Antros eilës kreivës polinëse koordinatëse

Antros eilës kreivës polinëse koordinatëse

Polinëje koordinaèiø sistemoje , tašk¹ M vienareikšmiškai nustato du skaièiai: atstumas , vadinamas poliumi, ir kampas , kurá tiesë OM sudaro su duotu spinduliu Ox, vadinamu poline ašimi, be to , (pav. 1).

Pav. 1

Jeigu polius sutampa su dekartinës koordinaèiø sistemos OXY pradžios tašku O, o polinë ašis su teigiama Ox ašies kryptimi, tai galioja tokie ryšiai tarp dekartiniø ir poliniø koordinaèiø:

Sakykime, kad turime elipsê kanoninëje koordinaèiø sistemoje, kurios lygtis yra .

Pav. 2

Imkime toki¹ polinê koordinaèiø sistem¹, kurios polius yra židinyje , o polinë ašis nukreipta Ox ašies teigiama kryptimi (pav. 2).

Tuomet, jei taškas yra elipsës taškas, tai ir taško M dekartines ir polines koordinates sieja tokios lygybës: Atstumas yra taško M židininis atstumas. Tada , iš kur turime, kad . Pažymëkime . Dydis p vadinamas elipsës parametru. Tokiu bûdu lygtis ir yra elipsës lygtimi polinëse koordinatëse, kai polius sutampa su kairiuoju elipsës židiniu.

Atvirkšèiai, jei taško M koordinatës tenkina elipsës lygtá polinëje koordinaèiø sistemoje ir tai

,

t.y. ir pagal direktorinê savybê, taškas M yra elipsës taškas. Todël lygtis iš tikrøjø yra elipsës lygtis polinëje koordinaèiø sistemoje.

Dabar panagrinëkime hiperbolê, kurios lygtis yra .

Pav. 3

Hiperbolës atveju poliø paimkime židinyje F, o polinê ašá nukreipkime Ox ašies teigiama kryptimi. Nagrinëkime tik dešinê hiperbolës šak¹ (pav. 3). Jeigu taškas yra hiperbolës taškas, tai , ir taško M dekartinës koordinatës su polinëmis susijê tokiomis lygybëmis: Tuomet , o iš èia . Pažymëjê , turësime: . Dydis p vadinamas hiperbolës parametru. Tada ir , , t.y. gavome hiperbolës lygtá polinëse koordinatëse.

Atvirkšèiai, jei taškas tenkina ši¹ lygtá, tai

,

t.y. ir pagal direktorinê hiperbolës savybê, taškas M yra hiperbolës taškas. Vadinasi lygtis , yra hiperbolës dešiniosios šakos lygtis polinëje koordinaèiø sistemoje.

Panagrinëkime parabolës atvejá. Sakykime, kad turime parabolê kanoninëje koordinaèiø sistemoje, užrašyt¹ lygtimi . Polinê koordinaèiø sistem¹ parenkame taip, kad polius bûtø parabolës židinyje F, o polinê ašá nukreipkime Ox ašies teigiama kryptimi (pav. 4).

Pav. 4

Tuomet, jei taškas yra parabolës taškas, tai , ir taško M dekartinës koordinatës su polinëmis susijê tokiomis lygybëmis: Iš èia sakykime, kad , t.y. ir , . Gavome parabolës lygtá polinëse koordinatëse.

Atvirkšèiai, jei taško koordinatëmis tenkina gaut¹ parabolës lygtá, tai , t.y. taškas M yra parabolëje ir lygtis , yra parabolës lygtis polinëse koordinatëse.

Tokiu bûdu lygtis polinëse koordinatëse reiškia:

a)      elipsê, kai , ;

b)      hiperbolê, kai , ;

c)      parabolê, kai , .