TIKIMYBIŲ TEORIJA IR STATISTIKA - Namų darbas

Tikimybių teorija ir statistika

Namų darbas

Savo pavardės raides STEPULEVIČIUS sudėkite į eilź. Kokia tikimybė, kad gausite savo pavardź?

A – sudėjus raides į eilź gavau savo pavardź

Iš viso yra 13 raidžių, tai galimų galimų kombinacijų yra

m = 13!

Kadangi raidės S, E, U, I kartojasi po 2 kartus tai palankių įvykių skaičius lygus

n = 2!2!2!2!

Įvykio A tikimybė yra lygi

M telegramų atsitiktinai išskirstomos į N kanalų ( N > M). Apskaičiuokite įvykio A tikimybź:

A į vien¹ kanal¹ pateks visos telegramos.

M telegramų paskirstyti į N kanalų yra būdų:

Kadangi visos telegramos gali patekti į bet kurį kanal¹, tai

Tada tikimybė lygi

Atkarpoje, kurios ilgis m, atsitiktinai žymime tašk¹. Kokia tikimybė, kad šio taško atstumas iki atkarpos galų bus didesnis už 1/k? Čia: m = , k = .

A – pasirinkto taško atstumas iki atkarpos galų didesnis už 1/2

x – pasirinktas taškas

a – atkarpos pradžia

b – atkarpos pabaiga

a = 0 ;  b = 1;

tuomet palankių įvykių aibź galime išreikšti nelygybės sprendiniais

Kadangi nelygybė sprendinių neturi tai rodo jog palankių baigčių įvykiui A nėra tai reiškia kad įvykis A neįmanomas t.y.

P(A) = 0

Ryšio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siunčiami trys signalai. Jų teisingumo (be klaidų) priėmimo tikimybės yra p₁ = 0,95, p₂ = ir p₃ = . Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes:

A – visi signalai priimti teisingai,

B – bent vienas signalas priimtas teisingai,

C – du signalai priimti teisingai,

D – bent vienas signalas priimtas klaidingai.

Pažymime įvykius:

A₁ -pirmas signalas priimtas teisingai;

A₂ - antras signalas priimtas teisingai;

A₃ - trečias signalas priimtas teisingai.

Kadangi įvykiai A₁, A₂ , A₃ nepriklausomi tai

A=

tikimybė įvykio A lygi

P(A)== =0.686375

tikimybė įvykio B lygi

P(B)=1-

Įvykiui B priešingas yra įvykis - visi signalai priimti klaidingai. Kadangi įvykiai A₁, A₂ , A₃

nepriklausomi tai

== = 0.001125

Gauname įvykio B tikimybź

P(B)=1-0.001125= 0.998875

Kadangi įvykiai A₁, A₂ , A₃ nepriklausomi ir bet kurie 2 signalai gali būti priimti teisingai, tai

tikimybė įvykio C lygi

P(C)=++

P(C)= = 0.278375

tikimybė įvykio D lygi

P(D)=1-

Įvykiui D priešingas yra įvykis - visi signalai priimti teisingai. Kadangi įvykiai A₁, A₂ , A₃

nepriklausomi tai

=P(A)

Tada įvykio D tikimybė lygi

P(D)=

Sistema sudaryta iš septynių nepriklausomai funkcionuojančių elementų. Apskaičiuokite sistemos patikimum¹, jei elementų patikimumai p₁ p₂ p 0,9; p₄ 0,8; p₅ p₆ p₇ 0,7

Pažymime įvykius A_i veikiantis i-tasis elementas, i = l, 2, 3, 4, 5. Šių įvykių tikimybės atitinkamai lygios p_i i= 1,2, 3, 4, 5. Įvykis A - veikianti sistema. Tada sistemos patikimumas

Įvykis A – veikianti sistema. Tada sistemos patikimumas

Pirmoje urnoje yra m₁ = baltų ir n₁ = juodų, antroje – m₂ = baltų ir n₂ = juodų, o trečioje – m₃ = baltų ir n₃ = juodų rutulių. Iš pirmos urnos traukiame k₁ = , o iš antros – k₂ = rutulių ir dedame į treči¹ urn¹, o po to iš trečiosios urnos traukiame vien¹ rutulį. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas?

A Šį uždavinį sprźsime panaudodami pilnosios tikimybės formulź. Galimos tokios hipotezės:

H₁- iš pirmos urnos ištrauktas juodas ir iš antros juodas rutuliai

H₂ - iš pirmos urnos ištrauktas baltas ir iš antros juodas rutuliai;

H₃ - iš pirmos urnos ištrauktas juodas ir iš antros baltas rutuliai;

H₄ iš pirmos urnos ištrauktas baltas ir iš antros baltas rutuliai;.

Įvykis A - iš trečios ištrauktas baltas rutulys.

Apskaičiuojame hipotezių bei s¹lygines tikimybes:

P()=P()=P()=P(

P(A|)=  P(A|)=

P(A|)=  P(A|)=

Apskaičiuojame įvykio A tikimybź surašź, reikšmes į pilnosios tikimybės formulź:

=

Du žaidėjai vienas po kito (A – pirmas, B – antras) traukia po vien¹ rutulį (gr¹žinamoji imtis) iš urnos, kurioje yra m = baltų ir n = juodų rutulių. Laimi tas, kuris pirmas ištraukia balt¹ rutulį. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes:

a) laimi A, dar netraukźs k = kartų;

b) laimi A, traukźs ne daugiau kaip k = kartų;

c) laimi B, traukźs ne mažiau kaip k = kartų.

Palyginkite žaidėjų A ir B laimėjimų galimybes, kai žaidimas begalinis.

Pasižymime:

Įvykis A – žaidėjas A laimi dar netraukźs k = kartų;

Įvykis B – žaidėjas A laimi traukźs ne daugiau kaip k = kartų;

Įvykis C – žaidėjas B laimi traukźs ne mažiau kaip k = kartų.

Įvykis D_A – žaidėjas A laimi kai žaidimas begalinis.

Įvykis D_B – žaidėjas B laimi kai žaidimas begalinis;

A_i - pirmas žaidėjas i-tuoju traukimu ištraukė balt¹ rutulį; B_j - antras žaidėjas j-tuoju traukimu ištraukė balt¹ rutulį.

A įvykį sudaro įvykiai: A žaidėjas laimi ištraukźs pirmu traukimu arba laimi ištraukźs antru traukimu, kai B žaidėjas pirmu traukimu neištraukė balto rutulio. Tai užrašoma:

Tada tikimybė:

B įvykio užrašomas:

Tada įvykio tikimybė:

P(B)==

C įvykio užrašomas:

Tada įvykio tikimybė:

P(C)=+= =

D_A įvykio užrašomas:

Tada tikimybė lygi:

P(D_A)=

D_B įvykio užrašomas:

Tada tikimybė lygi:

P(D_A)= +==

Iš apskaičiuotų tikimybių matosi, jog pirmojo žaidėjo tikimybė laimėti yra didesnė kai žaidimas begalinis.

Tarp siuntoje esančių N = 7 gaminių M = gaminių yra pirmos rūšies. Atsitiktinai imame n = gaminių, X – paimtų pirmos rūšies gaminių skaičius. Užrašykite X tikimybių pasiskirstymo dėsnį (lentelė, pasiskirstymo funkcija). Nubraižykite pasiskirstymo funkcijos grafik¹. Apskaičiuokite vidurkį, vidutinį kvadratinį nuokrypį ir tikimybź P(X ³ MX). Uždavinį išsprźskite, kai Pažymime atsitiktinį dydį X – paimtų pirmos rūšies gaminių skaičius, x_i - galimos jo reikšmės. Šiame uždavinyje jų yra 5: x₁ = 0, x₂= 1, x₃ = 2, x₄ = 3, x₅ = 4. Apskaičiuojame tikimybes, su kuriomis atsitiktinis dydis X gali įgyti kiekvien¹ reikšmź, t.y. tikimybes p_i = P(X= x_i), čia i = l, 2, 3, 4,5.

a) imtis gr¹žinamoji

P(X=0)= =  P(X=1)= =

P(X=2)=   P(X=3)= =

P(X=4)= =

Pasiskirstymo funkcija:

Pasiskirstymo funkcijos grafikas.

Atsitiktinio dydžio vidurkis

MX==

Dispersija

DX=

+=

Vidutinis kvadratinis nuokrypis

Tikimybė kad yra lygi

b) imtis negr¹žinamoji.

P(X=0)==

P(X=1)==

P(X=2)==

P(X=3)==

Pasiskirstymo funkcija:

Pasiskirstymo funkcijos grafikas.

Atsitiktinio dydžio vidurkis

MX==

Dispersija

DX==

Vidutinis kvadratinis nuokrypis

Tikimybė kad yra lygi

Radijo aparatūra sudaryta iš n = 100 elektroelementų. Vieno elemento sutrikimo per metus tikimybė lygi p = ir nepriklauso nuo kitų elementų būsenos. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes:

Įvykis A – per metus sutriko m = elementų,

Įvykis B – per metus sutriko ne mažiau kaip m = elementų.

Įvykio A tikimybė lygi

(4)=

Norėdami apskaičiuoti B įvykio tikimybź nagrinėjame priešing¹ įvykį t.y. per metus suges mažiau kaip 4 elementai (t.y. arba visi elementai veiks, arba suges vienas elementas, arba suges 2 elementai, arba suges 3 elementai). Tada tikimybė lygi:

P(B)==0.35276

Atsitiktinis dydis X pasiskirstźs pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, o jo parametrai yra m ir s. Apskaičiuokite tikimybes P(a £ X £ b), P(|X| > b). Užrašykite 2s taisyklź ir paaiškinkite jos geometrinź ir praktinź prasmes. Čia:

m = , s , a , b = .

Tada tikimybė bus lygi:

Apskaičiuojame tikimybź

taisyklė:

t.y. tikimybė, kad normalusis atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio m = -l ne daugiau kaip = 2 lygi . Tai rodo, kad normalusis dydis vidurkio aplinkoje yra labai koncentruotas.

Parinkite parametr¹ g tokį, kad p(x) būtų tankio funkcija (grafikas). Užrašykite pasiskirstymo funkcijos analizinź išrašk¹, nubraižykite jos grafik¹. Apskaičiuokite vidurkį, dispersij¹ ir tikimybź P(|X – MX| <). Čia:

o, a = , b = .

Atsitiktini dydžio X tankis yra p_x(x). Užrašykite dydžio Y pasiskirstymo funkcij¹ F_y(y), tankį p_y(y) ir apskaičiuokite vidurkį MY, jei Y – skritulio, kurio spindulys X, plotas;. Čia:

Atsitiktinio dydžio X tankis apibrėžtas 12 užduotyje. Dydis Y = aX^k +b. Apskaičiuokite dydžio Y vidurkį ir dispersij¹. Čia a , b , k = .