CATEGORII DOCUMENTE
Afaceri Calculatoare Casa masina Didactica pedagogie Diverse Educatie Finante Geografie Istorie & politica Legislatie Limba Management Sanatate Tehnologie

Bulgara	Ceha slovaca	Croata	Engleza	Estona	Finlandeza	Franceza
Germana	Italiana	Letona	Lituaniana	Maghiara	Olandeza	Poloneza
Sarba	Slovena	Spaniola	Suedeza	Turca	Ucraineana

įstatymai	įvairių	Apskaitos	Architektūra	Biografija	Biologija	Botanika	Chemija
Ekologija	Ekonomika	Elektra	Finansai	Fizinis	Geografija	Istorija	Karjeros
Kompiuteriai	Kultūra	Literatūra	Matematika	Medicina	Politika	Prekyba	Psichologija
Receptus	Sociologija	Technika	Teisė	Turizmas	Valdymas	vietimas

LOGIKOS KONSPEKTAI

matematika

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

LOGIKOS KONSPEKTAI

Ø Logikos apibrė˛imas. Jos santykis su kitais mokslais. Logikos reikmė.

Senovės graikų kalbos ˛odis logikos reikia “atitinkantis prot¹”.Logika yra mokslas apie samprotavimo būd¹.

1)Logika-mokslas apie taisyklingo m¹stymo formas ir dėsnius.

2)Logika – tai mokslas tiriantis m¹stym¹ ireikiama kalba,jo forma ir taisyklingu.

3)Logika – tai mokslas apie visuotines įvairių rūių intelektines operacijas,tiriamas jų formalaus korektikumo ir praktinio rezultatyvumo aspektu.

Logika tiria minčių struktūr¹,minčių ryių dėsningumus. Kadangi mintys reikiamos kalba,tai logika tiria kalb¹ kaip pa˛inimo priemonź.Yra labai paplitusi simbolinė logika.Ji dar vadinama matematine logika,dėl to,kad čia matematikos metodai perkelti į logik¹.

Panagrinėkime teiginį “Gretimoje auditorijoje yra stalas”.Norint su˛inoti,ar is teiginys teisingas,reikia jį patikrinti patyrimu:u˛eiti į t¹ auditorij¹ ir patikrinti. Tos tiesos,kurias reikia patikrinti patyrimu, vadinamos empirinėmis.Bet yra ir kitokio pobūd˛io tiesų – jos vadinamos loginėmis tiesomis.Norint įsitikinti jų teisingumu, nereikia jų patikrinti patyrimu.(Pvz.: Teiginio “gretimoje auditorijoje yra stalas arba joje nėra”nereikia tikrinti patyrimu. io teiginio teisingum¹ suprantame i loginių konstantų “yra”,“arba”,“nėra” prasmės.).

Loginės tiesos – tai teiginiai,kurių patyrimu patikrinti nereikia,jų teisingumas priklauso tik nuo jų loginės struktūros.Loginės tiesos gaunamos,perdirbant pačioje ˛inių sistemoje esanči¹ informacij¹.Fakto tiesos sudaromos,įgyjant informacij¹,ieinanči¹ u˛ esamos ˛inių sistemos ribų.Logikos tikslas– nustatyti logines pa˛inimo teisingumo s¹lygas,sukurti efektyvų loginio pa˛inimo metod¹,nustatyti priemones,įgalinčias i vienų teiginių ivesti kitus teiginius.

iuolaikiniuose moksluose esant auktam teorinio m¹stymo lygiui,ikyla daug loginių problemų:koks yra to ar kito mokslo naudojamas samprotavimo būdas,kokios loginės priemonės gali sėkmingiausiai padėti sprźsti tuos ar kitus klausimus ir pan. Tai svarbūs klausimai,nes mokslas,kaip ir kiekvienas atskiras ˛mogus tiria savo srities reikinius,vadovaudamasis tam tikru samprotavimo būdu,tam tikra logika. Kuo samprotavimo būdas,tas tinklelis bus geresnis, tuo sėkmingiau bus galima sprźsti problema

Logika čia ateina mokslams į pagalb¹,turėdama tiksl¹ nustatyti pačias efektyviausias logines tiesos pasiekimo priemones.Tad logika aptarnauja kitus mokslus.ia prasme logika yra bendras metodas visiems mokslams,ji yra mokslinio m¹stymo technika.Logika glaud˛iai susijusi su matematika.Ryys čia abipusis:matematika vartoja logikos sukurtas priemones,o logika ima i matematikos kai kuriuos jos metodus ir pagal juos vysto savo teorijas.

Logika remiamasi teisės moksluose,ypač teisinių įrodymų teorijoje.

Logika glaud˛iai susijusi su filosofija.Ryys čia taip pat abipusis.Filosofija apibendrina logikos pasiekimus,remiasi jais.I kitos pusės,logikoje yra filosofinių problemų,kurias teisingai galima isprźsti,tik remiantis dialektinių materializmu.Dialektinis materializmas nagrinėja bendriausius gamtos,visuomenės ir m¹stymo vystymosi dėsningumus.Bendriausi gamtos ir visuomenės dėsniai – tai objektyvioji dialektika, o ių dėsnių atspindėjimas m¹styme – subjektyvioji dialektika,arba dialektinė logika.Dialektinė logika tiria,kaip m¹styme pasireikia dialektikos dėsniai,principai.Ji tiria,kaip jame pasireikia prieybių vienybė ir kovos dėsnis.

Simbolinė ir dialektinė logika yra du skirtingi mokslai,nes m¹stym¹ jie tiria skirtingais po˛iūriais.Pati did˛iausia logikos reikmė yra ta,kad mūsų laikais ji pritaikoma technikoje,tapo prieakinės technikos metodu,tiesiogiai gausindama materialines ir dvasines gėrybes.Loginius m¹stymo veiksmus galima palyginti su achmatų ˛aidimo taisyklėmis,kurios nustato,kaip leistina perkelti figuras i vieno achmatų laukelio į kita.Tačiau loginio m¹stymo veiksmai negali nurodyti, kaip atrasti problem¹,kaip j¹ isprźsti.

Logikos studijavimas pakelia intelektualinį ˛mogaus lygį,jo potencines intelektualines jėgas.Logika formuoja kritinį ˛mogaus pa – ˛iūrį į kitų ˛monių ir į savo teiginius,pa – ˛iūras ,įsitikinimus.Pagal į po˛iūrį, neu˛tenka pateikti vien tai,kas teiginį pat – virtina,bet reikia inagrinėti ir tai,kas teiginiui prietarauja.Kiekvien¹ teiginį galima laikyti teisingu,jei jis turi pakankam¹ teisingumo pagrind¹.Norint samprotavimuose prieiti teisingų ivadų, reikia laikytis dviejų pagrindinių s¹lygų :

1.Turi būti teisingi pradiniai samprotavimo teiginiai.

2.Samprotavimo eiga turi būti logikai taisyklinga.

Logika nurodo,kaip reikia taisyklingai m¹styti.

Ø Minčių loginės struktūros.Formalizavimo metodas.

Logika nagrinėja ˛mogaus m¹stym¹.M¹stymas turi turinį ir form¹. Mastymo turinys – tai objektų,apie kuriuos m¹stome vaizdai,s¹vokos s¹monėje.Kai sakome “iandien a vyksiu į Kaun¹”,tai m¹stymo turinį sudaro operavimas s¹monėje objektais “a”, “i diena”, “vykti” “Kaunas”.Logika atsi˛velgia į m¹stymo turinį,tačiau ji neturi tikslo jį tirti.Logika tiria kit¹ m¹stymo proceso pusź - m¹stymo form¹.Norėdami isiaikinti, kas yra loginė m¹stymo forma,panagrinėkime į samprotavim¹:

Jei iandien pirmadienis,tai rytoj antradienis

iandien pirmadienis.

Vadinasi,rytoj antradienis.

Teiginį “iandien pirmadienis” pa˛ymėkim raide p,teiginį “Rytoj antradienis” – raide q. Gauname:

Jei p,tai q. p yra. Vadinasi, q yra.

i iraika ir yra loginė dviejų nagrinėtų samprotavimų forma.Samprotaujant pagal i¹ form¹,pasakomas koks nors teiginys (p) ir i jo iplauki¹s kitas teiginys (q).Paskui p patvirtinamas, ir tada ivadoje telieka patvirtinti q. Ta pačia logine forma galima ireikti įvairų turinį.

Minties loginė struktūra yra jos sudėtinių dalių sujungimo būdas,bendras skirtingo turinio mintyse.Minties loginė struktūra nustatoma formalizavimo metodu.Vartojant formalizavimo metod¹,įprastinės natūralios kalbos ˛od˛iai it teiginiai u˛raomi loginiais simboliais,sukuriama dirbtinė kalba. Dirbtinė kalba paalina įvairius dviprasmikumus,lengvai galinčius atsirasti įprastinėje kalboje,ji įgalina ekonomikiausiai ir tiksliausiai reikti tyrimų rezultatus.Dirbtinės kalbos turi savo alfabet¹,taisykles,pagal kurias i alfabeto vienetų sudaromos formulės.Ne˛iūrint dirbtinių kalbų reikmės,jos tėra pagalbinė priemonė įprastinei nekamajai kalbai,nes pačias dirbtines kalbas reikia aikinti įprastine natūralia kalba.

Kalb¹ sudaro dvejopo pobūd˛io ˛od˛iai. Vieni ˛od˛iai turi siauresnź reikmź,o kiti – labai plači¹.ių pastarųjų dėka i siauresnės reikmės ˛od˛ių galima sudaryti teiginius.

Pateikiame kai kuriuos ˛od˛ius,kuriuos tiria logika:tas,kuris,vienas,visi,kai kurie,yra, egzistuoja,nėra,galbūt,ne,taip,objektas,klasė

Po˛ymis,samprotavimas,ivada,įrodymas, tiesa,klaidingumas,tikėtinumas.

Ø Teiginių logikos samprata.Teiginiai ir gramatiniai sakiniai.Paprasti ir sudėtiniai teiginiai.

Logikos moksl¹ sudaro visa eilė teorijų. Pagrindinė logikos teorija yra teiginių logika.Dėsningumai,nustatyti teiginių logikoje,galioja ir kitose loginėse teorijose.

Teiginių logika yra logikos teorija, nagrinėjanti teiginių ryius,gaunamus loginių konstantų “ne”,“ir”,“arba”,“jei…, tai”, “jei ir tik jei…” dėka.

