Mintavételes rendszerek

Mintavételezés

A digitális számítógépek irányítástechnikai felhasználsának két fő területe van:

a. Digitális szimuláció, amikor az irányítási rendszert számítógépen modellezik

b. Digitális irányítás, amikor az irányítás szerves része a számítógép, vagy annak egyes feladatait átveszi.

A digitális adatfeldolgozó rendszerekben a jeleket mintavételezzük, majd digitalizáljuk. Eredményül diszkrét jelet kapunk, amelyek amplitúdóban és időben kvantáltak. Ezt a folyamatot a 1. ábra szemlélteti. Az analóg jelektől eltérően, az így előállított jeleknek csak diszkrét időpillanatban vannak értékei, amelyek szintén diszkrétek. A folyamat eredményeképpen amplitúdó modulált impulzus sorozat jött létre, amelyben az állandó t_i szélességű impulzusok amplitúdója, illetve az impulzusok területe arányos a folytonos jel amplitúdójával. A közelítés annál pontosabb, minél kisebb a mintavételi periódus idő.

1: ábra: Diszkretizálás időben és amplitúdóban.

Az amplitúdó felfelé vagy lefelé van kerekítve az amplitúdó kvantálás eredményeképpen. A mintavételezés általában állandó T_o mintavételi periódus idővel történik. A digitalizált jel a mikroprocesszor bemeneti adata lesz, amely a kimenő jelet a programozott jelfeldolgozó algoritmusnak megfelelően állítja elő. Ha a beavatkozó szerv analóg jelet igényel, a kimeneti jelet D/A átalakító és tartó eszköz segítségével visszaalakíthatjuk analóg jellé. A bemeneti és kimeneti mintavételezés nem szinkron történik, közöttük T_r időintervallum telik el. A T_r időintervallum egyrészt a konverziós időből, és a jelfeldolgozási időből tevődik össze. A mintavételes jelfeldolgozás folyamatábrája a következő ábrán látható. T_r elhanyagolható, ha sokkal kisebb, mint a beavatkozó szervek, érzékelők, és a folyamat időállandói. Ugyanilyen megfontolásból, 16 bites vagy nagyobb szóhosszúságú processzor és 10 bitesnél nagyobb felbontású A/D konverterek esetén, a diszkrét idejű jel a vizsgálatokhoz első közelítésben folytonos jelszintűnek tekinthető.

2 ábra: Digitális jelfeldolgozás blokkvázlata.

3. ábra: fizikai és matematikai mintavételezés

Az impulzusok szélessége a mintavételi lépésközhöz képest kicsi. Ezért nagyobb hiba nélkül helyettesíthetjük a mintavételezett impulzusokat azonos területű Dirac impulzusokkal. Ezáltal az idealizált matematikai mintavételezéshez jutunk, ami a mintavételes rendszerek tárgyalását lényegesen leegyszerűsíti. Figyelembe kell venni, hogy a mintavételezés információvesztést jelent, mivel csak a mintavételi pontokban ismert a jel értéke. Az y(t) és yd (t) jelek közötti kapcsolat nem kölcsönösen egyértelmű. Az információ vesztés csökken a mintavételi frekvencia növelésével.

Tartás

A digitális szabályozók kimenete diszkrét idejű jel, amelyet folytonos idejűvé kell alakítani. Ezt a D/A átalakító végzi. E folyamat két részre osztható: dekódolásra és tartásra. A dekódolás folyamán a diszkrét idejű digitális jelből analóg impulzusok lesznek. Az analóg impulzus sorozatból a tartó áramkör folytonos idejű jelet állít elő. Többféle tartóáramkör lehetséges, attól függően, hogy a megelőző n darab diszkrét idejű értékből milyen extrapolációval történik a kimenő jel előállítása.

Zérusrendű tartó áramkör a legegyszerűbb. Az nT_s és (n+1)T_s időpontok között ekkor y(nTs) állandó érték a kimenet.

Ez lépcsős görbét jelent. A zérusrendű tartószerv átviteli függvénye:

Az első rendű tartó áramkör az nT_s és (n+1)T_s időpontok között az y(nT_s) és y((n-1)T_s) értékekből képez egyenest. A másodrendű tartók az extrapolációt parabola segítségével végzi. Gyakorlatban a zérusrendű tartónak a jelentősége a legnagyobb.

