ekonometrijos metodologija
ir metodai

1. Ekonometrijos samprata

1.1. Matematiniø metodø naudojimo ekonomikoje istorija

Realaus pasaulio pažinimo procesas – tai ne kas kita, kaip žiniø apie gamtà ir visuomenæ tikslinimas. Šiame procese, naudojant tikslesnius tyrimo metodus, užfiksuojami nauji faktai, nustatomi principai ir dësnin­gumai. Daugelyje fundamentaliø gamtos mokslø, formuojant ávairias teorijas, neámanoma išsiversti be matematikos.

Be matematikos nuo seno neapsiëjo ir socialiniai mokslai: ekonomika, vadyba, sociologija ir kt. Ankstesniuose tyrimuose matematika paprastai naudota tik stebëjimø duomenims apdoroti ir sisteminti. Svarbia ekono­mikos tyrimo priemone matematika tapo tik sukûrus šiuolaikinæ skaièia­vimo technikà. Vienas žymiausiø ekonomistø, 1970 metø ekonomikos Nobelio premijos laureatas P.Samuelsonas taip vertina mate­matikà: “Matematika bûtina ekonomikos mokslui atnaujinti. Matematikos kalba – vienintelë galima kalba pagrindiniams ekonomikos teorijos teiginiams išdëstyti”

Ekonominiams procesams tirti plaèiai naudojama klasikinë mate­matika: matematinë analizë, aibiø teorija, matematinë statistika, grafø teorija ir t.t. Taèiau praktiniams ekonominiams uždaviniams spræsti (ištekliams paskirstyti, planams-grafikams sudaryti, atsargoms valdyti ir t.t.) buvo sukurtos ir specialios matematikos kaip mokslo šakos – matematinis programavimas, lošimø teorija, masinio aptarnavimo sistemø teorija, aktuarijø teorija ir kt. Pabrëžtina, kad šiuo metu ne tiek svarbu kurti iš principo naujus metodus, kiek bûtina efektyviai naudoti esamus.

Ekonomikos mokslo kûrëjai savo tyrimuose naudojo ávairius kiekybinius metodus.

Klasikinës politinës ekonomikos pradininkas anglas Viljamas Peti (1623 – 1687) knygoje „Politinë aritmetika” (1676) siûlo pereiti nuo savokø „geresnis, didesnis ir t.t.” prie minèiø reiškimo skaièiais, svoriais, matais.

Pirmàjá pasaulyje ûkio modelá sukûrë prancûzø mokslininkas Fransua Kenë (1694-1774). Jis 1756 m. paskelbë veikalà „Ekonominë lentelë”. Šiame darbe grafiniu, o po to analitiniu metodu išnagrinëtos pagrindinës reprodukcijos proceso stadijos.

Ypaè svarbi šio mokslo istorijai yra XIX a. pabaiga ir XX a. pradžia, kai ekonomikoje susiformavo klasikinë matematikos mokykla. Šios mokyklos ákûrëju laikomas prancûzø matematikas, filosofas, ekonomistas, istorikas Ogiustas Kurno (1801 – 1877), 1838 m. paskelbæs darbà “Turto teorijos matematiniø principø tyrimas”.

Šiuolaikiniø teorinës ekonomikos matematiniø tyrimø pradininku laikomas šveicarø ekonomistas L.Valrasas (1834-1910), sukûræs pirmàjá ekonominës pusiausvyros modelá. Matematikà naudojo ir kiti žymûs ekonomistai tai – V.Paretas (1848 – 1923), F.Edžvortas (1845 – 1926), Dž.Keinsas (1883 – 1946).

XX a. pradžioje pradëjo vystytis matematikos šaka – statistika. Beje, M.Stigleris rašo, kad pirmàjà “empirinæ” paklausos kreivæ 1699 m. išspausdino Charles Davenant. Pirmasis šiuolaikinis statistinis paklausos tyrimas buvo atliktas italø statistiko R. Eninio 1907 m. Pirmasis terminà “regresija” panaudojo anglas F.Galtonas (1822 - 1911), kuris nagrinëjo vaikø ûgio priklausomybæ nuo tëvø ûgio. Statistiniai metodai iškart buvo panaudoti trumpalaikei ekonominiø procesø prognozei. JAV mokslininkas Viljamas Personas sudarë modelá “Harvardo barometras”. Taèiau šiuos modelius intensyviau kurti nustota dël to, kad jie nepadëjo nuspëti didžiausios Vakarø pasaulio 1929 – 1932 m. krizës.

Toliau tyrinëjant ekonominius procesus susiformavo nauja kryptis, apimanti ekonomikos teorijà, klasikinæ matematikà ir statistikà; ji pava­dinta ekonometrija. Šis terminas, daugumos mokslininkø nuomone, pirmà kartà panaudotas norvegø ekonomisto matematiko Ragnaro Frišo (1895 – 1973). Taèiau oficialia ekonometrijos kaip mokslo susiformavimo data laikoma 1930 m., kai buvo sukurta tarptautinë ekonometrijos draugija. 1933 m. sausá pirmà kartà išleistas žurnalas “Ekonometrija” (Econome­tric), jis leidžiamas ir dabar. Šios krypties mokslininkai ne kartà buvo Nobelio premijos laureatai (ši premija ekonomikos srityje ásteigta 1969 m.): R. Frišas (Norvegija), J. Triubergenas (Olandija), V. Leontjevas (JAV), D. Hiksas (Anglija), L. Kantorovièius (SSRS), T. Kupmansas (JAV).

L. Kantorovièius 1939 m. suformulavo naujà ekstrema­liø uždaviniø klasæ su apribojimais – nelygybëmis. Ši taikomosios matematikos sritis pavadinta tiesiniu programavimu. 1974 m. amerikietis D. Dancingas pasiûlë universalø tiesinio programavimo uždavinio sprendimo metodà – simplekso metodà.

Septintame dešimtmetyje rusø akademikas V. Nemèinovas ávedë terminà “ekonominiai – matematiniai metodai”, kuriuo sàlyginai pavadino moksliniø disciplinø kompleksà, apimantá ekonomikà, matematikà ir kiber­netikà. Tai yra mokslas, nagrinëjantis ekonominiø matematiniø modeliø naudojimà valdymo praktikoje, kai reikia priimti efektyvius sprendimus.

Modeliavimas nëra XX amžiaus atradimas, juo naudojamasi seniai. Tai rodo ir toks istorinis pavyzdys. Šv. Povilo bažnyèioje Londone yra paminklinë lenta, kurios tekstas prasideda žodžiais: „Amžina pamoka nemokšiškam admiraliteto lordø užsispyrimui”. Tai susijæ su tokiu ávykiu. Prieš nuleidžiant anglø kariná laivà “Keptein” á vandená, inžinierius Ridas perspëjo admiraliteto lordus, kad, nuleistas á vandená, laivas apvirs. Šis teiginys buvo pagrástas laivo modelio tyrimo rezultatais. Taèiau lordai su šiuo metodu nebuvo susipažinæ ir tyrimo rezultatais netikëjo. Nuleistas á vandená, laivas apvirto.