Teiginiu vadinamas bet kuris sakinys,kuris yra teisingas arba klaidingas.Teiginys gali turėti ir koki¹ nors kit¹ reikmź:gali būti neapibrė˛tas,tikėtinas,galimas ir pan.Tačiau teiginių logikoje jie gali būti teisingi arba klaidingi.Teisingumas ir klaidingumas vadinami teiginio reikmėmis.(Pvz.:Mūsų gatve va˛iuoja automobilis).Teiginiai skiriasi nuo gramatinių sakinių.Ne visi gramatiniai sakiniai gali būti laikomi teiginiais.Klausiamieji sakiniai nėra nei teisingi nei klaidingi.Galima kalbėti tik apie tai ar klausimas keliamas teisingai,ar neteisingai.I gramatinių sakinių teiginių logikoje teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama,kad yra tam tikri objektai arba jų nėra,kad tie objektai turi arba neturi tam tikrų po˛ymių; tiesioginiuose sakiniuose nurodoma,kad yra tam tikri faktai arba jų nėra. Tokie sakiniai yra teisingi arba klaidingi.Teiginių logikoje teiginys nedalomas į jokias sudėtines dalis,jis nagrinėjamas kaip vieninga nedaloma visuma.Atskiri teiginiai yra ˛ymimi ma˛osiomis raidėmis:p,q,r,s.Kiek- vien¹ teiginį reikia ˛ymėti atskira raide.

Visi teiginiai skirstomi į paprastus ir sudėtinius.

Paprastu teiginiu vadinamas teiginys,kuris į jokius kitus teiginius neskaidomas.

Sudėtiniu teiginiu vadinamas teiginys,

Sudarytas i kelių paprastų teiginių, sujungtu loginėmis jungtimis.

Loginių jungčių yra keturios: ir;arba;jei… tai;jei ir tik jei…,tai.

Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu būdu,o patyrimu,stebėjimu, eksperimentu.

Sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas loginėmis priemonėmis.Sudėtinio teiginio teisingumo reikmė priklauso:

1)nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikmių;

2)nuo jį sudarančių loginių jungčių pobūd˛io.

Ø Loginis neigimas.Konjunkcija, disjunkcija.

Loginis neigimas reikiamas ˛od˛iais “ne”, “nėra”,“netiesa,kad…”,“klaidinga,kad…”. Teiginio “Kambaryje yra stalas” neigimas reikiamas taip :

1)Kambaryje nėra stalo.

2)Netiesa,kad kambaryje yra stalas.

3)Klaidinga,kad kambaryje yra stalas.

Visi ie teiginiai lygiaverčiai.Logikoje neigimas ˛ymimas tam tikru simboliu – brūkniu,kuris dedamas vir teiginio.Teiginį pa˛ymėjus raide p,jo neigimas ˛ymimas p ir skaitoma: ne p;netiesa,kad p;klaidinga, kad p.

Kyla klausimas,koks yra santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo p teisingumo po˛iūriu.Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė.

Kambaryje yra stalas (p);

Kambaryje nėra stalo ( p)

P	p
Teisinga	Klaidinga
Klaidinga	Teisinga

ˇymiai trumpiau loginio neigimo teisingumo lentelė sudaroma taip:

P	p
T	k
K	t

Raidės t ir k yra ˛od˛ių “teisinga” ir “klaidinga” santrumpos.I lentelės matome, jei pradinis teiginys p teisingas,tai jo neigimas p klaidingas, ir atvirkčiai.

Teisingumo lentelė kitaip dar vadinama teisingumo matrica.Dvigubas neigimas lygiavertis teigimui.is teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu.U˛raomas taip:

p p.

Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys.Logikos dėsniai kitaip dar vadinami bendrareikmėmis iraikomis – tai visuomet teisinga iraika.Patikrinti,ar i – raika yra loginis dėsnis,galima grymai loginėmis priemonėmis.Reikia iraikai sudaryti teisingumo lentelź.Dvigubo neigimo dėsnio teisingumo lentelė tokia:

p	p	p	p p
t	K	t	t
k	T	k	t

I matricos matome,kad iraika p p visais atvejais teisinga.Trigubas neigimas lygiavertis neigimui.

Konjunkcija:konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys,sudarytas i kelių paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “ir”.

Kojunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikmių.

Kambaryje yra stalas (p).

Prie lango stovi kėdė (q).

Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė (p q).

Konjunkcijos matrica bus :

P	q	p q
T	t	t
T	k	k
K	t	k
K	k	k

Kojunkcija teisinga tik tada,kai teisingi visi jos nariai.

Ø Disjunkcija: Disjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys,sudarytas i kelių paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “arba”.Disjunkcijos formulė yra :

pVq .iai formulei atitinka teiginys “Nusikaltim¹ padarė asmuo A arba nusikaltim¹ padarė asmuo B”.

Jungtis “arba” turi dvi reikmes – grie˛t¹j¹ ir silpn¹j¹.Priklausomai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rūys – grietoji disjunkcija ir silpnoji disjunkcija.Grie˛tojoje disjunkcijoje i kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas.Grie˛toji disjunkcija ˛ymima simboliu (vieuje takas).Grie˛tos disjunkcijos matrica yra tokia:

p	q	p q
t	t	k
t	k	t
k	t	t
k	k	k

matricos matome,kad grie˛toji disjunkc. teisinga tada,kai teisingas tik vienas jos narys.Lengva įrodyti į teiginį.(Paėmus monet¹ ir imetus į virų,jai nukritus monetos viruje bus arba vytis arba skaičius).

Silpnojoje disjunkc. i kelių galimų atvejų įvykdomų laikomas bent vienas,tačiau gali būti ir daugiau.ji ˛ymima simboliu (be tako).Silpnoji disjunkc.klaidinga tik tada, kai klaidingai visi jos nariai.Silpnoji disjunkcija yra bendrsnio,abstraktesnio pobūd˛io,negu grie˛toji.

Ø Implikacija, ekvivalentikumas.

Implikacija yra sudėtinis teiginys,sudarytas i dviejų paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “jei …,tai”.

Teiginys “Jei iandien pirmadienis,tai rytoj antradienis” yra implikacija,sudaryta i dviejų paprastų teiginių(iandien pirmadienis (p), rytoj antradienis (q)).

Turine jei p,tai q.Jungtį “jei…,tai”˛ymėsime ˛enklu .Implikacijos formulė i:

p q.

Pirmas implikacijos narys vadinamas antecedentu, o antrasis narys – konsekventu.Iraika p q skaitoma dvejopai:

1)jei p,tai q; 2)i p seka q.Tad implikacijos prasmė ta,kad i antecedento seka konsekventas . Jungtis “jei…,tai”- sudėtingiausia i visų loginių jungčių,ji turi daug reikmių, pagal kurias skiriamos implikacijos rūys. Svarbiausios implikacijos rūys:

a)Kauzalinė implikacija ireikia prie˛astinį ryį tarp reikinių.

b)Grie˛toji implikacija ireikia būtin¹ ryį tarp reikinių.

c)Formalioji implikacija ireikia ryį tarp objekto ir jo po˛ymio.

d)Materialioji implikacija yra pati bendriausia pagrindinė implikacijos rūis.Materialiojoje implikacijoje neatsi˛velgiama nei į prie˛astinius,nei į būtinus at kokius nors kitus ryius.Formulė p q ir yra materialiosios implikacijos simbolinis u˛raymas. Implikacijos matrica yra tokia:

p	q	p q
t	t	t
t	k	k
k	t	t
k	k	t

Implikacija klaidinga tik tada,kai i teisingo antecendento seka klaidingas konsekventas.

Ekvivalentikumas:Du teiginiai sujungti logine jungtimi “jei ir tik jei…,tai”, vadinami logikai ekvivalentikais,arba lygiaverčiais.Loginis lygiavertikumas ˛ymimas simboliu .Iraika: p q skaitoma dvejopai: 1)jei ir tik jei p,tai q; 2)p ekviva – lentikas q.Loginio lygiavertikumo matrica

p	q	p q
t	t	t
t	k	k
k	t	k
k	k	t

Loginio lygiavertikumo taisyklė tokia: du teiginiai logikai lygiaverčiai,jei jų teisingumo reikmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

Ø Indukcijos metodas.

Lotynų kalbos ˛odis inductio reikia įvedim¹.Da˛nai samprotavimų prielaidos būna bendro pobūd˛io teiginiai,t.y.teiginiai apie visus klasės objektus,pvz.,“Kiekvienos bibliotekai priklausančios knygos 17 psl.yra bibliotekos antspaudas”.Bendro pobūd˛io teiginiai gaunami,ityrus (stebėjimu,eksperimentu)atskirus atvejus, nustačius,kad atskiri klasės objektai turi tam tikr¹ savybź,ir padarius apibendrinanči¹ ivad¹ – t¹ savybź turi visi tos klasės objektai.

Indukcija yra toks samprotavimo būdas,kai, ityrus atskirus klasės objektus ir nustačius, kad jie turi tam tikr¹ savybź,daroma ivada, kad t¹ savybź turi visi tos klasės objektai.

Indukcija galima todėl,kad tikrovės reikiniai dėsningai kartojasi.Indukcijos ivada gali būti teisinga, bet gali būti ir klaidinga.Todėl apskritai kalbant indukcijos ivada yra tikėtina.

Indukcijos rūys

Skiriamos pilnoji ir nepilnoji indukcija.

Pilnoji indukcija yra tada,kai ivada apie visus klasės objektus daroma,remiantis kiekvieno tos klasės objekto ityrimu.

(Pvz.:Tarkime,kad eim¹ sudaro keturi asmenys:tėvai,duktė ir sūnus.

Motina baigusi aukt¹jį moksl¹;

Tėvas baigźs aukt¹jį moksl¹;

Duktė baigusi aukt¹jį moksl¹;

Sūnus baigźs aukt¹jį moksl¹.

Vadinasi,visi eimos nariai baigź aukt¹jį moksl¹.

Pilnosios indukcijos ivada visada teisinga, jei tiksliai itiriami visi klasės objektai.

Eksperimentiniuose ir apraomuosiuose moksluose tiriant klases,kurias sudaro pakankamai didelis arba neapibrė˛tas objektų skaičius,vartojama nepilnoji indukcija.Ji yra tada,kai itiriami tik kai kurie klasės objektai ir nustatoma,kad jie turi tam tikr¹ savybź,o paskui daroma ivada,kad ta savybź turi visi tos klasės objektai.

Nepilnosios indukcijos schema tokia:

Objektas x₁ turi savybź F.

– ||– x₂ – ||–

– ||– x₃ – ||–

Objektai x₁,x_2,x₃ … nesudaro visos klasės.

Ivada:Vadinasi,tikėtina,kad kiekvienas klasės A objektas turi savybź F.