A mintavételezett jelek matematikai leírása

Az időtartományban a mintavételezett jeleket Dirac impulzusokból álló sorozatként ihatjuk le:

A mintavételezett jelek leírása a frekvencia tartományban a Laplace transzformáció segítségével lehetséges. A mintavételezett jelsorozat Laplace transzformáltja az eltolási tétel felhasználásával:

A jelölést bevezetve kapjuk a diszkrét idejű jel z transzformáltját, vagy diszkrét Laplace transzformáltját:

A z változót késleltetési, vagy eltolási operátornak is tekinthetjük, ahol a z^-k együtthatóval való szorzás azt jelzi, hányadik a jel a mintavételezett jelsorozatban. Ha egy jelsorozatot z-vel szorzunk, a művelet eredményeképpen a jelsorozat időben negatív irányban tolódik el. Ugyanígy, a z -el történő szorzás időben késleltetést jelent.

E felfogás szerint a transzformáció más megközelítéssel is bevezethető.

Egy x=x[k] diszkrét idejű jelsorozat X(z)=Z diszkrét idejű Laplace transzformáltja, más néven z transzformáltja a következő:

A z változó dimenzió nélküli mennyiség, vagy néha radián mértékegységben adják meg, mint a diszkrét idejű körfrekvenciát.

A jeleket belépő jeleknek tekintjük, azaz ha k < 0.

Az inverz z transzformációelvileg az inverziós integrállal hajtható végre:

k egész szám.

Az inverziós integrál kiértékelése azonban általában nehéz, így más módszereket használunk, hasonlóan az inverz Laplace transzformációhoz.

A z transzformáció tulajdonságai és az inverz z transzformációs módszerek

1.2. Az impulzusok és az egységugrás transzformáltjai.

A DI egységimpulzus z transzformáltja.

A diszkrét idejű egységimpulzus (d d[k] = 0 egyébként) z transzformáltja a definicióból következik:

Z = 1.  (9.)

Hasonlóan látható be, hogy:

Z = z^-r  (10.)

Ebből következik, hogy a véges hosszúságú belépő DI jel z transzformáltja a z^-1 változó polinomja:

(11.)

Ez kifejezhető a z két polinomjának hányadosaként:

(12.)

A DI egységugrás transzformáltja.

A definiciós képletbe helyettesítve:

(13.)

A mértani sor konverges, ha , azaz, ha A mértani sort másképpen felírva:

(1)

A Laplace transzformáció definiciójából következik, hogy az f[k]=1, vagy a g[k]=2-e[k] DI jel transzformáltja megegyezik e[k] transzformáltjával, vagyis F(z)=G(z)=z/(z-1).

Linearitás:

Mind a transzformáció, mind az inverz transzformáció lineáris:

(15.)

(16.)

Csillapítási tétel:

Bármely komplex q szám esetén:

(17.)

Ha q valós, és -1<q<+1, akkor az x szorzótényezőjeaz időtartományban exponenciális csillapítást jelent. Innen kapta a tétel a nevét. Az igazolás egyszerű, nem részletezzük.

A tétel alkalmazásaként kapjuk:

(18.)

Gyakori előfordulása miatt érdemes megjegyezni:

Késleltetett belépő jel transzformáltja.

Ha X(z)=Z, akkor

(20.)

A tételt eltolási vagy késleltetési tételnek is nevezik.

Nem belépő jel késleltetése.

Ha X(z)=Z, akkor a késleltetett jel z transzformáltja:

(21.)

A késleltetett jel z transzformáltját X(z) nem határozza meg, mert annak számításakor az

x[-1], x[-2], értékeket nullának tekintettük, tehát ezeket külön-külön figyelembe kell vennünk. Ha ezek értéke nulla, akkor az egyenlet a (20.) formára egyszerűsödik.

Speciálisan r=1 és r=2 esetén:

(22.)

Siettetett DI jel

Ha X(z)=Z, akkor az egy ütemmel siettetett (hátratolt) jel transzformáltja:

(23.)

Az általánosítás több ütemre nem okoz nehézséget, itt nem foglalkozunk vele.

Belépő jelek konvolúciója:

A két belépő jel konvolúciójának z transzformáltja transzformáltjuk szorzata.

(2)

Inverz z transzformáció

Az X(z) z transzformáltnak megfelelő diszkrét x[k] jelet az X(z) inverz z transzformáltjának nevezzük. Az inverz z transzformáltat különféle módszerekkel határozhatjuk meg:

Résztörtekre bontással és z transzformációs táblázat segítségével

Polinom osztással

Differencia egyenelt megoldásra visszavezetve

Komplex inverziós integrállal.

A módszerekre a következőkben mutatunk példákat.

Résztörtekre bontás módszere

A jel z tartománybeli alakját parciális törtek összegére bontjuk, és az így nyert résztörteket táblázatból kikeressük. Az eredmény az egyes tagok összege lesz.

