Bazės vektorinėse tiesinėse erdvėse.Iš(1) sąryšio galima sudaryti šitokią ligčių sistemą:

₍₂₎ jeigu laikysime, kad koeficientai a_kl yra duoti b₁, b_2,…, b_n – žinomi, o a₁, a₂,…, a_r nežinomiekji kuriuos reikia surasti.Prisiminsime, kad (2) ligčių sistemos nežinomuosius a₁, a₂,…, a_r, galime surasti su bet kuriais duotaisiais b₁, b_2,…, b_n, jeigu matricos A:= a_kl , rangas yra lygus n ir, be to, jo eilučių ir stulpelių skaičius sutampa, t.y r=n. Tada sprendinys (c) bus vienintelis. Taigi, bet kurį vektorių bIV_n galime išreiksšti vieninteliu būdu vektoriais a_1, a₂,…,a_n t.y. , jeigu vektorių aibę atitinkanti matrica A yts neišsigimusi, t.y. rangA n arba tolydu det A

Tegul A^T yra nransponuota matrica A, t.y. _.Tada(2) lygčių sistemą galima užrašyti ir tokiu matriciniu būdu:

Jeigu n=r, tai detA=detA^T.Tegu rangA=n, tada egzistuoja atvirkštinės matricos A^-1 ir (A^T)^-1, tenkinančios sąryšį (A^-1)^T=(A^T)^-1 ir, be to ||a a a_n ||b b₂ b_n||A^-1  (4)

6 apibrėžimas.Tarkime, kad vektorių aibė F_a=, su kuria susietos matricos rangA=n. Tada F_a vadinama bazinių vektorių aibe (arba tiesiog baze). Tokiu atveju ją žymėsime B_a, t.y. B_a:=F_a. Jeigu F_a =B_a, tada bet kokio vektoriaus bIV_nišraiškoje vienintelius koeficientus a_j,j=1,n, surašytus į eilutę (a a a_n) vadiname vektoriaus b koordinatėmis bazės B_a atžvilgiu ir žymėsime taip:b: a a a_n)_a Pastebėsime, kad bet kokį vektorių bIV_n su komponentėmis b:=(b₁ b₂ b_n) galime laikyti nusakytu bazėje B_e:=(e₁ e₂ e_n), kai e₁:=(1,0,…,0), e2:=(0,1,…,0), …, e_n:=(0,0,…,1), t.y.

arba b=(b₁,b₂, …, b_n)_e. Sutarsim, jeigu nenurodyta kitaip, bet kurio vektoriaus b=(b₁,b₂, …, b_n) komponentės b_j, j=1,n laikyti koordinatėmis bazėje B_e. Be to, su baze B_e susieta matrica E yra vienetinė, t.y.

Aišku, kad E^-1=E=E^T=(E^T)^-1. Tokiu atveju (4) sąryšį galime užrašyti ir taip:

a a a_n||_a=||b₁ b₂ b_n||_eA^-1 

||b₁ b₂ b_n||_e=||a a a_n||_aA.  (6)

Analogiškai gauname, kad

Pastebėsime, kad susiejant su kokia nors vektorių aibe F_a matricą A, būtų galima prie matricos A prirašyti indeksą, nurodant kokioje bazėje vektoriai iš aibės F_a yra nusakyti. Tačiau, vengdami pateikiamų sąryšių perkrovimo indeksais, to nedarysime, tikėdamiesi, kad tai nesudarys neaiškumų.

5 išvada.Tarkime, duota bazė B_a, tada

arba, kitaip tariant, vektorinės tiesinės erdvės <V_n(B_a);+|R> ir <V_n;+|R> sutampa. Tokiu atveju ra ysime, kad <V_n(B_a);+|R>=<V_n;+|R>. Tarkime turime dvi bazes B_a ir B_b ir atitinkamai susietas (asocijuotas) matricas A ir B. Tada, pasinaudojus (6), su bet kokiu vektoriumi x=(x₁,x₂, …,x_n)_e galime susieti du sąryšius

||x₁ x₂ x_n||_e=||y₁ y₂ y_n||_aA 

||x₁ x₂ x_n||_e=||z₁ z₂ z_n||_bB.

Iš pastarųjų gauname, kad

||z₁ z₂ z_n||_bB=||y₁ y₂ y_n||_aA

arba kita vertus

||z₁ z₂ z_n||_b=||y₁ y₂ y_n||_aAB^-1.

Analogiškai, pasinaudoję tapatybėmis (AB)^T=B^TA^T bei (B^T)^-1= B^-1)^T gauname

Pažymėkime AB^-1:=P_ab,tada P_ab^T= B^-1)^TA^T

Ir iš (8) ir (9) gauname

Šie sąryšiai leidžia bet kurio vektoriaus xIV_n, nusakyto vienoje bazėje (pvz., B_a), gauti jo kordinates kitoje bazėje(pvz., B_b).

7 apibrėžimas. Matricą P_ab(taip pat ir P_ab^T) vadinsime perėjimo matrica nuo bazės B_a prie bazės B_b. (5 pav.)

6 išvada. Teisingos tokios lygybės:

a)      P_ab^-1=P_ab

b)      P_abP_bc=P_ac.

3. 1.4. Bazės tiesinės vektorinės erdvės poerdviuose

Tarkime, duota vektorių aibė F_a sudaryta iš r vektorių. Iš jos vektorių komponenčių sudarome matricą A (laikydami, kad a_k =(a _k1 +a _k2 ,…,a _kn ) _e ), ir paėmę kokį nors vektorių bIV _n (su b=(b₁ ,b₂ ,…,b_n ) _e) sudarome lygčių sistemą.

Jeigu matricos rangA=m<n, tai vektorinės tiesinės erdvės <V_n;+|R> poerdviai <V_n(F`<sub>a</sub>);+|R> ir <V<sub>n</sub>(F<sub>a</sub>);+|R> sutampa, t.y. <V<sub>n</sub>(F`_a);+|R>= <V_n(F_a);+|R>.

Pastebėsime, kad šiuo atveju vektorių aibę F`<sub>a</sub>= galime laikyti baze poerdviuose <V<sub>n</sub>(F`_a);+|R> ir <V_n(F_a);+|R>.

Aišku, kai m=n, tai ir <V_n(F_a);+|R>=<V_n;+|R>.

Pavyzdys. Sakykime duota matrica A`=, kuri yra susieta su vektorių, kurie priklauso erdvei <V<sub>n</sub> R>, aibe F`_a

Surasime jai pseudoatvirkštinę matricą A^-1, kuri turės pavidalą:

A^-1=ir tenkins priklausomybę

*=.

Iš pastarosios gauname lygčių sistemą:

b₁₁+2b

b₁₁-b₂₁ 2b

b +2b

b -b +2b

Pasirinkę pavyzdžiui, b₃₁=1 ir b₃₂=1, gauname, kad b₂₁1, b₁₁=-1, b₂₂=-1, b₁₂=-2. Taigi iešomoji matrica

A^-1=

3.2.1 Skaliarinės sandaugos sąvoka

Erdvėje - < V_n;|R> apibršime dar vieną operaciją – akaliarinę sandaugą.

1-apibrėžimas- Jeigu kiekvienam vektorių x,y IV_n porai vieninteliu būdu yra prioskiriamas realusis skaičius, žymimas simboliu (x,y), ir tenkina sąlygas :

I.(x,y) (y,x) – komutatyvumo

II.         (x+y,z)=(x,z)+(y,z) – distibutyvumo

III.       (kx,y) k(x,y) , kai kIR;

IV.      (x,x)>0 , kai x<>0 ir (x,x) 0 kai x

tai sakoma kad vektorinėje tiesinėje erdvėje < V_n;|R> yra apibrėžta skaliarinė sandauga (x,y).