Sparèiai tobulëjant šiuolaikinei skaièiavimo technikai, ekonometrijos mokslas vystosi taip pat sparèiai ir vis plaèiau naudojamas ekonominiø procesø valdyme.

1.2. Modelio samprata

Su išoriniu pasauliu susipažástama dviem pagrindiniais metodais: indukcijos ir dedukcijos.

Indukcija – tai loginis samprotavimas, kai nuo atskirø faktø, mažiau bendrø žiniø einama prie bendresniø. Taèiau, kitaip negu dedukcija, visada sàlygojanti teisingà išvadà, indukcija iš teisingø prielaidø tepadaro tikëtinà išvadà, reikalaujanèià tikslesnio árodymo.

Realiame pasaulyje dažniausiai tam tikrà objektø klasæ sudaranèiø objektø skaièius bûna labai didelis (net begalinis), todël praktiškai jø visø neámanoma ištirti ir apibendrinti. Šioje situacijoje kaip tik tuo metodu daromi indukciniai apibendrinimai – formuluojami dësniai ar principai, ištyrus tik dalá objektø, kuriuos tas dësnis ar principas apima.

Dedukcija – tai išvadø gavimas iš prielaidø pagal logikos dësnius ir taisykles. Bendràja prasme – tai perëjimas nuo bendro prie atskira.

Visuomet reikia prisiminti, kad dedukcija efektyvi tik tada, kai ji derinama su indukcija.

Be šiø paplitusiø pažinimo metodø, ávairiems reiškiniams tirti pasitelkiamas eksperimentas, o šiuo metu ir modeliavimas, kaip populia­riausia jo atmaina.

Žodis “modelis” kilæs iš lotyniško žodžio „modulus” – matas, dydis. Taèiau šis žodis taip pat susijæs ir su žodžiu „modus” – kopija, pavyzdys.

Bene vaizdžiausiai modeliø esmæ yra išreiškæs belgø siurrealistas R. Margitas (1898 – 1967)*. Viename jo ankstyvosios kûrybos paveiksle yra nupiešta pypkë ir èia pat užrašyta „Tai ne pypkë”. Toks netikëtas sugre­tinimas veikia savotiškai: priverèia žiûrovà skirti tikrovæ nuo jos atvaizdo. Taigi vienoks ar kitoks tikrovës pavaizdavimas nëra pati tikrovë – tai tik jos modelis.

Nagrinëjant tam tikrà procesà, reikia atsiriboti nuo mažiau svarbiø reiškiniø ir nustatyti pagrindines tiriamojo proceso savybes. Šias savybes nustatyti ir padeda modelis, kuris yra tarpinë grandis tarp sudëtingos tikrovës ir abstrakèios mokslinës teorijos.

Suformuluosime modelio sàvokos apibrëžimà. Modeliu vadiname objekto originalo dirbtiná ar realø atvaizdà, leidžiantá nagrinëti tam tikras originalo savybes. Èia tikslinga išskirti tam tikrus požymius:

modeliu gali bûti bet kokios kilmës – dirbtinai sukurtas ar realus objektas;

modelis atitinka nagrinëjamàjá objektà, t.y. jis savo savybëmis yra “panašus” á objektà, bet kai kuriomis savybëmis skiriasi nuo jo; šios savybës atliekamam tyrimui turi bûti nesvarbios;

modelis naudojamas ávairiuose pažinimo etapuose, todël priklausomai nuo tyrimo tikslø gali bûti keli skirtingi to paties objekto modeliai.

Iš modelio apibrëžimo aišku, jog jis gali bûti sudarytas pasitelkus ávairios kilmës priemones: žodiniai (verbaliniai); grafiniai (piešiniai, sche­mos, grafai, brëžiniai); rašytiniai tekstai; matematiniai; kûno kalbos modeliai (gestai, šokiai); fiziniai (maketai, manekenai) ir mišrûs.

Savaime suprantama, kad didžiausias dëmesys bus skiriamas matema­tiniams modeliams.

Modelio sudarymas – tai daug darbo reikalaujantis ir sudëtingas procesas, kurá sudaro trys etapai (1.1 pav.).

Kiekvienas modelis sudaromas, atsižvelgiant á objekto tyrimo tikslà. Sudarant modelá, bûtina iš aplinkinio pasaulio atrinkti tiriamajam objektui bûdingus áëjimo kintamuosius X ir išëjimo kintamuosius Y. Veiksniø atrinkimo etape nustatoma, tarp kokiø kintamøjø bus ieškomas priežasties – pasekmës ryšys Y=F (X ). Modelio tipo nustatymo etape parenkamas funkcijos F tipas. Apsisprendus dël modelio tipo, pagal kontrolinës imties duomenis nustatomi nežinomi modelio parametrai. Kai sudarytasis modelis atitinka objektà suformuluoto tikslo požiûriu, laikoma, kad modelis adekvatus (tapatus) nagrinëjamam objektui. Kiekvienam konkreèiam modelio tipui yra nustatytos taisyklës, pagal kurias patikrina­mas modelio adekvatumas. Statistiniuose modeliuose tai dažniausiai vidutinë kvadratinë paklaida, kuri neturi viršyti leistinojo dydžio. Kai modelis adekvatus, laikoma, kad já galima naudoti realiam objektui tirti – modeliuoti, priešingu atveju modelá bûtina koreguoti.

Modeliavimu vadinamas objekto tyrimas, naudojant sudarytus modelius. Modeliavimas praverèia tada, kai realaus objekto (žmogaus, kosminio laivo) tyrimas yra brangus ir nepatogus arba išvis neámanomas. Be to, reikia turëti galvoje, kad pasitelkus modelius, galima keisti darbo režimus ir stebëti gaunamus rezultatus (lëktuvo tyrimas aerovamzdyje).

Visus ekonominius – matematinius modelius suklasifikuoti ir sudëti á vienà schemà neámanoma, nes yra daug požymiø (pagal vartojimo paskirtá, matematinæ teorijà, laiko ávertinimà ir t.t.), á kuriuos reikia atsižvelgti, parenkant klasifikavimo taisyklæ.

Iš pradžiø aptarsime bendrus klasifikavimo požymius, galiojanèius visiems matematiniams modeliams, o po to juos išnagrinësime naudoja­mojo matematinio aparato požiûriu.

Pagal atsitiktinumo nustatymo pobûdá modeliai gali bûti á deter­minuoti arba stochastiniais.

Determinuotuose modeliuose visi kintamieji, nusakantys modelio funkcionavimà, laikomi determinuotais, t.y. ágyjanèiais tam tikras fiksuo­tàsias reikšmes. Jei modelio kintamieji esti tikimybinës kilmës ir juos nusako atsitiktiniai dydžiai, tai modeliai yra stochastiniai.

Atsižvelgiant á laiko veiksná, kurio aspektu nagrinëjamas objektas, visi modeliai skirstomi á statinius ir dinaminius.

