TEORINIAI ELEKTROSTATINIO LAUKO PAGRINDAI

EO sistemose elektriná lauk¹ paprastai kuria metaliniai elektrodai, turintys tam tikr¹ elektriná potencial¹. Daugeliu atvejø elektrodø potencialai yra nekintami arba kinta mažu greièiu, todël elektrodø kuriam¹ elektriná lauk¹ galima laikyti elektrostatiniu, t.y. galima nepaisyti lauko sklidimo baigtinio greièio ir sûkuriniø sroviø elektroduose átakos. Šioje knygos dalyje pateikami pagrindiniai elektrostatiná lauk¹ apibûdinantys dydžiai ir jø s¹ryšiai bei pagrindinës elektrostatinio laiko lygtys ir jø sprendiniai vienalytëje ir diskretiškai nevienalytëje erdvëse. Atkreipkite dëmesá á kraštines elektrostatinio lauko s¹lygas.

1. Lauko stiprumas, potencialas, slinktis

Jëgos, veikianèios nejudam¹ taškiná krûvá q₁, ánešt¹ já taške Q á elektriná lauk¹, kuriam¹ kito taškinio krûvio , kuris yra taške M, santykis su krûviu q₁, kai q₁ 0, vadinamas elektrinio lauko stiprumu :

(1)

èia - atstumas-vektorius, nukreiptas iš taško M á tašk¹ Q.

Kadangi pagal (1.14)

tai elektrostatinis laukas yra potencialinis (nesûkurinis) ir elektrinio lauko stiprumas išreiškiamas skaliarinës funkcijos j gradientu, t.y. . Funkcija j vadinama elektrinio lauko potencialu.

Integruodami išraišk¹ (1), gauname

(2)

Jei vienalytëje aplinkoje yra tûrinës sritys, turinèios tankiu r paskirstyt¹ erdviná krûvá, paviršinës sritys, turinèios tankiu s paskirstyt¹ paviršiná krûvá ir linijinës sritys, turinèios tankiu t paskirstyt¹ linijiná krûvá, tai visø šiø paskirstytøjø laisvøjø krûviø sukurtas elektrinio lauko potencialas bus

(3)

o elektrinio lauko stiprumas (4)

Treèias pagrindinis elektrinio lauko dydis yra elektrinë slinktis

Kai aplinka izotropinë, tai e_a yra skaliarinë koordinaèiø funkcija ir vektoriø ir kryptys sutampa. Anizotropinëje aplinkoje e_a yra tenzorius ir vektoriø ir kryptys bendruoju atveju nebesutampa, t.y.

(5)

Pasiremdami Maksvelo lygtimi (apibendrint¹ja Gauso teorema),galime užrašyti :

arba ; (6)

èia r - laisvojo krûvio erdvinis tankis. Jei nagrinëjamos erdvës dalyje, apribotoje uždaro paviršiaus S, laisvø krûviø nëra, tai ir .

Puasono ir Laplaso lygtys. Bendruoju atveju ir . Pritaikius (1.13), gaunama:

Jei nagrinëjamoje erdvës dalyje , tai ir, pritaikê (6), gauname:

(7)

Tai Puasono lygtis, kurios vienas iš sprendiniø yra (3) lygtis. Jei nagrinëjamoje erdvës dalyje laisvøjø krûviø nëra, tai Puasono lygtis dar vadinama Laplaso lygtimi:

(8)

Puasono ir Laplaso lygtys yra daliniø išvestiniø diferencialinës lygtys, turinèios be galo daug sprendiniø; tuo tarpu nagrinëjamas laukas turi vienintelá pavidal¹, todël ir sprendinys turëtø bûti vienintelis. Tai galima padaryti á uždavinio sprendiná átraukus kraštines s¹lygas, t.y. konkreèiuose erdvës taškuose tada yra žinomas potencialas j, elektrinio lauko stiprumas arba slinktis .

Kraštinës elektrostatinio lauko s¹lygos

Tarkim, kad paviršius S skiria du dielektrikus, kuriø dielektrinës skvarbos e_a1 ir e_a Be to, paviršius turi paskirstyt¹já laisv¹já krûvá, kurio tankis s. Tuomet Gauso teorema teigia, kad

; èia - cilindro paviršiaus plotas (1 pav.). Kadangi

tai, jei cilindro aukštá be galo mažinsime, treèiasis dešinës pusës narys artës prie nulio ir bei , todël

arba

(9)

Jei paviršiuje S laisvøjø krûviø nëra, tai ir .

Taigi normalinë elektrinës slinkties vektoriaus dedamoji skiriamojoje riboje pakinta šuoliu, lygiu paviršinio krûvio tankiui, arba išlieka nepakitusi, jei laisvøjø krûviø nëra. Tuo tarpu elektrinio lauko stiprumo normalinë dedamoji pakinta bet kuriuo atveju.

Pirmoji Maksvelo lygtis: Skiriamojoje riboje paimkime kontûr¹ L (2 pav.).

Potencialinio elektrinio lauko stiprumo cirkuliacija lygi nuliui, todël

Mažiname l₄₁ ir l₂₃ ; kadangi ir , tai ir

. (10)

Taigi elektrinio lauko stiprumo tangentinë dedamoji, pereidama dielektrikø skiriam¹j¹ rib¹, nepasikeièia, o elektrinës slinkties tangentinë dedamoji pasikeièia.

Kadangi potencialo pokytis yra ir yra baigtinis dydis, o , tai . Tokiu bûdu elektrinio lauko potencialas, pereidamas skiriam¹j¹ rib¹, nepasikeièia, t.y. .

Jei vien¹ dielektrik¹, pavyzdžiui antr¹já, pakeisime metalu, tai kraštinës s¹lygos bus tokios:

, , , ;

, , , . (11)

Kadangi , tai potencialas visame metalo paviršiuje yra pastovus, t.y. .

3. Elektrostatinis laukas diskretiškai vienalytëje erdvëje

Tai erdvë, turinti ávairius griežtø ribø dielektrikus. Jei aplinka yra veikiama elektrostatinio lauko, tai dielektrikai poliarizuojasi, t.y. dielektriko molekulës ar stambesnis jo darinys tampa dipoliu, kurio momentas ; èia q - dipolio elemento krûvis; - spindulys-vektorius, nukreiptas iš neigiamo krûvio á teigiam¹ (3 pav.). Dipolio kuriamas elektrinio lauko taške Q potencialas yra krûviø –q ir +q kuriamø laukø potencialø superpozicija ir išreiškiamas taip:

(12)

o elektrinio lauko stiprumas

(13)

Atlikê gradiento operacijas, gauname:

(14)

èia - vektoriaus ortas.

Dielektrike yra daug dipoliø, ir tûrio vienete esanèiø dipoliø suminis dipolis vadinamas dielektriko poliarizacijos vektoriumi arba dielektriko poliarizuotumu .

Jei dielektrikas poliarizuotas nevienodai, tai sudalijame já á mažus tûrio elementus , kuriø poliarizuotumas Tokio elemento elektrinis momentas , jo kuriamas lauko potencialas taške Q

o viso dielektriko tûrio kuriamas potencialas

(15)

Kadangi

tai

(16)

Pritaikê divergencijos teorem¹ (1.13), gauname

arba

(17)

Palygindami ši¹ išraišk¹ su bendr¹ja potencialo išraiška (3), galime užrašyti, kad  , o ; èia-surištøjø krûviø erdvinis tankis dielektrike, o s - dielektriko surištøjø krûviø paviršinis tankis.Taigi, poliarizavus dielektrik¹, jo paviršiuje atsiranda paviršiniø surištiøjø krûviø, kuriø tankis , o viduje dielektriko yra tûriniai surištieji krûviai, kuriø tankis - (), taèiau bendras poliarizuoto dielektriko krûvis lygus nuliui.

Suminis elektrinio lauko stiprumas dielektrike ; èia - elektrinio lauko stiprumas, sukurtas laisvøjø krûviø; - elektrinio lauko stiprumas, sukurtas surištøjø krûviø. Kadangi ir , tai ir , t.y. visos lauko dedamosios yra potencialinës.

Lauko stiprumo divergencija

Kadangi ir , tai

(19)

Jei dielektrikas izotropinis, tai daugeliu atvejø jo poliarizuotumas yra proporcingas elektrinio lauko stiprumui, t.y. - absoliutinio dielektriškumo koeficientas). Tada

(20)

èia -santykinë dielektriko dielektrinë skvarba .

Jei elektrinio lauko erdvëje yra laidininkø, tai laidininke laisvieji krûviai, veikiami lauko, pasislenka taip, kad laidininko viduje suminis elektrinio lauko stiprumas tampa nulinis, todël ir, t.y. viduje laidininko erdvinio krûvio nëra ir krûvis, kuriantis laidininke lauk¹, kuris kompensuoja išoriná elektriná lauk¹, pasiskirsto atitinkamu tankiu s tik laidininko paviršiuje. Paviršinio krûvio tankis ; èia - laidininko išorinës aplinkos dielektrinë skvarba.

Savikontrolës klausimai

Elektrinio lauko potencialas . Raskite elektrinio lauko stiprum¹ .

Kas yra potencialinis laukas? Ar elektrostatinis laukas yra potencialinis? Árodykite.

Kuo skiriasi Puasono ir Laplaso lygtys? Kada jos turës vienintelá sprendiná?

Kaip pakinta , pereidami iš vieno dielektriko á kit¹?

Kodël elektriniame lauke laidininkas yra ekvipotencialinis?

Á elektriná lauk¹ áneškime du nesusilieèianèius laidininkus. Ar jø potencialai bus vienodi?

Kokios yra elektrinio lauko jëgos linijos prie pat laidininko paviršiaus? Kur jos baigiasi arba prasideda?

Kuriuose erdvës taškuose dipolio kuriamas potencialas ir elektrinio lauko stiprumas lygûs nuliui?

Kas yra dielektriko poliarizacijos vektorius (poliarizuotumas) ?

Dielektrikas poliarizuotas vienodai (). Koks bus (17) išraiškos pavidalas?

Staèiakampis gretasienis vienalytis dielektrikas vienodai poliarizuotas išilgai ilgosios kraštinës. Koks bus surištøjø krûviø erdvinis tankis? Kur išdëstytas ir kokio dydžio bus paviršiniø surištøjø krûviø tankis?

Metalinis rutuliukas, kurio spindulys R, ákrautas krûviu q. Koks elektrinio lauko stiprumas prie pat rutuliuko paviršiaus? Rutuliuk¹ supa oras.