Matricų daugyba. Atvirkštinė matrica. Matricų lygtys

Matricų daugyba. Atvirkštinė matrica. Matricų lygtys

Šioje paskaitoje apibrėšime matricų sandaugą, išsiaiškinsime jos savybes, išmoksime sudaryti atvirkštinę matricą ir spręsti matricų lygtis, išnagrinėsime keletą matricų taikomųjų pavyzdtių.

Tikslas

• Išmokti operuoti matricomis ir spręsti matricų lygtis,
• Išmokti sudaryti ir analizuoti būdingus matricų taikomuosius utdavinius.

1. Matricų daugyba

Apibrėšime iš pirmo tvilgsnio labai neįprastai atliekamą veiksmą – matricų dau­gy­bą. Matysime, kad tokia matricų daugyba yra pagrįsta ir naudinga tiek teorinėms, tiek prak­tinėms reikmėms.

Matricų sandauga. Matricos A, kurios matmenys yra m n, ir matricos B, ku­rios matmenys yra n k, sandauga AB yra m k matmenų matrica C, kurios bet kuris elementas c_ij gaunamas sudėjus matricos A elementų iš i-osios eilutės ir atitinkamų matricos B elementų iš j-ojo stulpelio sandaugas.

Pavyzdtiui, norint apskaičiuoti sandaugos C = AB elementą c₁₂, reikia sudėti matricos A pirmosios eilutės elementų ir atitinkamų matricos B antrojo stulpelio elementų sandaugas.

PAVYZDYS. Sudauginsime šias dvi matricas:

A = ir B = .

Matricos A matmenys yra 2 3, o matricos B – 3 2, tai yra, matricos A stulpelių skaičius ly­gus matricos B eilučių skaičiui, todėl jas sudauginti galima (dar kartą atkreipkite dėmesį, kas kal­bama apibrėtime apie matricų matmenis). Iš apibrėtimo dar galima nustatyti, kokiu mat­me­nų bus sandauga C: jos eilučių skaičius lygus matricos A eilučių skaičiui, o stulpelių skai­čius – matricos B stulpelių skaičiui. Taigi matrica C yra 2 2 matmenų.

Dabar apskaičiuosime matricos C elementus:

c₁₁ = 2·1 + (–1)·2 + 3·(–4) = –12, c₁₂ = 2·5 + (–1)·7 + 3·0 = 3,

c₂₁ = 4·1 + 6·2 + (–2)·(–4) = 24, c₂₂ = 4·5 + 6·7 + (–2)·0 = 32.

Taigi

C = AB = = =.  ☺

PAVYZDYS. Dviejų kvadratinių matricų galima apskaičiuoti abi sandaugas AB ir BA. Apskaičiuokime jas:

AB = ,

BA = .  ☺

Matyti, kad AB BA. Taigi matricų sandauga apskritai netenkina perstatomojo dėsnio.

Matricų sandaugos savybės

Nesunku įrodyti, kad matricų sandauga tenkina šiuos dėsnius:

1. (AB)C = A(BC) Jungiamasis dėsnis

2. A(B + C) = AB + AC Kairysis skirstomasis dėsnis

3. (B + C)A = BA + BC Dešinysis skirstomasis dėsnis

4. k(AB) = (kA)B = A(kB), čia k yra skaičius

pavyzdyje matėme, kad matricų sandauga netenkina perstatomojo dėsnio, AB BA bend­ruo­ju atveju. Yra ir dar vie­nas dalykas, kuris skiria matricų sandaugą nuo skaičių sandaugos: dviejų nenulinių matricų san­dauga kartais būna nulinė matrica, t.y. matrica, kurios visi elementai yra nuliai.

PAVYZDYS.Apskaičiuokime tokią sandaugą:

AB = .

Taigi gali atsitikti, kad AB = 0 net jei ir A 0, ir B ☺

PAVYZDYS Atsargų vertė. Baldų fabrikas turi 3 parduotuves, kurių sandėliuose saugo 5 ti­pų prekes. At­sar­gų kiekis šiuose sandėliuose surašytas matricoje P, o didmeninės ir mat­me­ni­nės vieneto kainos (D ir M, tūks­tan­čiais li­tų) – matricoje K:

P = K =

Kokia yra didmeninė ir matmeninė prekių, saugomų 1, 2 ir 3 sandėlyje, kaina (atskirai)?

P·K = ☺

PAVYZDYS. Apskaičiuosime kvadratinės matricos A ir matricos stulpelio X sandaugą:

AX = ·

Kas yra gautosios sandaugos elementai? ☺

PAVYZDYS. Rinkos dalies prognozė (Markovo[1] grandinės). Mieste yra 100 000 potencialių pirkėjų. Per vie­ną konkretų mėnesį 40 000 iš jų gali pirkti Maksimoje, po 30 000 – parduotuvėje Iki, ir Eko. Tą faktą, kad pir­kė­jas perka kurioje nors parduotuvėje, vadinsime būsena ir sunumeruosime jas: 1, 2 ir 3. Šių būsenų tikimybės yra

Jas surašykime į vienos eilutės matricą – tokios matricos vadinamos vektoriais: (0,4; 0,3; 0,3). Jį vadinsime būsenų tikimybių vektoriumi ir tymėsime p(1), čia 1 reiškia pirmą tyrimo mėnesį:

p 0,3 0,3).

Beje, šios tikimybės turi ir kitą lengvai pamatomą prasmę: tai yra parduotuvės rinkos dalis pirmą tyrimo mėnesį. Iš istorinių duomenų ir sociologinių tyrimų paprastai galime sutinoti ir tikimybes, vadinamas tingsnio tikimybėmis:

P_ij – tikimybė pereiti iš būsenos i į būseną j (tiksliau kalbant, tai yra sąlyginė būsenos j tikimybė, jei iki šiol buvo būsena i).

Mūsų atveju jų yra devynios; surašykime jas į vieną matricą, vadinamą tingsnio matrica:

P = .

Pavyzdtiui, jos elementas P₂₃ = 0,2 reiškia trečiosios būsenos (pirkėjas eina į Eko) tikimybę, jei prieš tai buvo 2 bū­sena (pirkėjas pirko Iki). Atkreipkite dėmesį, kad vienos eilutės tikimybių suma lygi vienetui: būsenos yra ne­su­derinami įvykiai ir be šių trijų daugiau būsenų nėra.

Remiantis pilnosios tikimybės formule, pagal būsenų tikimybių vektorių ir tingsnio matricą galima prognozuoti busimas rinkas: sandauga p(1)P yra ant­ro­jo, būsimojo mėnesio būsenų tikimybių vektorius:

p p(1)P = (0,4 0,3 0,3) = (0,41 0,31 0,28).

Matyti, kad Maksimos ir Iki rinkos dalis padidės, o Eko – sumatės. Apskaičiuokite ir trečio mėnesio būsenų tikimybių vektorių. Kaip manote, kokia yra rinka, jei galioja lygybė p(n+1) = p(n)? ☺

Pratimai

1. Kurias iš šių sandaugų galima apskaičiuoti: AB, BA, AC, CA, BC, CB? Apskaičiuokite tas, kurias galima.

2. Pagal 4 pavyzdtio duomenis apskaičiuokite sandaugas (1 1 1)P ir (1 1 1)PK. Kokią ekonominę prasmę turi šios sandaugos?.

Vienetinė matrica

Realiųjų skaičių aibėje yra skaičius, vadinamas vienetu, su tokia savybe: 1·a = a·1 = a. Matricų aibėje tokios matricos apskritai nėra, tačiau kvadratinių matricų aibėje – yra. Kvadratinių n-osios eilės matricų aibėje vienetinė yra matrica, tymima raide E, turinti savybę

AE = EA = A.

Nesunku būtų įrodyti (tr. 2 pratimą), kad vienetinė matrica yra taip pat kvadratinė n-osios eilės matrica, pagrindinėje jos įstritainėje yra vienetai, o visi kiti elementai – nuliai. Taigi antrosios eilės matricų vienetinė yra

E = ,

o trečiosios eilės –

E = .

Pratimai

Apskaičiuokite sandaugas AE ir EA, jei A = .

Įrodykite, kad antrosios eilės vienetinės matricos įstritainės elementai yra vienetai, o kiti elementai – nuliai.

Nurodymas. Sudarykite vienetinę matricą E su netinomais elementais:

E = .

Remdamiesi vienetinės matricos apibrėtimu, sudarykite keturių lygčių sistemą su keturiais netinomaisiais e_ij, ir ją išspręskite.

Atvirkštinė matrica

Bet kuris realusis skaičius a, išskyrus nulį, turi atvirkštinį, tymimą arba a^–1. Ar matricų aibėje yra tokia matrica? Jei yra, tai kurios matricos turi atvirkštinę, o kurios – ne? Kaip sudaryti atvirkštinę matricą, jei ji yra? Kiek skirtingų atvirkštinių matricų gali turėti viena matrica? Į visus šiuos ir kitus klausimus atsakysime šiame skirsnyje.

Apibrėtimas. Kvadratinės matricos A atvirkštine vadinama matrica A^–1 su tokia savybe:

AA^–1 = A^–1A = E.

PAVYZDYS. Remdamiesi šiuo atvirkštinės matricos apibrėtimu, įrodysime, kad matrica A = turi atvirkštinę A^–1 = .

AA^–1 =

Jums paliksime apskaičiuoti antrąją sandaugą:

A^–1A = ☺

Taigi iš šio pavyzdtio matyti, kad kai kurios matricos atvirkštinę turi.

Atvirkštinės matricos sudarymas

Paaiškinsime, kaip sudaroma kvadratinės matricos atvirkštinė matrica A^–1 ir įrodysime, kad tokia matrica iš tikrųjų yra atvirkštinė ir vienintelė. Kad būtų paprasčiau, sudarysime trečiosios eilės matricos atvirkštinę (aukštesnės eilės matricų atvirkštinė sudaroma labai panašiai):

A = .

Apskaičiuokime šios matricos determinantą |A|, t.y. trečiosios eilės determinantą, sudarytą iš tokių pačių elementų, kaip ir matrica A:

|A| = .

Sakykime, kad jis nelygus nuliui: |A| 0. Dar sudarykime ir apskaičiuokime visus matricos A adjunktus: A₁₁, A₁₂, A₁₃, A₂₁, A₂₂, A₂₃, A₃₁, A₃₂, A₃₃. Iš jų sudarykime tokią matricą:

A* = .

Atkreipkite dėmesį į adjunktų išdėstymo tvarką – jų indeksus. Padaliję ją iš matricos A determinanto |A|, gausime matricos A atvirkštinę matricą:

A^–1 =

Dėl dalybos iš |A| turėjome tarti, kad matricos A determinantas yra nelygus nuliui, antraip negalėtume dalyti. Norint įrodyti, kad ši matrica iš tikro yra matricos A atvirkštinė, reikia apskaičiuoti dvi sandaugas: AA^–1 ir A^–1A; abiem atvejais turi išeiti vienetinė matrica. Tai įrodoma remiantis 8 ir 9 determinantų savybe.

Įrodymas

Taigi apskaičiuosime AA^–1 ir A^–1A:

C = ·.

Remdamiesi skaičiaus ir matricos daugybos savybėmis, pirmiausia sudauginsime matricas, o tik po to – gautą matricą iš skaičiaus . Apskaičiuosime tik du būdingus sandaugos matricos C elementus: vieną iš pagrindinės įstritainės, o kitą – nesantį joje, nes kiti elementai apskaičiuojami taip pat. Matysime, kad pirmasis yra vienetas, o kiti – nuliai. Taigi apskaičiuokime

c₁₁ = .

Skliaustuose gautas reiškinys yra matricos determinanto |A| skleidinys pirmosios eilutės elementais. Apskaičiuokime ir elementą, esantį šalia įstritainės, pavyzdtiui,

c₁₂ = .

Skliaustuose gautas reiškinys yra matricos determinanto |A| pirmosios eilutės elementų ir antrosios eilutės elementų adjunktų sandaugų suma; ji lygi 0 pagal 9º determinantų savybę.

Dėl tų pačių prietasčių ir visi kiti matricos C pagrindinės įstritainės elementai yra vienetai, o elementai, esantys šalia jos – lygūs nuliui, todėl C = AA^–1 = E. Jums paliksime įrodyti, kad ir A^–1A = E. ☺

PAVYZDYS. Sudarysime matricos

A =

atvirkštinę.

Apskaičiuosime matricos determinantą:

|A| = = 3 – 1 = 2.

Apskaičiuosime adjunktus:

.

Kadangi matricos determinantas nelygus nuliui, galime sudaryti atvirkštinę matricą:

.

Patikrinsime:

AA^–1 = .

Aišku, reikia patikrinti ir sandaugą A^–1A; tai padaryti paliekame jums.  ☺

Matricos atvirkštinė yra vienintelė. Prieštaros būdu įrodysime, kad jei matrica A turi atvirkštinę A^–1, tai ta atvirkštinė yra vienintelė.

Tarkime priešingai: sakykime, kad matrica A turi dvi skirtingas atvirkštines, A^–1 ir B. Kadangi jos yra atvirkštinės, tai abi tenkina pagrindinę atvirkštinių matricų savybę:

A^–1·A = E; B·A = E Þ A^–1·A = B·A.

Padauginkime paskutinės lygybės abi puses iš A^–1 iš dešinės:

(A^–1·A)· A^–1 = (B·A)·A^–1.

Remdamiesi skirstomuoju dėsniu, sugrupuokime taip:

A^–1·(A· A^–1) = B·(A·A^–1) Þ A^–1·E = B·E Þ A^–1 = B.

Tarėme, kad atvirkštinės matricos A^–1 ir B yra skirtingos, tačiau įrodėme, kad jos lygios. Šis prieštaravimas rodo, kad mūsų prielaida nėra teisinga. Kadangi kitų variantų nėra (dvi matricos gali būti lygios arba nelygios), tai lieka tik vienas: abi atvirkštinės yra lygios. Kadangi abi atvirkštines matricas pasirinkome laisvai, be jokių apribojimų, tai reiškia, kad skirtingų atvirkštinių nėra – matricos A visos atvirkštinės yra lygios. ☺

Pratimai

Apskaičiuokite šių matricų atvirkštines, jei jos egzistuoja.

a) A =;  b) c) d) .

2. Matricų lygtys

Kelias matricų lygtis jau esame išsprendę, tačiau jose tereikėjo sudėties, at­im­ties ir daugybos iš skaičiaus veiksmų. Apibrėtę atvirkštinės matricos sąvoką, galime iš­spręs­ti ir tokias matricų lygtis, kuriose yra ir daugyba. Pavyzdtiui, prisiminę 5 pavyzdį, pa­ma­ty­sime, kad tiesinę 3 lygčių sistemą su 3 netinomaisiais

galima parašyti matricų lygtimi:

·,

arba dar trumpiau, AX = B. Ją galima išspręsti panašiai kaip ir skaičių algebros lygtį ax = b, ta­čiau reikia turėti mintyje, kad matricų algebroje nėra dalybos – ją pakeičia daugyba iš at­virkš­ti­nės matricos:

Taigi norint išspręsti matricų lygtį AX = B, reikia rasti matricos A atvirkštinę ir ją padauginti iš laisvųjų narių stulpelio B.

PAVYZDYS. Išspręsime lygčių sistemą

Šios sistemos matricos

A = ,

atvirkštinę apskaičiavome 8 pavyzdyje:

Taigi sistemos sprendinys yra

X = A^–1B =,

arba x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 1. ☺

PAVYZDYS. Iš 6 pavyzdtio matyti, kad rinka bus stabili, jei galios būsenų vektorių lygybė p(n+1) = p(n) arba p(n) = p(n)P. Nustatysime, kokios turi būti būsenų tikimybės, kad rinka būtų stabili, jei tings­nio matrica yra tokia pati, kaip 6 pavyzdyje:

Pratimai

1. Atvirkštinės matricos metodu išspręskite šias lygčių sistemas.

a)  b) c)

2. Pagal šias technologines matricas sudarykite ekonominės sistemos balanso modelius ir atvirkš­tinės matricos metodu raskite subalansuotą gamybos planą.

Atsakymas: (150, 150, 75)

Atsakymas: (100, 100, 200)

3. Apskaičiuokite stabiliąsias rinkos dalis (būsenų tikimybes) su šiomis tingsnio matricomis.

a) b) c) d)

Klausimai

Kas yra nulinė matrica?

Kas yra kvadratinė matrica?

Apibrėtkite dviejų matricų sandaugą.

Kurią eilutę ir stulpelį reikia sudauginti, norint gauti sandaugos elementą, esantį pirmoje eilutėje ir trečiame stulpelyje?

Kokias matricas galima sudauginti, o kokių – ne? Sugalvokite po pavyzdį.

Kokiomis savybėmis pasitymi matricų sandauga?

Ar matricų sandaugai galioja perstatomoji savybė?

Pateikite matricų pavyzdtių, kurioms galioja perstatomoji savybė.

Ar galima gauti nulinę matricą, sudėjus dvi nenulines matricas?

Kokia yra pagrindinė vienetinės matricos savybė?

Iš kokių elementų sudaryta vienetinė matrica?

Kokia yra pagrindinė atvirkštinės matricos savybė?

Kokios matricos turi, o kokios – neturi atvirkštinės?

Kaip yra sudaroma atvirkštinė matrica?

Kiek matrica gali turėti skirtingų atvirkštinių?

Kaip sprendtiamos tiesinės lygčių sistemos, parašytos matricine forma?