Didžioji dauguma praktiškai sprendžiamø uždaviniø yra statiniai. Šiuose modeliuose tiek išëjimo, tiek áëjimo kintamieji yra fiksuoti tam tikram laiko tarpui. Dinaminiuose modeliuose kintamieji kinta laike.

Praktiškai ekonominiai – matematiniai modeliai dažnai klasifikuojami á penkias grupes. Pirmajai grupei priskiriami funkciniai modeliai; jie taikomi tuo atveju, kai nagrinëjamos tiesioginës priklausomybës tarp priklausomø ir nepriklausomø kintamøjø. Antrajai grupei priskiriami balansiniai modeliai, aprašomi pasitelkus lygèiø sistemà. Treèioji grupë – tai optimizaciniai modeliai; jø tikslas nustatyti maksimalià ar minimalià efektyvumo kriterijaus reikšmæ. Ketvirtajai grupei priskiriami imitaciniai modeliai, o penktajai – kompleksiniai modeliai, kuriuos sudaro išvardytøjø modeliø rinkiniai.

Formuluojant matematiná modelá, reikia parinkti sprendimo metodà. Šá pasirinkimà apsprendžia á modelá átrauktø veiksniø charakteristikos (atsitiktinumas, matiškumas ir t.t.), efektyvumo kriterijai ir apribojimai.

Visi sprendimo metodai skirstomi á tris grupes: analitinius; skaitme­ninius; eksperimentinius.

Vienkriteriniams determinuotiems modeliams taikant analitinius sprendimo metodus, apribojimai turi bûti išreikšti griežtomis lygybëmis. Tuo tarpu situacijoms, kurios yra vadybos mokslo objektas, aprašti dažnai bûtini nelygybiø sistema suformuluoti apribojimai.

Taikant skaitmeninius metodus, modelis taip pat turi bûti suformu­luotas kaip lygèiø sistema. Šiuo atveju apribojimai gali bûti suformuluoti ir kaip nelygybës. Pasitelkus skaitmeniná metodà, sprendinys gaunamas atliekant skaièiavimø ciklà pagal sudarytà algoritmà. Skait­meniniai metodai yra iteracinës procedûros, kuriose kiekvieno žingsnio metu gautieji rezultatai palyginami su anksèiau gautaisiais, ir tokiu bûdu parenkamas ge­riau­sias sprendinys. Šiuo atveju negalima teigti, jog nustatytas optimumas.

Šiø dviejø grupiø metodai gali bûti taikomi spræsti tik vienkriterinius uždavinius, kurie aprašomi vienu efektyvumo kriterijumi, o apribojimai pateikiami analitine forma. Dël šiø priežasèiø klasikiniai optimizacijos ir matematinio programavimo metodai labai ribotai gali bûti taikomi realiems vadybos uždaviniams sprensti, kadangi sunku juos suformuluoti taip, kad nekiltø prieštaravimø tarp apribojimø. Be to, šie metodai riboja sisteminës analizës galimybes, nes atskiri sistemos elementai nagrinëjami izoliuotai, ávertinant tik šio elemento atžvilgiu svarbiausius veiksnius.

Jei matematinis modelis suformuluotas taip, kad negalima taikyti nei analitiniø, nei skaitmeniniø metodø, imamasi eksperimentinio tyrimo. Taikant šá metodà, ir efektyvumo kriterijus, ir apribojimai gali bûti nurodyti algoritmo forma. Geriausias sprendinys randamas palaipsniui prie jo artëjant, analizuojant skaièiavimø pagal algoritmà, modeliuojantá sistemos veiklà, rezultatø aibæ.

1.1 lentelë

Modeliø ir metodø taikymas ámonës veikloje

  Veiklos sritys

Metodai

Ištekliø paskirs­tymas

Atsar­gø valdy­mas

Árengi­mø remon­tas ir keiti­mas

Masinio aptarna­vimo uždavi­niai

Kalen­dorinis plana­vimas

Marš­rutø parin­kimas

Derybø ir kon­kuren­cijos užda­viniai

Imita-

ciniai mode­liai

Matematinis programavimas

– tiesinis

– netiesinis

– diskretinis

– dinaminis

– stochastinis

Diferencialinës lygtys

Statistika

Masinio aptarnavimo sistemø teorija

Žaidimø teorija

Grafø teorija

Tvarkarašèiø teorija

Matematinë logika

Dažnai griežtas matematinis formalizavimas neleidžia visapusiškai nagrinëti sudëtingø sistemø, tad pastaruoju metu efektyviø sprendiniø ieškoma naudojant euristinius algoritmus. Euristiniai algoritmai – tai rinkinys taisykliø, nusakanèiø galimø sprendiniø ir geriausio iš jø parinkimo procesus. Viena dažniausiai taikomø euristiniø algoritmø formø yra imitacinis modeliavimas, taikomas modeliuose, ávertinanèiuose neapibrëž­tumà, rizikà bei daugiakriterinæ optimizacijà.

Atlikus operacijø tyrimo uždaviniø analizæ, 1.1 lentelëje pateikti šio tyrimo rezultatai*. Šioje lentelëje, atskirose ámonës veiklos srityse, dažniau­siai naudojami metodai yra pažymëti “+” ženklu.

1.3. Struktûrinis sistemos modelis

Realø pasaulá patogu nagrinëti, jei laikysime, kad jis sudarytas iš dviejø daliø: aplinkos ir sistemos. Tad bet kurià sistemà galima pavaizduoti schema, pateikta 1.2 paveiksle.

Aplinka yra visa tai, kas nepriklauso nagrinëjamai sistemai. Paprastai aplinka veikia sistemà tam tikrais áëjimo kintamaisiais.

Tarkime, yra žinoma áëjimo kintamøjø visuma X ₁, X ₂, , X _n su savo galimø reikšmiø aibëmis. Áëjimo kintamøjø reikšmiø aibëje X panaudojame santyká R(X_i)=R_i (X ₁,X ₂,,X _n), kuris nustato ryšius tarp áëjimo kintamøjø. Reikšmës I X  , I X    I X_n yra suderintos, jei atitinka santykius R (X _i). Aibëje X suderintos áëjimo kintamøjø reikšmës sudaro tam tikrà suderintø reikšmiø aibæ X

Kaip tokios sistemos pavyzdá, aptarsime audimo gamybà. Audimo gamyba yra sudëtinga sistema. Jà sudaro audimo staklës, audëjos, pameistriai, administracija, gamybiniai plotai, ventiliacijos sistema ir t.t. Aplinka yra visa tai, kas priklauso bendrovei, bet nepriklauso audimo gamybai: verpimo gamyba, apdaila, ámonës vadovybë, autoûkis ir t.t., taip pat kas ir nepriklauso bendrovei.

Áëjimo kintamieji – verpalai, garas, elektros energija, darbo užmo­kestis, stakliø našumas, aptarnavimo zona ir t.t. Kiekvienas šiø áëjimo kintamøjø turi savo kitimo reikšmes, pavyzdžiui, audimo staklës gali bûti STB – 2, STB – 4, rapyrinës, pneumatinës, hidraulinës ir t.t.; aptarnavimo zonos gali bûti: 1 staklës, 2 staklës, 3 staklës, 4 staklës ir t.t. Taèiau ávedus santyká „R(X ₁ ) – priklausyti audimo gamybai”, galimø stakliø tipai yra STB – 2, STB – 4, rapyrinës. Šis santykis rodo, kokio tipo audimo staklës naudojamos bûtent nagrinëjamoje audimo gamyboje. Kitas santykis nusako STB – 2 stakliø aptarnavimo zonà, o konkreèiai gamyboje – R (X ₂)=4 staklës.

Santykis gali bûti išreikštas ir analitine formule. Pavyzdžiui, „R (X ₃)-audinio darbo imlumas” nustatomas taip:

èia: D  – darbo imlumas; P – apdorojamosios produkcijos kiekis; N – stakliø našumas; Z – aptarnavimo zona; h – naudingo darbo laiko koeficientas.

Šis santykis nusako, kad esant fiksuotam apdorojamos produkcijos kiekiui, stakliø našumui, aptarnavimo zonai ir naudingo darbo laiko koeficientui, gaunamas fiksuotas darbo imlumas.

Savo ruožtu sistema veikia aplinkà išëjimo kintamaisiais Y, kuriø visuma yra Y ₁, Y ₂, ,Y_m,  R (Y_j )=R (Y₁, Y₂,, Y_m ) ir .

Nagrinëtame pavyzdyje Y gali bûti išaustos medžiagos kiekis, plano ávykdymo procentas, sutaupytø žaliavø kiekis ir t.t.

Nereikia pamiršti, kad kiekvienà sistemà galima išskaidyti á sude­damàsias dalis, kurias savo ruožtu galima nagrinëti kaip sistemà. Audimo gamyboje atskira sistema gali bûti audimo staklës, remonto baras ir t.t. Tokiø sistemø aplinka bus visai kita.

Sistema, veikiama áëjimo kintamøjø, pereina á naujà bûsenà C. Šià transformacijà nusako priklausomybë C =F (C ₀ , X ), kur C ₀ – pradinë sistemos bûsena.

Áëjimo kintamieji sàlygoja visø sistemos savybiø kitimà, tarp jø – ir išëjimo kintamøjø. Šiø kintamøjø reikšmës tam tikru laiko momentu t paprastai priklauso nuo áëjimo kintamøjø reikšmiø kitimo intervale (- , t ), t.y. priklauso nuo áëjimo kintamøjø reikšmiø kitimo visos priešistorijos. Norint apskaièiuoti sistemos išëjimo kintamuosius nagrinëjamuoju laiko momentu t ir ypaè prognozuoti jø kitimà ateityje, turimø žiniø tik apie áëjimo kintamøjø kitimà intervale (t₀, t ), kur t ₀< t, gali nepakakti. Taèiau šá uždaviná galima išspræsti, jei yra žinomos tam tikros sistemai bûdingos vidiniø kintamøjø reikšmës laiko momentu t ₀, kurios vadinamos sistemos bûsenomis.

Be to, sprendžiant realiø sistemø valdymo uždavinius, visuomet reikia nagrinëti sistemos elgesá, kai t > t  . Tai reiškia, kad, žinant sistemos bûsenà nagrinëjamuoju laiko momentu t ₀, galima daryti išvadas tik apie sistemos elgesá ateityje, taèiau negalima nustatyti sistemos bûsenos C (t ), kai t < t _0. Tokie uždaviniai sprendžiami kriminalistikoje.

Realioje audimo gamyboje kaip vidinis kintamasis – bûsena gali bûti gamybos planas auganèiai, nes, norint prognozuoti, kaip bus ávykdytas gamybos planas mënesio pabaigoje, pakanka žinoti, kaip ávykdytas tos dienos planas ir augantis planas. Objekto – audimo stakliø – bûsena yra sugedusiø stakliø skaièius tam tikru laiko momentu.

Žinant sistemos bûsenø transformacijos išraiškà ir sistemos išëjimo kintamøjø formavimo išraiškà Y=j (C ), nesunku nustatyti transfor­macijà, kurià atlieka sistema su áëjimo kintamaisiais , ir ši funkcija vadinama sistemos funkcionavimo dësniu.

Kadangi paprastai daugelis realiø sistemø yra atviros, t.y. sàveikauja su aplinka, tai sistemos struktûriná modelá galima užrašyti formalia priklausomybe:

; (1.1)

èia: I_x, I_y, I – santykiø ir funkcijø aibë; C – bûsenø aibë; A_s – tikslø aibë;
T – laiko momentø aibë.

Jei pažymësime , tai

. (1.2)

Toks sistemos apibrëžimas turi ne tiek praktinæ, kiek metodo­loginæ prasmæ, leidžia suprasti principines modeliø klases.

Jei T = o tai reiškia, kad ir I = tada gauname sistemà, kurios visos charakteristikos nekinta laike, nes nenagrinëjamas sistemos funkciona­vimas. Tokiu atveju struktûrinis modelis vadinamas sistemos struktûra S ’.

Jei I_x =I_y = tai sistemos struktûra nenagrinëjama, ir gaunamas sistemos modelis, kuris vadinamas sistemos funkciniu modeliu S ’’.

Jei I_y =I_y =I = tai gaunamas sistemos pragmatinis modelis, kuris parodo, kaip sistema atitinka jai keliamus reikalavimus S ’’’.

Audimo staklëms S ’ – optimali aptarnavimo zona; S ’’ – kalendorinis darbo grafikas; S ’’’ – minimalios eksploatacinës išlaidos arba maksimalus árengimø naudojimas.

1.4. Kas yra ekonometrija?

Atsiradus šiuolaikinei skaièiavimo technikai, ekonomikos, finansø, vadybos ir kitø socialiniø mokslø disciplinø tyrinëjimai vis labiau tampa kiekybiniais. Tad reikalingos žinios, ágalinanèios išmatuoti ekonominius procesus, juos formalizuoti, sudaryti ekonominius matematinius modelius ir, naudojant juos, modeliuoti ávairias ekonominiø – organizaciniø sistemø situacijas, sprendžiant iškilusiais problemas.

Viena pagrindiniø disciplinø, kurios uždavinys – teikti šiø žiniø yra ekonometrija. Verèiant pažodžiui, ekonometrija yra ekonomikos matavi­mas. Tai labai platus apibrëžimas, kadangi daug kas ekonomikoje susijæ su matavimu. Mes matuojame (ávertiname, nustatome) nacionalinio produkto apimtá, eksporto apimtis, kainø indeksus ir t.t. Taèiau ekonometrija yra statistiniø ir ekonominiø metodø panaudoji­mas ekonominiø duomenø analizei, siekiant nustatyti ekonominës teorijos praktiná turiná.

Ekonometrija gali bûti apibrëžiama kaip socialinis mokslas, kuriame ekonomikos teorija, matematika ir matematinë statistika taikomi ekono­miniø reiškiniø analizei.

Pagrindiniai ekonometrijos tikslai šie:

ekonomikos teorijos teiginiø patikslinimas;

pasirinktø matematiniø priklausomybiø skaitmeninis ávertinimas;

ekonominiø reiškiniø prognozavimas.

Trumpai palyginsime artimas ekonometrijai mokslo šakas.

Ekonomikos teorijoje formuluojami teiginiai arba hipotezës, kurios dažniausiai iš prigimties yra kokybinës. Antai mikroekonomikos teorija teigia, kad, sumažinus prekës kainà, galima tikëtis, kad padidës šios prekës paklausa. Taigi ekonomikos teorija postuluoja neigiamà, arba atvirkštiná, ryšá tarp kainos ir reikalaujamo prekës kiekio. Tai yra žinoma kaip paklausos dësnis. Bet pati teorija nepateikia jokio skaitmeninio matavimo metodo šio ryšio stiprumui nustatyti. Praktiškai nëra ámanoma pasakyti, kaip pasikeis pardavimø apimtis, pakitus prekës kainai. Tad ekonometrijos paskirtis kaip tik yra pateikti reikiamà skaitmeniná ávertinimà. Kitaip tariant, ekonometrija pateikia daugumos ekonomikos teorijos teiginiø empirinæ (pagrástà stebëjimais arba eksperimentais) esmæ.

Matematinës ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teorijà išreikšti matematine forma (modeliu) nereikalaujant empiriškai patikrinti teorijà. Ekonometrikas kaip tik ir naudoja matematinius modelius, siûlo­mus matematiko ekonomisto, ir jis juos pritaiko realiems procesams valdyti.

Ekonominë statistika koncentruojasi prie ekonominiø duomenø surin­kimo, apdorojimo ir vaizdavimo lenteliø, grafikø ir diagramø pavidalu. Taip surinkti duomenys yra pradiniai ekonominio darbo duomenys. Ekono­metrikas, panašiai kaip ir metereorologas, dažnai priklauso nuo duomenø, kurie negali bûti kontroliuojami tiesiogiai. Tad suvartojimo, kainø, santau­pø, investicijø ir panašûs duomenys iš prigimties nëra eksperi­mentiniai. Ekonometrikas ima duomenis, kokie jie yra. Be to, šie duomenys gali bûti su matavimo paklaida arba su praleidimu, ir ekonometrikas gali bûti priverstas parengti specialius analizës metodus, kurie panaikintø šiuos trûkumus.

Pirmasis uždavinys, su kuriuo susiduria ekonometrikas, yra ekono­metrinio modelio sudarymas. Sudarant modelá, visuomet reikia prisi­minti tai, kad modelis yra supaprastintas realaus proceso atvaizdas.

Pavyzdžiui, pasakymas, kad obuoliø paklausa priklauso nuo jø kainos, yra supaprastintas, nes visi supranta, kad esama aibës kitø kintamøjø, kurie gali apspræsti obuoliø kainà: sakykim, pirkëjø pajamos, apelsinø kainos didëjimas ar mažëjimas, kavos gërimas vietoj obuoliø sulèiø ir pan.; net ir naftos kainos kitimas gali paveikti obuoliø paklausà.

Sudarant ekonometriná modelá, galimi du skirtingi požiûriai: pradëti modelá konstruoti nuo paprastesnio ir palaipsniui daryti já vis sudëtingesná, arba sudaryti iš karto sudëtingà modelá ir já prastinti, atsižvelgiant á gaunamus rezultatus. Šiuo metu teigiama, kad geresnis pirmasis kelias – verèiau kurti paprastà modelá ir prireikus já daryti sudëtingesná.

Praktiškai á modelá átraukiami tie kintamieji, kurie, manoma, yra naudingi siekiamiems tikslams, o visi likusieji priskiriami aibei, vadinamai „triukšmu”. Šiø pastarøjø kintamøjø egzistavimas leidžia suformuluoti teiginá, kad visuomet esama stebëjimo paklaidø, ir jos pasiskirsèiusios pagal tam tikrus dësnius. Ekonometriniuose modeliuose daroma prielaida, kad šis triukšmas yra „baltas triukšmas”, o jam bûdinga tai, kad šios paklaidos skirtingais laiko momentais yra nepriklausomos ir pasiskirsèiusios pagal normaliná dësná su vidurkiu, lygiu 0, o dispersija s

1.5. Ekonometrijos metodologija

Bet kuriame ekonometriniame tyrime išskiriami 4 žingsniai.

A žingsnis. Parenkamas modelis, kuriuo bus bandoma aprašyti tyrinë­jamàjá reiškiná.

B žingsnis. Modelá suformulavus, reikia ávertinti modelio parametrus.

C žingsnis. Kai tik modelis ávertintas, remiantis tam tikrais kriterijais, reikia patikrinti šiø ávertinimø reikšmingumà.

D žingsnis. Paskutinis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis yra susijæs su modelio prognozavimo galios ávertinimu, t.y. ásitikinimu progno­zavimo nauda.

Žingsniai A ir C yra svarbiausi, o B ir D yra techniniai; jie reikalauja teoriniø ekonometrijos žiniø.

A žingsnis. Modelio formulavimas.

Pirma ir visø svarbiausia, kà privalo padaryti ekonometrikas, prieš pradëdamas analizuoti priklausomybæ tarp kintamøjø, – tai išreikšti šià priklausomybæ matematine forma. Šiame etape reikia nustatyti:

išëjimo ir áëjimo kintamuosius, kuriuos dera átraukti á modelá;

a priori teoriná ávaizdá apie priklausomybës parametrø ženklà ir pobûdá; tai padeda ávertinti modelio adekvatumà;

matematinæ modelio formà (lygèiø skaièius, tiesinë ar netiesinë forma ir t.t).

Remdamasis ávairiais informacijos šaltiniais ekonometrikas turi sudaryti sàrašà kintamøjø, kurie galëtø turëti átakos išëjimo kintamajam. Ekonomikos teorija nurodo pagrindinius veiksnius veikianèius išëjimo kintamàjá bet kuriuo konkreèiu atveju.

Kintamieji, kurie átraukiami arba išbraukiami iš funkcijos, turi bûti išnagrinëti nulio atžvilgiu. Jei nusprendžiama išbraukti kintamàjá iš funkcijos, tai daroma prielaida, kad jo koeficientas šioje funkcijoje lygus 0, ir atvirkšèiai. Žinoma, ávertinimø teisingumo tikrinimas gali parodyti, kad kai kurie kintamieji yra nereikšminiai, ir tuomet privaloma modifikuoti pradinæ funkcijos išraiškà. Taigi skaièius kintamøjø, kurie iš pradžiø buvo átraukti á modelá, priklauso nuo ekonominio reiškinio kilmës, tuo tarpu kintamøjø skaièius, kuris liks sudarytame modelyje, priklauso nuo ekonometriniø statistiniø kriterijø.

