ANTROS EILËS KREIVIØ CENTRAI

ANTROS EILËS KREIVIØ CENTRAI

Nagrinësim antros eilës kreivê bendr¹j¹ lygtimi bet kokioje koordinaèiø sistemoje:

Atkarpa jungianti bet kuriuos du antros eilës kreivës taškus vadinama styga.

Kreivës centru vadinamas toks taškas , kuriame pusiau dalijasi visos per já einanèios kreivës stygos. Iš èia sakoma, kad kreivë yra simetriška savo centro atžvilgiu.

Sakykime, taškas – yra kreivës simetrijos centras. Tuomet pagal apibrëžim¹ bet kurá per já einanti tiesë, kerta kreive dviejuose taškuose ir taškas yra atkarpos vidurys.

Užrašysime bet kurios tiesës, einanèios per tašk¹ lygtis : ir ieškosime jos sankirtos su kreive taškø.

Jei tiesë kerta kreivê taške, tai egzistuoja parametro reikšmë , kad . Analogiškai jei tiesë kerta kreivê taške , tai egzistuoja , kad .

Jei taškas yra atkarpos vidurys, tai:

Iš èia 

,

ir

Jei taškas yra kreivës centras, tai gautos lygybës turi galioti visoms tiesëms einanèioms per tašk¹ , tai yra visiems skaièiams . O tai bus tik tada, kai ir atvirkšèiai jei tai taškas yra atkarpos vidurys nepriklausomai nuo to kokia tiese kirsdami krievê gauname taškus .

Ieškosim kreivës ir tiesës sankirtos taškø. Tuo tikslu á lygtá ástatome tiesës lygtis:

Ši lygtis yra atžvilgiu kvadratinë lygtis, jos sprendiniai nustatys tiesës ir kreivës sankirtos taškø koordinates. Jei taškai yra tokie, kad taškas yra atkarpos vidurys, tai ir atvirkšèiai jei galioja , tai taškas yra vidurys.

Tuomet pagal Vijeto teorem¹ tada ir tik tai tada, kai koeficientas prie lygus 0, tai yra, kai:

Kadangi taškas turi bûti vidurys nepriklausomai nuo tiesës parinkimo, tai gautoji lygybë turi bûti teisinga visiems su , o tai bus tada ir tik tai tada, kai:

Árodëme, kad taškas yra kreivës centras tada ir tik tada, kai koordinatës tenkina lygèiø sistem¹.

Iš lygèiø sistemø teorijos darome tokias IŠVADAS:

1) jei sistemos determinantas nelygus nuliui, tai yra

tai pagal Kramerio taisyklê egzizstuoja vienintelis sistemos sprendinys , tai yra kreivë turi vienintelá centr¹ ir toki¹ kreivê vadiname centrine.

2) Kai , tai galimi du atvëjai:

2a) tuomet ši sistema sprendiniø neturi, tai yra kreivë neturi nei vieno centro.

2b) tuomet abi sistemos lygtys sutampa. Tai reiškia, kad sistema turi begalo daug sprendiniø, kurie visi yra tiesëje , tai yra kreivë turi centrø tiesê.

Išsiaiškinsime kurios iš žinomø kreiviø turi centrus ir kiek.

1) ELIPSË:

. Šiuo atveju

tuomet centro sistema yra tokia:

Jos sprendinys todël elipsë turi vienintelá centr¹ .

2) HIPERBOLË:

,

iš èia hiperbolë turi vienintelá centr¹ ir jis yra jos simetrijos centras.

3) PARABOLË:

,

Ši sistema sprendiniø neturi, tai yra parabolë neturi centro.