Legyen

A parciális törtekre bontott alak:

az A és B együtthatókat meg kell határozni.

z=1 esetén B=5,

Z=0.4 értékkel pedig A=-2 adódik.

Táblázatból visszakeresve a diszkrét jelet:

Polinom osztás

A módszer akor használható, ha a jelek egyoldalúak, vagyis csak pozitív vagy csak negatív időpontokban fellépő jelek. Ha a z transzformáltat polinomok hányadosaként írjuk fel, csökkenő kitevőkkel. A két polinomot elosztva az eredményt z végtelen soraként kapjuk, és a z együtthatói adják a diszkrét x k impulzussorozat elemeit.

Példa:

Ezt át kell alakítani z ^-1 hatványai szerinti polinomok hányadosává:

Az osztás eredménye:

Az osztás eredménye:

Az

egyenlet alapján a diszkrét jelsorozat a következő:

x(0)=0

x(1)=10

x(2)=17

x(3)=18.4

x(4)=18.68

A módszerrel általában nem kapunk zárt formát az időfüggvényre. De a számítás tetszőleges pontosságig folytatható.

Néha az eredmény zárt kifejezésként kapható, pl az alábbi esetben:

Ez átírható a következő formába:

Az osztás eredménye:

Azaz, a diszkrét jelsorozat zárt formában írható fel:

Inverz transzformáció differenciaegyenlet megoldással

A módszer előnye, hogy algoritmizálható. Legyen a z tartományban adott jel belépő függvény, és a következő egyenlettel adott:

Írjuk fel az alábbi alakban:

Ahol az u(z) gerjesztés a Dirac delta z transzformáltja, mivel

Rendezzük át az egyenletet:

Majd alakítsuk át a kifejezést differencia egyenletté:

Mivel u[k] a diszkrét egység impulzus, u[k]=1, ha k=0, és u[k]=0, ka k?0.

Legyen k=-2. Ekkor az egyenlet:

A kezdeti értékek: x[-1]=x[-2]=0, mivel belépő jel, u[-1]=u[-2]=0, mivel egység impulzus.

Így a megoldás elsőtagja:

x[0]=0

Helyettesítsünk be k=-1-et.

A kezdeti értékek: x[0]=0, az előbb már ezt meghatároztuk, x[-1]=0, u[0]=1, u[-1]=0,

A második tag:

X[1]=10

Helyettesítsünk be k=0-t. A következő megoldandó differencia egyenlet:

A kezdeti feltételek: x[0]=0, x[1]=10, u[0]=1, u[1]=0.

A harmadik tag:

X[2]=17

Helyettesítsünk be k=1-t. A következő megoldandó differencia egyenlet:

A kezdeti feltételek: x[0]=0, x[1]=10,x[2]= 17, u[0]=1, u[1]=0.

A negyedik tag:

X[3]=18.4

A következő differencia egyenletekben az u[k] értékeire mindig 0-t kapunk. A számítások részletezésének mellőzésével az eredmények:

x[4]=18.68

x[5]=18.736

x[6]=18.742

x[7]=18. 7495

x[8]=18.7499…

Számításunk eredmény megegyezik a résztörtekre bontás és a polinomosztás módszerével kapott eredményekkel.

De ellenőrizhetjük számításainkat a kezdeti és a végérték tételekkel is:

Oldjuk meg differencia egyenletté alakítással a következő visszatranszformálási feladatot is, amelynek végeredméányét polinomosztással már közöltük. X(z) belépő függvény:

Alakítsuk át differencia egyenletté:

Legyen n=-2,

x[0]=0

Legyen n=-1,

x[1]=0

Legyen n=0,

Legyen n=1

Legyen n=2

…

A mintavételezett jelsorozat:

, , , …, megegyezik az előbbi jelsorozattal.

A folytonos idejű rendszerek diszkrét modellje

Digitális szabályozókban folytonos és diszkrét idejű szakaszok vannak egymással összekötve. A szabályozó diszkrét, a folyamat folytonos jelekkel jellemezhető. A kétféle szakasz között A/D átalakítók végzik el a jelek illesztését. A szabályozórendszer vizsgálatához egységes modellt kell elkészíteni, ahol a teljes rendszert azonos típusú jelekkel működőnek tekintjük. A modellalkotáshoz többféle lehetőség van:

diszkrét idejű a szabályozó, folytonos idejű a szabályozott folyamat,

a diszkrét idejű szabályozót folytonos modellel helyettesítjük és folytonos idejű a szabályozott folyamat,

a diszkrét idejű szabályozóhoz diszkrét idejű folyamat modellt állítunk elő.