Labai dažnai ekonometrijos teorija negali tiksliai apibrëžti ekono­metrinës funkcijos matematinës formos. Šios formos parinkimui naudinga faktinius duomenis nubraižyti dvikoordinatëje diagramoje. Tokiø nubrai­žytø diagramø analizë ne kartà padëjo nuspræsti, kurià matematinæ funkcijos formà verta pasirinkti. Ekonometrikas, eksperimentuodamas ávairiomis formomis, atrenka tà, kuri yra patenkinama tam tikro kriterijaus atžvilgiu.

Reikia pabrëžti, kad modelio formos pasirinkimas priklauso nuo tyrinëjamo reiškinio sudëtingumo, nuo modelio sudarymo tikslø, duomenø tinkamumo ir skaièiavimo galimybiø.

B žingsnis. Modelio ávertinimas.

Suformulavus modelá, reikia gauti skaitmeninius modelio parametrø ávertinimus. Modelio ávertinimas yra grynai techninë procedûra, reikalau­janti žiniø apie ávairius ekonometrinius metodus bei jø prielaidas.

Šiame etape reikia:

surinkti statistinius duomenis apie átrauktø á modelá kintamøjø reikšmes;

nustatyti priklausomybës identifikavimo sàlygas;

išspræsti kintamøjø agregavimo problemà;

nustatyti koreliacijos laipsná tarp áëjimo kintamøjø;

parinkti tinkamas ekonometrijos priemones.

Modelio ávertinimo duomenys gali bûti surinkti naudojant laiko eilutes, momentinius stebëjimus, inžinerinius duomenis ir kokybinius duomenis. Pastarieji duomenys praverèia tada, kai kintamasis negali bûti išmatuotas kiekybiškai (profesija, lytis, religija ir pan.). Tokie kokybiniai požymiai gali bûti ávertinti, ávedus á priklausomybæ fiktyvius kintamuosius, t.y. indeksus, kurie parenkami pagal tam tikrà susitarimà.

Dažniausiai praktiškai naudojamos laiko eilutës ir momentiniai stebëjimai.

Nustatant identifikavimo sàlygas, reikia pagrásti vertinamøjø parame­trø teisingumà. Vertinant paklausos funkcijà laiko eilutës duomenimis, gauname, kad šie duomenys parodys nupirktos prekës kieká esant tam tikroms kainoms, o tuo paèiu metu ir parduotø prekiø kieká esant rinkos kainoms. Tad turint šiuos duomenis, svarbu yra žinoti ar vertinami paklausos funkcijos parametrai, ar tiekimo funkcijos parametrai.

Agregavimo problemos atsiranda todël, kad pasirinktuose modeliuose dažnai naudojami agreguoti kintamieji:

individualybiø agregavimas (bendrosios pajamos yra individualiø pajamø suma);

plataus vartojimo prekiø agregavimas, remiantis indeksais arba atskirø grupiø kainomis;

agregavimas laike; kai kada statistiniai šaltiniai pateikia  ne to laikotarpio duomenis;

erdvinis agregavimas (miesto, regiono, šalies gamybos apimtis).

Dauguma ekonominiø kintamøjø yra koreliuoti ta prasme, kad jie gali kisti analogiškai ávairiose ekonominës veiklos fazëse. Pajamos, nedarbas, investicijos, eksportas, mokesèiai linkæ didëti augimo laikotarpiu ir mažëti depresijos laikotarpiu. Jei koreliacijos laipsnis didelis, ávertinimo rezultatai gali bûti gauti blogesni, nes sunku apskaièiuoti kiekvieno kintamojo átakà.

Parenkant ekonometrines priemones, reikia naudotis parametrø áverti­ni­mo metodais: mažiausiø kvadratø, maksimalaus panašumo, modifikuo­tais mažiausiø kvadratø metodais ir pan.

Išsprendus šiuos pradinius etapo uždavinius yra ávertinami modelio parametrai.

Žingsnis C. Ávertinimø patikrinimas.

Gavus ávertinimus, reikia ásitikinti gautø rezultatø realumu. Patikri­nimo metu nustatoma, kurie parametrø ávertinimai yra teoriškai reikšmi­niai ir statistiškai patikimi. Èia remiamasi ávairiais kriterijais. Jie klasifi­kuojami á tris grupes:

ekonominis a priori kriterijus, kurá nusako ekonomikos teorija;

statistinis kriterijus, apibrëžiamas statistikos teorijos;

ekonometrinis kriterijus, apibrëžiamas ekonometrijos teorijos.

Ekonominis a priori kriterijus randamas remiantis ekonominës teorijos principais; jis skirtas parametrø ženklui ir dydžiui nustatyti.

Statistinis kriterijus nustato ávertintà statistiná modelio patikimumà. Praktiškai dažniausiai kaip kriterijus imamas determinacijos koeficientas ir standartinë paklaida.

Ekonometrinis kriterijus padeda patikrinti, kurios panaudotos eko­nometrinës priemonës tinkamos, o kurios – ne. Tikrinant pagrindinæ ekonometriniø tyrimø prielaidà apie nekoreliuotà atsitiktiná triukšmà, naudojamasi Durbino – Vatsono statistika. Jei ši prielaida smarkiai pažeista, standartinës parametrø paklaidos negali bûti tinkami kriterijai, nustatant ávertinimø statistiná reikšmingumà.

Žingsnis D. Modelio prognozavimo galios nustatymas.

Prognozavimas yra vienas pagrindiniø ekonometrinio tyrimo tikslø. Èia pirmiausia reikia ásitikinti, ar modelis ekonomiškai prasmingas, statistiškai ir ekonometriškai korektiškas tam tikram laikotarpiui, kuriam jis buvo sudarytas: mat jis jau gali bûti netinkamas prognozavimui, nes realiame pasaulyje galëjo ávykti struktûriniai modelio parametrø pokyèiai.

Baigiamasis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis – nustatyti gautø ávertinimø stabilumà, jø jautrumà amplitudžiø pokyèiams.

Vienas prognozavimo galios nustatymo bûdø – pasiremti duomenimis, kurie nebuvo átraukti á naudotus parametrø ávertinimo duomenis. Progno­zuojamoji reikšmë palyginama su faktiška išëjimo kintamojo reikšme. Gautas skirtumas patikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas. Jei paaiškë­ja, kad šis skirtumas yra reikšmingas, priimama išvada, kad prognozavimo galia prasta.

Kitas bûdas bûtø átraukti papildomus duomenis á stebëjimo duomenis ir perskaièiuoti ávertinimus. Skirtumas tarp naujø ir ankstesniø ávertinimø taip pat tikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas.

Baigiant nagrinëti ekonometrijos metodologijà, tikslinga nustatyti pageidaujamas ekonometrinio modelio savybes:

teorinis patikimumas: modelis turi atitikti ekonomikos teorijos postulatus;

nepriklausomumas: modelis turi paaiškinti realaus pasaulio dësningumus;

parametrø ávertinimo tikslumas;

prognozavimo galimybë.

1.6. Tipinës ekonomikos funkcijos

1.6.1. Kaštø funkcija

Siekiant efektyviai naudoti turimus išteklius, gaminant produkcijà ar teikiant paslaugas, reikia minimizuoti kaštus, o tai ámanoma atlikti, tik žinant kaštø funkcijà. Paprastai kaštø funkcija apibrëžiama kaip kaštø (C) priklausomybë nuo gamybos apimties (Q), t.y.

. (1.3)

Realiame pasaulyje kaštai dažnai priklauso ne tik nuo gamybos apimties, bet ir nuo šià apimtá apibûdinanèiø papildomø áëjimo kintamøjø C, kuriø pavyzdžiø gali bûti šiø kintamøjø vienetø kainos. Á tai atsižvelgus, kaštø funkcijà galima užrašyti taip:

. (1.4)

Vertinant šios funkcijos parametrus, nevalia užmiršti, kad esama metodologinio skirtumo tarp trumpo ir ilgo laikotarpio kaštø funkcijø.

Trumpo laikotarpio kaštø funkcijos ávertinimas. Šiuo atveju ávertini­mo rezultatai bus panaudoti kainodaros sprendimuose, nustatant ribinius kaštus. Ávertinimams nustatyti geriausiai tinka laiko eilutës, surinkus poros metø kiekvieno mënesio ámonës duomenis. Renkant šiuos duomenis, laikoma, kad ámonë nekeièia savo kapitalo.

Taip surinkti duomenys sàlygoja potencialià problemà. Gamybos apimtá ávertinus fiziniais vienetais, o kaštus - piniginiais vienetais, pastarieji gali bûti iškreipti kainø infliacijos, kuri pasireiškia tuo, kad esant toms paèioms gamybos apimtims, kaštai bus didesni. Šá infliacijos efektà reikia eliminuoti – padalyti kaštø reikšmes iš atitinkamo laikotarpio kainø indekso.

Ekonomikos teorijoje vertinami trijø tipø kaštai: bendrieji (TVC), vidutiniai (AVC) ir ribiniai (MC). Žinant nors vieno šiø kaštø išraiškà, nesunku ávertinti kitus kaštus. Be to, vidutiniams kintamiesiems kaštams keliamas papildomas reikalavimas – kad jie bûtø aprašomi U formos kreive. Tad kaštø ávertinimà pradësime nuo AVC kreivës ávertinimo.

Tariame, kad AVC ávertinami tiesine funkcija:

. (1.5)

Norint, kad AVC bûtø teigiami, a turi bûti teigiamas. Jei , tai gauname didëjanèià tiesæ,  – mažëjanèià tiesæ ir, kai b =0 – hori­zontalià tiesæ. Ši trumpa analizë rodo, kad AVC ávertinimui negalima naudoti tiesiniø funkcijø, nes, gavæ bet kokius koeficientø a ir b áverti­nimus, niekuomet negausime U formos kreivës, o tik tiesæ.

Sudëtingesnis atvejis yra kvadratinë priklausomybë, kuri užrašoma tokiu pavidalu:

. (1.6)

Savaime suprantama, kad a bûtinai turi bûti teigiamas. Kad ši kaštø funkcija bûtø U formos, bûtina ši sàlyga: ir .

Regresinës analizës metodu ávertinus šios lygties koeficientus a, b, c ir patikrinus jø reikšmingumà, galima nustatyti ir kitas kaštø funkcijas:

. (1.7)

Atlikus matematinius pakeitimus, nustatomi ribiniai kaštai:

. (1.8)

Palyginæ 1.6, 1.7, 1.8 funkcijø lygtis, matome, kad jose reikia ávertinti tuos paèius regresinës lygties koeficientus a, b, c, ir tai leidžia supaprastinti ávertinimo uždaviná: ávertinti ne tris funkcijas, o tik vienà.

Norint nustatyti gamybos apimtá, minimizuojanèià vidutinius kintamus kaštus, reikia prisiminti, kad šiame taške

.

Tada

Taigi optimali gamybos apimtis

. (1.9)

Ilgo laikotarpio kaštø funkcijos ávertinimas. Šie kaštai nusako ámonës planavimo horizontà ir naudojami investicijø sprendimams. Šiø kaštø ávertinimui imami momentiniø stebëjimø duomenys, kuriuose tam tikrais laiko momentais ávertinamos ávairios to paties profilio skirtingø gamybos apimèiø ámonës. Jei ámonës išsidësèiusios geografiškai plaèiai, gali bûti kainø skirtumø. Šio efekto eliminavimui naudoti fiksuotus kainø indeksus nepatogu. Praktiškai ilgo laikotarpio funkcijoje ávertinamas darbo (W ) ir kapitalo (R ) kainos, ir tada bendroji kaštø funkcijos išraiška yra ši:

. (1.10)

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai elementarus ávertinimo uždavinys, kuriame reikia pridëti papildomus kainø kintamuosius

(1.11)

ir papildomai ávertinti koeficientus d ir e.

Taèiau ši išraiška `neatitinka kaštø funkcijai (1.10) keliamø reika­lavimø. Ši funkcija reikalauja, kad, padvigubëjus kainoms, esant pasto­vioms ištekliø sunaudojimo normoms ir pastoviai gamybos apimèiai, kaštai padvigubëtø, t.y.

.

Taèiau 1.11 lygtis šios sàlygos netenkina, nes

Aišku, kad .

Tad turime pasitelkti alternatyvià ilgo laikotarpio kaštø funkcijos ávertinimo formà, kuria dažniausiai parenkama tiesinë logaritminë išraiška. Tad kaštø funkcija užrašoma taip:

. (1.12)

Padvigubëjus kintamøjø kainoms, gaminame:

Jei tarsime, kad , tai reikalavimai kaštø funkcijai yra paten­kinti. Tada pradinëje funkcijos išraiškoje šá papildomà reikalavimà reikia ávertinti. Jei pažymësime , tai

. (1.13)

Išlogaritmavæ gauname:

; (1.14)

Išvestà lygtá reikia pertvarkyti taip:

. (1.15)

Tai ir yra ilgo laikotarpio kaštø funkcijos ávertinimo lygtis.

Kà daryti su ávertinta lygtimi? Kadangi ilgo laikotarpio kaštø funkcija naudojama investicijø valdyme, tad tikslinga ávertinti kaštø elastingumà gamybos apimties atžvilgiu. Šá elastingumà nusako koeficientas b ir visuomet svarbu patikrinti šio ávertinto koeficiento reikšmingumà.

1.6.2. Gamybos funkcija

Kiekvienos ámonës veiklos efektyvumà nusako jos išëjimas – gamybos apimtis Q ir jos áëjimo kintamieji, kuriais dažniausiai yra kapitalas (K ) ir darbas (L ). Be to, reikia ávertinti tai, kad materialiniai ištekliai paverèiami produkcija ar paslau­gomis, naudojant tam tikrà fiksuotà technologijà (T ). Kiekvienà šiø áëjimo kintamøjø kombinacijà atitinka tam tikras fiksuotas gamybos apimties lygis. Šià išëjimo – áëjimo kintamøjø priklausomybæ kaip tik ir nusako gamybos funkcija, kuri apibrëžiama taip:

. (1.16)

Pažymëtina kad, nustatant šià funkcijà, atsižvelgiama á kokybës standartus ir plano laiko apribojimus.

