ELEKTRONINĖS OPTIKOS OBJEKTAI IR MATEMATINIS APARATAS

ELEKTRONINĖS OPTIKOS OBJEKTAI IR MATEMATINIS APARATAS

Šios dalies pirmajame poskyryje susipažinsime su pagrindinėmis EO s¹vokomis, terminija, klasifikacija ir svarbiausiais uždaviniais, sprendžiamais apibendrintose EO sistemose, t.y. sistemose, kuriose įelektrinta dalelė (daugeliu atvejų ši dalelė yra elektronas), juda mišriame – elektriniame ir magnetiniame – lauke. Čia pateikiami ir pagrindiniai šių uždavinių sprendimo metodai.

Antrajame ir trečiajame poskyriuse prisiminsime matematinio aparato, naudojamo tolesnėse vadovėlio dalyse, pagrindinius momentus. Be to, kadangi elektrinių ir magnetinių laukų analizė grindžiama Maksvelo dėsniais, sutrumpinta forma čia pateikiamos šių dėsnių išraiškos.

Elektroninės optikos pagrindinės s¹vokos

EO – fizikos ir elektronikos dalis, nagrinėjanti įelektrintų dalelių judesį elektriniuose ir magnetiniuose laukuose, įelektrintų dalelių srautų formavim¹, fokusuotź, kreipim¹, vaizdų sudarym¹ ekrane (taikinyje), srautų fokusuotės bei kreipimo iškraipymus (aberacijas).

Įelektrintų dalelių judėjimas elektriniame ar magnetiniame lauke kai kuriais požiūriais analogiškas šviesos sklidimui atitinkama aplinka, todėl kai kuriuos optikos dėsningumus ir s¹vokas galima perkelti į EO sritį:

-EO vartojamas elektroninis-optinis lūžio rodiklis, formuojami elektroniniai lźšiai, prizmės, veidrodžiai. Elektroniniai lźšiai apibūdinami optiniu stiprinimu, pagrindiniais židiniais, pagrindinėmis plokštumomis ir pan.

-EO skirstoma į geometrinź EO ir banginź EO.

Geometrinė EO nagrinėja įelektrintų dalelių judėjim¹ elektriniuose ir magnetiniuose laukuose, jų fokusuotź, kreipim¹ ir pan., neįvertindama banginių dalelių savybių. Banginėje EO į judanči¹ dalelź žiūrima kaip į de Broilio bang¹, ir nagrinėjami specifiniai tokios bangos sklidimo ypatumai – difrakcija ir interferencija. De Broilio bangos ilgis l=h/(m^.v), (h =6,626176(36)^.10^-34 J^.s – Planko konstanta (skaičius skliausteliuose parodo paskutiniųjų dviejų reikšminių skaitmenų skaičiaus standartinį nuokrypį), v ir m – įelektrintos dalelės greitis ir masė). Bangos ilgis net palyginti lėtiems elektronams yra labai mažas, pvz., elektrono, įgreitinto 100 V potencialų skirtumu, de Broilio bangos ilgis l=1,25^.10^-10 m ir, nagrinėdami daugum¹ EO klausimų, banginių elektrono savybių galime nepaisyti. Tik išskirtiniais atvejais, pvz., nagrinėjant ribinź elektroninio mikroskopo skiriam¹j¹ geb¹, neišvengiamai tenka taikyti banginės EO metodus, todėl toliau įvairius klausimus nagrinėsime vien geometrinės EO metodais.

Pagal Heizenbergo neapibrėžtumo s¹lyg¹, elektrono greitis v ir padėtis x (koordinatė) negali būti tiksliai apibrėžti, t.y. ; čia m₀=9,109534(47)^.10^-31 kg elektrono rimties masė. Įrašź h ir m₀ reikšmes, gauname Jeigu greičio paklaida =0,1% ir v³10⁶ m/s (toks elektrono greitis yra elektroniniuose vamzdeliuose), tai Dx³0,73^.10^-6 m. Todėl galima tarti, kad elektrono padėtis ir jo greitis apibrėžiami tiksliai.