A szabályozók tervezésekor a diszkrét modell előnyösebb, mert a ténylegesen megvalósított szabályozó diszkrét lesz.

A szabályozási kör vizsgálatakor célszerű a folytonos modell célszerűbb, mivel így a rendszer mintavételi pontok közötti viselkedése is megismerhető.

A folytonos és diszkrét idejű rendszerek közti összefüggést az s és a z tartomány között a összefüggés írja le. A konvertálásra számos módszer létezik, közülük néhányat a következő rész ismertet. A módszerek egy része az azonos bemenő jelek hatására adott azonos válaszon alapul. Mind a folytonos, mind a diszkrét rendszer kimenő jeleinek azonosaknak kell lenni a mintavételi pillanatokban. Ide tartoznak az egység ugrás és egység sebesség invariáns módszerek. A módszerek egy másik csoportja pedig a szimulációs módszerekből származik. Ilyen például a bilineáris közelítés, mely a trapéz módszerből származik, vagy a differencia egyenlet módszer.

Egység ugrás invariáns módszer, vagy zérusrendű tartó módszer. A módszer által eredményezett diszkrét és az eredeti folytonos rendszer egység ugrásra adott válasza megegyezik a mintavételi pillanatokban. A szabályozott szakasz elé zérusrendű tartó áramkört mögé, pedig egy mintavételező áramkört tételezünk fel, így az eredményül kapott rendszer bemenete és kimenete egyaránt digitális lesz. A zérusrendű tartót és a mintavételezőt is bevonjuk a konverzióba. A konverziós egyenlet:

az egyenletben a Z operátor a z transzformációt, L^-1 pedig az inverz Laplace transzformációt jelenti. A módszert a szabályozott szakasz konvertálására használják. Nem megfelelő azonban a módszer a szabályozó diszkretizálására, mivel a zérusrendű tartó áramkör fázis késleltetést, valamint a frekvencia átvitelben torzítást okoz.

Egység sebesség invariáns módszer. Ha a bemeneti egységugrás jel helyett egység sebesség jelet használunk, az egység sebesség invariáns, vagy elsőrendű tartó módszerhez jutunk. A folytonos és a kapott diszkrét rendszer válasza ez esetben az egység sebesség jel esetén egyezik meg. A konverziós egyenlet a következő:

A módszer elfogadható eredményt ad folytonos idejű szabályozók konvertálása esetén is.

Differencia egyenlet módszer.   A módszer esetén a függvény differenciálhányadosát az aktuális és az azt megelőző mintavételezett érték különbségével helyettesítjük:

Ennek megfelelően a konverziós egyenlet a következő lesz:

Bilineáris, vagy Tustin transzformáció: A módszer a numerikus integrálásból származik, trapéz közelítő módszernek is nevezik. A konverziós egyenlet a következő:

A módszer az s tartomány bal oldalának f_s, mintavételi frekvenciával határolt sávját képezi le a z sík egységsugarú körének belsejére. A mintavételi frekvenciát ezért a lehető legnagyobbra kell választani, hogy lehetőség szerint a folytonos rendszer összes pólusát magába foglalja. A leggyakrabban használt módszer, amellyel mindig stabil rendszert kapunk, ha az eredeti folytonos rendszer stabil volt.

Diszkrét idejű rendszerek átviteli függvénye

A diszkrét idejű átviteli függvény felírásához iduljunk ki egy egyszerű átviteli tagból, amely az n-ik kimeneti jelet két egymás utáni bemenő jelből, az n-ik és n-1-ik mitavételi értékből átlagolással állítja elő:

.

Írjuk fel a z transzformáltat:

.

A diszkrét idejű processzor átviteli függvényét kapjuk, ha a kimenő jel és a bemenő jel hányadosát képezzük:

Az átviteli függvényt átírva z pozitív hatványaival, a következő kifejezést kapjuk:

A W (z) átviteli függvény rendszerjellemző, megadja, hogyan állítja elő a diszkrét processzor a kimenő jelsorozatot a bemenő jelsorozatból. Ha adott az átviteli függvény, a bemenő jelsorozatból előállítható a kimenő jelsorozat:

Ha a bemenő jel a mintavételezett egység impulzus, d[n], a kimenet az egység impulzus válasz függvény, h[n] lesz. A z transzformáltakkal:

Egy lineáris diszkrét idejű processzor átviteli függvénye egyenlő a mintavételezett egység impulzusra adott válasz függvénnyel.

Az átviteli függvényről anyag a CD mellékletben található.