Žinant šià funkcijà, reikia parinkti tokias áëjimo kintamøjø reikšmes, kurios užtikrina maksimalià gamybos apimtá, siekiant minimaliø bendrøjø kaštø arba maksimalaus pelno.

Pirmieji šià funkcijà 1928 m. panaudojo C.W. Kobas ir P.H. Duglas, aprašydami JAV gamybos apimtis nuo 1899 iki 1922 m. Jø vardu vadinama funkcija užrašoma taip:

(1.17)

èia a, b – funkcijos ávertinimo koeficientai.

Konkreti ávertinta šios funkcijos lygtis buvo šio pavidalo:

. (1.18)

Kapitalo koeficientas 0,25 parodo, kad, padidëjus kapitalo áëjimui 1%, esant kitoms sàlygoms pastovioms, išëjimas padidëtø 0,25%. Analogiškai, pakitus darbo áëjimui 1%, išëjimas pakistø 0,75%. Pakitus ir kapitalo, ir darbo áëjimui 1%, išëjimas taip pat pakistø 1%.

Kokios šios išvestos gamybos funkcijos savybës padaro jà populiarà, aprašant ekonominius reiškinius daugiau nei 65 metus?

1. Bendrasis išëjimas yra dviejø arba daugiau kintamøjø kitimo rezultatas. Tada bendruoju atveju Kobo-Duglaso funkcijà galima užrašyti taip:

. (1.19)

Multiplikatyvinis šios funkcijos pobûdis nurodo tai, kad, ávertinant šià funkcijà, reikia imti tik tuos kintamuosius, kurie negali ágyti nulinës reikšmës.

2. Išvesdami gamybos funkcijà, Kobas ir Duglasas eksponenèiø laipsniø sumà laikë esant yra lygià vienetui . Vëliau buvo árodyta, kad ši suma nebûtinai turi bûti lygi vienetui, ir bendruoju atveju gamybos funkcija užrašoma taip:

. (1.20)

Jei b+c =1, tai pajamos dël gamybos masto padidëjimo yra pastovios, jei pajamos mažëja, jei  – pajamos didëja.

Pakitus darbui ir kapitalui dydžiu S, išëjimas pakis dydžiu

.

Šio pokyèio ženklas priklausys nuo sumos (b+c) dydžio.

3. Kobo – Duglaso funkcija, užrašyta 1.20 lygtimi, yra netiesinë, ekspo­nentinë funkcija. Taèiau ji lengvai gali bûti transformuota á tiesinæ, dviejø kintamøjø funkcijà, jà išlogaritmavus:

. (1.21)

Šios lygties koeficientø ávertinimui patogu naudoti standartines regresinës analizës priemones.

4. Ribinës išëjimo reikšmës gali bûti nustatomos atskirai kiekvienam áëjimui. Ribinis išëjimo dydis, ávertinantis darbo pokytá, nustatomas taip:

(1.22)

Analogiškai ribinis išëjimo kintamojo dydis, ávertinantis kapitalo pokytá, nustatomas taip:

. (1.23)

5. Išëjimo kintamojo elastingumà áëjimo kintamøjø atžvilgiu nusako Kobo – Duglaso funkcijos eksponenèiø laipsniai.

Išëjimo kintamojo elastingumas darbo atžvilgiu nustatomas taip:

.

Pažymëtina, kad  – ribinis dydis pagal darbà, o  – vidutinis dydis pagal darbà. Ávertinæ 1.22, gauname:

. (1.24)

Analogiškai

. (1.25)

6. Anksèiau aptartos teorinës gamybos funkcijos savybës išnagrinëtos, neatsižvelgus á technologijos pokyèius. Gana ilgo laikotarpio technologijos pažanga gali bûti ávertinta, remiantis pirmàja Kobo – Duglaso savybe.

Trumpai aptarsime kurioms verslo rûšims galima sudaryti gamybos funkcijà ir kokius duomenis reikia surinkti šiai funkcijai ávertinti.

Ámonei gaminant vienà produktà, nustatyti Q (bendràjá išëjimo kintamàjá) santykinai nëra sunku, ir jis gali bûti ávertintas fiziniais vienetais (kg, Lt, vnt., ). Taèiau negalima pamiršti, kad per ilgà laikà gali pakisti produkto forma, ápakavimas, sudëtis ir t.t.

Gaminant daug produktø, sunku atskirti kiekvieno produkto áëjimo kintamuosius, ir dažniausiai jø priskyrimui naudojamasi svertiniu metodu.

Svarbiausià áëjimo kintamàjá – darbà geriausiai nusako dirbtos valandos. Tiesioginio darbo valandos paaiškëja iš ataskaitø. Jei jø nëra, kaip kintamàjá galima imti tiesioginiø darbininkø skaièiø. Esant nemažai netiesioginio darbo apimèiai, ávertinama pagal visø darbininkø skaièiø.

Svarbiausias sunaudotas medžiagas geriausia ávertinti fiziniais viene­tais, o kai to atlikti negalima, – vertine išraiška. Esant didelei medžiagø ávairo­vei, galimas procentinis ávertinimas. Energijà tikslinga matuoti fizi­niais dydžiais.

Sunkiausia ávertinti kapitalà, nes vienareikšmiškai sunku nusakyti ámonës árengimø, gamybos priemoniø panaudojimo intensyvumà. Kai kada kapitalui ávertinti gamybos funkcijoje kaip indikatorius pasitelkiamas nusidëvëjimas. Taèiau reikia turëti galvoje tai, kad á atskiras kapitalo dedamàsias, sakysim á žemæ, vertinant nusidëvëjimà, išvis neatsižvelgiama.

Geriausias kapitalo matas yra fiksuotas turtas, taèiau pažymëtina, kad gamybos priemoniø kainos yra laiko funkcijos –  priklauso nuo to, kada ásigytos, jos gali bûti paveiktos kainø indeksø.

Vertinant gamybos funkcijà, svarbus yra duomenø surinkimo etapas. Jei duomenys gali bûti renkami vienoje ámonëje tam tikru fiksuotu laiko intervalu, tai galima naudoti laiko eiluèiø metodà. Šiuo atveju bûtina atsižvelgti á infliacijà, technologijos pokyèius ir ne visuomet efektyviausià gamybà, esant fiksuotai áëjimo kintamøjø kombinacijai.

Momentiniø stebëjimø metodu, duomenys surenkami tuo paèiu laikotarpiu skirtingose panašiose ámonëse. Tada, išvengiama infliacijos poveikio, taèiau gali išryškëti kainø skirtumas dël geografinio išsidëstymo; išvengiama technologijos kitimo, taèiau atsiranda prielaida, kad stebimos ámonës yra ne tos paèios technologinës kokybës.