Elektrono greitis bet kuriame erdvės taške priklauso nuo to taško elektrinio lauko potencialo j Elektrono energijos tvermės dėsnį reliatyvistinėje fizikoje apibrėžia Einšteino lygtis: ; čia - -reliatyvus elektrono masės pokytis, - šviesos greitis vakuume, -elektrono krūvis. Išreiškź elektrono greitį v, gauname:

=.  (1.1)

Elektrono greitis v, esant įvairiems lauko potencialams pateiktas 1 lentelėje. Toje pačioje lentelėje pateiktas ir santykinis elektrono greitis elektrono greičio, apskaičiuoto pagal klasikinź fizik¹, kai m=m₀=const., atžvilgiu.

Iš lentelės rezultatų galima daryti išvad¹, kad reliatyvius procesus reikia įvertinti, kai j > 50 kV. Kai j < 50 kV, elektrono greitį galima skaičiuoti klasikiniu būdu:

(1.2)

Dažniausiai vartojamos geometrinės EO s¹vokos:

-elektronų srautas – tai apytiksliai į vien¹ pusź judantys elektronai;

-elektronų pluoštas – tai elektronų srautas, kurio išorinės ribos apibrėžtos. Be to, vienos ašies kryptimi šis srautas daug ilgesnis nei kitų ašių kryptimis;

-elektronų spindulys – tai labai plonas elektronų pluoštas, kurio pėdsak¹ vamzdelio ekrane galime laikyti tašku.

Judančius elektronus veikia ne tik išoriniai elektriniai ir magnetiniai laukai, kuriami ritelių srovių, įkrautų elektrodų, feromagnetikų, nuolatinių magnetų ir pan., bet ir pačių judančių elektronų kuriami elektriniai ir magnetiniai laukai. Tai ypač ryšku, kai elektronai juda spinduliu (labai sufokusuoti), turi didelį erdvinio krūvio tankį ar juda dideliu greičiu.

Magnetiniai elektronų kuriami laukai vertintini tik tada, kai elektronų greitis artimas šviesos greičiui, todėl daugeliu atvejų jų poveikio galima nepaisyti. Tuo tarpu elektriniai elektronų kuriami laukai yra efektyvesni tada, kai elektronų greitis nedidelis (ilga poveikio trukmė) ir elektronų spindulyje yra didelis erdvinio krūvio tankis (didelis elektronų tankis). Taigi EO dar dalijama į dvi dalis: EO, nevertinanti erdvinio krūvio įtakos, ir intensyvių elektronų pluoštų EO.

Skirstymo kriterijumi laikoma erdvinio krūvio koeficiento (perveanso) reikšmė ; čia I – elektronų pluošto (spindulio) srovė; j – elektronų greitinimo potencialas. Jei P < 10^-2 mA/V^3/2, tai erdvinio krūvio įtakos galima nepaisyti. Ši s¹lyga galioja kineskopams (s¹lygiškai), oscilografiniams vamzdeliams; tuo tarpu klistronuose, magnetronuose, bėgančiosios bangos lempose, elektroniniuose mikroskopuose, projekciniuose kineskopuose, galinguose technologiniuose EO įrenginiuose būtina vertinti erdvinio krūvio įtak¹.

Pagrindinė klasikinės EO lygtis, aprašanti elektrono judesį elektromagnetiniame lauke, yra

; (1.3)

čia m=m₀, q=-e, - elektrinio lauko stiprumas, - magnetinio lauko indukcija.

Taigi, norėdami rasti elektrono judesio dėsnį [x(t), y(t), z(t)], turime žinoti elektrinio lauko stiprumo , magnetinės indukcijos vektorius ir elektrinio lauko potencial¹ j tuose erdvės taškuose, per kuriuos skrieja elektronas. Šį uždavinį galima sprźsti dviem metodais:

1. Naudojant šiuolaikinź teorinź elektrinių ir magnetinių laukų skaičiavimo bazź bei jau pakankamai galing¹ skaičiavimo technik¹, remiantis duotos EO sistemos konstrukcijos parametrais, skaičiuojami elektriniai ir magnetiniai laukai reikalinguose erdvės taškuose. Tai galima atlikti dviem būdais:

a) elektriniai ir magnetiniai laukai skaičiuojami fiksuotuose (baziniuose) ribotos erdvės taškuose. Kadangi bendruoju atveju šie taškai nesutaps su elektronų trajektorijai skaičiuoti reikalingais taškais, laipsniniais (taip pat ir ortogonaliaisiais) polinomais ar kitomis funkcijomis atliekamas trimatis analitinis laukų aprašymas (trimatė aproksimacija arba interpoliacija). Kadangi baziniuose taškuose laukai apskaičiuojami gana tiksliai ir trimatė aproksimacija yra sudėtingesnis uždavinys, tai, jei bazinių taškų yra pakankamai daug, optimalus analitinis laukų aprašymas yra trimatė tiesinė (kraštiniu atveju – kvadratinė) interpoliacija. Tai galima pagrįsti tuo, kad elektriniai ir magnetiniai laukai bekrūvėje ir besrovėje erdvėje yra potencialiniai, t.y. jiems galioja Laplaso lygtis

(1.4)

Laplaso lygties sprendinys yra harmoninė funkcija, kurios viena iš savybių yra ta, kad potencialas j sferos centre lygus vidutinei sferos paviršiaus potencialo reikšmei:

Jei lauko potencialas j yra tiesinė koordinačių funkcija, tai, naudodami tiesinź interpoliacij¹, paklaidos negausime. Jei bazinių taškų nepakanka, tenka taikyti sudėtingesnź kvadratinź interpoliacij¹.

Šis būdas patogus tuo, kad galima atskirti laukų skaičiavimo ir elektronų trajektorijų skaičiavimo procedūras: skaičiuodami trajektorijas, turime turėti tik laukų stiprumų baziniuose taškuose masyvus arba aproksimacinių polinomų koeficientus. Tačiau šis būdas tinka tik tiesinei sistemai, t.y. kai laukų potencialai yra tiesiogiai proporcingi elektrodų potencialams ar ritelių srovėms. Jei EO sistema turi feromagnetinių elementų, ji bendruoju atveju tampa netiesine sistema.

b) laukai skaičiuojami tuose taškuose, kurių reikalauja elektronų trajektorijų skaičiavimo programa. Šiuo atveju taškų yra nedaug, ir šį būd¹ galima taikyti tiek tiesinėms, tiek netiesinėms sistemoms, bet laukų skaičiavimo ir trajektorijų skaičiavimo programos yra susipynusios.

2. Laukus galima ne skaičiuoti, o matuoti. Šis metodas taikytinas tada, kai skaičiuoti laukus labai sudėtinga: turime sudėtingos konstrukcijos laukų šaltinius, yra daug skirtingos prigimties laukų šaltinių ir pan. Be to, modeliuojant (skaičiuojant) laukus, sunku sudaryti matematinį modelį, adekvatų fiziniam modeliui, todėl, matuodami laukus, įvertiname visus veiksnius, turinčius įtakos laukų konfigūracijai ir stiprumui. Magnetinius laukus matuoti nesudėtinga, tuo tarpu elektrinių laukų matavimas yra komplikuotas dalykas ir jis dažnai keičiamas fiziniu modeliavimu.

Galimas ir trečias uždavinio sprendimo metodas: elektriniai laukai skaičiuojami, o magnetiniai – matuojami.

1.2. Pagrindinis matematinis aparatas

Pagrindinis matematinis aparatas, naudojamas elektromagnetiniams laukams skaičiuoti, yra vektorinė analizė, kurios pagrindinės s¹vokos yra skaliaras, vektorius ir tenzorius. Bendruoju atveju laukų skaliarai ir vektoriai yra koordinačių ir laiko funkcijos. Pagrindiniai operatoriai, atliekantys kokius nors veiksmus su elektromagnetinių laukų skaliarais ar vektoriais, yra kreivinis, paviršinis ir tūrinis integralas, taip pat specialūs diferencialiniai operatoriai. Paaiškinsime šių pagrindinių operatorių esmź.

Kreivinis vektoriaus integralas (1.1 pav.) – skaliarinis dydis, proporcingas vektoriaus atliktam darbui kelyje . Jei šis kelias sudaro uždar¹ kontūr¹, toks integralas vadinimas cirkuliacija ir užrašomas ; čia -vektorių ir d skaliarinė sandauga:

(1.5)

Paviršinis vektoriaus integralas skaliarinis dydis, proporcingas vektoriaus srautui per paviršių S (1.2 pav.). Jei paviršius uždaras, gauname sraut¹ per uždar¹ paviršių ; čia d- vektorinis plokštumos elementas, kurio modulis lygus elemento plotui, o kryptis sutampa su paviršiaus išorinės normalės kryptimi.

Tūrinis vektoriaus integralas - tai vektorius, kurio dydis proporcingas tūriui V ir lygus atstojamojo vektoriaus moduliui, o kryptis sutampa su atstojamojo vektoriaus kryptimi.

Diferencialinis nabla operatorius Ñ (Hamiltono operatorius).

(1.6)

Tai simbolinis vektorius, turintis ir vektorinių ir diferencijavimo savybių. Operuojama skaliarinėmis ir vektorinėmis funkcijomis.

Laplasianas (Laplaso operatorius)

(1.7)

Tai skaliarinis diferencialinis operatorius. Atliekamos operacijos su skaliarinėmis ir vektorinėmis funkcijomis.

Skaliarinės funkcijos gradientas

gradj = .  (1.8)

Tai vektorius, parodantis didžiausio skaliarinės funkcijos j kuriame nors taške didėjimo kryptį ir dydį; čia - normalė į ekvipontecialinį paviršių potencialo didėjimo kryptimi (1.3 pav.). Dekartinėje koordinačių sistemoje

(1.9)

Vektorinės funkcijos divergencija

(1.10)

Tai vektorinio lauko skaliarinė funkcija tūryje DV, lygi šio lauko vektoriaus srauto per uždar¹ paviršių S, kuris gaubia tūrį DV, santykiui su tūriu DV, kai šis tūris traukiasi į tašk¹. Jei tūryje DV yra vektoriaus šaltinis, tai ; jei šaltinių nėra, - .

Vektorinės funkcijos rotacija

(1.11)

čia - vektorinė ir vektorių sandauga. Jei vektoriaus cirkuliacija uždaru kontūru L, ribojančiu paviršių DS, yra , tai , t.y. vektoriaus rotacijos dedamoji paviršiaus DS normalės kryptimi yra vektoriaus cirkuliacijos kontūru L santykis su ploteliu DS, kai (1.4 pav.), todėl yra toks vektorius , kai, sukinėjant plotelį DS, gaunama maksimali jo reikšmė. Teigiama kryptis priklauso nuo integravimo krypties ir nusakoma dešiniojo sraigto taisykle (1.4 pav.). Rotacija susijusi su sūkuriniais laukais, ir, kai kuriame nors taške nėra sūkurinį vektorinį lauk¹ kuriančio šaltinio, šio lauko rotacija lygi nuliui. Tokiu atveju vektorinis laukas gali būti aprašomas skaliarinės funkcijos j gradientu, ir jis vadinamas potencialiniu lauku.

Pagrindinės vektorinių operacijų taisyklės

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Pagrindinės antrosios eilės vektorinių operacijų taisyklės:

- sūkurinis laukas neturi ištakos ir santakos,  (1.15)

- potencialinis laukas neturi sūkurio, (1.16)

(1.18)

čia .

Integralinės teoremos. Tai teoremos, kurias naudojame, pereidami nuo vienos integralinės lauko aprašymo formos prie jai ekvivalenčios. Pagrindinės integralinės teoremos yra:

-divergencijos teorema

(1.19)

čia V - tūris, apribotas uždaro paviršiaus S, kurio teigiama normalė yra nukreipta į išorź;

-rotacijos teorema

(1.20)

-gradiento teorema

(1.21)

-Gauso teorema

(1.22)

-Stokso teorema

(1.23)

t.y. vektoriauscirkuliacija uždaru konturu L yra lygi šio vektoriaus rotacijos srautui per paviršių S, užtempt¹ ant kontūro L. Plotelio ir kontūro elemento kryptys tenkina dešiniojo sraigto taisyklź.

