Teoremos apie afininių transformacijų struktūr¹

Įrodysime, kad bet kokiai perspektyvai egzistuoja dvi statmenos tiesės, kurių vaizdai irgi statmenos tiesės. Jei perspektyva yra ašinė simetrija arba tapatingoji transformacija, tai įrodymo nereikia, nes bet kurių statmenų tiesių vaizdai yra statmeni.

Sakykime, kad perspektyva nėra ašinė simetrija ir tiesė p - perspektyvos ašis, taško M vaizdas yra taškas .

Pav. 1

Nubrėžkime atkarpos vidurio statmenį l, ir sakykime, kad . Tada nubrėžkime apskritim¹ su centru O ir spinduliu OM. Jis kerta tiesź p taškuose A ir B. Kadangi taškai A ir B yra invariantiniai, tai tiesės AM vaizdas - tiesė, o BM vaizdas - -tiesė . Tuomet ir (nes AB apskritimo skersmuo). Jeigu l p, t.y. , tai pagal perspektyvos savybź tiesė yra invariantinė, ir tiesės p ir yra ieškomosios statmens tiesės, kurių vaizdai irgi statmeni.

Pav. 2

TEOREMA. Kiekviena afininė transformacija yra kompozicija panašumo transformacijos ir perspektyvos.

Įrodymas. Sakykime f – duotoji afininė transformacija, tai kaip jau anksčiau įrodėme, j¹ vienareikšmiškai nustato du trikampiai: ABC ir , tokie, kad f: ir .

Nubrėžkime trikampį panašų trikampiui ABC taip, kad taškai būtų vienoje tiesės pusėje. Tuomet egzistuoja panašumo transformacija g, kuri .

Pav. 3

Galimi du atvejai:

. Kadangi tapatingoji transformacija yra perspektyva, tai šiuo atveju įrodyta.

. Tuomet kaip jau anksčiau įrodyta egzistuoja perspektyva h su ašimi , kuri . Kadangi , tai

t.y., k¹ ir reikėjo įrodyti.

TEOREMA. Kiekviena afininė transformacija yra kompozicija judesio ir dviejų suspaudimų statmenų tiesių kryptims.

Įrodymas. Sakykime f – duotoji afininė transformacija, tai pagal praeit¹ teorem¹: , čia g – panašumo transformacija, h – persektyva. .

Sakykime, kad tiesė p yra perspektyvos h ašis, o tiesės a ir b yra statmenos tiesės, kurių vaizdai irgi statmeni, jei ir .

Sakykime, kad c ir d yra tokios tiesės, kad . Kadangi panašumo transformacija išlaiko kampus, tai . Akivaizdu .

Sakykime, kad .

Pav. 4

Jei , tai .

Pav. 5

Kadangi taškas , tai jo vaizdas , kadangi , tai jo vaizdas . Vadinasi transformacija f vienareikšmiškai nustatoma dviem tirkampiais: ABC ir .

Kadangi C ir yra statūs kampai, tai galine rasti tokius taškus ir , kad trikampiai lygūs, tuomet egzistuoja judesys j: , be to egzistuoja suspaudimas kryptimi d: su koeficientu .

Egzistuoja suspaudimas ašies kryptimi su koeficientu .

Kompozicija :

Taigi kompozicija , o tai reiškia, kad