Matricø daugyba. Atvirkðtinë matrica. Matricø lygtys

Matricø daugyba. Atvirkðtinë matrica. Matricø lygtys

Ðioje paskaitoje apibrëðime matricø sandaugà, iðsiaiðkinsime jos savybes, iðmoksime sudaryti atvirkðtinæ matricà ir spræsti matricø lygtis, iðnagrinësime keletà matricø taikomøjø pavyzdtiø.

Tikslas

• Iðmokti operuoti matricomis ir spræsti matricø lygtis,
• Iðmokti sudaryti ir analizuoti bûdingus matricø taikomuosius utdavinius.

1. Matricø daugyba

Apibrëðime ið pirmo tvilgsnio labai neáprastai atliekamà veiksmà – matricø dau­gy­bà. Matysime, kad tokia matricø daugyba yra pagrásta ir naudinga tiek teorinëms, tiek prak­tinëms reikmëms.

Matricø sandauga. Matricos A, kurios matmenys yra m n, ir matricos B, ku­rios matmenys yra n k, sandauga AB yra m k matmenø matrica C, kurios bet kuris elementas c_ij gaunamas sudëjus matricos A elementø ið i-osios eilutës ir atitinkamø matricos B elementø ið j-ojo stulpelio sandaugas.

Pavyzdtiui, norint apskaièiuoti sandaugos C = AB elementà c₁₂, reikia sudëti matricos A pirmosios eilutës elementø ir atitinkamø matricos B antrojo stulpelio elementø sandaugas.

PAVYZDYS. Sudauginsime ðias dvi matricas:

A = ir B = .

Matricos A matmenys yra 2 3, o matricos B – 3 2, tai yra, matricos A stulpeliø skaièius ly­gus matricos B eiluèiø skaièiui, todël jas sudauginti galima (dar kartà atkreipkite dëmesá, kas kal­bama apibrëtime apie matricø matmenis). Ið apibrëtimo dar galima nustatyti, kokiu mat­me­nø bus sandauga C: jos eiluèiø skaièius lygus matricos A eiluèiø skaièiui, o stulpeliø skai­èius – matricos B stulpeliø skaièiui. Taigi matrica C yra 2 2 matmenø.

Dabar apskaièiuosime matricos C elementus:

c₁₁ = 2·1 + (–1)·2 + 3·(–4) = –12, c₁₂ = 2·5 + (–1)·7 + 3·0 = 3,

c₂₁ = 4·1 + 6·2 + (–2)·(–4) = 24, c₂₂ = 4·5 + 6·7 + (–2)·0 = 32.

Taigi

C = AB = = =.  ☺

PAVYZDYS. Dviejø kvadratiniø matricø galima apskaièiuoti abi sandaugas AB ir BA. Apskaièiuokime jas:

AB = ,

BA = .  ☺

Matyti, kad AB BA. Taigi matricø sandauga apskritai netenkina perstatomojo dësnio.

Matricø sandaugos savybës

Nesunku árodyti, kad matricø sandauga tenkina ðiuos dësnius:

1. (AB)C = A(BC) Jungiamasis dësnis

2. A(B + C) = AB + AC Kairysis skirstomasis dësnis

3. (B + C)A = BA + BC Deðinysis skirstomasis dësnis

4. k(AB) = (kA)B = A(kB), èia k yra skaièius

pavyzdyje matëme, kad matricø sandauga netenkina perstatomojo dësnio, AB BA bend­ruo­ju atveju. Yra ir dar vie­nas dalykas, kuris skiria matricø sandaugà nuo skaièiø sandaugos: dviejø nenuliniø matricø san­dauga kartais bûna nulinë matrica, t.y. matrica, kurios visi elementai yra nuliai.

PAVYZDYS.Apskaièiuokime tokià sandaugà:

AB = .

Taigi gali atsitikti, kad AB = 0 net jei ir A 0, ir B ☺

PAVYZDYS Atsargø vertë. Baldø fabrikas turi 3 parduotuves, kuriø sandëliuose saugo 5 ti­pø prekes. At­sar­gø kiekis ðiuose sandëliuose suraðytas matricoje P, o didmeninës ir mat­me­ni­nës vieneto kainos (D ir M, tûks­tan­èiais li­tø) – matricoje K:

P = K =

Kokia yra didmeninë ir matmeninë prekiø, saugomø 1, 2 ir 3 sandëlyje, kaina (atskirai)?

P·K = ☺

PAVYZDYS. Apskaièiuosime kvadratinës matricos A ir matricos stulpelio X sandaugà:

AX = ·

Kas yra gautosios sandaugos elementai? ☺

PAVYZDYS. Rinkos dalies prognozë (Markovo[1] grandinës). Mieste yra 100 000 potencialiø pirkëjø. Per vie­nà konkretø mënesá 40 000 ið jø gali pirkti Maksimoje, po 30 000 – parduotuvëje Iki, ir Eko. Tà faktà, kad pir­kë­jas perka kurioje nors parduotuvëje, vadinsime bûsena ir sunumeruosime jas: 1, 2 ir 3. Ðiø bûsenø tikimybës yra

Jas suraðykime á vienos eilutës matricà – tokios matricos vadinamos vektoriais: (0,4; 0,3; 0,3). Já vadinsime bûsenø tikimybiø vektoriumi ir tymësime p(1), èia 1 reiðkia pirmà tyrimo mënesá:

p 0,3 0,3).

Beje, ðios tikimybës turi ir kità lengvai pamatomà prasmæ: tai yra parduotuvës rinkos dalis pirmà tyrimo mënesá. Ið istoriniø duomenø ir sociologiniø tyrimø paprastai galime sutinoti ir tikimybes, vadinamas tingsnio tikimybëmis:

P_ij – tikimybë pereiti ið bûsenos i á bûsenà j (tiksliau kalbant, tai yra sàlyginë bûsenos j tikimybë, jei iki ðiol buvo bûsena i).

Mûsø atveju jø yra devynios; suraðykime jas á vienà matricà, vadinamà tingsnio matrica:

P = .

Pavyzdtiui, jos elementas P₂₃ = 0,2 reiðkia treèiosios bûsenos (pirkëjas eina á Eko) tikimybæ, jei prieð tai buvo 2 bû­sena (pirkëjas pirko Iki). Atkreipkite dëmesá, kad vienos eilutës tikimybiø suma lygi vienetui: bûsenos yra ne­su­derinami ávykiai ir be ðiø trijø daugiau bûsenø nëra.

Remiantis pilnosios tikimybës formule, pagal bûsenø tikimybiø vektoriø ir tingsnio matricà galima prognozuoti busimas rinkas: sandauga p(1)P yra ant­ro­jo, bûsimojo mënesio bûsenø tikimybiø vektorius:

p p(1)P = (0,4 0,3 0,3) = (0,41 0,31 0,28).

Matyti, kad Maksimos ir Iki rinkos dalis padidës, o Eko – sumatës. Apskaièiuokite ir treèio mënesio bûsenø tikimybiø vektoriø. Kaip manote, kokia yra rinka, jei galioja lygybë p(n+1) = p(n)? ☺

Pratimai

1. Kurias ið ðiø sandaugø galima apskaièiuoti: AB, BA, AC, CA, BC, CB? Apskaièiuokite tas, kurias galima.

2. Pagal 4 pavyzdtio duomenis apskaièiuokite sandaugas (1 1 1)P ir (1 1 1)PK. Kokià ekonominæ prasmæ turi ðios sandaugos?.

Vienetinë matrica

Realiøjø skaièiø aibëje yra skaièius, vadinamas vienetu, su tokia savybe: 1·a = a·1 = a. Matricø aibëje tokios matricos apskritai nëra, taèiau kvadratiniø matricø aibëje – yra. Kvadratiniø n-osios eilës matricø aibëje vienetinë yra matrica, tymima raide E, turinti savybæ

AE = EA = A.

Nesunku bûtø árodyti (tr. 2 pratimà), kad vienetinë matrica yra taip pat kvadratinë n-osios eilës matrica, pagrindinëje jos ástritainëje yra vienetai, o visi kiti elementai – nuliai. Taigi antrosios eilës matricø vienetinë yra

E = ,

o treèiosios eilës –

E = .

Pratimai

Apskaièiuokite sandaugas AE ir EA, jei A = .

Árodykite, kad antrosios eilës vienetinës matricos ástritainës elementai yra vienetai, o kiti elementai – nuliai.

Nurodymas. Sudarykite vienetinæ matricà E su netinomais elementais:

E = .

Remdamiesi vienetinës matricos apibrëtimu, sudarykite keturiø lygèiø sistemà su keturiais netinomaisiais e_ij, ir jà iðspræskite.

Atvirkðtinë matrica

Bet kuris realusis skaièius a, iðskyrus nulá, turi atvirkðtiná, tymimà arba a^–1. Ar matricø aibëje yra tokia matrica? Jei yra, tai kurios matricos turi atvirkðtinæ, o kurios – ne? Kaip sudaryti atvirkðtinæ matricà, jei ji yra? Kiek skirtingø atvirkðtiniø matricø gali turëti viena matrica? Á visus ðiuos ir kitus klausimus atsakysime ðiame skirsnyje.

Apibrëtimas. Kvadratinës matricos A atvirkðtine vadinama matrica A^–1 su tokia savybe:

AA^–1 = A^–1A = E.

PAVYZDYS. Remdamiesi ðiuo atvirkðtinës matricos apibrëtimu, árodysime, kad matrica A = turi atvirkðtinæ A^–1 = .

AA^–1 =

Jums paliksime apskaièiuoti antràjà sandaugà:

A^–1A = ☺

Taigi ið ðio pavyzdtio matyti, kad kai kurios matricos atvirkðtinæ turi.

Atvirkðtinës matricos sudarymas

Paaiðkinsime, kaip sudaroma kvadratinës matricos atvirkðtinë matrica A^–1 ir árodysime, kad tokia matrica ið tikrøjø yra atvirkðtinë ir vienintelë. Kad bûtø paprasèiau, sudarysime treèiosios eilës matricos atvirkðtinæ (aukðtesnës eilës matricø atvirkðtinë sudaroma labai panaðiai):

A = .

Apskaièiuokime ðios matricos determinantà |A|, t.y. treèiosios eilës determinantà, sudarytà ið tokiø paèiø elementø, kaip ir matrica A:

|A| = .

Sakykime, kad jis nelygus nuliui: |A| 0. Dar sudarykime ir apskaièiuokime visus matricos A adjunktus: A₁₁, A₁₂, A₁₃, A₂₁, A₂₂, A₂₃, A₃₁, A₃₂, A₃₃. Ið jø sudarykime tokià matricà:

A* = .

Atkreipkite dëmesá á adjunktø iðdëstymo tvarkà – jø indeksus. Padalijæ jà ið matricos A determinanto |A|, gausime matricos A atvirkðtinæ matricà:

A^–1 =

Dël dalybos ið |A| turëjome tarti, kad matricos A determinantas yra nelygus nuliui, antraip negalëtume dalyti. Norint árodyti, kad ði matrica ið tikro yra matricos A atvirkðtinë, reikia apskaièiuoti dvi sandaugas: AA^–1 ir A^–1A; abiem atvejais turi iðeiti vienetinë matrica. Tai árodoma remiantis 8 ir 9 determinantø savybe.

Árodymas

Taigi apskaièiuosime AA^–1 ir A^–1A:

C = ·.

Remdamiesi skaièiaus ir matricos daugybos savybëmis, pirmiausia sudauginsime matricas, o tik po to – gautà matricà ið skaièiaus . Apskaièiuosime tik du bûdingus sandaugos matricos C elementus: vienà ið pagrindinës ástritainës, o kità – nesantá joje, nes kiti elementai apskaièiuojami taip pat. Matysime, kad pirmasis yra vienetas, o kiti – nuliai. Taigi apskaièiuokime

c₁₁ = .

Skliaustuose gautas reiðkinys yra matricos determinanto |A| skleidinys pirmosios eilutës elementais. Apskaièiuokime ir elementà, esantá ðalia ástritainës, pavyzdtiui,

c₁₂ = .

Skliaustuose gautas reiðkinys yra matricos determinanto |A| pirmosios eilutës elementø ir antrosios eilutës elementø adjunktø sandaugø suma; ji lygi 0 pagal 9º determinantø savybæ.

Dël tø paèiø prietasèiø ir visi kiti matricos C pagrindinës ástritainës elementai yra vienetai, o elementai, esantys ðalia jos – lygûs nuliui, todël C = AA^–1 = E. Jums paliksime árodyti, kad ir A^–1A = E. ☺

PAVYZDYS. Sudarysime matricos

A =

atvirkðtinæ.

Apskaièiuosime matricos determinantà:

|A| = = 3 – 1 = 2.

Apskaièiuosime adjunktus:

.

Kadangi matricos determinantas nelygus nuliui, galime sudaryti atvirkðtinæ matricà:

.

Patikrinsime:

AA^–1 = .

Aiðku, reikia patikrinti ir sandaugà A^–1A; tai padaryti paliekame jums.  ☺

Matricos atvirkðtinë yra vienintelë. Prieðtaros bûdu árodysime, kad jei matrica A turi atvirkðtinæ A^–1, tai ta atvirkðtinë yra vienintelë.

Tarkime prieðingai: sakykime, kad matrica A turi dvi skirtingas atvirkðtines, A^–1 ir B. Kadangi jos yra atvirkðtinës, tai abi tenkina pagrindinæ atvirkðtiniø matricø savybæ:

A^–1·A = E; B·A = E Þ A^–1·A = B·A.

Padauginkime paskutinës lygybës abi puses ið A^–1 ið deðinës:

(A^–1·A)· A^–1 = (B·A)·A^–1.

Remdamiesi skirstomuoju dësniu, sugrupuokime taip:

A^–1·(A· A^–1) = B·(A·A^–1) Þ A^–1·E = B·E Þ A^–1 = B.

Tarëme, kad atvirkðtinës matricos A^–1 ir B yra skirtingos, taèiau árodëme, kad jos lygios. Ðis prieðtaravimas rodo, kad mûsø prielaida nëra teisinga. Kadangi kitø variantø nëra (dvi matricos gali bûti lygios arba nelygios), tai lieka tik vienas: abi atvirkðtinës yra lygios. Kadangi abi atvirkðtines matricas pasirinkome laisvai, be jokiø apribojimø, tai reiðkia, kad skirtingø atvirkðtiniø nëra – matricos A visos atvirkðtinës yra lygios. ☺

Pratimai

Apskaièiuokite ðiø matricø atvirkðtines, jei jos egzistuoja.

a) A =;  b) c) d) .

2. Matricø lygtys

Kelias matricø lygtis jau esame iðsprendæ, taèiau jose tereikëjo sudëties, at­im­ties ir daugybos ið skaièiaus veiksmø. Apibrëtæ atvirkðtinës matricos sàvokà, galime ið­spræs­ti ir tokias matricø lygtis, kuriose yra ir daugyba. Pavyzdtiui, prisiminæ 5 pavyzdá, pa­ma­ty­sime, kad tiesinæ 3 lygèiø sistemà su 3 netinomaisiais

galima paraðyti matricø lygtimi:

·,

arba dar trumpiau, AX = B. Jà galima iðspræsti panaðiai kaip ir skaièiø algebros lygtá ax = b, ta­èiau reikia turëti mintyje, kad matricø algebroje nëra dalybos – jà pakeièia daugyba ið at­virkð­ti­nës matricos:

Taigi norint iðspræsti matricø lygtá AX = B, reikia rasti matricos A atvirkðtinæ ir jà padauginti ið laisvøjø nariø stulpelio B.

PAVYZDYS. Iðspræsime lygèiø sistemà

Ðios sistemos matricos

A = ,

atvirkðtinæ apskaièiavome 8 pavyzdyje:

Taigi sistemos sprendinys yra

X = A^–1B =,

arba x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 1. ☺

PAVYZDYS. Ið 6 pavyzdtio matyti, kad rinka bus stabili, jei galios bûsenø vektoriø lygybë p(n+1) = p(n) arba p(n) = p(n)P. Nustatysime, kokios turi bûti bûsenø tikimybës, kad rinka bûtø stabili, jei tings­nio matrica yra tokia pati, kaip 6 pavyzdyje:

Pratimai

1. Atvirkðtinës matricos metodu iðspræskite ðias lygèiø sistemas.

a)  b) c)

2. Pagal ðias technologines matricas sudarykite ekonominës sistemos balanso modelius ir atvirkð­tinës matricos metodu raskite subalansuotà gamybos planà.

Atsakymas: (150, 150, 75)

Atsakymas: (100, 100, 200)

3. Apskaièiuokite stabiliàsias rinkos dalis (bûsenø tikimybes) su ðiomis tingsnio matricomis.

a) b) c) d)

Klausimai

Kas yra nulinë matrica?

Kas yra kvadratinë matrica?

Apibrëtkite dviejø matricø sandaugà.

Kurià eilutæ ir stulpelá reikia sudauginti, norint gauti sandaugos elementà, esantá pirmoje eilutëje ir treèiame stulpelyje?

Kokias matricas galima sudauginti, o kokiø – ne? Sugalvokite po pavyzdá.

Kokiomis savybëmis pasitymi matricø sandauga?

Ar matricø sandaugai galioja perstatomoji savybë?

Pateikite matricø pavyzdtiø, kurioms galioja perstatomoji savybë.

Ar galima gauti nulinæ matricà, sudëjus dvi nenulines matricas?

Kokia yra pagrindinë vienetinës matricos savybë?

Ið kokiø elementø sudaryta vienetinë matrica?

Kokia yra pagrindinë atvirkðtinës matricos savybë?

Kokios matricos turi, o kokios – neturi atvirkðtinës?

Kaip yra sudaroma atvirkðtinë matrica?

Kiek matrica gali turëti skirtingø atvirkðtiniø?

Kaip sprendtiamos tiesinës lygèiø sistemos, paraðytos matricine forma?