Teoremos apie afininiø transformacijø struktûr¹

Árodysime, kad bet kokiai perspektyvai egzistuoja dvi statmenos tiesës, kuriø vaizdai irgi statmenos tiesës. Jei perspektyva yra ašinë simetrija arba tapatingoji transformacija, tai árodymo nereikia, nes bet kuriø statmenø tiesiø vaizdai yra statmeni.

Sakykime, kad perspektyva nëra ašinë simetrija ir tiesë p - perspektyvos ašis, taško M vaizdas yra taškas .

Pav. 1

Nubrëžkime atkarpos vidurio statmená l, ir sakykime, kad . Tada nubrëžkime apskritim¹ su centru O ir spinduliu OM. Jis kerta tiesê p taškuose A ir B. Kadangi taškai A ir B yra invariantiniai, tai tiesës AM vaizdas - tiesë, o BM vaizdas - -tiesë . Tuomet ir (nes AB apskritimo skersmuo). Jeigu l p, t.y. , tai pagal perspektyvos savybê tiesë yra invariantinë, ir tiesës p ir yra ieškomosios statmens tiesës, kuriø vaizdai irgi statmeni.

Pav. 2

TEOREMA. Kiekviena afininë transformacija yra kompozicija panašumo transformacijos ir perspektyvos.

Árodymas. Sakykime f – duotoji afininë transformacija, tai kaip jau anksèiau árodëme, j¹ vienareikšmiškai nustato du trikampiai: ABC ir , tokie, kad f: ir .

Nubrëžkime trikampá panašø trikampiui ABC taip, kad taškai bûtø vienoje tiesës pusëje. Tuomet egzistuoja panašumo transformacija g, kuri .

Pav. 3

Galimi du atvejai:

. Kadangi tapatingoji transformacija yra perspektyva, tai šiuo atveju árodyta.

. Tuomet kaip jau anksèiau árodyta egzistuoja perspektyva h su ašimi , kuri . Kadangi , tai

t.y., k¹ ir reikëjo árodyti.

TEOREMA. Kiekviena afininë transformacija yra kompozicija judesio ir dviejø suspaudimø statmenø tiesiø kryptims.

Árodymas. Sakykime f – duotoji afininë transformacija, tai pagal praeit¹ teorem¹: , èia g – panašumo transformacija, h – persektyva. .

Sakykime, kad tiesë p yra perspektyvos h ašis, o tiesës a ir b yra statmenos tiesës, kuriø vaizdai irgi statmeni, jei ir .

Sakykime, kad c ir d yra tokios tiesës, kad . Kadangi panašumo transformacija išlaiko kampus, tai . Akivaizdu .

Sakykime, kad .

Pav. 4

Jei , tai .

Pav. 5

Kadangi taškas , tai jo vaizdas , kadangi , tai jo vaizdas . Vadinasi transformacija f vienareikšmiškai nustatoma dviem tirkampiais: ABC ir .

Kadangi C ir yra statûs kampai, tai galine rasti tokius taškus ir , kad trikampiai lygûs, tuomet egzistuoja judesys j: , be to egzistuoja suspaudimas kryptimi d: su koeficientu .

Egzistuoja suspaudimas ašies kryptimi su koeficientu .

Kompozicija :

Taigi kompozicija , o tai reiškia, kad