2-apibrėžimas- Vektorinę tiesinę erdvę , kurioje yra apibrėžta skaliarinė sandauga vadinsime euklidine erdve.

3-apibrėžimas – Vektoriaus x norma (ilgiu) euklidinėje erdvėje vadinsime skaičių |x|= (x,x)

Kadangi (0,0) 0 tai |0|=0. Pagal IV aksiomą (x,x)>=0 todel norma visada egzistuoja ir |x|>

Iš skaliarines sandaugos apibrežimo |kx|= (kx,kx) = k²(x,x) = |k||x| i6plaukia , kad vektorių dauginant i6 skaliaro k , vektoriaus normą dauginame iš skaliaro |k|

4-apibrėžimas- Vektorių kurio norma lygi vienam vadiname normuotu vektoriumi.

Kiekvieną nenulinį vektorių x galime normuoti padauginant jį iš skaliaro k = 1/|x| , nes gauto vektoriaus y = (1/|x|)*x norma yra vienetas.

5-apibrėžimas – Atstumas p(x,y) tarp vektorių x ir y euklidinėje erdvėje vadiname jų skirtumo normą : p(x,y) = |x-y| = (x-y,x-y).

3.2.2 Koši ir Buniakovskio nelygybė

Turėdami skaliarinę sandaugą , suformuluosime keletą teiginių :

Su visais k₁,..,k₄IR ir x₁,…,x₄ IV_n teisinga tapatybė :

(k1x1+ k2x k3x3+ k4x4)= k1k3(x1,x3)+k2k3(x2,x3)+k1k4(x1,x4)+k2k4(x2,x4)

Pagal I-III skaliarinės sandaugos aksiomas, nuosekliai pertvarkome nagrinėjamą skaliarinę sandaugą: (k1x1+ k2x2 , k3x3+ k4x4) = (k1x1 , k3x3+ k4x4)+ (k2x2 , k3x3+ k4x4)=

=k1( k3x3+ k4x4,x1)+ k2( k3x3+ k4x4,x2)=k1 ( k3x3,x1)+ k1(k4x4,x1)+k2 (k3x3,x2)+ k2(k4x4,x2)=

=k1 k3(x1,x3)+ k1 k4(x1,x4)+ k2 k3(x2,x3)+ k2 k4(x2,x4)

Teorema Su visais x,yIV_n euklidinėje erdvėje teisinga nelygybė (x,y)²<=|x|²|y|² , kuri vadinama koši ir buniakovskio nelygybe

Jeigu k I R tada x-kyIV_n ir be to (x-ky,x-ky)>=0

Su visomis k reiksmemis turime:

(x-ky,x-ky)=(x,x)-2k(x,y)+k²(y,y)>=0

taigi kintamojo k atžvilgiu kvadratinis trinaris yra neneigiamas , vadinasi jo diskriminantas D privalo būti neteigiamas , t.y. D (x,y)² – (x,x)(y,y)<

Prisiminę kad (x,x)²= |x|² ir (y,y)=|y|² gauname nelygyb4s įrodymą

Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo bei teoremos gauname sitokia Koši ir buniakovskio nelygybės išraišką :

(x_i,y_j)² <=(x_j) (y_j) i,j kinta nuo 1 iki n

3.2.3Kampas tarp vektori

Skaliarinės sandaugos naudojimas kampo įvedimui.

1 apibrėžimas : Euklidinėj erdvėj <V_n;+|R> kampo x^y = j kosinusu tarp dviejų vektorių x,y IV_n laikome išraišką: cos j =(x,y)/|x||y|

2 apibrėžimas : Du vektoriai x,y IV_n vadinami ortogonaliniais jei jų skaliarinė sandauga (x,y)=0 ir žymime x y.

Ortogonalumo sąvoka euklidinėje erdvėje atitinka statmenumo sąvoką geometrinių vektorių erdvėse.

1 išvada : Poromis ortogonaliųjų vektorių x1,x2,……x sistemai teisingas pitgoro teoremos apibendrinimas : |x1+x2+…xr|² = |x1|²+|x2|²+…+|xr|²

Įrodymas : |x1+x2|² = |x1|²+|x2|²

Kadangi (x1+x2,x3) (x1,x3)+ (x2,x3) 0 tai (x1+x2) x3. Taigi |x1+x2+x3|² = |x1+x2|²+|x3|²=

=|x1|²+|x2|²+|x3|²

2 išvada : Ortogonalūs vektoriai x1,x2,..,xr yra tiesiškai nepriklausomi, t.y. lygybė

a1x1+a2x2+ …+arxr=0

yra teisinga tik kai a1=a2=…=ars

Prisiminę kad vektorin4je tiesin4je erdv4je <V_n |R> gali būti nedaugiau nei n tiesiškai nepriklausomų vektorių gauname tarpusavyje ortogonalių vektorių gali būti nedaugiau n.

Tarkime kad bazės B_a = vektoriai yra tarpusavyje ortogonalūs. |Tokia bazė yra vadinama ortogonali . Galime sudaryti naują bazę B_b= imdami vektorius b_k tokius kad : b_k = a_k / | a_k | , k=1 to n .

Vektoriai b_k yra taip pat tarpusavyje ortogonalūs nes

Kai k<>j

Vadinasi jie yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro bazę. Be to |b_j| 1 nes

Taigi bazės B_b vektoriai yra ortogonalūs o jų norma yra vienetas. Tokia bazė yra vadinama ortonuota baze o jos vektoriai yra vadinami ortais.

Skaliarinės sandaugos koordinatinė forma

Tarkime, kad euklidinėje erdvėje <V_n;+|R> yra bazė B_a=. Dviejų erdvės vektorių ir

skaliarinę sandaugą (x,y) galime užrašyti taip:

(1). Iš gauto (1) sąryšio matome, kad norint vektorinėje tiesinėje erdvėje <V_n;+|R> apibrėžti skaliarinę sandaugą, pakanka ją apibrėžti baziniams vektoriams a_k, k=1,n , t.y. nurodyti skaičiaus s_kl:=(a_j,a_l). Jeigu žinome skaičius s_{kl ,} tai panaudoję (1) sąryšį, galime apskaičiuoti (x,y), kai x,yIV_n

Tarkime X:=(x₁ x₂ x_n), Y:=( y₁ y₂ y_n

Žinant, kad matricos, turinčios vieną stulpelį ir vieną eilutę ||a₁₁|| determinantas det||a₁₁|| = a₁₁ , (1) sąryšį galime užrašyti: (x,y)=det XSY^T Skaliarinei sandaugai užrašyti pakanka žinoti matricą S. Ji vadinama skaliarinės sandaugos matrica. Komutatyvumo sąlyga (x,y)=(y,x) bus patenkinta jeigu :

(x,y)=detXSY^T=detYSX^T=(y,x), o XSY^T=YSX^T bus patenkinta su visais X,Y tada ir tik tada, kai S=S^T, t.y. s_kl s_lk ; k,l=1,n. Sąlygos (x+y,z)=(x,z)+(y,z) ir (lx,y)=l(x,y) bus patenkintos su bet kuria simetrine matrica S. Sąlyga (x,x)>0 , kai x bus patenkinta tik tuo atveju, kai matrica S tenkins taip vadinamo teigiamo apibrėžtumo sąlygą: …, …,.

Tiesinio operatoriaus savoka ir jo matricine israiska

Tarkime, kad duotos dvi tiesines erdves : <V_n ;+|R>; cia n,mIN. Galime sudaryti ivairius vaizdavimus ,taisykles atitiktis, kurie kiekvienam vektoriui aIV_n priskiria viena ir tik viena vektoriu a^{^}IV_m .Pabrezdami tai ,rasysime Aa=a^{^} .Tarkim kiekvienam vektoriui (x_1,x₂)IV₂ galime priskirti vektoriu (x_1,1_,x₂)IV₃ .Atitikti rasysime taip:

A(x_1,x₂)= (x_1,1_,x₂); pvz A(2,1)=(1,1,2).

Aisku ,egzistuoja didele vaizdavimu vienos tiesines erdves I kita ivairove .

Apibrezimas.Vaizdavima A:< V_n ;+|R > <V_m ;+|R> vadinsime tiesiniu operatoriumi, jeigu su visais a,bIV_{n b} bei a bIR yra teisingas sitoks sarysis: A(aa+bb):=aa^{^}+bb . Be to,vektorius a,b vadinsime pirmavaizdziais,o a^{^},b^{^}IV_m – vaizdais.(paveiksl.)

A : V_n V_m

(*) A(x+y = Ax + Ay

(**) A(ax):=aAx, aIR

pvz . operatorius A:< V₂ ;+|R> < V₃ ;+|R >,t.y.

A(x_1,x2)= (x_1, x₁+x_2, 2x₂-x₁) yra tiesinis .Is tikruju,su visais (x_1,x₂),(y_1,y₂)IV₂ ir a bIR turime

A(a(x_1,x₂)) + b(y_1,y₂)=A(ax₁+by_1,aa by₂)= (ax₁+by_1,a( x₁+x₂)+b(y1+y2),a( 2x₁-x₂)+b(2y₁-y₂).

Antra vertus ,

aA(x_1,x₂)+bA(y_1,y₂)=a( x_1,x₁+x2,2x₁-x₂)+b( y_1, y₁₊y₂, 2y1-y2)= ax₁+by₁,a(x₁+x₂)+b( y_1,y₂),a( 2x₁-x₂)+b(y_1,y₂).

Vadinasi A(a(x_1,x₂)+b( y_1,y₂))=aA(x_1,x₂)+bA(y_1,y₂).

Taigi uzrasytas vaizdavimas A yra tiesioginis operatorius. Sutarsim kad erdvese < V_n ;+|R > ir <V_m;+|R> yra fiksuotas kokios nors bazes ir jose isreiksti visi tu erdviu vektoriai.

Pagr.tiesiniu operatoriu savybes:

1.Su visais a₁,a_2,…,a_rIV_n ir a a a_rIR teisingas sarysis

Tiesiniai operatoriai, vaizduojantys tiesinę erdvę pačią į save – tiesinės transformacijos Nusakant tiesinius operatorius tiesinės erdvės A:<V_n;+|R> <V_n;+|R> pakanka vienos bazės b , tuomet operatoriaus matrica T yra kvadratinė. Jeigu erdvėje <V_n;+|R> sudarysime vektorių aibę b_e , čia e₁ (1,0,,0), e₂ (0,1,,0), , e_n (0,0,,0,1), tai A (t_k1, t_k2,., t_kn). Taigi, matrica T yra sudaryta iš bazinių vektorių e_k­ vaizdų, gaunamų vaizduojant tiesiniu operatoriu A. Vadinasi, žinant bazinių vektorių e_k­, k n, vaizdus ^e_k:= A e_k, galime sudaryti operatoriaus AIW_nn matricą T_e = ||t_kl||, k,l = 1, n bazėje b_e. Tarkime erdvėje <V_n;+|R> turime kitą bazę b_a=, tada perėjimo matrica nuo bazės b_e prie bazės b_a yra P_ea=E_nA^-1=A^-1, čia E_n – vienetinė n-tosios eilės matrica, susieta su baze b_e,, o A:=||t_kl||, k,l = n – matrica , susieta su baze b_a, Taigi P_ae= P_ea^-1=AE_n^-1A=A Tuomet operatoriaus A matrica T_a­­ bazėje b_a įgauna tokią išraišką T_a =P_aeT_e P_ea=ATA^-1 Tikslinga surasti tokią bazę , kurios atžvilgiu operatoriaus A matrica T_a įgytų patį paprasčiausią pavidalą. 9 apibrėžimas . Jeigu egzistuoja tokie nenulinis vektorius xIV_n ir skaičius lIR, l 0, kad Ax=lx, t.y. XT=lT. Čia X matrica – eilutė susieta su vektoriumi x, T sussieta su operatoriumi A, tai x vadinamas operatoriaus A tikriniu vektoriumi, o skaičiaus l tiesinio operatoriaus A tikriniu skaičiumi ( tikrine reikšme ), atitinka vektorių x. 7.savybė Kiekvienam nenuliniam tikriniam vektoriui atitinka vienas ir tik vienas tikrinis skaičius nelygus nuliui. 8.savybė Jeigu x₁ ir x₂ tikriniai operatoriaus A vektoriai, kuriems atitinka viena ir ta pati reikšmė l, tai tiesinis darinys ax₁+bx₂ taip pat ( jeigu jis nenulinis vektorius ) yra tikrinis vektorius, kuriam atitinka ta pati tikrinė reikšmė l. Iš 8 savybės seka, kad tikrinių vektorių aibė ( V_n(l)), kurios vektorių tikrinė reikšmė yra l, kartu su nuliniu vektoriumi sudaro (su sudėties ir daugybos iš skaliaro operacijomis) tiesinę erdvę <V_n(l)U;+|R> <V_n;+|R>. Taigi, XT=lXE, nes lX=lXE (E-n-tos eilės vienetinė matrica). X(T-lE)=0. Gaunam lygčių sistemą: (t₁₁-l)x₁+t₂₁x₂+…+t_n1x_n=0; t₁₂x₁+(t₂₂-l)x₂+…+t_n2x_n=0; … ; t_1nx₁+t_2nx₂+…+(t_nn-l)x_n=0. 10 apibrėžimas. Tiesinio operatoriaus charakteringuoju daugianariu vadiname matricos T-lE determinantą j, o charakteringąja lygtimi – lygtį j l)=0. Charakteringoji lygtis realiųjų skaičių aibėje ne visada išsprendžiama. 2 teorema. Tiesinio operatoriaus A tikrinių vektorių x_k; k=1,n bazėje B_x operatoriaus A matrica T_x yra diagonali.

l_k; k=1,n yra tikrinės reikšmės, atitinkančios tikriniams vektoriams x_k. X_k koordinatės B_x bazėje: x_k=(0,0,…,0,1,0,0,…,0)_x=e_k, nes x_k=0x₁+0x₂+…+0x_k-1+1x_k+0x_k+1+…+0x_n. Taigi lygybė X_kT=lX_k, ekvivalenti fiksuotoj bazėj lygybei E^(k)T_x=l_kE^(k) bazėje B_x. X_k (matrica-stulpelis) susietas su vektoriumi x_k, o E^(k) (matrica-stulpelis) – su vektoriumi e_k.

Perėjimo matrica P_ex nuo bazės B_e prie bazės B_x, susieta su matrica A lygi .

Operatoriaus A matricos T_x išraiška lygi B_x bazėje:

11 apibrėžimas. Tiesinis operatorius A*, kurio matrica tenkina T*=T^T sąlygą, yra vadinamas operatoriaus A jungtiniu operatoriumi. 12 išvada. Iš T*=T^T lygybės išplaukia, kad ortonormuotoje bazėje operatoriaus A jungtinio operatoriaus A* matrica T* gaunama iš operatoriaus A matricos T, ją transponavus.

Tarkime, kad euklidinės erdvės skaliarinė sandauga yra nusakyta ortonormuotoje bazėje B_e, t.y. skaliarinės sandaugos matrica S=E. Sąlygos, kurios turi būti tenkinamos operatoriaus A, kuris nekeičia skaliarinės sandaugos, t.y. (x,y)=(Ax,Ay). Jeigu matricos X ir Y susietos atitinkamai su vektoriais x, yIV_n , tai (x,y)=det(XY^T)=det(XTT^TY^T). Iš pastaros lygybės gaunam, kad E=TT^T. Analogiškai, sukeitę x ir y vietomis, vėl gauname, kad E=T^TT. Vadinasi, (x,y)=(Ax,Ay) lygybė bus patenkinta, kai operatoriaus A matrica T tenkins sąlygą T^T=T^-1.

12 apibrėžimas. Matrica T, tenkinanti T^T=T^-1 sąlygą, yra vadinama ortogonaliąja matrica. Taigi, tiesiniai operatoriai, turintys ortogonaliąsias matricas ortonormuotoje bazėje nekeičia skaliarinės sandaugos.

13 išvada. Vaizduojant operatoriumi, nusakomu ortogonaliąja matrica ortonormuotoje bazėje vektoriaus ilgis ir kampas tarp dviejų vektorių nekinta, t.y.: a)|Ax|=|x|; b)cos(x^{^},y)=cos(Ax^{^},Ay).

ALGEBRINĖS STRUKTŪROS

4.1 Vienaveiksmės algebrinės struktūros

4.1.1 Algebrinės operacijos ir jų reiškimo būdai. Algebrinė struktūra. Grupoidas

Nagrinėkime netuščia elementų aibę A. Aibės A elementų prigimtis nesvarbi. Paėmę bet kuriuos aibės A elementus a ir b, galime sudaryti elementų porų (a,b) aibę, kurią žymėsime ir vadinsime aibės A Dekarto sandauga.

1 Apibrėžimas Algebrine binarine operacija aibėje A vadinama dviejų argumentų funkcija T, apibrėžta aibėje AxA, ir įgyjanti reikšmes iš aibės A.

Algebrines operacijos apibrėžimą galima užrašyti taip: arba tiesiog , t.y. pabrėžiant operacijos uždarumo savybę.

Trumpiau tokią dviejų argumentų funkciją algebroje vadiname tiesiog algebrine operacija. Operacija T gali būti žymimos įvairiais simboliais, pvz.: ir panašiai. Tada naudojama speciali operacijos užrašymo tvarka.

Jeigu nurodami konkretūs aibės A elementai a ir b (būtent šia tvarka), tuomet dažniausiai rašome a*b c ir sakome, kad elementas c yra operacijos * su elementais a ir b rezultatas, arba . Galimas operacijos žymėjimas sutvarkytai porai ir atitikties ženklu

Jei operacijos T rezultatas c taip pat priklauso tai pačiai aibei A kaip ir operacijoje “dalyvaujantys” argumentai a ir b, sakysime, kad tokia operacija T yra uždara.

Baigtinėse aibėse operacijos apibrėžiamos ir stačiakampe lentele (1 lent), kurioje a-tos eilutės ir b-jo stulpelio sankirtoje randamas operacijos * rezultatas: a*b=c:

Jeigu aibė A turi n elementų, tai lentelėje yra n² langelių, kuriuose surašytos visos operacijos * reikšmės, t.y. T(a,b) reikšmės. Tokios funkcijos T(a,b) reikšmių lentelės vadinamos Keilio lentelėmis. Keilio lentelės patogios , kai baigtinė aibė turi nedaug elementų. Jei aibė A turi n elementų, tuomet gauname n² skirtingų porų, o pagal kombinatorinę daugybos taisyklę, gauname iš viso skirtingų aibės AxA vaizdų aibėje A.

2 apibrėžimas Algebrine struktūra vadiname netuščią aibę su joje apibrėžta viena ar daugiau algebrinių operacijų.

Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibę Z su sudėtimi yra algebrinė struktūra, kurią žymėsime (Z;+). Sveikųjų skaičių aibe su daugyba – jau kita struktūra (Z;Ÿ). Sveikųjų skaičių aibė Z su dviem operacijomis - sudėtimi ir daugyba – dar kita struktūra (Z;+;

Algebrines struktūras galime klasifikuoti pagal aibėje apibrėžtą operacijų skaičių arba atsižvelgiant į operacijų savybes.

Baigtinėje aibėje, turinčioje n elementų, galima apibrėžti skirtingų binarinių operacijų. Tiek ir bus struktūrų (A;*) su viena operacija, sudarytų iš aibės A elementų. Struktūrų su dviem operacijomis bus dar daugiau. Kai aibė yra begalinė, joje galima apibrėžti be galo daug įvairių algebrinių operacijų.

3 apibrėžimas. Aibė A su operacija , yra vadinama grupoidu, t.y. struktūra (A;*), jeigu operacija * yra uždara aibėje A.

4.1.2 Kai kurios grupoido savybės ir ypatingieji elementai

Grupoidą (A;*) vadinsime baigtiniu, jeigu aibė A – baigtiniu ir begaliniu, jeigu A – begalinė aibė.

Pvz:

Tarkime, su visais x,y N operacija apibrėžiama sekančiu būdu: , tada algebrinė struktūra (N;) yra grupoidas.

Analogiškai, jeigu , kai x,yN, tai (N;) yra taipogi grupoidas.

Analogiškai, jeigu xy:=min, kai x, yN, tai (N; ) yra taipogi grupoidas.

Struktūra ( N;); kai xy: x^y , kai x, yN, yra grupoidas.

Pagaliau (R;), kai xy:=2*x*y su visais realiaisiais skaičiais x, yR, taip pat bus grupoidas.

Grupoidą (A;*) vadinsime komutatyviuoju (arba operacija* komutatyviąja), jeigu lygybė a*b=b*a teisinga su visais a,b A.

Analogiškai grupoidą (A;*) vadinsime asociatyviuoju (arba operacija *asociatyviąja), jeigu lygybė (a*b)*c=a*(b*c) teisinga su visais a,b,c A.

Pavyzdžiui, grupoidas (R;), kai čia xy: , yra komutatyvusis, bet neasociatyvusis: x(yz) x , bet, iš kitos gi pusės, (xy)az= , t.y. x(yz)(xy)z.

O grupoidas (M₂;), kai M₂:=, o simboliu nusakoma matricų daugyba, (kaip žinome iš matricų savybių) yra asociatyvusis, bet ne komutatyvusis. Ir pagaliau grupoidas (R;+) yra komutatyvusis ir asociatyvusis.

Pastebėsime, kad asociatyviajame grupoide operacijos rezultatas bet kuriam baigtiniam elementų skaičiui nepriklauso nuo skliaustelių išdėstymo tvarkos.

Dabar aptarsime kai kuriuos ypatinguosius grupoido elementus.

4 apibrėžimas. Grupoido (A;*) elementas a vadinamas reguliariuoju, jeigu iš lygybės a*b=a*c išplaukia lygybė b=c ir iš lygybės b*a=c*a išplaukia b=c.

Tokiu atveju sakome, kad grupoide (A;*) galima prastinti iš a.

Pvz., grupoide (N;) galima pratsinti iš bet kurio elemento aN, o grupoide (N;) – negalima, nors 52=53, bet iš čia neišplaukia, kad 2=3.

5 apibrėžimas. Grupoido (A;*)elementas a vadinamas idempotentu, jeigu a*a=a.

Grupoido ( Z;) idempotentai yra 0 ir 1. Grupoide (N ) kiekvienas elementas yra idempotentas, o grupoidas (N;+) tokių elementų iš viso neturi, nes a+aa su visais a N.

6 apibrėžimas. Grupoido (A;*) elementas vadinamas anuliuojančiuoju, jeigu a*=*a= su visais aA.

Grupoide (Z;) anuliuojančiuoju elementu yra nulis , o grupoide (N;) tokio elemento iš viso nėra.

1 teorema. Grupoide gali egzistuoti ne daugiau kaip vienas anuliuojantis elementas.

Sakykime, kad egzistuoja du anuliuojantys elementai ₁ ir₂ . Tuomet ₁*_{2 1}, bet iš kitos pusės ₁*_{2 2}. Iš čia išplaukia, kad ₁

Jeigu grupoidas komutatyvusis, tai iš lygybės a* išplaukia ir *a . Aišku, kad anuliuojantis elementas yra ir grupoido idempotentas.

7.apibrėžimas Grupoido

Jeigu grupoido (A; *) elementas a neturi simetriškųjų elementų, tai teiginys vra

teisingas. Tarkim, kad a turi simetriškąjį elementą. Be to, sakykime, kad a turi du simetriškuosius elementus b ir c, t.y. a*b=b*a e ir a*c=c*a=e . Kadangi g

neutralusis elementas, tai b* e b ir c* e c. Pasinaudoję grupoido asociatyvunio savybe,gauname

b =b*e=b*(a*c) =(b*a)*c= e*c= c, taigi b c Simertiškasis elementas yra tik vienas. >

Pastebėsime, kad simetriškojo elemento a simetriškasis elementas (5) yra pats elementas a. Be to, neutraliaisis elementas yra pats sau simetriškas, t.y. e e.

4.1.3.Pusgrupė. Grupė. Pogrupis

Apibrėžimas. Asociatyvusis grupoidas vaidinamas pusgrupe.

Grupoidai <N;+> , <N;*>, <Z;+> yra pusgrupės, o grupoidas <R;A> nėra pusgrupė. Kadangi kiekviena pusgrupė yra grupoidas (tačiau ne kiekvienas grupoidas - pusgrupė), tai pusgrupėms yra teisingos sąvokos ir teiginiai, kurie galioja grupoidams.

Aptarsime laipsnio sąvoką pusgrupėje. Tarkim, kad <S;*> pusgrupė ir a IS. Pažymėkime a¹=a, a*a*…*a aⁿ, jeigu pastarojoje išraiškoje operacijos simbolis * sutinkamas n-1 kartą.

Ar, apskritai, galima įvesti grupoidui <A;*> laipsnio sąvoką? Imkime grupoidą <A;*> kai A: ir operacija *, apibrėžtą lentele:

Nesunku patikrinti, kad šis grupoidas nėra nei asociatyvusis, nei komutatyvusis. Ar galima šiame grupoide rašyti a*a*a a³? Operacijos * rezultatas, kaip matome iš lentelės, priklauso nuo skliaustelių išdėstymo tvarkos: a*(a*a)=a*b=b ir (a*a)*a=b*a=c. Taigi, bendru atveju, įvesti laipsnio sąvoką neasociatyviame grupoide negalima.

O kaip bus su idempotento laipsniais?

Tegul a ir b yra pusgrupės <S;*> elementai. Tada

a^m*aⁿ=a^m+n, (a^m)ⁿ=a^mn;m,nIN.

Jeigu pusgrupė <S;*> komutatyvioji, tai (a*b)ⁿ aⁿ*bⁿ,m,nIN.

Iš pusgrupių visumos išskirsime tas pusgrupes, kurios turi neutralųjį elementą ir kiekvienas pusgrupės elementas turi sau simetriškąjį.

Apibrėžimas. Pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas ir kiekvienam jos elementui egzistuoja simetriškasis, vadinama grupe.

Grupes paprastai žymėsime taip <G;*>.

Taigi, struktūra <G;*> (čia G – netuščia aibė) vadinama grupe, jeigu

1)operacija * yra uždaroji ir asociatyvioji,

2)operacijos * atžvilgiu egzistuoja neutralusis elementas,

3)kiekvienos duotos aibės G elementas turi simetriškąjį.

Jeigu operacija * yra komutatyvioji, tai grupė <G;*> vadinama komutatyviąja grupe arba Abelio grupe.

Jeigu G yra baigtinė aibė, tai grupę <G;*> vadinsime baigtine, o aibės G elementų skaičių žymėsime |G| ir vadinsime grupės <G;*> eile. Priešingu atveju grupę <G;*> vadinsime begaline.

Grupėje <G;*> operacija * gali būti apibrėžta įvairiai. Priklausomai nuo operacijos * apibrėžimo, gauname grupių įvairovę su jų individualiomis savybėmis. Tačiau yra savybių, kurios bendros visoms grupėms:

Grupėje <G;*> visi elementai reguliarūs.

Tarkime, kad g,h,lIG ir teisingi sąryšiai

e*h=g*l ir h*g=l*g.

Kadangi egzistuoja neutralusis elementas ğ, todėl

ğ *(g*h)=ğ*(g*l) ir (h*g)* ğ=(l*g)* ğ.

Iš asociatyvumo savybės grupėje išplaukia, kad

e*h=e*l ir h*e=l*e,

t.y. h=l. Reiškia gIG yra reguliarusis elementas ir galime prastinti iš g.

Grupėje nėra anuliuotųjų elementų.

Kaip žinome, anuliuojantysis elementas neturi simetriškojo, todėl ir negali būti grupės elementu.

Teorema.Grupėje <G;*> su visais g,hIG išsprendžiamos lygtys g*x=h ir y*g=h. Jos turi vienintelį sprendinį atitinkamai

x= ğ*h, y=h*ğ.

Remiantis grupės apibrėžimu, pertvarkome, pvz., g*x=h taip:

ğ*(g*x)= ğ*h, (ğ*g)*x= ğ*h,

e*x= ğ*h, x= ğ*h.

Gavome, kad bent vienas sprendinys x= ğ*h egzistuoja. Tarkime, kad ir dIG yra lygties g*x=h sprendinys, tuomet iš g*d h išplaukia ğ*(g*d)=(ğ*g)*d= ğ*h ir d=ğ*h=x. Taigi sprendinys vienintelis. Analogiškai įrodoma lygties y*g=h sprendinio egzistavimas ir vienatis.

Pabrėšime, kad grupės apibrėžime iškelti reikalavimai yra minimalūs, kad lygtis vienaveiksmėje algebrinėje atruktūroje būtų išsprendžiama.

Gali būti, kad netuščios aibės G poaibis B operacijos * atžvilgiu irgi yra grupė.

Apibrėžimas. Netuščios aibės G poaibis B operacijos * atžvilgiu vadinamas grupės <G;*> pogrupiu , jeigu

1)bet kuriai elementų a ir b porai a*b priklauso poaibiui B;

2)kiekvienam poaibio B elementui a simetriškasis elementas a priklauso poaibiui B.

Jeigu B yra grupės <G;*> pogrupis, tai žymėsime <B;*> <G;*>.

Pavyzdžiui, teigiamų racionaliųjų skaičių aibė Q₊ apibrėžiame daugybos operaciją įprasta prasme. Struktūra Q₊ poaibį . Kadangi a^maⁿ=a^m+n,a⁰=1, (a^m)^-1=a^-m, tai strukt ra <.> yra grupė. Pastaroji yra teigiamų racioneliųjų skaičių grupės <Q₊; > pogrupis.

Gali būti, jog B G, bet <B;*> nėra grupės <G;*> pogrupis. Struktūra <Z;+> yra grupė, bet <N;+> nėra grupės <Z;+> pogrupis, nes, pavyzdžiui, 1IN, bet -1 N, N Z, kitaip tariant neišpildomi pogrupio reikalavimai.

4.1.4. Elementariųjų grupių pavyzdžiai

Vieneto šaknų grupė.

Žinome, kad ⁿ√1, n 2, nIN turi n skirtingų reikšmių. Tų reikšmių aibę pažymėkime V_n:

V_n:=

Remiantis kompleksinių skaičių daugyba, turime

e_ke_l:=cos (2(k+l)p)/n+isin (2(k+l)p)/n=e_k+lIV_n jeigu k+l<n ir e_k*e₁=e_k+l-n, jeigu k+l n

Be to, e_k:=cos (2(k+n)p)/n+isin (2(k+n)p)/n=e_k+lIV_n simetriškasis elemetas elementui e_k.

Aibė V_n – uždara daugybos atžvilgiu. Struktūra <V_n; > - komutatyvioji grupė. Ji vadinama vieneto šaknies grupe. Gauname be galo daug grupių pavyzdžių, nes galime imti n 2,3,… Kai n=1, tuomet

V₁= . Paėmę, pvz , n=4 turėsime vieneto ketvirtojo laipsnio šaknų grupę <V₁; >. Daugybos taisyklę grupės elementams e_k galima pateikti lentele

Nagrinėkime kvadratinių neišsigimusių matricų aibę

Mat (n, R):=. Šioje aibėje matricų daugybą suprasime įprasta matricų daugybos prasme. Tuomet struktūra <Mat (n, R); > yra nekomutatyvioji grupė. Neutralusis elementas grupėje - vienetinė matrica E. Matricos AIMat(n,R) simetriškasis elementas – atvirkštinė matrica

A^-1:=||a_ij||^-1.

Tiesinių transformacijų grupė. Nagrinėkime tiesinę grupę x f(x)=ax+b,a 0, a,bIR.

12apibrėžimas. Dviejų funkcijų x f(x) ir x g(x) sąsuka vaidinsime funkciją h=f(g(x)), jeigu ji egzistuoja. Žymėsime h: f g. Jeigu f(x)=ax+b, g(x)=cx+d, tai (f g)(x)=(ax+b) (cx +d)=a(g(x))+b=(ac)x+(ad+b). Matome, kad tiesinių transformacijų aibė uždara sąsukos atžvilgiu. Galima patikrinti, kad sąsukos operacija asociatyvi (ax +b) ((cx+d) (ex+h))= ((ax +b) (cx+d)) (ex+h). Toliau randame operacijos neutralųjį elementą, jeigu jis egzistuoja. Toks elementas irgi yra tiesinė f-ja, tarkime x ux+v, tuomet ax+b=(ax+b) (ux+v)=(au)x+(av+b). Iš čia randame, kad turi būti au=a ir b=av+b. Gauname u=1, v=0. Taigi, f-ja x®x yra neutralusis operacijos elementas. Panašiai nustatome simetriškąjį elementą. Tegul x ux+v yra simetriškasis elementas. Tuomet gauname x (ux+v) (ax+b) (ax+b) (ux+v). Iš čia randame, kad turi būti ua=au=1, u=-a^-1; ub+v=0,

v=-ub=-a^-1b. Taigi simetriškas elementas yra tiesinė f-ja x ux+v=x/a-b/a. Taigi, galime teigti, kad <, > yra grupė. Reikia patikrinti, ar tai yra Abelio grupė.

Keitiniu Grupe

Tarkime, kad aibe A sudaryta is baigtinio skaiciaus elementu, pvz n elementu.Tada galima juos sunumeruoti ir laikyti , kad aibes elementai yra naturiniai skaiciai:1,2,3,.. ,n.

Apribrezimas :Keitiniu vadinamas baigtines aibes abipus vienareiksmis atvaizdis t bijekcija I save:

t:A A,j=t(i);i,j=1,n(pabraukimas virsuje ne apacioje )

Taigi aibes A=kiekvina bijekcija I save(keitinys)yra toks atvaizdis t

1 2 … n

t

m₁ m₂ … m_n

kai =.Toliau trumpai rasysime

Keitiniu skaicius yra lygus n elementu keliniu skaiciui, t.y n!=1*2*3***n.

Kadangi visai nesvarbu kokia tvarka skaiciai atvaizduojami i skaicius m_i , tai kiekvina n-tojo laipsnio keitini keitini galima uzrasyti ivairiai. Turesime :

t 2 … n )= ( i₁ i₂ i_n )

( m₁ m₂ … m_n ) ( k₁ k₂ k_n )

Jei kikvienamm dvejetui ( i ) yra lygus dvejetas ( i_t )

(m_i ) ( k_t )

3 elementu keitini galima parasyti is viso 3! budais :

Visu elementu aibes keitiniu aibe zymesime S_n. Algebrine operacija sioje aibeje vadinsime keitiniu sasuka t.y. nuoseklu keitiniu atitikima.

Apibrezimas :Jeigu

-keitiniai , tai keitiniu sasuka yra :

n-tojo laipsnio keitiniu sasukos operacijos budingos sios savybes :

1)keitiniu sasuka nera komutatyvi, kai n>=3;

2)keitiniu sasuka yra asociatyvi;

3)egzistuoja neutralusis sasukos atzvilgiu keitynys – vienetinis (tapatingas keitynys )

e t :=(1 2 …n)=(m₁ m₂ m_n)

(1 2 …n) (m₁ m₂ m_n)

4)kiekvienam keitiniui galim arasti simetriskaji sasukos atzvilgiu keitini. Keitiniui : t 2 … n )

(m₁ m₂ m_n)

simetriskasis yra t:=(m₁ m₂ m_n)

(1 2 … n )

Kartais jis zymimas t .Be to zymesime t^l t t t t ir tt. Todel t^k t t^k+l, kai k,lIZ₀.

Is siu savybiu isplaukia, kad struktura <S_n, > yra nekomutatyvi grupe .Ji daznai vadinama n-tojo laipsnio simetrijos grupe, nes siejama su geometriniu figuru simetrija , pvz posukiais ir pan.Kiekvina jos pogrupi vadinsimae n-tojo laipsnio keitiniu (simetrijos ) grupes pogrupiu.

Tarkime, kad turime keitiniu grupe <S_n, >.Is aibes S_n paimkime elementus :

Is elementu t_k,k=0,n-1;(;linija ish virsaus ne apacios ) apibrezimo ishplaukia , kad (t_k)^k+1=t =e.

Teorema (be yrodymo) Kikviena grupes <S_n, > elementa tIS_ngalima vieninteliu budu isreiksti sandauga

t t^k1 t^k2 t^kn-1_n-1­,kur k₁=0.1;k₂=0,1,2;…;k_n-1=0,1,2,…,n-1.

Elementus t_k,k=0,n-1 (linija is virsaus turi buti)toliau vadinsime baziniais .

Is teoremos isplaukia,kad naudojantis baziniais keitiniais, galima isreiksti visus likusius.Todel dauginant du keitinius pakanka tureti ju israiskas baziniais keitiniais ir zinoti taisykles , kaip isreiskiamos baziniu keitiniu sandaugos.

Pavyzdiui, grupes <S₃, > baziniai keitiniai yra

Kiekvienas grupes S₃ elementas uzrasomas sandauga :

t t^k1 t^k2 ,k1=0,1;k₂=0,1,2.

Elementu t_i t_j ;i,j =0,1,2 sandaugu t_i t_jlentele (Keilio diagrama)atrodo taip

Is lenteles matyti kad pvz: t t t t ir tt.

Pastebeta , kad sudarant grupes <S_n, > Keilio diagrama baziniams elementams t t t_n-1 galime ja gauti is grupes <S_n-1, > Keilio diagramos pririsant appildomus eilute ir stulpeli . Tai isplaukia is elementu t t t_n-1

Apibrezimo.

4.1.6. Grupių morfizmai (vaizdavimai)

Įvairios grupės gali būti lyginamos ir tapatinamos pagal atitinkamus požymius. Tai leidžia sumažinti apskritai nagrinėjamų grupių skaičių. Esama grupių, turinčių labai panašią struktūrą ir dėl to vienodas savybes.

15 apibrėžimas. Sakykime, <G;*> ir <G₁;A> - grupės. Atvaizdį f:G G₁ vadinsime homomorfizmu iš <G;*> į <G₁;Aeigu f(a*b)=f(a)Af(b), a,bIG. Žymėsime f:<G;*> <G₁;A>. 6 teorema. Jeigu e-grupės <G;*> neutralusis elementas, tai f(e) grupės <G₁;A> neutralusis elementas e₁, t.y. f(e)=e₁. Iš čia pertvarkę gaunam, kad e₁=e₁Af(e)=f(e). 7 teorema. Bet kuriam elementui aIG teisinga lygybė f(~a)=~f(a). 8 teorema. Jeigu f:<G;*> <G₁;A> - homomorfizmas, tai aibės G vaizdas f(G) yra grupės (G₁;A) pogrupis, t.y. <f(G);A> <G₁;A>. 16 apibrėžimas. Homomorfizmo f:<G;*> <G₁;A> branduoliu vadinsime aibės G poaibį Kerf, sudarytą š visų tų grupės G elementų g, kurių vaizdai yra grupės <G₁;A> neutralusis elementas e₁, t.y. Kerf=. 9 teorema. Homomorfizmo f:<G;*> <G₁;A> branduolys Kerf su operacija * yra grupės <G;*> pogrupis. 10 teorema. Jeigu funkcija f-grupės <G;*> izomorfizmas į grupę <G₁;A>, tai jai atvirkštinė funkcija f ^-1 yra grupės <G₁;A> izomorfizmas į grupę <G;*>. 17 apibrėžimas. Grupės <G;*> ir <G₁;A> vadinamos izomorfinėmis, jeigu egzistuoja grupės <G;*> izomorfizmas į grupę <G₁;A>. 11 teorema. Kiekviena grupė yra izomorfinė pati sau. 12 teorema. Jeigu f yra grupės <G;*> izomorfizmas į grupę <G₁;A>, o g-grupės <G₁;A> izomorfizmas į grupę <G₂; >, tai funkcijų f ir g sąsuka g f yra grupės <G;*> izomorfizmas į grupę <G₂; >.

Dviveiksmės algebrinės struktūros. Ben drosios sąvokos. Sudarome 2 vienaveik smes struktūras <A;*>, <A;#> ir 1 dvivei ksmę <A;*,#>. Tiriant dviveiksmes alge brines struktūras, nepakanka vien žinoti operacijų * ir # apibrėžimus ir jų savybes, bet būtina žinoti ir jų tarpusavio ryšį, kuris dažniausiai yra nusakomas sąryšiais, siejančiais šias operacijas. Priešingu atve ju būtų tik 2 atskiros, nesusietos viena su kita algebrinės struktūros. 1 apibrėžimas. Sąryšiai, kuriais nusakomas dviejų algebr inių operacijų tarpusavio ryšys, yra vad. skirstymo (distributyvumo) dėsniu. Pvz., a,b,cIA; (a*b)#c=(a#c)*(b#c), (1)

c#(a*b)=(c#a)*(c#b). (2)

Iš (1) ir (2) sąryšių išplaukia tokios išva dos: 1).Šiam skirstymo dėsniui yra svarbi operacijų atlikimo tvarka. 2).Jeigu <A;*> yra grupė ir e_* yra neutralusis elementas operacijos * atžvilgiu elementas, tai e_*#a =e_*,(3) a#e_*=e_*, aIA.(4) Jei dviveiksmė algebrinė struktūra tenkina (1) ir (2) sąryšius, tai pirmosios operacijos neutralu sis elementas (kai jis egzistuoja) yra tuo pačiu metu antrosios operacijos anuliuo jantis elementas. Įrodysime (4) formulę. a#b=a#(b*e_*)=(a#b)*(a#e_*) a,bIA Kadangi a#b=(a#b)*(a#e_*), tai lengvai randame, kad (a#b)*(a#b)= (a#b)*(a#b) *(a#e_*); e_*=e_**(a#e_*); e_*=a#e_*, čia (a#b) – simetriškas elementas elementui (a#b) grupėje <A;*>. T Analogiškai įrodoma (3) formulė. 3).Jei aibė A turi tik 1 elemen tą a, t.y. A=, tai a*a=a, a#a=a; (a*a) #a=(a#a)*(a#)=a, taigi e_*=e#=a =a=a_#. Si metriškieji elementai sutampa su neutra liaisiais. 2 apibrėžimas. Dviveiksmę alge brinę struktūrą <A;*,#>, kurios aibė A sudaro vienintelis elementas a, t.y. A=, vad. trivialia dviveiksme algebrine struktū ra 1). Jeigu dviveiksmė algebrinė struktū ra nėra triviali, ir <A;*> yra grupė bei egzistuoja e_#, tai e_# e_*. Tarkime, kad e_#=e_*. Tada dviveiksmė algebrinė struktū ra <A;*,#> turi bent 1 elementą a e* tokį, kad a#e_*=e_*; a#e_#=a. Kadangi pagal prielaidą e_#=e_*, tai turi būti a=e_*=e_#, bet tai prieštarauja sąlygai a e_*. Vadinasi, e_*¹e_#. T 2). Vienintelis elementas e_* ope racijos # atžvilgiu negali turėti simetriško elemento, jeigu <A;*,#> nėra triviali dviveiksmė algebrinė struktūra, o <A;*> yra grupė. Kadangi <A;*,#> - netri viali, tai e_# e_* (4 išvada). Tarkime, kad egzistuoja elementas e^~_*#e_*=e_*#e^~_*=e_#. Tačiau iš (3) ir (4) sąryšių išplaukia, kad e^~_*#e_*=e_*#e^~_*=e_*. Gauname, kad e_*=e_#, bet tai prieštarauja sąlygai e_* e_#. T 3). Jeigu vienaveiksmė algebrinė struktūra <A;#> komutatyvi, tai (3) ir (4) sąryšiai sutampa, o skirstymo dėsniui užrašyti pakanka tik (1) arba (2) sąryšio. Vienaveiksmę struktūrą <A;+> vad. Adicine struktūra (toliau, priklausomai nuo <A;+> savybių, sakysime, kad <A;+> yra adicinis grupoi das, adicinis pogrupis, adicinė grupė ir t.t.). Adicinė komutatyvi grupė vad. Abe lio adicine grupe. Anrąją vienaveiksmę algebrinę struktūrą <A;×> vad. Multiplika cine struktūra (analogiškai vartosime terminus multiplikacinis grupoidas, multi plikacinis pusgrupis ir t.t., priklausomai nuo <A;×> savybių). Komutatyvi multipli kacinė grupė paprastai irgi vad. Abelio multiplikacine grupe. Tokia įvesta termi nologija įgalina pakankamai vaizdžiai ir vienareikšmiškai charakterizuoti dviveik smes algebrines struktūras <A , >. Skirtu mą tarp adicinių ir multiplikacinių struktū rų išryškina distributyvumo dėsnis.

Žiedų vaizdavimai(morfizmai)

apibrėžimas Duoti 2 žiedai A; ,x ir B;A Vaizdavimą j:A B vadinsime žiedo A vaizdavimu morfizmu į žiedą B, jei jis tenkina sąlygas: j (a₁ a₂)=

j(a₁)Aj(a₂), j(a₁ a₂)=j(a₁)*j(a₂), a1,a2IA. Pvz.: Tarkime, duoti žiedai , bei R;+, ir vaizdavimas j(||x 0, 0 x||)=x.Vaizdavimas

j yra duotų žiedų (tiksliau - laukų) vaizdavimas. Pastebėsime, kad sudėties ir daugybos operacijos vienu atveju tarp matricų, o kitu atveju tarp realiųjų skaičių žymimos tais pačiais simboliais, kadangi čia nekyla neaiškumų. Sutarsime žiedų A; ,x ir B;A nulinius ir vienetinius elementus atitinkamai žymėti 0₁;1₁ ir 0₂;1₂

Žiedų vaizdavimo j savybės:1 savybė: Jeigu žiedas A; ,x turi vienetinį elementą 1₁, tai ir žiedas B;A turi vienetinį elementą 1₂, be to j (0₁)=0₂ ir j(1₁)=1₂. 2 savybė: Jeigu j žiedų formavimas, tai j (-a) j (a) ir j ( a^-1 )= (j(a))^-1, jeigu egzistuoja a-1IA, tada egzistuoja ir (j(a))^-1IB. Apibrėžimas: Žiedo A; ,x vaizdavimas j į žiedą B;A yra : a) įdėjimas, jeigu j:A B yra injekcija: b) susiaurinimas, jeigu j:A B yra surjekcija:c)izomorfizmas, jeigu j:A B yra bijekcija. Izomorfinius žiedus žymėsime A; ,x B;A , nes jie turi tą pačią sandarą ir algebriniu požiūriu neatskiriami. 1 Pavyzdys: Duoti laukai C;+; ,bei , ir vaizdavimas j(x+iy)=|| x y , -y x ||. Vaizdavimas j yra izomorfizmas, ir, be to, Kerj=. 2 pavyzdys: Duoti laukai R;+; bei C;+; , ir vaizdavimas j:R C, t.y.j(x)=x+0i. Aibės R į C vaizdavimas j šiuo atveju yra yra injekcija. Vadinasi, vaizdavimas j yra lauko R;+; įdėjimas į lauką C;+;

Dviveiksmių algebrinių struktūrų kla sifikavimas. Čia nagrinėjamos tik tokios dviveiksmės algebrinės struktūros <A; >, kurioms distributyvumo dėsnis užrašytas formulėmis (a+b c=a c+b c ir c(a+b)=ca+cb. Tačiau pačios struktūros <A; > yra l. įvairios, nes priklauso nuo vienaveiksmių struktūrų <A; >ir <A; > įvairovės. Aptarsime lab.naudojamų dvi veiksmių algebrinių struktūrų <A;+, > klasifikavimą. Apsiribosime tiktai tokio mis struktūromis, kuriose vienaveiksmė str. <A; > yra adicinė Abelio grupė.Pagal algebrinės struktūros <A; > savybes toliau klasifikuosime dviveiksmes algebr. Stru ktūras <A; >.3Ap.Dviveiksmė algebrinė struktūra <A; > vadinama žiedu, jeigu struktūra <A; > - multiplikacinis grupoi das. 4Ap. Žiedą <A; > vad. komuta tyviuoju, jei multiplikacinis grupoidas <A; >- komutatyvusis. 5Ap. Žiedą <A; > vad. asociatyviuoju, jei multipli kacinis grupoidas <A; > asociatyvusis, t.y. struktūra <A; > - multiplikacinis pus grupis. 6Ap. Žiedą <A; > vad.žiedu su vienetu, jei multiplikacinis grupoidas <A; > turi vienetinį(neutralų) elementą. 7Ap. Žiedą <A;+, > vad. kūnu, jei struktū ra <A; > - nekomutatyvi multiplikaci nė grupė. 8Ap. Žiedą <A; > vad. lauku, jei struktūra <A; >- multiplikacinė Abelio grupė. Naudojantis paminėtais Ap. galima apibrėžti “išvestines”algebrines struktūras <A;+, >. Pvz asociatyvus žiedas su vienetu yra tokia dviveiksmė algebrinė struktūra <A;+, >, kurioje vienaveiksmė algebrinė struktūra <A; > yra multiplikacinis pusgrupis, turintis vienetinį elementą. Panašiai galime nusakyti ir komutatyvų žiedą be vieneto ir t.t. 9Ap.Sakome, kad žiedas <A;+, > turi nulio daliklius, jeigu žiedo <A;+, > multiplikacinė struktūra<A; > turi bent du tokius elementus a,b 0,kad a b=0,a,bIA. Iš pateiktų apibrėžimų iš plaukia tokios išvados. 1)Jeigu elementai a ir b yra asociatyvaus žiedo <A; >nulio dalikliai, tai jie neturi atvirkštinių elementų. Tarkim kad ab=0; a,b 0.Tegul pvz a turi atvirkštinį elementą. Tada (a^-1 a)b =1 b=b, a^-1 (ab)=a^-1 0=0 ir b=0, o tai prieštarauja sąlygai. Vadinasi, <A; > negali būti asociatyviuoju žiedu. 2)Kūnas ir laukas neturi nulio daliklių. 3)Kūne <A; > galima išspręsti tokias lygtis: ax+b=c;xa+b=c, kai a,b,cIA ir a 0 – duoti elementai, x – ieškomas, priklausan tis aibei A elementas. <Jeigu ax+b=c,tai x=a^-1(c-b); jeigu xa+b=c,tai x=(c-b)a^-1.Kai struktūra <A; >yra laukas, tuomet abu sprendimai sutampa .

Algebros sąvoka.Tarkime turime žiedą <A ₁,*₁> ir lauką <L;+₂,*₂>. Sakysime, kad žiede <A ₁,*₁> apibrėžta daugyba iš skaliaro a aIL, jeigu nurodyta taisyklė, pagal kurią elementų dvejetui (a a aIA užrašomų bet kokia tvarka, prisikiriamas aibės A elementas b. Šią taisyklę taipogi žymėsime daugybos simboliu “*” arba visiškai nenurodysime jokio ženklo, jei nekils kokių nors neaiškumų. Tuomet, bet kuriems aIL ir a,bIA galime rašyti a*a=a*a aa=aa=b 1 apibrėžimas. Žie das <A;+₁,*₁>, kuriame įvesta daugybos iš skaliaro a operacija, a - lauko <L;+₂,*₂> elementas ir tenkinamos daugybos operacijos sąlygos : 1 asociatyvumo

a b*a)= (a b)*a; a*(a*₁b)=( a*a)*₁b

2 distributyvumas (a b)*a=(a*a) +₁(b*a); a*(a+₁b)=( a*a a*b)

3 neutralusis elementas 1*a=a bet kuriems a b IL ir a,b IA vad. algebra ir žymimas <A;+₁,*₁|L>. Pastebėsime, kad

algebros apibrėžime dalyvauja dvi sudėties operacijos(žiedo ir lauko) ir trys daugybos operacijos(žiedo, lauko ir daugybos iš skaliaro) Sudėties “+” ir daugybos “*”operacijas žiede <A;+,*> paprastai vad. vidinėmis operacijomis o daugybos iš skaliaro a operaciją – išorine. 1 teorema Tarkime kad O_A yra žiedo <A;+,*> nulinis elementas, o O_L – lauko L nulinis elementas; 1_A ir 1_L atitinkamai žiedo ir lauko vienetiniai elementai, tuomet taisingos savybės : 1. O_L*a=a* O_L= O_A; 2. a* O_A O_A*a=O_A; 3. 1_L*1_A=1_A*1_L=1_A bet kuriems aIL ir aIL. Įrodysime 1 ir 2 savybes bet kuriam lauko <L;+,*> elementui a turime

a*a+O_L*a=(a+ O_L)*a=a*a

ir O_L*a=a*a-a*a=O_A, O_L*a= O_A=a* O_L

Antra vertus a*a+a*O_A=a(a+ O_A)= aa

ir a* O_A= O_A , a*O_A= O_A *a= O_A

Trečioji savybė įrodoma panašiai. Algebros apibrėžime kaliamos 1-3 sąlygosyra neprieštaringos – egzistuoja konkrečios struktūros, tenkinančios minėtas sąlygas.