Diszkrét idejű tagok frekvencia átviteli függvénye

A diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvényét az impulzus átviteli függvényből helyettesítés útján kapjuk. Sajnos, w_d(j) transzcendes függvény, ezért a frekvencia diagram komplikált, az aszimptotikus közelítés nem alkalmazható. Felírható a mintavételezett jel spektruma.

A spektrum meghatározásához a mintavételezett jelet az alábbi formában írjuk fel:

Az y_d(jw) frekvencia spektrum ebből a következő alakú lesz:

A képletben a mintavételi körfrekvencia, y(0) a jel értéke a t=0 időpontban. Az eredeti spektrum szeresére változik, és a frekvenciák körül periodikusan ismétlődik.

ábra: a mintavételezett jel spektruma.

A visszaállított jel spektruma ( Shannon tétel).

A diszkrét idejű lel feldolgozása végén y_d(jw)-ból ki kell szűrni a folytonos y(jw) spektrumot. Ez kimeneti aluláteresztő szűrővel, az úgynevezett rekonstrukcós szűrővel történik. A valóságban ez általában nem oldható meg tökéletesen, mert a 0 tengely körüli főeloszlás és a járulékos eloszlások eredője jelenik meg a spektrumban.

Minél kisebbek a jel nagyfrekvenciás összetevői és nagyobb a mintavételi frekvencia, a jel helyreállítása annál jobb lesz. Ha y(jw) spektruma a határok közé esne, megfelelően nagy mintavételi frekvencia esetén a jel tökéletesen helyreállítható lenne. A szükséges mintavételi frekvenciára vonatkoznak a Shannon féle mintavételezési tételek.

A mintavételi frekvenciának a jel w_h határfrekvenciájának kétszeresénél nagyobbra kell választani.

A jelet olyan aluláteresztő szűrővel lehet helyreállítani, amely az w<w_h tartományban T_s szeres erősítéssel viszi át a jelet, e frekvenciák felett pedig vág.

A Shannon tételek tájékoztatást adnak a mintavételi frekvencia minimális értékére, de csak elméleti határeseteket fogalmaznak meg. A valóságban a jelek végtelen sok felharmonikust tartalmaznak. Emellett a kimeneti aluláteresztő szűrők karakterisztikája sem ideális. Ezen okok miatt mintavételezés miatt mindig keletkezik hiba. A digitális jelfeldolgozó rendszerek ára nagymértékben függ a megvalósítandó mintavételi frekvenciától, az mindig az ár és a megengedett információ vesztés közötti kompromisszum eredménye. A mintavételi frekvencia csökkenthető, ha a bemenő jel frekvenciáját korlátozzuk. Ezért a bemeneten is alkalmaznak aluláteresztő szűrőt, amely a feldolgozás szempontjából érdektelen frekvenciákat kiszűri.

Diszkrét idejű rendszerek stabilitása

A folytonos rendszerek stabilitásának a feltétele volt, hogy a zárt rendszer pólusai a komplex síkon a j tengelytől balra helyezkedjenek el. stabilitására vonatkozó, a rendszer pólusaira vonatkozó definíciók diszkrét rendszerekre is érvényesek. Ezt a feltételt kell átalakítani a z tartománynak megfelelően. Ehhez a összefüggés szerint kell az s sík pontjait a z síkra leképezni. Ha az s síkon kiindulunk a képzetes tengely mentén a jw=0 pontból a pontba pontba, a z síkon egy teljes egységsugarú kört írunk le, az óramutató járásával ellentétesen. A jw tengelytől balra eső pontok az egység sugarú kör belsejébe kerülnek. Vagyis, a diszkrét idejű rendszerek stabilak, ha összes pólusuk az egységsugarú körön belül fekszik.

Általános esetben a diszkrét rendszer átviteli függvénye tört, melynek számlálója m-ed fokú, nevezője pedig n-ed fokú polinom:

.

A karakterisztikus egyenlet, D(z) gyökei meghatározzák a rendszer tranziens viselkedését.

Ha a bemenő jel egységimpulzus, és a kezdeti értékek zérussal egyenlők, a kimenő jel, azaz a rendszer egység impulzusra adott válasz függvénye megegyezik az átmeneti függvénnyel, amint ezt már korábban leírtuk:

A diszkrét idejű rendszer stabil, ha az impulzus válasz aszimptotikusan zérushoz tart. Az alábbi ábra a különböző gyökökhöz tartozó válaszfüggvényeket foglalja össze.

Diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvénye

Diszkrét idejű tag W_d(jω) frekvencia átviteli függvénye a W_d(z) impulzusátviteli függvényből

helyettesítéssel származtatható.

W_d (jω) az ω változónak transzcendens függvénye, ezért a frekvencia diagram menetéről gyors áttekintést adó aszimptotikus közelítés közvetlenül nem alkalmazható.

Így bár a z transzformáltból a tag diszkrét idejű Fourier spektruma zárt kifejezésben rendelkezésre áll, az nem tükrözi eléggé szemléletesen sem a frekvencia görbe menetét, sem a folytonos és a diszkrét idejű jelek frekvencia spektrumai közötti összefüggést.

6.6.1 A mintavételezett jel frekvencia spektruma

Jelölje y(jω) egy folytonos idejű y jel frekvencia spektrumát (6.20a ábra). A T_s időközönkénti mintavételezéssel előállított y_d jel y_d(jω) frekvencia spektruma a 6.11 példában bemutatott eljárással az alábbi alakban fejezhető ki:

ahol a mintavételezési körfrekvencia, y(0) pedig az y jelnek a t=0 pontban az esetleges ugrása.

6. 20 ábra: a mintavételezett jel spektruma.

A mintavételezés hatására az y függvény ω=0 körüli y(jω) frekvencia spektruma (az un. főeloszlás) 1/T_s-szeresére változik és ezen kívül a ±Ω; ±2Ω stb. frekvenciák körül – az un. oldalsávokban – a főeloszlással azonos járulékos eloszlások jelennek meg. A fő és a járulékos eloszlások összege -vel növelve adja a diszkrét idejű amplitúdó spektrumot – a diszkrét frekvencia függvényt – (b ábra). Az ábrán feltételeztük, hogy y(0)=0; T_s=1 és y_d(jω) valós függvény. (Valójában y_d(jω) általában komplex, ekkor az ábra a mindig valós 0,5y_d(jω)y_d(-jω) un. energia spektrumot tünteti fel.)A diszkrét spektrumban a -Ω/2≤ω≤Ω/2 fősáv eloszlása – amely ω=0-ra szimmetrikus – mindkét irányban periódikusan ismétlődik. Ezért az y_d(jω) függvényt – a szimmetriát is figyelembe véve – elegendő az ω=0 és ω=Ω/2=П/T_s közötti frekvencia értékekre meghatározni.

A mintavételes jel frekvencia spektrumának meghatározása

A mintavételezés olyan amplitúdó modulációból származtatható, amikor az y(t) folytonos idejű jelet egységnyi területű, τ szélességű egymást T_s időközökkel követő impulzusokból álló I impulzus sorozattal szorozzuk (6.21 a-b ábra). Az y(t) jelnek a c ábra szerint a t=0 pontban y(0) ugrása is lehet.

6.21. ábra: mintavételezett folytonos jel.

A szorzás eredménye olyan impulzus sorozat, amelyben az nT_s pillanatban az eredetileg egységnyi impulzus területe y(nT_s)-re változik A t=0 pontbeli impulzus területe azonban – mivel eredeti területének a fele esett a pozitívidő tartományba – a d ábra szerint y(0)/2-re módosul. Ezért a véges szélességű impulzusoknak Dirac impulzusokkal való helyettesítéséből előálló y_Md modulált sorozat (e ábra) nem egyezik meg teljesen az u_d mintavételes sorozattal, hanem

, illetve

Helyettesítsük I-ben is az impulzusokat Dirac függvényekkel és képezzük az így előálló T_s periódusidejű periodikus függvény Fourier sorát.

ahol Ω az ismétlődési (mintavételezési) körfrekvencia: Ω=2π/T_s.

A c_n komplex amplitúdó minden n-re:

Az integrálási tartományban ugyanis I-nek egyetlen Dirac impulzusa van, amely a t=0 pontot kivéve mindenütt zérus, ott viszont egységnyi területű. Az integrandus második tagja pedig ugyanitt . Ezzel a (6.70b)-ből:

Jelöljük y(jω)-val a folytonos idejű frekvencia spektrumot (6.20a ábra) és képezzük a (6.71) egyenlet Fourier integrálját (y_d(jω)).

A műveletet tagonként elvégezzük.

y(jω±jnΩ) az y(jω) folytonos jelű frekvencia spektrum ±nΩ-val való eltolásával jön létre.

A mintavételezett jel frekvencia spektruma az egyes tagok összege, amely megegyezik a (6.69) egyenlettel.

A visszaállított jel spektruma

Jelvisszaállításkor a mintavételezett jel y_d(jω) spektrumából igyekszünk valamilyen szűrési eljárással kiválasztani a folytonos idejű jel y(jω) spektrumát. A 6.20c ábra tanulsága szerint ez általában nem oldható meg tökéletesen, mert az y(jω)-val arányos főeloszlásból származó összetevő – amelynek különválasztása lenne az ideális megoldás – a járulékos eloszlásokból származó részekkel együtt jelentkezik (y_H görbe).

Egyes frekvenciatartományok kiszűrése az ábrán egy ideális szűrővel a főeloszlást is csonkítja. A megmaradó spektrum még y(0)=0 esetén is különbözik y(jω)-tól, mivel abban az oldalsávok hatása is jelen van. A frekvenciatartományban így tükröződik az időtartományban triviális jelenség, hogy a mintavételezett jel információtartalmából általában nem lehet a mintavételi pontok közötti jelenségekre következtetni. A feladat közelítő megoldására használt szűrő – a tartószerv – frekvencia karakterisztikájának az ω=0 és Ω/2 közötti sávban nagyjából alakhű átvitelt és T_s-szeres erősítést, nagyobb frekvenciákon viszont erőteljes szűrést kell biztosítania.

A szűrési karakterisztika pontos alakja attól függ, hogy a visszaállított jel y_H(jω) spektruma milyen módon közelíti y(jω)-t. A különböző rendszámú tartószervek ebben különböznek egymástól.

A magasabb rendű tartószervek a nagyobb frekvenciákat erőteljesen elnyomják, ezért a visszaállított jel nem követi y(t) hirtelen változásait.

A zérusrendű tartószerv a nagyobb frekvenciákat mérsékeltebben szűri, de nagyobb torzítást ad a kisebb frekvenciájú összetevőkben is.

Minél kisebbek y(jω) függvényében a nagyfrekvenciás összetevők és minél nagyobb Ω, annál kevésbé fedik át egymást a fő és a járulékos eloszlások, és y(0)=0 esetén az ω<Ω/2 tartományban annál inkább helytálló az közelítés. Ha y(jω) spektrum csak a ±ω_h közé eső véges tartományra terjedne (6.22a ábra), elegendően nagy Ω esetén az oldalsávok teljesen elkülönülnének és nem befolyásolnák a fősáv eloszlását, amely így arányos lenne y(jω)-val. Ekkor mód nyílna y(jω) ill. y teljes – információveszteség nélküli – rekonstrukciójára. A diszkrét és a folytonos idejű jel között kölcsönösen egyértelmű lenne a kapcsolat.

6.22. ábra: A visszaállított jel spektruma ideális esetben.

Ebben az ideális esetben a teljes rekonstruálhatóságnak a feltételeit a Shannon féle mintavételezési tételek rögzítik.

Olyan mintavételezési frekvenciát kell választani, amely az ω_h határfrekvencia kétszeresénél nagyobb (Ω>2ω_h), tehát még a határfrekvenciás összetevőből is periódusként kettőnél több mintát kell venni (b ábra).

A visszaállítást olyan ideális aluláteresztő szűrő végzi, amely az ω<ω_h sávot T_s-szeres erősítéssel torzítatlanul viszi át, az Ω/2 feletti tartományt pedig tökéletesen szűri (c ábra). Ekkor az y_d(jω)-ból kivágott spektrum (y(0)=0) éppen y(jω)-val egyezne.

A Shannon tételek a valóságban elő nem állítható elméleti határeset megfogalmazásai. Egyrészt határfrekvencája csak állandósult véges számú harmonikus tagból álló jelnek van. Egyoldalas (valamikor bekapcsolt) jel frekvencia spektruma sohasem korlátozódik a véges frekvencia tartományra. Másrészt az ideális aluláteresztő szűrő karakterisztika is csak megközelíthető. Ezért a mintavételezett jel teljes hűséggel nem rekonstruálható, az elszenvedett információveszteség annál kisebb, minél jelentéktelenebb része esik az y(jω) spektrumnak az ω>Ω/2 tartományba.

6.6.3 Diszkrét frekvencia átviteli függvény

A 6.6.2 pont eredményeiből a diszkrét frekvencia átviteli függvényre az alábbi következtetések vonhatók le.

A w_d(jω) frekvencia átviteli függvény egy mintavételezett jel – a diszkrét súlyfüggvény – frekvencia spektruma, ezért a frekvencia tartomány Ω szélességű sávjaiban periodikusan ismétlődik. A frekvencia diagramot elegendő a fősávban meghatározni.

A diszkrét súlyfüggvény a tag diszkrét idejű modelljének válasza egyetlen egységnyi területű Dirac függvényből álló bemenő impulzussorozatra. Ha a tag folytonos idejű, diszkrét idejű modellje a tartószervet is magában foglalja.

Példaképpen egy folytonos idejű átviteli függvényű tag w folytonos idejű és w_d diszkrét idejű súlyfüggvényeit a 6.23 ábrán hasonlítjuk össze. Dirac delta bemenetre a folytonos idejű modell (a ábra) kimenő jele – a folytonos idejű súlyfüggvény – w(0)=1/T₁ kezdeti értékből induló, T₁ időállandóval exponenciálisan lecsengő görbe. Ennek mintavételezése exponenciálisan lecsengő görbe. Ennek mintavételezése exponenciálisan csökkenő területű impulzusok sorozata lenne.

A H zérusrendű tartószervvel kiegészített diszkrét idejű modellben (b ábra) a tartószerv a bemenő Dirac impulzust egy T_s szélességű egységnyi amplitúdójú négyszög impulzussá alakítja, amelynek hatására a tag kimenetén w_H folytonos idejű jel jön létre. Ez 0-ból indul (w_H(0)=0), a t=T_s időpontig az értékig növekszik, majd a bemenő jel megszüntével T₁ időállandójú exponenciális görbe szerint csillapodik.

w_H mintavételezett alakja a w_Hd=w_d diszkrét idejű súlyfüggvény, ami nem azonos a folytonos idejű súlyfüggvény mintavételezett formájával (Pl. w_d(0)=0; ).

6.23. ábra: Folytonos idejű és diszkrét idejű súlyfüggvények.

A 3.-ból következik, hogy a folytonos idejű tag w_d(jω) diszkrét frekvencia átviteli függvénye, ha a fősávon belül az oldalsávok hatása elhanyagolható, nem a tag w(jω) folytonos frekvencia átviteli függvényével, hanem a w_H(jω)·w(jω) függvénnyel arányos, ahol w_H(jω) a tartószerv frekvencia átviteli függvénye.

A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás helyettesítése

Ha feltételezzük, hogy a diszkrét spektrumban az oldalsávok hatása a fősávban elhanyagolható – ami helyesen kiválasztott mintavételezési lépésköznél csaknem mindig megtehető – a diszkrét frekvencia átviteli függvény az |ω|<1/T_s un. kisfrekvenciás tartományban a w_d(jω) ~ w_f(jω) folytonos átviteli függvénnyel helyettesíthető, amelynek könnyen áttekinthető a frekvencia menete, mert alkalmazhatók rá az aszimptotikus közelítések.

Ha ismerjük annak a folytonos idejű tagnak a w(s) átviteli függvényét, amelyből a w_d(z) impulzusátviteli függvény származtatható, akkor a 6.6.3/4 pont szerint a helyettesítő függvény a w_H(s)w(s) kisfrekvenciás közelítése. Figyelembevéve a zérusrendű tartó egyenletét, és az összefüggést esetén, s=jω rövidítéssel:

Az exponális függvényt Taylor sorának első három tagjával helyettesítve:

A kisfrekvenciás tartományban a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modelltől egy T_s/2 holtidejű holtidős taggal különbözik. Ha w(s) nem ismert, vagy w_d(z) nem egy folytonos idejű tag diszkrét modelljéből, hanem diszkrét műveletből – pl. a szabályozási algoritmusból – származik, a w_d(z) (6.24b) szerinti alakjában a gyöktényezőket egyenként lehet kisfrekvenciás közelítésükkel helyettesíteni. A (6.75b) kapcsán kézenfekvő az a feltételezés, hogy a helyettesítés egy folytonos gyöktényezőből, egy holtidő jellegű időeltolásból (fáziseltolásból) valamint egy olyan arányossági tényezőből áll, amely ω=0 (z=1) frekvencián az eredeti és a közelítő formulát azonossá teszi. Pontosabban úgy fogalmazhatunk, hogy w_d(z) egy-egy gyöktényezőjét az s=0 pont körüli Taylor sorával helyettesítjük. A Taylor sor a helyettesítés pontosságától függő számú s változós gyöktényező szorzataként is előállítható. A legnagyobb időállandójú tényezőt kiemelve a többit egyetlen holtidő jellegű fáziseltolásba vonjuk össze (a holtidő itt általános értelemben pozitív vagy negatív irányú időeltolást is jelenthet). Legyen w_d(z) valamelyik pólusa vagy zérusa q, a megfelelő gyöktényező frekvencia átviteli függvénye s=jω ill. rövidítéssel

A w_q(s) kisfrekvenciás közelítés az s=0 pont környezetében meg kell hogy egyezzék a z=1 helyettesítéssel (vagy határátmenettel) kapott értékkel.

6.2 ábra: Kisfrekvenciás közelítés.