Nepilnoji indukcija yra dvejopa – populiarioji ir mokslinė.

Populiari¹ja vadinama tokia indukcija,kai ivada,jog visi tam tikros klasės objektai turi tam tikr¹ savybź,daroma,remiantis tuo, kad itirtų kai kurių tos klasės objektų tarpe nebuvo surastas toks objektas,kuris tos savybės neturėtų.Populiariosios indukcijos ivada tikėtina.Jei prietaraujančio atvejo nebuvo surasta,tai dar nereikia,kad jo i viso nėra.

Indukcija,vartojama kartu su dedukcija, vadinama moksline indukcija.

Priklausomai nuo dedukcijos vaidmens skiriami keli mokslinės indukcijos variantai.

a) Indukcija,atrenkant atvejus,kuriuose negalimi atsitiktiniai apibendrinimai.

b) Indukcija,kurios ivada patikrinama dedukcija.

Deduktyviai pagrysta indukcijos ivada yra teisinga.

Ø Analogija.

Senosios graikų kalbos ˛odis analogija reikia taisykling¹ santykį tarp objektų,jų proporcij¹ ir atitikim¹.Analogija yra toks samprotavimas,kai i dviejų objektų panaumo vienais po˛ymiais daroma ivada, kad tie objektai panaūs ir kitais po˛ymiais.

Analogijos schema yra tokia:

Objektas x turi po˛ymius a,b,c,d.

Objektas y turi po˛ymius a,b,c

Vadinasi,tikėtina,kad objektas y turi po˛y- mį d.

Pateiktoji analogijos samprata vadinama struktūrine analogija – ji nustato dviejų objektų struktūrė panaum¹.Analogijos i – vada tikėtina.

Analogijos ivados patikrinimas:

Kadangi analogijos ivada tikėtina,tai galima kalbėti apie jos tikėtinumo laipsnį.

Veiksniai nuo kuriź priklauso analogijos ivados tikėtinumas:

1) Po˛ymių,bendrų lyginamiems objektam, reikmingumas.

2) Lyginamiems objektams bendrų esminių po˛ymių skaičius.

3) Perkeliamas po˛ymis turi būti to paties tipo,kaip ir bendri objektų po˛ymiai.

Klaidos analogijoje:

Pirmoji analogijos klaida padaroma tada,kai lyginami objektai neturi bendrų esminių po˛ymių.i analogijos klaida grubi,retai tepasitaikanti.

Kita analogijos klaida.Pvz.,nustatoma,kad objektai x ir y turi bendrus po˛ymius a,b,c. Objektas x turi po˛ymį d, o objektas y turi po˛ymį n.Pasirodo,kad po˛ymis n nesuderi- namas su po˛ymiu d.Tuo tarbu daroma ivada,kad objektas y vis tik turi po˛ymį d.i klaida atsiranda dėl to,kad ne˛inoma arba ignoruojama,jog po˛ymis n nesuderi- namas su po˛ymiu d,kad jei objektas turi po˛ymį n,tai jam jau negalima priskirti po˛ymio d.

Analogijų vaidmuo moksle:

Moksle analogijos plačiai taikomos,jos – viena i mokslo pa˛angos s¹lygų.Kibernetinės mainos buvo sukurtos pagal analogij¹ su gyvaisiais organizmais. Kadangi organizmas yra pati save reguliuo- janti sistema,tai kilo mintis sukurti save reguliuojančias mainas,kurioms betarpi- kas ˛mogaus valdymas nereikalingas.Vis dėlto analogija tėra pradinė tyrimų stadija, tai dar ne įrodymas.Patikrinus analogijos ivada kartais būna ir klaidinga.

Ø Sudėtinių teiginių neigimas. Sudėtinio teiginio teisingumo reikmės nustatymas, ˛inant paprastų teiginių teisingumo reikmes

Neigti galima ir sudėtinius teiginius. Sudėtinų teiginių neigimo procedūra ta pati, kaip ir paprastų teiginių. Konjunkcijos neigimas: p q; Disjunkcijos neigimas: p q; Implikacijos neigimas: p q; Lygiavertikumo neigimas: p q.

Konjunkcijos neigimas: Tegul turime teiginį “Netiesa, kad liudytojo A ir liudytojo B parodymai teisingi.”. Tai nereikia, kad abiejų liudytojų parodymai neteisingi. Manyti, kad jie abu meluoja reiktų sudaryti iraik¹ p q~ ( p q), tačiau i iraika nė-ra logikos dėsnis. Tai rodo teisingumo lentelė:

p	q	p	q	p q
T	T	K	K	T
T	K	K	T	K
K	T	T	K	K
K	K	T	T	K

p q	p q	p q~( p q)
K	K	T
T	K	K
T	K	K
T	T	T

Turime 2 teiginius- p ir q. Paraome visus jų galimus teisingumo ir klaidingumo variantus. p ir q teisingumo reikmes ivedame remdamiesi, loginiu neigimu. Teinio p q teisingum¹ teisingum¹ pagal p ir q teisingumo reikmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. p q yra p q neigimas. Jei p q teisingas, tai p q klaidingas, ir tt. Pas-kutiniame lentelės stulpelyje taikome lygiavertikumo taisyklź: 2 teiginiai lygiaverčiai (abu teisingi ar klaidingi), kai jų reikmės vienodos. Bet teiginiai p q ir p q antroje ir trečioje eilutėse nevienodi savo reikmėmis- nelygiaverčiai. Reikia, iraika p q~ ( p q)nėra visuomet teisingas teiginys, nėra logikos dėsnis. Jį reikia suprasti taip: liudytojas A sako neties¹ arba liudytojas B sako neties¹ (arba abu, jei disjukcija silpna). Visa tai u˛raoma: p q~( p q) “netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne-p arba Ne-q”. Duotoji iraika yra visuomet teisingas teiginys , logikos dėsnis.

Disjunkcijos neigimas. Teiginys “ne-tiesa, kad liudytojo A arba liudytojo B parodymai teisingi” reikia ne tai, kad A sako neties¹ arba B sako neties¹, o kad A sako neties¹ ir B sako neties¹.: p q~( p q). Iraikos 1) p q~( p q), 2) p q~( p q) vad de Morgano taisyklėmis: 1) konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui, 2)disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Implikacijos neigimas: p q~(p q)- “netiesa, kad i p seka q” lygiavertė “p ir ne-q”.

Lygiavertikumo neigimas: p q~[(p q) q p]. “netiesa, kad p lygiavertis q” lygiavertė iraikai “jei i p seka q, tai netiesa, kad i q seka p”.

Sudėtinio teiginio teisingumo reikmės nustatymas, ˛inant paprastų teiginių teisingumo reikmes:

Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teininių teisingumo reikmių, tai ˛inant paprastų teiginių p, q, r… teisingumo reikmes, lengvai galima nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikmź. Taikomos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, lygiavertikumo taisyklės. Pvz.: Tarkime, kad teiginyje (p q) r teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k), r klaidingas (k).Tai ˛inant , lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikmź. Pirmiausia p,q,r pakeičiame jų teisingumo reikmėmis. Gauname (t k) k. atliekame veiksmų, nurodytų skliaustuose- konjunkcij¹. Čia konjunkcija yra klaidinga. Tai ir įrodome:

k k.

nes kai i klaidingo teiginio seka klaidingas, implikacija teisinga. Tad pagal turimas teisingumo reikmes sudėtinis teiginys (p q) r teisingas.

Ø Daugiareikmės teiginių logikos samprata. Trijų reikmių logika

Logika, kurioje kiek vienas teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas, vad dvireikme logika.

Yra teiginių, kurie nei teisingi, nei klaidingi. Daugelis ateities įvykius ireikiančių teiginių nėra nei teisingi, nei klaidingi tuo metu, kada jie pasakomi. Tokie teiginiai tampa teisingais ar klaidingais, kai tai, kas juose pasakoma, įvyksta ar neįvyksta tikrovėje. Bet ne visi ateities įvykius numatantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi. Jei ateities įvykį numatantis teiginys tiesiog seks mokslo dėsnio, tai jis teisingas ir jo pasakymo metu. Daug teiginių, kurie nėra nei teisingi, nei klaidingi, būna nukreipti į praeitį.

Vadinasi, spėjimus ireikiantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi, ie teiginiai pasakymo metu yra neapibrė˛ti, galimi, tikėtini.

Logika, kurioje teiginiai, be teisingumo ir klaidingumo reikmių, įgauna ir kt reikmes (tikėtini, neapibrė˛ti, galimi ir pan), vadinama daugiareikme logika. Ji negriauna dvireikmės logikos. Tie dėsningumai, kurie buvo numatyti dvireikmėje logikoje, ilieka ir daugiareikmėje, nors ir ne visi. Daugiareikmėje logikoje, be teisingumo ir klaidingumo, teiginiams priskiriamos ir kt reikmės. Taigi, negalimo trečiojo dėsnio daugiareikmėje logikoje tenka atsisakyti. Daugiareikmėje logikoje atsiranda kai kurie na-uji dėsningumai, kurių dvireikmėje logikoje nebuvo. Yra įvairių daugiareikmės logikos sistemų, kur naudojamos 3, 4, 5 ir daugiau reikmių.

3-jų reikmių logika- paprasčiausia daugiareikmės logikos sistema. Joje teiginys gali įgauti 1 i 3-jų reikmių- būti teisingas, klaidingas, įgauti 3-či¹ reikmė (tikėtinas, neapibrė˛tas ir pan)

Trečiųjų reikmė ˛ymime skaičiumi 3.

Loginis neigimas 3-jų reikmių logikoje:

p	p
T	K
K	T

Paskutinė lentelės eilutė nurodo, kad jei teiginys turi 3-¹j¹ reikmź, tai jo neigimas tai pat turi 3-¹j¹ reikmź.

Konjunkcija

p	q	p q
T	T	T
T	K	K
T
K	T	K
K	K	K
K		K
	T
	K	K

Loginių jungčių taisyklės, galiojusios 2-reikmėje logikoje, galioja ir daugiareikmėje. 3-čia eil.: p teisingas, q tikėtinas, konjunkcija p q tikėtina. i konjunkcija negali būti klaidinga, nes ji būna klaidinga, jei nors vienas jos narys yra klaidingas, o čia nėra nei vieno klaidingo nario. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, konjunkcija p q klaidinga, nes p klaidingas. Paskutinėje eil p tikėtinas, q tikėtinas, konjunkcija p q tikėtina. Ji negali būti teisinga, nes jos abu nariai nėra teisingi ir ji negali būti klaidinga, nes jos nariai nėra klaidingi.

Disjunkcija:

p	q	p q
T	T	T
T	K	T
T		T
K	T	T
K	K	K
K
	T	T
	K

3-jų reikmių logikoje, kaip ir 2-jų, disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai. 3-oje eil p teisingas, q tikėtinas, disjunkcija p q teisinga, nes vienas jos narys teisingas. Analogikai ir 7-oje eil. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, disjunkcija p q tikėtina. 8-oje eil- tas pats. 9-oje eil p tikėtinas, q tikėtinas, disjunkcija p q tikėtina. Kadangi nėra nei vieno teisingo nario, ji negali būti teisinga. Ji negali būti ir klaidinga, nes abu nariai tikėtini, bet ne klaidingi.

Implikacija:

p	q	p q
T	T	T
T	K	K
T
K	T	T
K	K	T
K		T
	T	T
	K
		T

3-čia eil: p teisingas, q tikėtinas implikacija p q tikėtina. Implikacija klaidinga tik tuo metu, kai i teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Jei i teisingo antecedento seka tikėtinas konsekventas, tai tai visa implikacija tikėtina. 6-a eil: p klaidingas, q tikėtinas, implikacija p q teisinga, nes i klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys. 7-a eil: p tikėtinas, q klaidingas, implikacija p q tikėtina. Klaidingas konsekventas seka ne i teisingo, bet i tikėtino antecedento, o todėl implikacija tikėtina. 9-ta eil teigis, kad i tikėtino p seka tikėtinas q, implikacija p q reisinga.

Lygiavertikumas:

p	q	p~q
T	T	T
T	K	K
T
K	T	K
K	K	T
K
	T
	K
		T

Kaip ir 2-reikmėje logikoje, teiginys p~q teisingas tik kai jį sudarantys teiginiai p irq vienodi savi reikmėmis.

3-jų reikmių logikoje galioja negalimo ketvirtojo taisyklė. Pgal i dėsnį, teiginys “rytoj a dainuosiu” yra teisingas ar klaidingas, arba nei teisingas, nei klaidingas, tad ketvirtos reikmės nėra. 3-reikmėje logikoje negalioja antecedento teigimas, reikiamas iraika [(p q) p] q. dėsnis daugiareikmėje logikoje, kaip ir 2-reikmėje, yra visuomet teisingas teiginys (iraika).

Ø Silogistika

Silogistika- pagr senosios logikos teorija, nustatanti priemones ivadoms i prielaidų gauti. Silogizm¹ sudaro 3 dalys: prielaidos, ivada ir taisyklė, įgalinanti i tam tikrų prielaidų padaryti tam tikras ivad¹. Silogizmo prielaidos ir ivada yra a, e, I, o tipo sprendiniai. Silogizmo prielaidos vad premisomis. Silogizm¹ sudaro 2 premisos ir 1 ivada, pvz.: Kiekvienas nusikaltimas yra įstatymų pa˛eidimas. Apiplėimas- nusikaltimas. Vadinasi, apiplėimas yra įstatymų pa˛eidimas. S¹vokos, sudarančios silogizmo premisas, vad silogizmo terminais. Kiek-viename silogizme yra 3 terminai. Terminas, ein¹s ivados subjektu, vad ma˛uoju terminu i˛ ˛ymimas S. terminas, ein¹s ivados predikatu, vad did˛iuoju terminu ir ˛ymimas P. ma˛a-sis ir didysis terminai vad kratutiniais terminais. Terminas, es¹s abiejose premisose ir nes¹s ivadoje vad viduriniu terminu ir ˛ymimas M. Pavizdyje “apiplėimas” yra S, “įstatymų pa˛eidimas”- P, “nusikaltimas”- M. Vidurinis terminas susieja susieja ma˛¹jį ir didįjį terminus premisose. Atlikźs tai, vid terminas ivadoje inyksta. Silogizmas yra dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryys tarp kratutinių terminų ivadoje, remiantis jų santykiu su viduriniu terminu premisoje. Premisa, kurios udėtyje yrs didysis terminas- did˛ioji, kur ma˛asis- ma˛oji. Silogizme did˛ioji premisa gali sekti po ma˛oios, bet paprastai did˛ioji būna pirmoje vietoje. Pvz, turime premisas: Kai kurios gėlės nekvepia. & Visos gėlės- augalai. Darant ivad¹, pirmiausia reikia nustatyti vidurinį termin¹- t¹ kuris pasikartoja abiejose premisose- “gėlės”. Vadinasi, ivadoje ios s¹vokos jau nebus. Iv sudarys s¹vokos “augalai” ir “nekvepia”, o taip pat ˛od˛iai, nurodantys sprendinio kiekybź ir kokybź. Gauname iv “kai kurie augalai nekvepia”.

Silogizmų taisyklės:

Kiekviename silogizme turi būti tik 3 terminai- ma˛asis, didysis, vidurinis. Kai terminų ma˛iau ar daugiau (terminų suketverinimas), ivados negalima gauti. Pvz, Kelmai raunami mainomis. & is jaunuolis yra kelmas.- čia 4 terminai.

Vidurinis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje. Pnz, Profesoriai moka kelias u˛sienio kalbas.& Kai kurie studentai moka kelias u˛sienio kalbas.

Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas ivadoje. Pvz, i teiginių “Visi studentai (M) laiko egzaminus (P).” Ir “Petraitis (P) - ne studentas (M)” neseka “Petraitis (S) nelaiko egzaminų (P)”, nes “laikyti egzaminus” premisoje nesuskirstytas, o ivadoje- suskirstytas.

Premisų taisyklės:

1 I 2-jų dalinių premisų negalima padaryti jokios ivados.

2 Jei viena premisa dalinė, tai ir ivada dalinė. (vidurinis terminas apima tik dalį kurio nors kratutinio termino).

3 I 2-jų neigiamų premisų negalima padaryti ivados (čia vidurinis terminas ne susieja, o iskyria kratutinius terminus).

4 Jei viena premisų neigiama, tai ir ivada neigiama.

5 Jei abi premisos teigiamos, tai ne-galima padaryti neigiamos ivados.

Silogizmo figūros:

Silogizmo figūros- silogizmo formos, skiriamos pagal vidurinio termino padėtį premisose. Yra 4 silogizmo figūros:

1 Vidurinis terminas yra did˛iosios premisos subjektas ir ma˛osios predikatas.

2 Vidurinis terminas yra abiejų premisų predikatas.

3 Vidurinis terminas yra abiejų premisų subjektas.

4 Vidurinis terminas yra did˛iosios premisos predikatas ir ma˛osios subjektas.

Figūrų schemos:

Ivados visur yra S-P formos.

Silogizmo figūrų modusai- tai silogizmo figūrų atvejai, besiskiriantys premisų ir ivados kiekybe ir kokybe. Priklausomai nuo to, kokie i sprendinių (a,e,i,o) sudaro premisas, skiriami silogizmo modusai. Moduso pir-moji raidė ˛ymi did˛i¹j¹ premis¹, antroji- ma˛¹j¹, trečioji- ivad¹. Modusų yra 64, bet 45 i jų neatitinka silogizmo taisyklių, taigi lieka tik 19 taisyklingų modusų. Norint nustatyti, kuria silogizmo figūrai priklauso modusas, reikia ˛inoti kiekvienos figūros taisykles.

Pirmosios figūros:

1 Did˛ioji premisa bendras (teig ar neig) sprendinys.

2 Ma˛oji premisa teigiamas (bendras ar dalinis) sprendinys.

Pagal ias taisykles, 1-jai figūrai priklauso 4 modusai: aaa, eae, aii, eio.

Antrosios figūros:

1 Did˛ioji premisa bendra.

2 Viena i premisų neigiama.

Pagal ias taisykles 2-jai figūrai priklauso ie 4 modusai: eae, aee, eio, aoo.

Trečiosios figūros:

1 Ma˛oji premisa teigiama.

2 Ivada- dalinis sprendinys.

Nustatoma, kad 3-ai figūrai priklauso ie madusai: aai, iai, aii, eao, oao, eio.

Ketvirtosios figūros:

1 Jei did˛ioji premisa teigiama, tai ma˛oji premisa bendra.

2 Jei viena premisų neigiama, tai did˛ioji bendra.

4-os figūros modusai: aai, aee, iai, eao, eio.

Kiek vienam modusui viduram˛ių schilastai davė pavadinimus:

aaa- barbara, eae- celarent,

eae- cesare, aee- camestres,

aai- darapti, iai- disamis,

aai- bramantip, aee- camenes,

aii- datisi, iai- damaris,

aii- darii, eio- festino,

eao- felapton, eao- fesapo,

eio- ferio, aoo- baroco,

oao- bocardo, eio- fresison,

eio- ferison.

iuolaikinės formaliosios logikos po-˛iūriu, silogistika yra gana ribota samprotavimų teorija. Silogistikos schemos aprao gana nedidelź samprotavimų dalį, be to netobula pati pati apraymo technika. O iuolaikinė formali logika neturi panaių trūkumų. iuolaikinės logikos po˛iūriu galima aikinti dvejopai- klasių teorijos ir savybių teorijos po˛iūrių.

Ø Įrodymo struktūra. Įrodymų klasifikacijos

Įrodymas- tai kurio nors teiginio teisingumo nustatymas, remiantis kitais teiginiais, kurių teisingumas jau ˛inomas. Moksle įrodomi ne tik atskiri teiginiai, bet ir itisos teorijos. Kiek-vien¹ įrodym¹ sudaro 3 dalys: a) įrodymo tezė (ar įrodymo ivada), b) įrodymo argumentai (ar įrodymo pa-grindas, prielaidos), c) įrodymo būdas (ar įrodymo demonstravimas).

Tėzė yra tas teiginys, kurį reikia įrodyti. Argumevtai – tie teiginiai, kuriais remiantis įrodoma tėzė. Įrodymo būdas- logonis tezės ivedimo i argumentų procesas. Kiekvieno įrodymo loginė struktūra yra tokia, kad i argumentų loginiu būdu samprotavimu ivedama tezė: argumentai tėzė.

Logika formuluoja tam tikrus reikalavimus tėzei ir argumentams, kurių reikia lakytis, kad įrodymas būtų logikas. Bet daugiausia logika tiria įrodymo būdus.

Pvz.: Jonaitis nesveikas. Tai rodo pa-kilusi temperatūra. Jei jis būtų sveikas, jo temperatūra svyruotų apie 36,5 . Jo temperatūra yra 38,5 . Be to jis blogai jaučiasi. Jei jis būtų sveikas, jis negalėtų taip jaustis.

io įrodymo tezė- teiginys “Jonaitis nesveikas”. Argumentas- visa kiti teiginiai. Įrodymo būdas- tai loginė struktūra, pagal kuri¹ samprotaujama, j¹ surandame, j¹ formalizuodami: Jei Jonaitis būtų sveikas(p), tai jo temperatūra svyruotų apie 36,5 (q). jei Jonaitis sveikas (p), jis negalėtų blogai jaustis ( r).

