.Gadījuma mēģinajumu iznakumu kopa un gadījuma notikumi
4.2. Darbības ar notikumiem
4.3. Varbūtības jēdziens, varbūtības aprēķinaanas metodes
4.4. Notikumu summas varbūtība
4.5. Neatkarīgu notikumu reizinajuma varbūtība
4.1. Gadījuma mēģinajumu iznakumu kopa un gadījuma notikumi
Ļoti daudzu procesu un paradību iznakumu nevar iepriek precīzi paredzēt. Piemēram, nevar precīzi paredzēt, kads laiks būs parīt makoņains vai saulains. Mēģinajumus vai eksperimentus, kurus izpildot vienados apstakļos, var iegūt daadus rezultatus, sauc par gadījuma mēģinajumiem. Vienkarakais gadījuma mēģinajums ir monētas meana. aja gadījuma var droi apgalvot, ka monēta nepaliks lidinamies gaisa, bet nokritīs zemē. Taču nevar precīzi paredzēt, vai augup būs pavērsts ģerbonis vai cipars.
Gadījuma mēģinajumu piemēri: spēļu karts vilkana no pilna karu komplekta, autriņu meana mērķī, skaitļu minēana Latloto loterija, balvas izloze, spēļu kauliņa meana.
Par gadījuma mēģinajuma iznakumu kopu sauc kopu, kuras elementi ir tiei visi iespējamie gadījuma mēģinajuma rezultati un tikai ie iznakumi.
Aplūkosim tikai gadījuma mēģinajumus, kuriem iznakumu kopa ir galīga.
Piemēri.
Gadījuma mēģinajuma met spēļu kauliņu vienu reizi iznakumu kopa ir .
Gadījuma mēģinajuma 2 dalībnieku spēles akmens, ķēres, papīrīts iznakumu kopa ir .
Gadījuma mēģinajuma monētas meana iznakumu kopa ir .
Gadījuma mēģinajuma velk lozi no urnas, kura ir 3 tukas un 1 pilna loze, iznakumu kopa ir .
Piemēri
Par gadījuma notikumu sauc jebkuru gadījuma mēģinajuma iznakumu kopas apakkopu..
Piemērs.
Ja grie zīmējuma redzamo ratu, tad
notikumam uzgriezt para skaitli labvēlīgo iznakumu kopa ir ;
notikumam uzgriezt dzeltenas krasas sektoru labvēlīgo iznakumu kopa ir ;
notikumam uzgriezt nepara skaitli zaļas krasas sektora labvēlīgo iznakumu kopa ir Ø.
notikumam uzgriezt vismaz 3 punktus labvēlīgo iznakumu kopa ir .
IT_11_04_01
Piemēri
Par neiespējamu notikumu sauc notikumu, kas nevar realizēties neviena mēģinajuma.
Piemērs
Ja grieot zīmējuma redzamo ratu, notikums viena grieziena uzgriezt 10 punktus ir neiespējams notikums.
Piemēri
Par drou notikumu sauc notikumu, kur neizbēgami realizējas katra mēģinajuma.
Piemērs
Ja grieot zīmējuma redzamo ratu, tad notikums uzgriezt vismaz 1 punktu ir dros notikums, jo tas īstenojas katra mēģinajuma.
Piemēri
Divus notikumus sauc par nesavienojamiem notikumiem, ja abi notikumi nevar realizēties (īstenoties) vienlaikus.
Piemērs
Notikums A uzgriezt zaļo sektoru un notikums B uzgriezt nepara skaitli ir nesavienojami, jo nav iespējama tie abi nevar realizēties vienlaikus.
Notikums A uzgriezt zaļo sektoru un notikums C uzgriezt ne vairak ka 2 punktus ir savienojami, jo, uzgrieot sektoru vienlaikus realizēsies abi notikumi.
IT_11_04_01
Divus notikumus sauc par neatkarīgiem, ja viena notikuma īstenoanas neietekmē otra notikuma īstenoanos. Pretēja gadījuma notikumus sauc par atkarīgiem notikumiem.
Piemērs
Ja urna ir 1 biļete uz kino un 4 tukas lozes, tad notikumi pirmais spēlētajs izvelk pilno lozi un otrais spēlētajs izvelk pilno lozi ir atkarīgi, jo pirma notikuma iestaanas ietekmē otra notikuma iestaanos.
Piemēri
4.2. Darbības ar notikumiem
Par divu notikumu A un B summu jeb apvienojumu sauc notikumu, kur realizējas tad un tikai tad, ja iestajas vismaz viens no notikumiem A un B. To apzīmē: AÈB vai A+B.
Piemērs
Ja notikums A uzgriezt zaļo sektoru (A = ), notikums B uzgriezt vismaz 4 punktus (B = (zaļ4, dzeltens5; zaļ6}), tad notikums
AÈB=
Piemēri
Notikumu summu var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.
IT_11_04_01
Par divu notikumu A un B ķēlumu jeb reizinajumu sauc notikumu, kur realizējas tikai tad, ja realizējas gan notikums A, gan notikums B. To apzīmē: ar A B vai A B.
Piemērs
Ja notikums A uzgriezt zaļo sektoru (A = ) un notikums B ir uzgriezt vismaz 4 punktus (B = (zaļ4, dzeltens5; zaļ6}), tad notikums A B realizējas tikai tad, ja realizējas notikums gan notikums A (uzgriezts zaļais sektors), gan notikums B (uzgriezti vismaz 4 punkti).
A B =.
Piemēri
Notikumu ķēlumu var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.
Par notikumu A un B starpību sauc notikumu, kur realizējas tikai tad, ja ir iestajies notikums A, bet nav iestajies notikums B. To apzīmē AB.
Piemērs
Ja notikums A ir uzgriezt zaļo sektoru (A = ) un notikums B ir uzgriezt vismaz 4 punktus (B = (zaļ4, dzeltens5; zaļ6}), tad notikums AB realizējas tad, ja ir uzgriezts zaļ sektors, bet nav uzgriezti vismaz 4 punkti. Tatad
AB=.
Jaievēro, ka . Aplūkotaja piemēra iestajas tad, ja ir realizējies notikums B tatad ir uzgriezti vismaz 4 punkti, bet nav realizējies notikums A uzgriezts zaļ sektors. Tatad
BA=.
Piemēri
Notikumu starpību var attēlot ar Eilera-Venna diagrammu.
Par notikuma pretējo notikumu sauc notikumu, kur realizējas tikai tad, ja notikums A nerealizējas. To apzīmē ar .
Piemērs
Ja notikums A ir uzgriezt zaļo sektoru, tad iestajas tad, kad zaļo sektoru neuzgrie, tatad tiek uzgriezts dzeltens sektors. Tapēc
Savukart notikuma B uzgriezt vismaz 4 punktus pretējais notikums uzgriezt mazak neka 4 punktus iestajas tikai tad, ja uzgrie mazak neka 4 punktus.
Piemēri
4.3. Varbūtības jēdziens, varbūtības aprēķinaanas metodes
Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo ī notikuma realizēanas iespēju.
Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A), turklat 0 £ P(A) £
Ja visi gadījuma mēģinajuma iznakumi ir vienadi iespējami un , tad jebkura notikuma varbūtību var aprēķinat adi:
P(A) = |
Notikumam A labvēlīgo iznakumu skaits |
Visu iespējamo iznakumu skaits |
Piemērs
P(uzgriezt zaļo sektoru) = , jo im notikumam labvēlīgi ir 3 iznakumi, bet pavisam iespējami 6 daadi iznakumi.
Piemēri
Ja gadījuma mēģinajumu iznakumu kopu un notikumu kopas ir iespējams attēlot ar ģeometriskam figūram, tad, aprēķinot notikuma varbūtība, var izmantot varbūtības ģeometrisko aprēķinaanas metodi.
P(A) = |
Notikumam A atbilstoas figūras laukums |
Visai notikumu kopai atbilstoas figūras laukums |
Piemērs
Zīmējuma redzamaja mērķī tiek mesta autriņa (mērķa maza riņķa radiuss ir 1, bet liela riņķa radiuss 2). Nepiecieams aprēķinat varbūtību notikumam A autriņa trapa sarkanaja sektora.
Skaidrs, ka aja gadījuma nav iespējams saskaitīt visus iespējamos labvēlīgos iznakumus, taču ir iespējams aprēķinat notikumam A atbilstoas figūras laukumu.
S(sarkanajam figūram) .
IT_11_04_02
S(visai figūrai) = 22 p p
(vai nevajag izkrasot vidu zaļa krasa?)
Tatad
P(trapīt sarkanaja sektora) = |
S(sarkanajam figūram) |
|
S(visai figūrai) |
4.4. Varbūtību saskaitīanas teorēma
Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar realizēties vienlaikus) tad notikuma AÈB varbūtība vienada ar atseviķo notikumu A un B varbūtību summu.
P(AÈB)=P(A)+P(B)
Piemērs
Urna ir 5 kino biļetes, 3 biļetes uz sporta sacensībam un 12 tukas lozes. Noteikt varbūtību, ka no urnas izvilkta loze ir pilna..
is notikums izvilkta loze ir pilna ir divu nesavienojamu notikumu A izvilkt kino biļeti un B izvilkt biļeti uz sporta sacensībam apvienojums, jo A un B nevar īstenoties vienlaikus. Tapēc .
Ja notikumi A un B ir savienojami notikumi, tad P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(A B)
Piemērs
No klases 30 skolēniem 12 skolēni nodarbojas sporta sekcija, 8 skolēni makslinieciskas padarbības pulciņos, bet 6 skolēni nodarbojas gan ar sportu, gan makslinieciskaja padarbība. Apēķinat varbūtību, ka nejaui izvēlēts klases skolēns nodarbojas vai nu ar sportu, vai maksliniecisko padarbību.
Apskatīsim notikumu A skolēns piedalas sporta sekcija un notikumu B skolēns piedalas makslinieciskas padarbības kolektīva. Abi ie notikumi ir savienojami, jo var izradīties, ka nejaui izvēlēts skolēns gan nodarbojas ar sportu, gan piedalas makslinieciskaja padarbība.
Ta ka ,
tad P(AÈB)=P(A)+P(B)P(A B) .
4.5. Neatkarīgu notikumu reizinajuma varbūtība
Notikuma A nosacīto varbūtību, ja B ir realizējies, apzīmē un sauc par notikuma A nosacīto varbūtību ar nosacījumu, ka B ir realizējies.
Piemērs.
Aplūko adu gadījuma mēģinajumu: urna ir 3 zaļas un 2 sarkanas bumbiņas. Vienu pēc otras divas bumbiņas tiek izņemtas no urnas.
Aplūko adus notikumus:
B pirma bumbiņa ir zaļa, A otra bumbiņa ir sarkana.
Aprēķinam varbūtību:
; .
Aprēķinasim notikuma A nosacīto varbūtību, ja notikums B ir realizējies: (Kad izņemta viena zaļa bumbiņa, urna ir atlikuas 2 zaļas un 2 sarkanas bumbiņas).
Savukart, notikuma A nosacīta varbūtība, ja notikums B nav realizējies: .
Tatad notikuma A varbūtība ir atkarīga no notikuma B realizēanas vai nerealizēanas.
Notikumu A sauc par neatkarīgu no notikuma B, ja , kur . Pretēja gadījuma notikumu A sauc par atkarīgu no B.
Varbūtību reizinaanas teorēma: jebkuriem diviem notikumiem A un B, kur B nav neiespējams notikums, ir pareiza vienadība .
Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad o notikumu reizinajuma varbūtība ir vienada ar o notikumu varbūtību reizinajumu, tatad. .
Atkarīgu notikumu piemēri:
Saturs saitēm
Saturs saitei Piemēri
Uzklikķinot uz saites, aja paa lapa paradas tabula:
Gadījuma mēģinajums |
Iznakumu kopa |
Met spēļu kauliņu 1 reizi | |
Met spēļu kauliņu 2 reizes |
|
Velk bumbiņu no urnas, kura ir trīs baltas bumbiņas ar cipariem 2, 4, 6 un piecas zilas bumbiņas ar cipariem 1, 2, 3, 4, 5. |
Saturs saitei Piemēri
Uzklikķinot uz saites, aja paa lapa paradas tabula:
Gadījuma mēģinajums |
Iznakumu kopa |
Piemēri gadījuma notikumiem |
Met spēļu kauliņu 1 reizi |
(Uzmests 1) (Uzmests para skaitlis) (Uzmesti vismaz 4 punkti) |
|
Met spēļu kauliņu 2 reizes |
|
(Uzmest summa tiei 10 punktus) (Uzmest abus para ciparus) (Uzmest summa vismaz 12 punktus) |
Velk bumbiņu no urnas, kura ir 3 baltas bumbiņas ar cipariem 2,4,6 un 5 zilas bumbiņas ar cipariem 1, 2, 3, 4, 5. |
(Izvilkta zila bumbiņa) (Izvilkta balta bumbiņa ar para ciparu) (izvilkts nepara skaitlis |
Saturs saitei Piemēri
Uzklikķinot uz saites, aja paa lapa paradas tabula:
Gadījuma mēģinajums |
Iznakumu kopa |
Dros notikums |
Met spēļu kauliņu 1 reizi |
(Uzmests vismaz 1 punkts) |
|
Met spēļu kauliņu 2 reizes |
|
Uzmet vismaz 2 punktus. |
Velk bumbiņu no urnas, kura ir trīs baltas bumbiņas ar cipariem 2, 4, 6 un piecas zilas bumbiņas ar cipariem 1, 2, 3, 4, 5. |
Izvilkts vismaz 1 punktu. |
Saturs saitei Piemēri
Uzklikķinot uz saites, aja paa lapa paradas tabula:
Gadījuma mēģinajums |
Iznakumu kopa |
Neiespējams notikums |
Met spēļu kauliņu 1 reizi |
Uzmet 8 punktus. Uzmet skaitli, kur dalas ar 10. |
|
Met spēļu kauliņu 2 reizes |
|
Uzmet summa 1 punktu. Uzmesti summa 13 punkti. |
Velk bumbiņu no urnas, kura ir trīs baltas bumbiņas ar cipariem 2,4,6 un piecas zilas bumbiņas ar cipariem 1, 2, 3, 4, 5. |
Izvilkt balta bumbiņa ar nepara ciparu. |
Saturs saitei Piemēri
Saturs saitei Piemēri (pie notikumu apvienojuma)
Gadījuma mēģinajums spēļu kauliņa meana |
||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums AÈB |
Uzkrīt para skaitlis |
Uzkrīt vismaz 4 punkti |
Uzkrīt vai nu 2, vai 4, vai 5 vai 6 |
Gadījuma mēģinajums tiek reģistrēta garam braucoo vieglo automobiļu marka un autovadītaja dzimums |
||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums AÈB |
Auto ir BMW |
Auto vada sieviete |
Jebkuras markas auto, ko vada sieviete, vai BMW markas auto, ko vada vīrietis |
Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu
Uzklikķinot paradas animacija
IT_11_04_03
Saturs saitei Piemēri (pie notikumu ķēluma)
Gadījuma mēģinajums spēļu kauliņa meana |
||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums A B |
Uzkrīt para skaitlis |
Uzkrīt vismaz 4 punkti |
Uzkrīt vai nu 4, vai 6 |
Gadījuma mēģinajums tiek reģistrēta garam braucoo vieglo automobiļu marka un autovadītaja dzimums |
||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums A B |
Auto ir BMW |
Auto vada sieviete |
Auto ir BMW markas, un to vada sieviete |
Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu
Uzklikķinot paradas animacija
IT_11_04_04
Saturs saitei Piemēri (pie notikumu starpības)
Gadījuma mēģinajums spēļu kauliņa meana |
|||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums AB |
Notikums BA |
Uzkrīt para skaitlis |
Uzkrīt vismaz 4 punkti |
Uzkrīt 2 |
Uzkrīt 5 |
Gadījuma mēģinajums tiek reģistrēta garam braucoo vieglo automobiļu marka un autovadītaja dzimums |
|||
Notikums A |
Notikums B |
Notikums AB |
Notikums BA |
Auto ir BMW |
Auto vada sieviete |
Auto ir BMW markas, un to vada vīrietis |
Auto vada sieviete, auto nav BMW markas |
Saturs saitei Eilera-Venna diagrammu
Uzklikķinot paradas animacija
IT_11_04_05
Saturs saitei Piemēri (pie pretēja notikuma)
Gadījuma mēģinajums spēļu kauliņa meana |
|||
Notikums A |
Notikums B |
Notikuma A pretējais notikums |
Notikuma B pretējais notikums |
Uzkrīt para skaitlis |
Uzkrīt vismaz 4 punkti |
Tiek uzmests vai nu 1, vai 3, vai 5 |
Tie uzmests vai nu 1, vai 2, vai 3 |
Gadījuma mēģinajums tiek reģistrēta garam braucoo vieglo automobiļu marka un autovadītaja dzimums |
|||
Notikums A |
Notikums B |
Notikuma A pretējais notikums |
Notikuma B pretējais notikums |
Auto ir BMW markas. |
Auto vada sieviete |
Auto nav BMW |
Auto vada vīrietis |
Saturs saitei Piemēri (pie varbūtības aprēķinaanas)
Spēļu kauliņu met divas reizes un aprēķina iegūto punktu summu. Kada varbūtība uzmest summa vismaz 10 punktus?
Ja met spēļu kauliņu divas reizes, visu iepējamo iznakumu kopas elementu skaits ir 36.
Labvēlīgi no tiem ir pari (6;6), (6;5), (5;6), (6;4), (4;6) un (5;5) tatad ir 6 labvēlīgi iznakumi.
P(uzmest vismaz 10 punktus) .
Urna ir 3 pilnas lozes un 7 tukas lozes. Ar vienu paņēmienu tiek izvilktas 2 lozes. Kada varbūtība, ka abas izvilktas lozes ir pilnas?
Iespējamajam izvilkto paru skaitam atbilst (izvelk 2 lozes no 10), bet notikumam labvēlīgo iznakumu skaits ir atbilst (izvelkt2 lozes no trim laimīgajam).
P(izvilkt 2 pilnas lozes) =
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2754
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved