Inversijos apibrėžimas ir savybės

Inversijos apibrėžimas ir savybės

Tarkime, kad plokštumoje turim apskritim¹ I su centru taške O ir spinduliu R, pažymėkime jį I ( O, R ). Inversija šio apskritimo atžvilgiu yra plokštumos be taško O atvaizdis į plokštum¹ be taško O, t.y. I: M0 P0, kuris, koks bebūtų taškas M I P0, M M¢ = I ( M ), tenkina dvi s¹lygas:

Apskritimas I yra vadinamas inversijos apskritimu. Taškai M ir M¢ vadinami inversiškais apskritimo atžvilgiu. Inversijos apskritimo centras neatvaizduojamas į jokį plokštumos tašk¹ ir į jį neatvaizduojamas joks plokštumos taškas. Be to jei I: M M¢, tai M¢ M, t. y. I^-1 = I.

Jei M I I ( O, R ), tai pagal apibrėžim¹ jis atvaizduojamas pats į save, nes tada M  M, OM = R ir iš čia seka, kad OM¢ = R.

Jei taškas M yra inversijos apskritimo viduje, t.y. OM < R, tai pagal antr¹ apibrėžimo s¹lyg¹ OM¢ > R, taigi apskritimo vidaus taškai atvaizduojami į taškus, esančius inversijos apskritimo išorėje, analogiškai, taškai, esantys inversinio apskritimo išorėje atvaizduojami į taškus, esančius apskritimo viduje. Taigi inversijos invariantiniai taškai yra tik inversijos apskritimo taškai. Kadangi 1) ir 2) apibrėžimo s¹lygomis kiekvienam taškui M vienareikšmiškai nustatomas jo vaizdas M¢, tai inversija yra abipus vienareikšmiškas atvaizdavimas plokštumos, su išmestu tašku O, pačios į save.

Dabar išsiaiškinsim kaip braižyti taškų inversinius vaizdus.

Taškas M yra inversinio apskritimo viduje. Brėžiam spindulį OM ir iš taško M brėžiam tiesź d   OM. Tiesė d kerta apskritim¹ taške T. Per tašk¹ T nubrėžkim apskritimo liestinź l. Tiesė l kerta spindulį OM taške M¢, kuris yra taško M vaizdas, t.y. I: M M¢ ( pav. 1 ):

Pav. 1

OM OM¢

D OMT ~ D OM¢T ( abu trikampiai statūs, Ð TOM¢ bendras ), gaunam  Þ

Taškas M yra inversijos apskritimo išorėje. Per jį brėžiam abi apskritimo liestines l₁ ir l₂. l₁ liečia apskritim¹ taške T₁, o l₂ — taške T₂. Tiesės T₁T₂   ir OM kertasi taške M¢, kuris yra taško M vaizdas ( pav. 2 ).

Įrodymas:

OM OM¢ pagal brėžim¹;

D

T₁:

Pav. 2

Užrašysime inversijos koordinatinź išraišk¹. Sakykime inversijos apskritimo lygtis yra I: ( x – a )² + ( y – b )² = R². Taškas M ( x, y ) M¢ (x¢, y¢ ), tai iš 1) apibrėžimo s¹lygos turime OM¢ = λ OM¢. Kadangi OM = ( x – a ) i + ( y – b ) j, o OM¢ = ( x¢ – a ) i + ( y¢ – b ) j, tai OM  OM¢ = ( x – a ) ( x¢ – a ) + ( y – b) ( y¢ – b ) = R². Iš OM λ OM¢; turime:

Gautas lygybes įstatź į 2) apibrėžimo s¹lyg¹, gauname:

λ ( x – a )² + λ ( y – b )² = R²

Tuomet ši¹ išraišk¹ įstatź į

gauname toki¹ inversijos koordinatinź išraišk¹:

Iš šios išraiškos matyti, kad inversija nėra afininė transformacija.