Diferencialinės ir integralinės Maksvelo lygčių formos

Maksvelo lygtys yra pagrindinės elektromagnetinio lauko lygtys, kurios gali būti aprašomos diferencialine ar integraline forma. Dalinis diferencialinio aprašymo atvejis yra kompleksinė aprašymo forma, kai laukas kinta harmonine laiko funkcija.

Integralinės Maksvelo lygtys parodo laukų parametrų ryšį daugelyje erdvės taškų, tuo tarpu diferencialinė Maksvelo lygčių forma parodo šių parametrų ryšį tame pačiame erdvės taške tam tikru laiko momentu.

Pilnutinės srovės dėsnis (I Maksvelo lygtis):

- diferencialinė forma,

- kompleksinė forma,

- integralinė forma;

čia -magnetinio lauko stiprumas, - laidumo srovės tankis, -vektoriai, kintantys harmonine laiko funkcija, pvz.. Slinkties srovė ,kaip ir laidumo srovė , sukuria magnetinį lauk¹; kintamas elektrinis laukas sukuria magnetinį lauk¹; slinkties ir laidumo srovė sudaro pilnutinź srovź.

Elektromagnetinės indukcijos dėsnis(II Maksvelo lygtis):

- diferencialinė forma,

- kompleksinė forma, (1.25)

- integralinė forma;

čia - elektrinio lauko stiprumas, - magnetinio lauko indukcija. Kintamas magnetinis laukas (magnetinė indukcija) sukuria elektrinį lauk¹, kurio kryptis susijusi su kryptimi ir nustatoma pagal dešiniojo sraigto taisyklź.

Magnetinių jėgos linijų netrūkumas (III Maksvelo lygtis).

- diferencialinė forma,

- kompleksinė forma, (1.26)

- integralinė forma.

Magnetinis srautas per uždar¹ paviršių lygus nuliui tik tada, kai magnetinių jėgų linijos yra uždaros (neturi nei pradžios, nei pabaigos).

Apibendrinta Gauso teorema (IV Maksvelo lygtis)

- diferencialinė forma,

- kompleksinė forma, (1.27)

- integralinė forma;

čia q – laisvasis elektrinis krūvis erdvėje, apribotas paviršiaus S; r - šio laisvojo krūvio tankis. Elektrinės slinkties srautas per uždar¹ paviršių lygus laisviesiems krūviams, esantiems šio paviršiaus viduje.

Šios pagrindinės keturios Maksvelo lygtys dar papildomos ryšio lygtimis kokioje nors konkrečioje izotropinėje aplinkoje:

(1.28)

čia - dielektriko (aplinkos) poliarizacijos vektorius (poliarizuotumas); - aplinkos absoliutinė dielektrinė skvarba; - aplinkos absoliutinė magnetinė skvarba; - vakuumo absoliutinė dielektrinė ir magnetinė skvarbos; e m - aplinkos santykinė dielektrinė ir magnetinė skvarbos; g - aplinkos elektrinis laidumas; - išorinio elektrinio lauko stiprumas; - aplinkos įmagnetinimo vektorius (tūrio vieneto magnetinis momentas).

Savikontrolės klausimai

Kuo panašios ir kuo skiriasi šviesos optika ir elektroninė optika?

Kokiomis s¹lygomis reikia įvertinti reliatyvistinź elektrono masź ir elektronų spindulio kuriamus laukus?

Kokie yra du pagrindiniai EO uždavinių skaičiavimo metodai?

Paaiškinkite lauko gradiento, divergencijos ir rotacijos fizikinź prasmź.

Kuo skiriasi vektoriaus cirkuliacija nuo rotacijos?

Paaiškinkite Maksvelo lygčių diferencialinź, integralinź ir kompleksinź formas.

Užrašykite statinių laukų Maksvelo lygtis.