| CATEGORII DOCUMENTE |
| Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
| Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
| Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
Kombinatorinių
udavinių, kuriuose reikia apskaičiuoti skaičių objektų,
tenkinančių nurodytas s¹lygas, sprendinys danai būna seka 
, čia 
iekomų k matavimų
objektų skaičius. Pavyzdiui, jei iekome skaičiaus n iskaidymo, tai yra
skaičiaus n iskaidymo į k dėmenis variantų skaičius;
jei nagrinėjame n-elementės
aibės iskaidym¹ į poaibius, tai 
ir t.t.
iais atvejais sekai 
patogu
priskirti formali¹ eilutź
(3.6.1)
kuri vadinama i¹ sek¹ generuojančia funkcija.
Pavadinimas formalioji eilutė reikia, kad (3.6.1) eilutź traktuosime kaip sekos patogų ura¹. iuo atveju nesvarbu, prie kokių x reikmių i eilutė konverguoja. Todėl mes niekada neskaičiuosime tos eilutės sumos prie konkrečios x reikmės. Su iomis eilutėmis mes vykdysime konkrečias operacijas ir palyginsime koeficientus prie tų pačių x laipsnių. Tarkime, turime dvi eilutes:
ir 
Apibrėime ių eilučių sum¹.
Apibrėime sandaugos i pastovaus skaičiaus operacij¹.
Apibrėime ių eilučių sandaug¹.
čia 
Jei 
, kai 
, tai
(3.6.1) eilutź sutapatinsime su daugianariu:
Aptarsime, kaip
laipsninė eilutė dalijama i kitos laipsninės
eilutės. Padalinź eilutź 
i 
, gausime
eilutź 
. Tada pagal
dalybos veiksmo apibrėim¹ galima parayti
(3.6.2)
(3.6.2) formulėje palyginź koeficientus prie tų pačių x laipsnių, gausime:
(3.6.3)
Tos lygybės sudaro
begalinź lygčių sistem¹, i kurios reikia rasti koeficientus 
ir t.t. I (3.6.3) nesunku apskaičiuoti
koeficientus c:
(3.6.4)
I matematinės
analizės inome, kad, jei eilutė kakurioje nulio aplinkoje
konverguoja, tai (3.6.1) eilutė yra funkcijos Makloreno eilutė. iuo atveju
generuojanti funkcija yra matematinės funkcijos Makloreno eilutė. Todėl, iuo
atveju, atliekant operacijas, vietoje eilutės galima imti analitinź
funkcij¹ .
Pavyzdiui, galime rayti:
(3.6.5)
ir t.t.
Apskaičiuokime kai kurių sekų generuojančias funkcijas.
Imkime sek¹ 
, čia 
, kai , yra lygus
0. ios sekos generuojanti funkcija yra Niutono binomas, t.y.
(3.6.6)
Panagrinėkime
(3.6.6) formulės fizinź prasmź. Kiekvien¹ daugiklį 
galima traktuoti kaip aibės 
atitikmenį, kuris nusako elemento 
pasirodymo skaičių X poaibyje: 0 kartų (dėmuo 
) ir vien¹
kart¹ (dėmuo 
). Aiku,
kad kiekvienas aibės X poaibis
vienareikmikai apibrėiamas, nurodant, kiek kartų kiekvienas
elementas pasirodo poaibyje, t.y. i kiekvieno daugiklio
irenkant po vien¹ dėmenį. Vadinasi,
ios sandaugos koeficientas prie x k-tojo laipsnio ir parodo aibės X k-elemenčių
poaibių skaičių.
Aiku, kad į
nagrinėjim¹ galima apibendrinti nagrinėjant aibes su
pasikartojančiais elementais. Pavyzdiui, imsime aibź 
, ir
simboliu 
paymėsime ios aibės k-elemenčių poaibių
skaičių. Apibendrinus aukčiau pateiktus samprotavimus, sekos 
generuojanti funkcija yra
I ios funkcijos matosi, kad skaičius poaibių, turinčių 5-is elementus, yra 22.
Nesunku suvokti, kad,
atitinkamai parinkus i-¹jį
daugiklį, galima įvesti įvairius apribojimus elementui ai. Pavyzdiui, jei is
daugiklis yra 
, tai
reikia, kad poaibyje elementas ai
gali pasirodyti 0, 3, arba 7 kartus; jei daugiklis yra 
, tai
reikia, kad elementas ai
poaibyje gali pasirodyti lyginį skaičių kartų.
Jei mes neįvedame
jokio apribojimo elemento ai,
, pasirodymo
skaičiui, tai generuojanti funkcija yra
Aiku, kad aukčiau pateiktiems pavyzdiams galima suteikti ir kitoki¹ interpretacij¹. Pavyzdiui, nagrinėkime lygtį
čia e1, e2, ir r natūralieji skaičiai. Skaičiams e1 ir e2
gali būti įvesti apribojimai. Mus domina ios lygties sprendinių
skaičius. Tarkime, e1 gali
būti arba 0, arba 1, arba 9, o e2
tenkina nelygybź 
. Simboliu 
paymėkime ios lygties sprendinių skaičių.
Tada ios sekos generuojanti funkcija yra dėmenų e1 ir e2
apribojimus nusakančių funkcijų 
ir 
sandauga:
į pavyzdį
galima apibendrinti imant lygtį: 
, ei, r natūralieji skaičiai. Norint suinoti ios lygties
sprendinių skaičių, kai ei,
, tenkina
apribojimus 
, turime
sudaryti generuojanči¹ funkcij¹: 
ir koeficientas prie 
duos atsakym¹.
Imkime sek¹ 
. ios sekos
generuojanti funkcija yra
(r.
(3.6.5) formulź).
Remiantis tuo, kad
analitinź funkcij¹ galima panariui diferencijuoti, iveskime sekos 
,
generuojanči¹ funkcij¹.
emiau pateikiame lentelź, kurioje suraytos kai kurių sekų generuojančios funkcijos.
10 lentelė. Generuojančios funkcijos
|
Eil. nr. |
Sekos |
Generuojančios funkcijos |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1938
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved
