Antros eilės kreivės polinėse koordinatėse

Antros eilės kreivės polinėse koordinatėse

Polinėje koordinačių sistemoje , tašk¹ M vienareikšmiškai nustato du skaičiai: atstumas , vadinamas poliumi, ir kampas , kurį tiesė OM sudaro su duotu spinduliu Ox, vadinamu poline ašimi, be to , (pav. 1).

Pav. 1

Jeigu polius sutampa su dekartinės koordinačių sistemos OXY pradžios tašku O, o polinė ašis su teigiama Ox ašies kryptimi, tai galioja tokie ryšiai tarp dekartinių ir polinių koordinačių:

Sakykime, kad turime elipsź kanoninėje koordinačių sistemoje, kurios lygtis yra .

Pav. 2

Imkime toki¹ polinź koordinačių sistem¹, kurios polius yra židinyje , o polinė ašis nukreipta Ox ašies teigiama kryptimi (pav. 2).

Tuomet, jei taškas yra elipsės taškas, tai ir taško M dekartines ir polines koordinates sieja tokios lygybės: Atstumas yra taško M židininis atstumas. Tada , iš kur turime, kad . Pažymėkime . Dydis p vadinamas elipsės parametru. Tokiu būdu lygtis ir yra elipsės lygtimi polinėse koordinatėse, kai polius sutampa su kairiuoju elipsės židiniu.

Atvirkščiai, jei taško M koordinatės tenkina elipsės lygtį polinėje koordinačių sistemoje ir tai

,

t.y. ir pagal direktorinź savybź, taškas M yra elipsės taškas. Todėl lygtis iš tikrųjų yra elipsės lygtis polinėje koordinačių sistemoje.

Dabar panagrinėkime hiperbolź, kurios lygtis yra .

Pav. 3

Hiperbolės atveju polių paimkime židinyje F, o polinź ašį nukreipkime Ox ašies teigiama kryptimi. Nagrinėkime tik dešinź hiperbolės šak¹ (pav. 3). Jeigu taškas yra hiperbolės taškas, tai , ir taško M dekartinės koordinatės su polinėmis susijź tokiomis lygybėmis: Tuomet , o iš čia . Pažymėjź , turėsime: . Dydis p vadinamas hiperbolės parametru. Tada ir , , t.y. gavome hiperbolės lygtį polinėse koordinatėse.

Atvirkščiai, jei taškas tenkina ši¹ lygtį, tai

,

t.y. ir pagal direktorinź hiperbolės savybź, taškas M yra hiperbolės taškas. Vadinasi lygtis , yra hiperbolės dešiniosios šakos lygtis polinėje koordinačių sistemoje.

Panagrinėkime parabolės atvejį. Sakykime, kad turime parabolź kanoninėje koordinačių sistemoje, užrašyt¹ lygtimi . Polinź koordinačių sistem¹ parenkame taip, kad polius būtų parabolės židinyje F, o polinź ašį nukreipkime Ox ašies teigiama kryptimi (pav. 4).

Pav. 4

Tuomet, jei taškas yra parabolės taškas, tai , ir taško M dekartinės koordinatės su polinėmis susijź tokiomis lygybėmis: Iš čia sakykime, kad , t.y. ir , . Gavome parabolės lygtį polinėse koordinatėse.

Atvirkščiai, jei taško koordinatėmis tenkina gaut¹ parabolės lygtį, tai , t.y. taškas M yra parabolėje ir lygtis , yra parabolės lygtis polinėse koordinatėse.

Tokiu būdu lygtis polinėse koordinatėse reiškia:

a)      elipsź, kai , ;

b)      hiperbolź, kai , ;

c)      parabolź, kai , .