Jonaičio temperatūra 38,5 q). Jonaitis blogai jaučiasi (r).

Vadinasi, Jonaitis nesveikas ( p).

ios tezės įrodymo būdo loginė struktūra:

(p q) (p r)

q r._______

Vadinasi, p.

io įrodymo būdo struktūra yra logikos dėsnis [(p q) q] p. Įrodymo būdo sudėtingum¹ apsprend˛ia tezės pobūdis. Sudėtingose mokslo teorijose vartojami sudėtingi įrodomo būdai. Nesudėtingai tezei įrodyti pakanka nesudėtingo įrodymo būdo.

Įrodymas remiasi pakankamo pagrindo principu: teiginys laikomas teisingu tada, kai jis įrodytas ta prasme, kad pateiktas pakankamas to teiginio teisingumo pagrindas. Teiginio pakankamas pagrindas yra visuma teisingų teiginių, i kurių grind˛iamasis teiginys seka pagal logikos dėsnius. Pa-kankam¹ kurio nors teiginio pagrind¹ sudaro būtini argumentai ir pakankami argumentai. Kartais būna taip, kad teiginys grind˛iamas būtinais, bet nepakankamais argumentais, tda jis nėra įrodytas. Kai teiginys grind˛iamas būtinais ir pakankamais argumentais, tai jie yra pakankamas teiginio teisingumo pagrindas. Bet kartais teiginys gali būti grind˛iamas nebūtinais, bet pakankamais argumentais, kurie yra pakankamas teiginio teisingumo pa-grindas. Pakankamo pagrindo principas tinka tik dedukciniams samprotavimams ir netinka nededukciniams- kai i teisingų prielaidų seka tikėtina ivada. is principas reikalauja pa-grįsti teiginius, neleid˛ia daryti bet kokių ivadų, reikalauja aklai netikėti, protingai patvirtinti teiginius.

Įrodymai skirstomi į rūis pagal įrodymo tiksl¹ ir pagal įrodymo būd¹.

Pagal įrodymo tiksl¹ jie būna dvejopi. Jei nustatomas tezės teisingumas, tai toks įrodymas vad tiesiog įrodymu, o jei nustatomas jos klaidingumas, tai toks įrodymas vad paneigimu.

1 Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti reikmingi argumentai. Argumentus paneigiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turime teisź pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, jais galima bet k¹ įrodyti. Turime reikalauti, kad būtų pateikti teisingi argumentai, o jei įrodantis asmuo to negali padaryti, tai tu-rime teisź jo tezės nelaikyti teisinga. Gali būti ir taip, kad kas nors pasako teising¹ tezź, bet nemoka jos įrodyti ir pateikia klaidingus argumentus. Argumentai ir tezė susieti imoplikacijios ryiu. Jei antecedentas klaidingas, tai dar nereikia, kad teisingoje implikacijoje konsekventas klaidingas. Teisingas teiginys kartais seka i klaidingo teiginio.

2 Įrodymo būdo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būd¹, nustatoma, kad i pateiktų argumentų tezė logikai neseka, o seka ne nagrinėjamoji, o kuri nors kita. Įrodymo būdo paneigimas yra pats silpniausias paneigimas.

3 Ivedamų i tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės pa-neigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys, ivestas i tezės klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. I teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. į pa-neigim¹ u˛raome [(p q) q] p. paneigimu remiasi kritika ir savikritika. Tačiau kritika turi būti konstruktyvi- įrod˛ius kieno nors teiginių klaidingum¹, dar reikia įrodyti jiems prieingų teiginių teisingum¹.

Pagal įrodymo būd¹ įrodymai skirstomi į tiesioginius ir netiesioginius.

Tiesioginis įrodymas yra tada, kai tezė ivedama i pateiktų argumentų. Jei argumentai teisingi, tai i jų pagal logikos dėsnius ivesta tezė taip pat teisinga.

Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas , įrodant tezei prietaraujančių teiginių klaidingum¹. Netiesioginio įrodymo variantai:

1 Visų klaidingų atvejų paneigimas- pirmiausia nurodomi visi galimi atvejai- visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra ˛inoma, kad viena i tezių teisinga, bet ne˛inoma, kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, iskyrus vien¹. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(p q) q] p.

2 Įrodymas “nuo prieingojo”. is netiesioginio įrodymo variantas reikiamas teiginių logikos dėsniu p p q) q p)].

Ø Pagrindinių teiginių logikos dėsniai – ekvivalentikumai.

Tapatybės dėsnis. Bet kuri mintis, samprotavimo procese, turi būti ta pati sau pačiai. A~A.

Prietaravimo dėsnis. Neįmanoma, kad du prietaraujantys teiginiai būtų teisingi.

Du nesuderinti teiginiai negali būti vienu metu teisingi a*a

negalimo trečio dėsnis. Kiekvienas teiginys yra arba teisingas arba klaidingas, trečios galimybės nėra.

a v a

Pakankamo pagrindo dėsnis. Kiekviena teisinga mintis turi būti pakankamai pagrįsta a*b→c.

Demorgano taisyklės:

a*b~(a V b) p V q~(p * q).

norint patikrinti demorgano taisykles, ar jos itikrųjų ekvivalentikos, reikia sudaryti teisingumo lenteles kiekvienai atskirai, jei galinis rezultatas bus ekvivalentikas vienos teisingumo lentelės kitai, vadinasi ios funkcijos ekvivalentikos

Ø Loginės klasės skirstymas ir klasifikacija. Klasių skirstymo (klasifikacijos) taisyklės.

Klasės skirstymas yra klasės padalijimas į poklasius, remiantis tam tikru pagrindu.

Kiekvien¹ skirstym¹ sudaro:

skirstomoji klasė

skirstymo nariai – tai poklasiai, gauti skirstant duot¹j¹ klasź.

Skirstymo pagrindas – tai po˛ymis kuriuo remiantis skirstoma klasė.

Klasės skirstymas nėra visumos skaidymas į dalis. Norint ivengti ios supainiojimo reikia skirstom¹j¹ klasź ir gautus ˛od˛ius susieti su ˛od˛iu “kiekvienas”. Yra dvi skirstymų rūys:

skirstymas pagal po˛ymio kitim¹. Jis u˛raomas taip: A≡( B₁UB₂UB₃…). Pvz kėsinimas į piliečių asmeninź nuosavybź skirstomi į vagystź ir apiplėim¹, taip skirstoma pagal kėsinimosi būdo kitim¹.

Skirstymas pagal po˛ymio būvim¹ ar nebuvim¹. Arba dichotominis skirstymas. Skirstant klasź iuo skirstymu, ji skiriama į du poklasius. Vieno poklasio elementai turi tokį po˛ymį, kurio neturi antro poklasio elementai Pvz sakinius galima skirstyti į tiesioginius ir netiesioginius, klausiamuosius ir neklausiamuosius. A≡(BUB).

Skirstant klases reikia laikytis ių taisyklių:

Skirstymas turi būti tolygus. Tarp skirstymo narių ir skirstomosios klasės turi būti lygiareikmikumo santykis, pa˛eidus i¹ taisyklź daromos dvi klaidos:

a. skirstymas su bereikalingais nariais. Pvz skirstant knygas į romanus, neromanus ir vadovėlius.

b. Nepilnas skirstymas. Pvz skirstant knygas į vadovėlius ir romanus.

Skirstyti reikia vienu pagrindu.

Skirstymo nariai turi vienas kit¹ alinti. Tarp gautų poklasių turi būti nuoalės santykis, atskiras elementas gali priklausyti tik vienam poklasiui. Pvz skirstant knygas į įdomias ir neįdomias ir į brangias ir nebrangias, tada kiekviena knyga patenka į du poklasius, o to neturi būti.

Skirstymas turi būti nenutrūkstamas. Klase reikia skirstyti į artimiausius j¹ sudarančius poklasius.

Atskiras klasių skirstymo atvejis yra klasifikacija.

Klasifikacija yra toks skirstymas, kuriame objektai suskirstomi į klases taip, kad kiekviena klasė kitų klasių at˛vilgiu u˛ima pastovia apibrė˛t¹ viet¹, o jos tikslas susisteminti ˛inias.

Kiekviena klasifikacija yra skirstymas, bet ne kiekvienas skirstymas yra klasifikacija. Jai tinka visos klasių skirstymo taisyklės. Skiriamos kelios klasifikacijų rūys:

Pagalbinė klasifikacija sudaroma, siekiant lengviausiai surasti objektus kitų objektų tarpe. Pavard˛ių suskirstymas pagal abėcėlź ˛iniaratyje, bet tai nesako, kad pirmas numeris mokysis geriausiai, studento vieta ˛iniaratyje – neesminis studento po˛ymis.

Natūralioji klasifikacija – tai objektų suskirstymas į klases, remiantis jų esminiais po˛ymiais. Pvz gyvūnų klasifikacija zoologijoje.

Informatikoje naudojamos abėcėlinė ( abėcėlinis knygų katalogas) ir

deimtainė(objektai skirstomi į 10 klasių, kurių kiekviena skirstoma į ne daugiau kaip 10 poklasių) klasifikacija .

linijinė klasifikacija - klasifikuojamų objektų idėstymas hierarchine tvarka.

Dalykinė klasifikacija – med˛iagos idėstymas pagal tiriamųjų objektų pobūdį.

Klasifikacija - svarbi mokslinio tyrimo priemonė padedanti susisteminti ˛inias, tokiu būdu tas ˛inias lengviau įsiminti.

Ø Isprend˛iamumo problema teiginių logikoje. Pagr teiginių logikos dėsniai - ivedimo taisyklės.

Visos loginės iraikos skirstomos į tris grupes: 1. Visuomet teisingos iraikos. 2. Visuomet klaidingos iraikos. 3. Kartais teisingos (atitinkamai - kartais klaidingos) iraikos. Isprend˛iamumo problemos esmė yra ta, kad, pavartojus apibrė˛t¹ loginių veiksmų skaičių, galima nustatyti, ar nagrinėjamoji iraika yra visuomet teisinga.

Isprend˛iamumo problemos sprendimas matricų metodu.

Isprend˛iamumo problemos sprendimas suteikiant loginėms iraikoms normali¹j¹ form¹. Normali¹j¹ form¹ iraika turės tik tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija.

Pagrindiniai teiginių logikos dėsniai:

1)Dvigubo neigimo dėsnis

p (dvig.paneigtas) p

2)Prietaravimo dėsnis:

p p

3)Negalimo trečiojo dėsnis:

p p

4)I klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys:

p p q)

5)De Morgano taisyklės:

p q p q)

p q p q).

Ø Loginė klasė ir jos struktūra. Loginės klasės s¹vokos. S¹vokų sudarymas.

Teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais po˛iūriais. Pvz “kiekviena silkė yra ˛uvis”, galima nagrinėti savybių teorijos po˛iūriu, galima tirti, kokie objektai sudaro silkių ir ˛uvų visum¹, kiek tų objektų yra ir kokie jų tarpusavio santykiai. Taigi po˛ymius galima nagrinėti kaip objektų klases, ir tai bus nagrinėjama loginių klasių teorijos po˛iūriu.

Loginė klasė – visuma objektų, turinčių bendrus po˛ymius. Pvz studentai, dėstytojai, mokiniai ir t.t sudaro loginź klasź “˛monės”, nes jie visi turi bendrus po˛ymius. Logikos po˛iūriu pasaulis atrodo kaip loginių klasių visuma.

Objektai, sudarantys loginź klasź, vadinami loginės klasės elementais, bet logines klases sudaro netik elementai, bet ir tų elementų deriniai, tie elementų deriniai vadinami poklasiais.

Ta pati klasė gali būti ir klase ir poklasiu, tai priklauso su kokia klase j¹ lyginame.

Jei parayta x є A vadinasi elementas x priklauso klasei A, jei parayta A ( B , tai vadinasi, kad klasė A įskiriama į klasź B.

Pagal elementų skaičių klasės būna trjopos:

1.Klasės, kurias sudaro daug elementų. Jeigu klasź sudaro daugiau nei du elementai, tai toji klasė priskiriama klasėms, kurias sudaro daug elementų, iai kategorijai priskiriamos ir neapibrė˛tos klasės.

2.Klasės, kurias sudaro vienas elementas, ios klasės gramatikai gali būti formuluojamos ir daugiskaitoje.

Pvz “ asmenys, skridź pirmuoju lėktuvu.

3.Klasės kurios neturi nei vieno elemento, dar jos vadinamos nulinėmis arba tučiosiomis klasėmis. Pvz “am˛inasis variklis”, “stįebuklai”, “Dievas” ir t.t. Tokios klasė logikoje ˛ymimos 0. Nulinź klasź galima būtų apibrė˛ti kaip klasź, kurios kiekvienas elementas įskiriams ir neįskiriamas į t¹ klasź A: V x (x є A · x є A). Visika prieingybė nuliniai klasei yra universalioji klasė, j¹ sudaro visi objektai tos srities, kuri¹ turime galvoje, spresdami vienokius ar kitokius klausimus. Kai operuojame kokia nors klase, ji visuomet m¹stoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Ji ˛ymima 1.

Loginź klasź galima nagrinėti ir kitu po˛iūriu, tai turinio po˛iūriu, aikinant klasź sudarančių objektų po˛ymius. Tokiu atveju vietoj termino klasė vartojamas terminas s¹voka.

S¹voka yra m¹stymo forma, ireikianti esminius ir bendruosius objektų po˛ymius.

Esminiais objekto po˛ymiais vadinama tokia grupė po˛ymių, kurių kiekvienas skyrium objektui būtinas, o visi kartu yra pakankami, kad jų dėka tam tikr¹ objekt¹ būtų galima atskirti nuo jam gretimų objektų. Neesminiai objekto po˛ymiais laikomi tokie po˛ymiai, kuriuos objektas gali turėti arba neturėti, tačiau jų neturėdamas, objektas nenustoja būti tuo, kuo jis yra.

Tarp esminių ir neesminių objekto po˛ymių nėra grie˛tos ribos, kadangi tiriant vienu po˛iūriu tie patys po˛ymiai gali būti esminiai, o kitu neesminiai.

Bendrieji po˛ymiai būdingi visiems tam tikros klasės objektams.

Esminiai ir bendrieji po˛ymiai ir sudaro s¹vokos turinį. S¹vokų struktūra irekiama predikatų logikos priemonėmis.

F(x) – struktūra s¹vokų, ireikiančių savybes;

R(x,y) – struktūra s¹vokų ireikiančių santykius.

Kai s¹vokos, ireikiančios savybes ir santykius, priskiriamos objektams kaip predikatai, tada ir sudaromi teisingi arba klaidingi teiginiai. S¹vokos dalyvauja, sudarant teiginius, kuriuos nuolat tikriname, vertiname teisingumo po˛iūriu.

S¹vokos sudaromos abstrakcijos procese. Abstrakcijos procesas – tai atsyjimas mintyse nuo objektų kai kurių po˛ymių ir kartu mus dominančių po˛ymių iskyrimas.

Skiriamos kelios abstrakicijų rūys:

1.Tapatybės abstrakcija yra atsijimas nuo objektų nepanaių, besiskiriančių po˛ymių ir kartu vienodų, tapačių po˛ymių iskyrimas. Pvz daug ˛monių yra, kurie greitai nudirba darbus, o kiti lėtai. Iskyrus į po˛ymį, sudaroma s¹voka “greitadarbiai”.

2.Izoliuojanti abstrakcija – tai po˛ymio atskyrimas nuo objekto ir kitų to objekto po˛ymių. Matydami tekant upei, sudarome s¹vok¹ tekėjimas.

3.Idealizacija – jos dėka m¹styme sukuriami objektai, kurių negalima sukurti patyrimu. Geometrija vaizduoja tobulas figuras, nors tokių nebūna tikrovėje.ie objektai kuriami taip:

a. Ryium su tuo tam tikros tiriamo objekto savybės taip pat tolyd˛iai krinta.

b. Tarź, kad s¹lygų poveikis tiriamajam objektui lygus nuliui, sukuriame m¹styme tam tikr¹ idealizuot¹ objekt¹.

Mokslinis pa˛inimas be idealizacijos neįmanomas.

Ø Santykiai tarp loginių klasių(s¹vokų).

Tarp loginių klasių gali būti ie santukiai:

Lygiareikmikumo santykis yra tada, kai dvi klasės turi tuos pačius elementus. Pvz tarp klasės garsiakalbai ir prietaisai gars¹ skleisti yra lygiareikmikumo santykis, nes abi klases sudaro tie patys elementai. Grafikai ie santykiai atvaizduojami skritulinėmis schemomis. Lygiareikmikumo santykis u˛raomas taip: A≡B, tai reikia: A(B •B(A. Skaitome klasė A įskiriama į klasź B ir atvirkčiai.

Subordinacijos santykis – jis yra tada, kai viena klasė sudaro dalį kitos klasės. Brė˛inys rodo, kad klasė A įskiriama į klasź B. Pvz studentai įskiriami į klasź ˛monės ir t.t

Perkirtimo santykis yra tada, kai vienos klasės dalis sudaro kitos klasės dalį. Brė˛inys rodo, kad dalis A klasės elementų yra ir B klasės elementai ir atvirkčiai. U˛brūkniuota dalis yra tie elementai, kurie bendri abiejoms klasėms. Pvz studentų ir verslininkų, nes dalis studentų verslininkai, o dalis

verslininkų yra studentai.

Nuoalės santykis yra tada, kai dvi klasės neturi jokių bendrų elementų.

Tokios yra keturios santykių tarp klasių ruys, i kurių susidaro įvairūs santykiai tarp trijų ir daugiau klasių.

Santykis tarp Inteligento, mokytojo ir verslininko galima būtų pavaizduoti taip:

Toks santykis vadinamas koordinacijos santykiu.

Tačiau skritulinėmis schemomis yra nepatogu atvaizduoti 4 ar daugiau

klasių santykius, tokius santykius galima atvaizduoti daugiakampių pagalba.

Ø S¹vokos apibrė˛imo samprata. Apibrė˛imo struktūra. Pagrindinės apibrė˛imų rūys.

S¹vokos turinį atskleid˛ia loginis veiksmas, vadinamas s¹vokos apibrė˛imu. Dar kitaip s¹vokos apibrė˛imas vadinamas definicija.

Apibrė˛imas yra loginis veiksmas, kuriuo:

nustatomi kriterijai tiriamajam objektui atskirti nuo kitų objektų, nurodant jo specifik¹.

Nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės iraikos reikmė.

Kitaip apibrė˛im¹ galima aikinti kaip veiksm¹, glaustai ireikianti s¹vokų turinį, bet da˛niausiai apibrė˛imas suprantamas taip:

Apibrė˛imas yra veiksmas, taip atskleid˛iantis esminius objekto po˛ymius, kad apibrė˛iamasis objektas atskiriamas nuo gretimų objektų. Tokia apibrė˛imo samprata kelia du tikslus:

Atskleisti esminius apibrė˛iamojo objekto po˛ymius.

Apibrė˛iam¹jį objekt¹ atskirti nuo visų gretimų objektų.

Esminius objekto po˛ymius reikia nurodyti ne bet kaip, bet taip, kad juos nurodź, apibrė˛iam¹jį objekt¹ iskirtume nuo visų gretimų objektų.

Apibrė˛im¹ sudaro trys dalys;

Apibrė˛iamoji iraika – tai s¹voka, kuri apibrė˛iama.

Apibrė˛iančioji iraika – s¹vokos, kuriomis apibrė˛iama.

Jungiančioji iraika – ji sudaro ryį tarp apibrė˛iamosios ir apibrė˛iančiosios s¹vokų, ji reikiama ˛odeliais “yra, reikia, vadinama, tas pat, kas”

Pvz:

Apibrė˛iamoji iraika jungiančioji iraika apibrė˛iančioji iraika

Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus po˛ymius

Mokiniu vadinamas vidurinės mokyklos moksleivis

Apibrė˛imų rūys:

Apibrė˛imas gimine ir rūiniu skirtumu. Giminė – klasė, o rūis – poklasis. Pvz norime apibrė˛ti logika , logika yra mokslas, atrodytu, kad viskas gerai, nes logika – poklasis, o mokslas –klasė, bet mokslų yra daug, todėl is apibrė˛imas nepilnas, reikia logika iskirti i kitų mokslų. Logika tiria samprotavimo būd¹ – tai yra jos poklasinis skirtumas. Vadinasi logika yra mokslas apie samprotavimo būd¹.

Ostensinis apibrė˛imas (ostendere – parodymas) yra ˛od˛io reikmės nustatymas, betarpikai nurodant objekt¹, kurį ˛odis ˛ymi. iuo apibrė˛imu tenka naudotis mokantis svetimų kalbų, paprasčiausiai parodomas tas objektas apie kurį kalbama.

Operacinis apibrė˛imas, nurodo veiksmus, kuriuos objektas atitinka, jį sudaro trys dalys:

Q1. Patikrinamoji operacija;

Q2. Patikrinamosios operacijos rezultatas.

Q3. Apibrė˛iamoji s¹voka.

Sudaroma formulė Q1(x)→[Q3(x)~Q2(x)], ji skaitoma taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai objektas x yra tas ir tas, jei ri tik jei yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas

Pvz jei įdėjus į arbat¹ dedamas auktelis su milteliais, tai tie milteliai yra cukrus, jei ir tik jei arbata

pasidaro saldi. Kartais reikia naudoti silpnesnź operacinio apibrė˛imo formulź:

Q1(x)→[Q3(x) →Q2(x)] skaitomas taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai jis yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas, objektas x yra tas ir tas.Pvz

jei daikt¹ priartinus prie gele˛inių daiktų, tai jei tas daiktas pritrauks tuos gele˛inius daiktus, tai tas

daiktas yra magnetas.

Genetinis apibrė˛imas, jame objekto specifika nustatoma nurodant, kaip objektas atsiranda arba yra sukuriamas.

Indukcinis apibrė˛imas – įgalina i kai kurių pradinių teorijos objektų, pritaikius jiems tam tikras taisykles sudaryti naujus teorijos objektus, jie skirstomi į dvi dalis:

a. vadinamieji tiesioginiai punktai – jais nustatoma tam tikra objektų sritis, nurodant, pagal kokias taisykles i pradinių objektų sudaromi nauji objektai.

b. Netiesioginiais punktais nurodoma, kad jokių kitų objektų, iskyrus apibrė˛iamus tiesioginiais punktais nėra.

6. Deskripcinis apibrė˛imas įgalina apibrė˛ti individualius daiktus, pavartojant jot¹ - operatorių (tas x). jo pavidalas. ΓxQ(x). Tas x, kuris turi predikat¹ Q. Vilnius yra tas miestas, kuris yra Lietuvos sostinė.

Visi apibrė˛imai dar skirstomi į:

Nominalinius, iuo apibrė˛imu nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės iraikos reikmė, jo struktūra tokia terminu…..vadinama….. arba ˛odis….. reikia….. arba ˛enklas…… ˛ymi…. Ir pan.

Realinius, ie apibrė˛imai atskleid˛ia ne vartojamos arba įvedamos kalbinės iraikos reikmź, bet paties apibrė˛iamojo objekto specifinius po˛ymius. Visus realinius apibrė˛imus galima paversti nominaliniais. Realinį apibrė˛im¹ Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys pavertź nominaliniu gausime Terminu logikos dėsnis vadinamas visuomet teisingas teiginys. Nominalinius apibrė˛imus galime paversti į realinius lygiai taip pat.

Ø S¹vokų apibrė˛imo taisyklės

Kad apibrė˛imai būtų logiki ir teisingi reikia laikytis ių taisyklių:

Pakeičiamumo taisyklė: apibrė˛iam¹j¹ ir apibrė˛ianči¹j¹ iraikas galima pakeisti viena kita. Nesilaikant ios taisyklės galima padaryti dvi klaidas.

a. Per platus apibrė˛imas. Pvz studentai yra ˛monės, besimokantis mokymo įstaigoje. Toks apibrė˛imas per platus, nes ir moksleiviai mokosi mokslo įstaigoje.

b. Per siauras apibrė˛imas. Pvz studentas yra ˛mogus besimokantis universitete, per siauras nes studentas gali mokytis akademijoj ar auktesniojoj mokykloj.

Vienareikmikumo taisyklė: vienos teorijos ribose kiekvien¹ apibrė˛iantįjį turi atitikti tik vienas apibrė˛iamasis. Sudarytu apibrė˛imu galime apibrė˛ti tik vien¹ objekt¹. I kelių teisingų apibrė˛imų pasirenkamas vienas, kurį patogiausia vartoti.

Apibrė˛ime neturi būti rato. Ratas apibrė˛ime loginė klaida, ji pasireikia dvejopai:

a. Apibrė˛iamoji ir apibrė˛iančioji s¹vokos yra tos pačios. Pvz tinginys – ˛mogus, kuris tingi.

b. Kai objektas apibrė˛iamas s¹voka, kuri pati tampa aiki tik apibrė˛iamosios s¹vokos dėka. A apibrė˛iama B, o B apibrė˛iama A.

4. Apibrė˛imas turi būti grie˛tas, aikus ir tikslus. Apibrė˛ime s¹vokas reikia vartoti tikslia reikme, neleisti palyginimai ir t.t. Pvz senatvė yra gyvenimo saulėlydis, tai yra neapibrė˛imai, o tik vaizdingi palyginimai.

21. Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasių atimtis, apibendrinimas, susiaurinimas.

Klasių atimtimi vadinamas veiksmas, kuriuo i vienos klasės iskiriami elementai, sudarantys kit¹ klasź.

Pvz. I klasės studentai i skyrź studentus baigusius daugiau nei du kursus, gauname klasź studentai baigź ma˛iau nei du kursus. Grafikai atrodys taip: klasė studentai – A baigź daugiau nei du kursus- B. Tarp ių

Klasių yra perkirtimo santykis. U˛brūkniuota brė˛inio dalis yra dviejų

Klasių veiksmo rezultatas: klasė studentų nebaigusių dviejų kursų. Atimtis

U˛raoma A-B. Klasių atimties rezultatas yra klasė tokių elementų, kurių

Kiekvienas priklauso klasei A ir nė vienas nepriklauso klasei B.

Klasės apibendrinimas – tai veiksmas, kuriuo iplečiama klasės apimtis.

Pvz klasź logikos vadovėliai galima apibendrinti įskyrus į vadovėlių klasź, o vadovėlių klasź

apibendrinti įskiriant juos į knygų klasź. Apibendrinimas negali būti

beribis, jo riba plačiausios apimties klasė, jos vadinamos kategorijomis.

Kategorijos – abstrakčiausios s¹vokos.

Klasės susiaurinimas – atvirkčias klasės apibendrinimui veiksmas, kuriuo

suma˛inama klasės apimtis. Susiaurinimo riba – klasės elementas

Ø Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasės neigimas, klasių sudėtis ir daugyba.

Klasės neigimu vadinamas veiksmas, kuriuo i klasės A gaunama klasė ne-A. Ji ˛ymima A. Pvz klasės studenrai neigimas yra klasė nestudentai. Grafikai klasės neigimas vaizduojamas taip:

Skritulys ˛ymi klasź A, o u˛brukniuotas pavirius klasź ne-A.

Visas stačiakampio plotas – tai universalioji klasė. Sudėjź klasź ir jos

Neigim¹ gaunama universali klasė. A+ A=1, skaičius 1 ˛ymi universali¹ klasź. Klasės neigimas kartais dar vadinamas klasės papildymu. Dvigubas klasės neigimas lygiavertis pradinei klasei.

Dviejų klasių sudėtimi vadinamas veiksmas, kuriuo gaunama nauja klasė, ir i¹ nauj¹ klasź sudaro visi abiejų pradinių klasių elementai. Sudėtis ˛ymima simboliu U. Klasių sudėtis atitinka teiginių logikos jungtį “arba”. Galima u˛rayti taip: (A U B) ~ Vx(xє A V xє B).

Klasių daugyba yra bendrų elementų suradimas dauginamose klasėse.

Pvz klasė geri studentai sudaroma sudauginus klases studentai ir geri ˛monės.

Sudauginus nuoalės santykyje esančias klases, gaunama nulinė klasė, nes tos klasės neturi bendrų elementų. Dauginti galima ne tik dvi bet ir daugiau klasių. Klasių daugyba ˛ymima ˛enklu ∩, klasių daugyba atitinka jungtį “ir”. Klasių daugyba u˛raoma pagal formulź: (A∩B) ~ Vx(xє A * xє B). Grafikai galime pavaizduoti taip:

Ø Bendra predikatų logikos samprata. Savybių ir santykių teorija. Kvantoriai.

Yra tokių samprotavimų, kurių ivadų negalime pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz, Jonas myli Vanda. Vand myli Petr¹. Vadinasi Jonas myli Petr¹. io samprotavimo loginį korektikum¹ galima pagrįsti, tiriant prielaidų ir ivadų struktūr¹.

Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma, o Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinź teiginio struktūr¹.

Teiginį sudaro objektas ir po˛ymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas. Teiginio objektas kartais vadinamas subjektu, o po˛ymiai – predikatais.

Skiriami tokie po˛ymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.

Savybė yra toks po˛ymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui.

Santykis yra toks po˛ymis, kurį galima priskirti ma˛iausiai dviem objektams.

Savybės – vienviečiai predikatai, nes jas galima priskirti vienam objektui.

Santykiai – daugiaviečiai predikatai, nes juos galima priskirti ma˛iausiai dviem objektams.

Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi dalis – savybių teorija ir santykių teorij¹.

Propozicinė funkcija – tai funkcija, nustatanti atitikim¹ tarp tam tikros srities objektų, kurie yra jos argumento reikmės, ir teisingumo bei klaidingumo ivadose.

Iraikose

X yr studentas

X yra mokslas

X yra auktoji mokykla

Kintamasis x vadinamas ių funkcijų argumentu. Propozicinės funkcijos virtimas teisingu arba klaidingu teiginiu priklauso, nuo to, kokiam objektui po˛ymis priskiriamas , priklauso nuo argumento x reikmių.

Antras būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais (quantum-kiek).

Kvantorius teiginį apibūdina kiekybikai, jis nurodo kokiam objektų skaičiui po˛ymis priskiriamas arba nepriskiriamas. Kvantoriniai ˛od˛iai gali būti: “visi, kiekvienas, bet kuris, nė vienas, kai kurie, keli, keliolika, vienintelis, yra, egzistuoja, daug, be galo daug”., jiems priklauso ir visi kiekiniai skaitvard˛iai. Yra du pagrindiniai kvantoriai:

egzistavimo kvantorius, jis ˛ymimas Эx, jis skaitomas yra toks (tokie) x. Egzistavimo kvantorius prie propozicinė funkcij¹, taip ji virsta teiginiu. Pvz yra toks x , kuris yra studentas, arba, yra toks x, kuris yra mokslas., galima iuos teiginius skaityti ir daugiskaitoje. Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus skaičius objektų turi t¹ po˛ymį, jis tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį po˛ymį, bet jų gali būti ir daugiau

Bendrumo kvantorius, juo tvirtinama, kad po˛ymį turi kiekvienas nagrinėjamos klasės objektas, jis ˛ymimas simboliu Vx ir skaitomas kiekvienas x. Pvz kiekvienas x, jei x dėstytojas, tai x inteligentas. Propozicines funkcijas susiejus su egzistavimo ar bendrumo kvantoriais galima gauti klaidingus teiginius.

Yra ir daugiau kvantorių. Apribojantys kvantoriai jie u˛raomi taip: Vx_P(x)F(x) arba Эx_P(x)F(x)ir skaitomi taip: kiekvienas x turi predikat¹ F, jei jis turi predikat¹ P; yra toks x, kad kai x turi predikat¹ F, jis turi ir predikat¹ P.

Skaitinis kvantorius, jis nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x kurie turi predikat¹ F: Эx_nF(x).

Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikat¹ f: Эx_∞F(x).

Kvantoriai atlieka loginį operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartoti kokioje nors loginėje formoje, sukuria nauj¹ form¹. Konjunkcija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai – tai visi loginiai operatoriai.

Ø Dedukcinis metodas.

Dedukcija yra ivadų gavimas i prielaidų pagal logikos dėsnius. Dedukciniuose samprotavimuose i teisingų prielaidų visuomet turime gauti teising¹ ivad¹.

Teorija, kurioje taikomas dedukcinis metodas, vadinama dedukcine teorija.

Dedukcinė teorija – tai s¹vokų ir teiginių sistema, turinti iuos po˛ymius:

visi dedukcinės teorijos teiginiai teisingi.

dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo, o i jų pagal i anksto nustatytas logikos taisykles ivedami kiti dedukcinės teorijos teiginiai.

Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius s¹vokų neapibrė˛iama, ir iomis neapibrė˛iamomis s¹vokomis apibrė˛iamos visos kitos dedukcinės teorijos s¹vokos.

Dedukcinis metodas kitaip dar vadinamas aksiominiu, dėl to, kad pradiniai teorijos teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo, vadinami aksiomomis. Teiginiai i aksiomų ivedami pagal i anksto nustatytas taisykles. Deduktyviai kuriant koki¹ nors mokslo teorij¹, remiamasi:

Konkrečia tos mokslo teorijos med˛iaga.

Logika, nes i tos teorijos aksiomų teiginiai ivedami pagal logikos dėsnius.

Sudarant koki¹ nors mokslo disciplin¹ dedukciniu metodu, kai kurie tos disciplinos teiginiai laikomi aksiomomis ir i aksiomų, pagal i anksto nustatytas logikos taisykles ivedami kiti jos teiginiai.

Kiekvien¹ dedukcinės sistemos teorem¹ galima ivesti i bet kurios tos sistemos aksiomų grupės.

Dedukcinė teorija nagrinėjama dviem po˛iūriais:

Sintaksiniu, reikia, kad kalba formalizuojama, ji nagrinėjama kaip sistema formalių teiginių susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. iuo po˛iūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ˛enklų ir iraikų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ˛enklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio ivedimo taisykles. Pvz teiginių logika, sudaryta deduktyviai.

Semantiniu, iaikina, kokius objektus ji reikia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Visos teoremos, įrodytos, remiantis kuria nors aksiomų sistema, yra teisingos kiekvienoje tos sistemos interpretacijoje.

Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:

aksiomų nepriklausomumas

Neprietaringumas. i aksiomų turi būti negalima ivesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo.

Pilnumas. Kiekvien¹ joje suformuluot¹ teiginį galima įrodyti arba paneigti.

Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai itirta, ivystyta.

Ø Įrodymų klaidos (formalios neformalios). Pralogizmai. Sofizmai. Paralogizmas yra loginė klaidda, padaroma netyčia, neapgalvotai arba i anksto apgalvotai, tačiau neturint tikslo k¹ nors apgauti. Kartais netyčia padaroma loginių klaidų. Prie˛astis- nepakankama loginė m¹stymo kultūra. Sudėtinguose samprotavimuose kartais galima apsirikti. Kartais loginė klaida padaroma i anksto apgalvotai ir siūloma t¹ klaid¹ surasti. Tai yra paralogizmas. Sofizmas yra s¹moningai sudarytas klaidingas samprotavimas, kuris pateikiamas kaip teisingas. Sofizmai būdavo sudaromi nevienareikmikai vartojant s¹vokas, teiginius. Pvz.,: Tai ko jūs nepametėt, turite. Jūs nepametėt ragų. Vadinasi, turite ragus. S¹voka “nepametėt vartojama netiksliai. Negalima pamesti tai, ko neturėjome. Sofizmų meistrai buvo jėzuitai. Sofizmai skirstomi į individualius ir socialinius. Individualūs- atskiras asmuo siekia apgauti, suklaidinti kit¹ asmenį. Socialiniai - siekiama suklaidinti grupź, klasź, visuomenź

Ø Įrodymo taisyklės(tezei, argumentams, įrodymo būdui). Įrodymo tezės taisyklė: tezė turi būti tiksliai apibrė˛ta ir ilikti ta pati įrodymo procese.Reikalavimas, kad tezė įrodymo procese turi ilikti ta pati, reikia, kad įrodomos tezės negalima pakeisti kita teze. Tezės pakeitimo klaida pasireikia įvairiai: 1. Įrodoma ne pasakytoji tezė, bet visai kita. I pateiktų argumentų seka kita tezė, o ne ta , kuri įrodinėjama. 2. Įrodymo “į ˛mogų” panaudojimas. iuo atveju apeliuojama į tezź pateikusio ˛mogaus savybes. nurodoma, kad pvz:, jis rimtas mokslininkas, jo darbai plačiai ˛inomi, vadinasi, reikia jo ikelta teze tikėti. Arba prieingai. Tokie įrodymai logikoje neleistini. Logika tepripa˛įsta vien¹ įrodym¹ - “į ties¹”, t.y. pačios tezės tyrim¹ nepriklausomai nuo j¹ pateikusio ˛mogaus savybių. Įrodymo “į ˛mogų’ klaida yra ir tada, kai įrodoma ne i esmės, bet remiantis citatomis i mokslo autoritetų veikalų. iuo atveju sakoma klaida “į autoritet¹”.citatos, kad ir i ˛ymaus mokslininko veikalo, tezės neįrodo. Mokslininkais reikia remtis su saiku, protingai, logikai. 3. Tezė gali būti pakeista vadinamuoju įrodymu “į publik¹”. iuo atveju tezė įrodinėjama ne pagal logikos reikalavimus, bet, loginį argumentavim¹ pakeitus emociniu argumentavimu, daromas poveikis ˛mogaus jausmams, siekiant sukelti simpatij¹, pritarim¹ vienam dalykui ir nepritarim¹ kitam. Apeliuojama ne į prot¹, bet į jausmus. Argumentų taisyklės. 1. Argum gali būti teisingi ir pakankamas pagrindas tezei. Reikalavimas kad argum būtų teisingi, yra visai aikus.klaidingais argumentais galima įrodyti bet kuri¹ tezź. Klaidingų argumentų pateikimas vad pagrindine klaida. Argum turi pakakti nustatant tezės teisingum¹. 2. Argum teisingumas turi būti įrodytas nepriklausomai nuo tezės. Nesilaikant ios taisyklės, gaunama rato klaida: tezė įrodoma tam tikrais argumentais, o argumentų teisingumas įrodomas remiantis ta pačia teze. Įrodymo būdas turi būti logikas, t.y. tezė i argumentų turi būti ivedama, laikantis logikos reikalavimų.

Ø Netiesioginio įrodymo būdai. (Tezės) paneigimo būdai. Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas, įrodant tezei prietaraujančių teiginių klaidingum¹. Kai įrodoma, kad tezei prietaraujantis teiginys klaidingas, tai i to seka, kad įrodomoji tezė teisinga. Yra 2 netiesioginio įrodymo būdai: 1) Visų klaidingų atvejų paneigimas. iame netiesioginiame įrodyme pirmiausia nurodomi visi negalimi atvejai - visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra ˛inoma, kad viena i tezių teisinga,, tačiau ne˛inoma kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, iskyrus t¹ vien¹, ir ta likusi nepaneigta tezė turi būti teisinga. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(p q) q]àp. is netiesioginis įrodymas teisingas tada, kai nurodomos visos galimos tezės ir paneigiamos visos klaidingos tezės. 2) Įrodymas“nuo prieingojo”. is netiesioginio įrodymo variantas reikiamas teiginių logikos dėsniu: pà pàq) qàp)].Tezės teisingumas įrodomas taip. Tariama, kad ji klaidinga ir teisinga jai prietaraujanti tezė p. Paskui i tezės p ivedamas sekmuo q. Toliau įrodoma, kad q klaidingas. Tada turi būti klaidinga ir tezė p, o pp teisinga. Tezės paneigimo būdai: 1) Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti pateikiami argumentai. Argumentus pateikiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turim teisź pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, tai jais galima bet k¹ irodyti. Būtina, kad pateikti argumentai būtų teisingi, prieingu atveju galime tezės nepriimti ir nelaikyti jos teisinga. Tezė ir argumen- tas susieti implikacijos ryiais. Teisingas teiginys kartais seka i klaidingo teiginio. 2) Įrodymo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būd¹, nustatoma, kad i pateiktų argumentų tezė logikai neseka. Nurodoma, kad i pateiktų argumentų seka ne nagrinėja- moji, o kuri nors kita tezė. Įrodymo būdo paneigimas yra silpniausias paneigimas. Asmuo gali pasakyti teising¹ tezź, tik nemokėti jos įrodyti, nesurasti argumentų arba nemokėti argumentų sutvarkyti taip, kad i jų logikai sektų tezė. Ivedamų i tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės paneigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys (sekmuo), ivestas i tezės, klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. I teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Tezė - p, sekmuo - q. pàq. q - kllaidingas, vadinasi p klaidingas. Paneigimu remiasi kritika ir savikritika.

Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Vizualizari: 1370
Importanta:

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL
https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/LOGIKOS-KONSPEKTAI52217.php

Adauga cod HTML in site
<a href="https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/LOGIKOS-KONSPEKTAI52217.php" target="_blank" title=" - https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/LOGIKOS-KONSPEKTAI52217.php">LOGIKOS KONSPEKTAI</a>

LOGIKOS KONSPEKTAI

matematika

DOCUMENTE SIMILARE

Sudėtinio teiginio teisingumo reikmės nustatymas, ˛inant paprastų teiginių teisingumo reikmes:

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comenteaza documentul:

Sudėtinio teiginio teisingumo reikmės nustatymas, ˛inant paprastų teiginių teisingumo reikmes: