PREDIKATŲ LOGIKA - SAVYBIŲ TEORIJA

PREDIKATŲ LOGIKA - SAVYBIŲ TEORIJA

Yra samprotavimų, kurių išvadų negalima pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz.:

Visi Algio draugai yra studentai.

Rimas nėra studentas.___________

Vadinasi Rimas nėra Algio draugas.

Tokio tipo samprotavimo loginį teisingum¹ galima pagrįsti, tariant prielaidų ir išvados struktūr¹.

Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma. Tačiau loginį teiginį galima nagrinėti ir jo struktūros požiūriu, panašiai kaip gramatika nagrinėja gramatinį sakinį, surasdama sakinio dalis – veiksnį, tarinį, pažyminį ir pan. Žinoma, loginio teiginio struktūra visai kitokia, negu gramatinio sakinio.

Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinź teiginio struktūr¹.

Teiginį sudaro objektas ir požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas.

Plačiausia prasme objektas yra tai, k¹ galima pavadinti. Požymis yra tai, kuo objektai yra panašūs arba kuo jie skiriasi vienas nuo kito. Teiginyje “Vilnius yra Lietuvos sostinė” objektas yra Vilnius, kuriam priskiriamas požymis “būti Lietuvos sostine”. Teiginio objektas kartai dar vadinami subjektu, o požymiai dar kitaip vadinami predikatais.

Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.

Savybė yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui. Savybź “būti kietu” gali turėti ir ne vienas objektas, pvz., sakome “Plienas yra kietas”, “Akmuo yra kietas” ir pan. Tai prasmingi ir teisingi teiginiai.

Santykis yra toks požymis, kuri galima priskirti mažiausiai dviem objektams. Požymiai “būti seserimi”, “būti lengvesniu” yra santykiai. Teiginys “Marytė Algio sesuo”- prasmingas teiginys. Tuo tarpu teiginys “Marytė sesuo” yra beprasmiškas, nes požymis “būti seserimi” yra santykis, ir jo negalima priskirti vienam objektui. Dėl to, kad savybes galima priskirti vienam objektui, o santykius galima priskirti mažiausiai dviem objektams, savybės vadinamos vienviečiais predikatais, o santykiai – daugiaviečiais predikatais.

Pavadinimas taip pat yra požymis, nes vien¹ objekt¹ nuo kito galima atskirti pagal jų pavadinim¹. Pavadinimai nagrinėjami ne predikatų logikoje, bet loginėje semantikoje.

Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykis. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi dalis – savybių teorija ir santykių teorij¹.

1. Propozicinė funkcija, jos pavertimas teiginiu.

Teiginys turi proporcinės funkcijos struktūr¹.

Žodis funkcija plačiausia prasme reiškia priklausomybź. Dydžiai, esantys kokiame nors reiškinyje, dažnai kinta priklausomai vienas nuo kito. Pvz.: produkto kaina priklauso nuo darbo našumo, gamybos kaštų, rinkos konjunktūros ir t.t. Todėl ir sakoma, kad kaina yra minėtų veiksnių funkcija.

Funkciniai ryšiai yra ir logikoje. Vieni dydžiai logikoje kinta priklausomai nuo kitų dydžių kitimo. Tai matėme jau teiginių logikoje, kurioje sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reiškinį. Vadinasi sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė yra funkcija, kintanti priklausomai nuo sudėtinį teiginį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmės kitimo.

Funkciniai ryšiai predikatų logikoje reiškiasi tuo, kad predikatų logikoje teiginio teisingumas priklauso nuo to, kokiems objektams priskiriamas tam tikras požymis. Vadinasi, predikatų logikoje teiginio teisingumas yra funkcija, kintanti priklausomai nuo to, kokiems objektams tas požymis priskiriamas.

Kas yra teiginio funkcija?

Panagrinėkime šiuos teiginius:

Karšis yra žuvis.

Kuoja yra žuvis. x yra žuvis.

Ešerys yra žuvis.

Lygindami šiuos teiginius, matome, kad jie vienas nuo kito skiriasi tik savo objektais, skirtingiems objektams priskiriamas tas pats požymis; skirtingiems subjektams priskiriamas tas pats predikatas. Žodžius “karšis”, “kuoja”, “ešerys” pakeitź kintamuoju x, gauname išraišk¹

x yra žuvis.

Ar ši¹ išraišk¹ galima vadinti teiginiu? Ne, negalima. Teiginys turi būti teisingas arba klaidingas. Tuo tarpu išraiška “x yra žuvis” nėra nei teisinga, nei klaidinga. Jei kompiuterio ekrane randame parašyt¹ teiginį “Karšis yra žuvis”, tai jį laikome teisingu. Tačiau jei … randame išraiška “x yra žuvis”, tai negalime pasakyti, ar ši išraiška teisinga, ar klaidinga, nes nežinome, kas yra x. Išraiška “x yra žuvis” yra ne teiginys, bet teiginio funkcija, kuri dar kitaip vadinama propozicine funkcija (lot. p r o p o s i t i o – teiginys).

Propozicinė funkcija – tai funkcija, nustatanti atitinkam¹ tarp tam tikros srities objektus, kurie yra jos argumento reikšmės, ir teisingumo bei klaidingumo.

Išraiškose

x yra rinkotyros specialistas,

x yra mokslas,

x yra aukštoji universitetinė mokykla.

Kintamasis x yra vadinamas šių funkcijų argumentu. Šių išraiškų virtimas teisingais ar klaidingais teiginiais priklauso nuo to, kokias reikšmes įgauna argumentas x. Kintamojo x pakeitimas kokio nors objekto pavadinimu ir yra pirmasis, paprasčiausias būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu. Pakeitź x kokio nors asmens (pvz., Bekampio) pavarde, mokslo (pvz., ekonomika) ir aukštosios mokyklos pavadinimais, gauname:

Bekampis yra rinkotyros specialistas.

Ekonomika yra mokslas.

VGTU yra aukštoji universitetinė mokykla.

Tai teisingi teiginiai. Tuo tarpu x pakeitus asmens, kuris nėra vadybininkas, pavarde arba požymį “būti mokslu” priskyrus astrologijai, gauname klaidingus teiginius, pvz., “Astrologija yra mokslas”. Propozicinės funkcijos virtimas teisingu ar klaidingu teiginiu priklauso nuo to, kokiam objektui požymis priskiriamas, kitaip tariant, priklauso nuo argumento x reikšmių.

Antras būdas propozicinź funkcij¹ paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais. Terminas kvantorius kilźs iš lotynų kalbos žodžio q u a n t u m – “kiek”.

Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai. Požymi galima priskirti vienam objektui (“Saulė K. yra studentė”) arba keliems objektams (“Kai kurie jaunuoliai – studentai”) arba visiems kurios nors klasės objektams (“Visi, esantys šioje auditorijoje, studentai”). Kokiam objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas – tai ir nurodo kvantorius.

Kasdieninėje šnekamojoje kalboje yra visa eilė vadinamųjų žodžių:

visi nė vienas keliolika egzistuoja

kiekvienas kai kurie vienintelis daug

bet kuris keli yra be galo daug.

Kvantoriniams žodžiams priklauso ir visi kiekiniai skaitvardžiai. Šiems žodžiams reikšti logikoje pakanka dviejų pagrindinių kvantorių – egzistavimo kvantoriaus ir bendrumo kvantoriaus.

Egzistavimo kvantorius žymimas simboliu x. Ženklas yra anglų kalbos žodžio exist, vokiečių kalbos existeren apversta pirmoji raidė, kurios vidurinis brūkšnelis prailgintas. Simbolis x skaitomas taip:

yra toks (tokie) x.

Egzistavimo kvantorius rašomas prieš propozicinź funkcij¹. Šitaip propozicinź funkcij¹ susiejus egzistavimo kvantoriumi, ji virsta teiginiu. Propozicinės funkcijos “x yra rinkotyros specialistas”, “x yra mokslas”, “x yra aukštoji universitetinė mokykla” susiejus egzistavimo kvantoriumi, gauname:

x (x yra rinkotyros specialistas).

x (x yra mokslas).

x (x yra aukštoji universitetinė mokykla).

Šios išraiškos skaitomos taip:

Yra toks x, kuris yra rinkotyros specialistas.

Yra toks x, kuris yra mokslas.

Yra toks x, kuris yra aukštoji universitetinė mokykla.

Tikrai, vadybininkų, kurie yra rinkotyros specialistai yra daug. Yra daug mokslų, daug aukštųjų universitetinių mokyklų Lietuvoje.

Tačiau pateiktose išraiškose visai nenurodyta, kokiai objektų sričiai, klasei priklauso objektas x. Todėl žymiai geriau išraiškas skaityti, konkrečiai nurodant objektų klasź, kuriai tas požymis priskiriamas:

x (x – vadybininkas ir x – rinkotyros specialistas).

x (x – žinių sistema ir x - mokslas).

x (x – mokykla ir x – aukštoji universitetinė mokykla).

Vadinasi, išraiškos “x yra rinkotyros specialistas”, “x yra mokslas”, “x yra aukštoji universitetinė mokykla”, susiejus jas egzistavimo kvantoriumi, skaitomos taip:

Yra toks x, kuris yra vadybininkas ir kuris yra rinkotyros specialistas.

Yra toks x, kuris yra žinių sistema ir kuris yra mokslas.

Yra toks x, kuris yra mokykla ir kuris yra aukštoji universitetinė mokykla.

Galima šiuos teiginius skaityti ir daugiskaitoje: … . Teiginio skaitymas vienaskaitoje ar daugiskaitoje priklauso nuo to, kokiam skaičiui objektų požymis priskiriamas.

Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus objektų skaičius t¹ požymį. Egzistavimo kvantorius tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį požymį, bet galbūt jų yra ir daugiau. Vadinasi, egzistavimo kvantoriumi reiškiama, kad požymį turi bent vienas arba kai kurie tos klasės objektai.

Bendrumo kvantoriumi tvirtinama, kad požymi turi kiekvienas nagrinėjamos klasės objektas. Bendumo kvantorius žymimas simboliu x. Ženklas yra anglų kalbos žodžio all, vokiečių kalbos žodžio alle apversta pirmoji raidė. Simbolis x skaitomas taip:

kiekvienas x.

Bendrumo kvantorį parašius prieš propozicinź funkcij¹, ji virsta teiginiu. Propozicines funkcijas “x yra žinduolis”, “x yra sportininkas”, “x yra maistas” susiejus bendrumo kvantoriumi, gauname:

x ( x yra protinga būtybė).

x ( x yra vadybininkas).

x ( x yra maistas).

Šios išraiškos skaitomos taip pat naudojant objektų klasź, kurios sudėtyje yra tie objektai x: protingos būtybės yra žmonės; būti vadybininku gali, tarkime, rinkotyrininkas; būti maistu, tarkime, gali duona. Jei išraiška susieta bendrumo kvantoriumi, tai nurodymas objektų klasės, kurios sudėtyje yra objektai x, reiškiamas implikacija. Pateiktos išraiškos skaitomos:

Kiekvienas x, jei x žmogus, tai x protinga būtybė.

Kiekvienas x, jei x rinkotyrininkas, tai x vadybininkas.

Kiekvienas x, jei x duona, tai x maistas.

Propozicines funkcijas susiejus egzistavimo ar bendrumo kvantoriais, galima gauti ir klaidingus teiginius. Pvz., išraišk¹ “x yra plaukikas” susiejus bendrumo kvantoriumi ir požymį “būti plaukike” priskyrus sportininkams, gauname: “Kiekvienas x, jei x sportininkas, tai x plaukikas”. Tai klaidinga, nes ne kiekvienas sportininkas – plaukikas. Panašiai klaidingas yra teiginys “Kiekvienam x teisinga, kad x + 3

Iš kitų kvantorių … apribojantys kvantoriai. Jie užrašomi išraiškomis

x P_(x) F_(x)

x P_(x) F_(x),

kurios skaitomos taip: kiekvienas x turi predikat¹ F, jei jis turi predikat¹ P; yra toks x, kad kai x turi predikat¹ F, jis turi ir predikat¹ P.

Skaitinis kvantorius nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x, kurie turi predikat¹ F:

x_n F_(x)

Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikat¹ F:

x_¥ F_(x)

Kvantoriai atlieka loginių operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartojus juos kokioje nors loginėje formoje, sukuria nauj¹ form¹. Konjunkcija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai – tai vis loginiai operatoriai.

Pakartojimui

Kuo pasireiškia funkciniai ryšiai logikoje?

Kas yra propozicinė funkcija?

Kaip propozicinė funkcija paverčiama teiginiu?

Kokius žinote kvantorius?

Pratimai

Susiekite propozicines funkcijas kvantoriumi ir perskaitykite:

a) x yra lietuvių kalbos daiktavardis;

b) x yra angliški skoliniai lietuvių kalboje.

Susiekite propozicines funkcijas bendrumo kvantoriumi ir perskaitykite:

a)      x yra inžinierius;

b)      x yra privati firma.

2. Kvantoriai ir kintamieji savybių teorijoje

Savybių teorijoje objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Savybes žymėsime didžiosiomis raidėmis F, G, H.

Išraiška

F_(x)

skaitoma: x turi savybź F. Atitinkamai išraiškos G_(x), H_(x) skaitomos: x turi savybź G; x turi savybź H.

Išraiškos

x F_(x) x G_(x)

skaitomos: yra toks x, kuris turi savybź F; kiekvienas x turi savybź G.

Teiginį “Kai kurie spaudos leidiniai yra laikraščiai” formalizuosime taip. Žodis “kai kurie” reiškiamas egzistavimo kvantoriumi ( x), savybź “būti spaudos leidiniu” žymėsime raide F, savybź “būti laikraščiu” – raide G. Kai išraiškoje yra egzistavimo kvantorius, savybės susiejamos konjunkcija. Gauname: x[F_(x)G_(x)].

Skaitome: yra tokie x, kurie turi savybź F ir savybź G. kitaip tariant, yra tokie x, kurie turi savybź “būti spaudos leidiniais” ir turi savybź “būti laikraščiais” – tokia teiginio “Kai kurie spaudos leidiniai yra laikraščiai” loginė struktūra savybės teorijos požiūriu.

Teiginį “Visi kompiuteriai yra informacinės priemonės” formalizuosime taip “Žodis” … reiškiamas bendrumo kvantoriumi, savybź “būti informacine priemone” – raide G. Kai išraiškoje yra bendrumo kvantorius, savybės susiejamos implikacija. Gauname: x[F_(x)G_(x)]. Skaitome: kiekvienas x, jei x turi savybź F, tai x turi savybź G. Kitaip tariant, kiekvienas x, jei x turi savybź “būti kompiuteriu”, tai x turi savybź “būti informacine priemone” – tokia yra teiginio “Visi kompiuteriai yra informacinės priemonės” loginė struktūra savybių teorijos požiūriu.

Predikatų logikoje, taip pat, kaip vėliau matysime, ir kitose logikos teorijose, operuojama ir teiginių logikos veiksmais – neigimu, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, lygiavertiškumu.

Savybes galima neigti. Neigiant savybź, virš jos rašomas neigimo ženklas:

Skaitome: x neturi savybės F; netiesa, kad x turi savybź G.

Galima neigti ne tik savybes, bet ir kvantorius. Neigiant kvantorį, virš jo rašomas neigimo ženklas:

; .

Skaitome: netiesa, kad yra toks (tokie) x; netiesa, kad kiekvienas x.

Išraiška

F(x)

skaitoma: netiesa, kad kiekvienas x turi savybź F.

Panagrinėkime teiginį “Mūsų grupėje nėra užsieniečių”. Savybź “būti mūsų grupės studentu” pažymėjo raide F, savybź “būti užsieniečiu” – simboliu G, susiejź savybes konjunkcija, nustatome nagrinėjamo teiginio loginź struktūr¹: x[F_(x)(x)]. Skaitome: netiesa, kad yra tokių x, kurie turi savybź F ir neturi savybės G. Kitaip tariant, netiesa, kad yra tokių x, kuri turi savybź “būti mūsų grupės studentais” ir neturi savybės “būti mūsų tėvynainiais”.

Išraiškoje gali pasitaikyti ne vienas kvantorius, bet du ir daugiau. Išraiška x y[F(x)VF(y)] skaitoma: yra toks x ir yra toks y, iš kurių x turi savybź F arba y turi savybź F. Pvz., yra koks nors žmogus x ir yra koks nors žmogus y, iš kurių x turi savybź “būti inžinieriumi” arba y turi savybź “būti inžinieriumi”. Visuomet galima atrasti du žmones, kurių vienas arba kitas yra inžinierius.

Išraiška xF(x) yF(y) skaitoma: kiekvienas x turi savybź F ir yra tokių y, kurie turi savybź F. Pvz., kiekvienas žmogus mirtingas, tačiau ir kiti gyviai … neamžini.

Kvantoriaus galiojimo sritį parodo skliaustai. Išraiškoje x [F(x)G(x)] bendrumo kvantorius galioja visai išraiškai, tuo tarpu išraiškoje xF(x) yF(y) bendrumo kvantorius galioja tik iki konjunkcijos ženklo.

Predikatų logikos išraiškose būna trejų rūšių kintamieji.

Individualiniai kintamieji – tai x, y, z … , juos galima pakeisti atskirų objektų vardais.

Predikatiniai kintamieji – tai F, G, H … , juos galima pakeisti konkrečiais predikatais (savybėmis ir santykiais).

Propoziciniai kintamieji – tai p, q, r … . Jie paimti iš teiginių logikos ir gali būti pakeisti konkrečiais teiginiais.

Išraiškoje p x F(x) yra visų trijų rūšių kintamieji: x – individinis, F – predikatinis, p – propozicinis kintamasis.

Kintamieji x, y, z predikatų logikos išraiškose yra dvejopo pobūdžio – surišti arba laisvi.

Surištas kintamasis – tai kuris yra kvantoriuje ir, atitinkamai, kvantoriaus galiojimo srityje. Laisvas kintamasis – tai tas, kurio kvantoriuje nėra. Išraiškoje x [F(x)F(y)] V G(x) kvantoriuje es¹s kintamasis x – surištas; laužtiniuose skliaustuose es¹s x taip pat surištas, nes jis yra kvantoriaus galiojimo srityje; y – laisvas kintamasis; paskutinysis x – taip pat laisvas, nes jis yra už kvantoriaus galiojimo srities.

Esminė kvantoriaus savybė ta, kad jis laisvus kvantorius paverčia surištais. Išraiška, kurioje nėra laisvų kintamųjų, yra teiginys, o ne propozicinė funkcija.

Objektus, kuriems galima priskirti tam tikr¹ savybź, sudaro tos savybės sritį. Pvz., savybės “saldus” sritis yra visi objektai, kuriems būdinga ši savybė.

Pakartojimui

Kaip teiginiai formalizuojami savybių teorijoje?

Kaip nustatyti kvantoriaus galiojimo sritį?

Kokie kintamieji būna predikatų logikos išraiškose?

K¹ vadiname laisvais ir surištais kintamaisiais?

Pratimai

Perskaitykite išraiškas:

a)

b)

Savybių teorijos simboliais užrašykite teiginius:

a)      yra tokių kalnų, į kurias nelengva įkopti;

b)      kiekvieno žmogaus gyvenime yra neišsprźstų problemų;

c)      vis normalūs žmonės trokšta laimės;

d)      kai kurie žmonės moka kelias kaltas.

3. Savybių teorijos dėsniai

Dėsnių savybių teorijoje yra daug. Panagrinėsime kai kurios iš jų.

Atskir¹ grupź sudaro 4 dėsniai, įgalinantys vienus kvantorius pakeisti kitais.

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybź F” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad yra toks x, kuris neturi savybės F”.

Teiginys “Kiekvienas žmogus turi rankas” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad yra toks žmogus, kuris neturėtų rankų”.

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad kiekvienas x turi savybź Fx” lygiavertė išraiška “Yra toks x, kuris neturi savybės F”.

Kadangi netiesa, kad visi žmonės s¹žiningi, tai yra tokie žmonės, kurie nes¹žiningi.

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris neturi savybės F” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad kiekvienas x neturi savybės F”.

Kadangi yra s¹žiningų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas žmogus nes¹žiningas.

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybź F” lygiavertė išraiškai “Kiekvienas x neturi savybės F”. Teiginys “Netiesa, kad mūsų grupėje yra studentas, kuris moka kinų kalb¹” lygiavertis teiginiui “Kiekvienas mūsų grupės studentas nemoka kinų kalbos”.

Svarbus savybių teorijos dėsnis yra šis:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybź F, tai savybź F turi koks nors y.

Šis dėsnis yra loginis bendrų teiginių taikymo atskiriems atvejams pagrindas. Kadangi kiekvienas Lietuvos pilietis privalo laikytis įstatymų, tai jų privalo laikytis ir Jonaitis.

Pateiktajam dėsniui artimas šis dėsnis:

Skaitome: jei koks nors objektas y turi savybź F, tai yra toks x, kuris turi savybź F.

Tai reiškia, kad jei koks nors laisvai pasirinktas objektas y turi tam tikr¹ savybź, tai t¹ savybź turi ir koks nors objektas x, kuris priklauso tai pačiai klasei, kaip ir objektas y. Pvz., Šopo yra verslininkas, reiškia, yra ir daugiau žmonių, kurie yra verslininkai.

Pateiksime dėsnius, kurie nurodo, kaip reikia kvantorius įkelti į skliaustus ir iškelti už skliaustų. Jie vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais.

Bendrumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:

.

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybź F ir savybź G” lygiavertė išraiškai “Kiekvienas x turi savybź F ir kiekvienas x turi savybź G”.

Teiginys “Kiekvienoje šalyje yra universitetai ir mokyklos” lygiavertis teiginiui “Kiekvienoje šalyje yra universitetai it yra mokyklos”.

Kitas išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje:

Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybź F ir savybź G, tai yra toks x, kuris turi savybź F, ir yra toks x, kuris turi savybź G.

Palyginus su bendrumo kvantoriaus išskaldymu konjunkcijoje, skirtumas čia tas, kad tarp skliaustuose esančių išraiškų negalima rašyti lygiavertiškumo ženklo. Žinome, kad lygiavertiškumas yra implikacija abiem kryptim. Tačiau šioje išraiškoje iš negalima išvesti . Tai rodo kad ir toks pavyzdys. Yra toks sportininkas, kuris disko metime 1963 metais pasiekė geriausi¹ rezultat¹, ir yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausi¹ rezultat¹ disko metime 2003 metais. Tačiau klystume teigdami, kad yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausi¹ rezultat¹ disko metime 1963 ir 2003 metais.

Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus išskaidym¹ disjunkcijoje, negali būti. Tarkime, kad grupei vaikų davėme kiekvienam po viena vaisių – obuolį arba kriaušź. Tada iš teiginio “Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kriaušź” neseka teiginys “Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kiekvienas vaikas gavo kriaušź”. Juk vieni vaikai gavo obuolius, kiti – kriaušes.

Predikatų logikoje iš vienų dėsnių išvedami kiti dėsniai, remiantis dvejybiškumo principu. Konjunkcija ir disjunkcija, kvantoriai ir vadinami dvejybiškais. Be to, dvejybiški taip pat simboliai ir . Ženklas vadinamas atvirkštine implikacija. Jei implikacijoje ir p seka q, tai atvirkštinėje implikacijoje iš q seka p. Dvejybiškumo principo esmė yra ta, kad nustatoma, jog išraiška, kurioje yra bendrumo kvantorius x ir konjunkcija, lygiavertė išraiškai, kurioje: 1) bendrumo kvantorius pakeičiamas egzistavimo kvantoriumi; 2) konjunkcija pakeičiama disjunkcija; 3) implikacija pakeičiama atvirkštine implikacija.

Taikant dvejybiškumo princip¹ bendrumo kvantoriaus išskaldymui konjunkcijoje, reikia pakeisti, konjunkcija pakeisti disjunkcija (V). Gauname egzistavimo kvantorius išskaldym¹ disjunkcijoje:

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris turi savybź F arba savybź G” lygiavertė išraiškai “Yra toks x, kuris turi savybź F arba savybź G” lygiavertė išraiškai “Yra toks x, kuris turi savybź F arba yra toks x, kuris turi savybź G”.

Bendrumo kvantoriaus išskaldymas implikacijoje:

Skaitome: “Kiekvienas x, jei x turi savybź F, tai x turi savybź G”. Iš to seka, kad, jei kiekvienas x turi savybź F, tai kiekvienas x turi savybź G”.

Šis dėsnis rodo, kad atskirais atvejais atsiranda tam tikras skirtumas tarp žodžių “kiekvienas” ir “visi”. Panagrinėkime tokį atvejį. Tam tikras skaičius asmenų nutarė persikelti per upź kiaura valtimi. Situacij¹ galima nusakyti taip: kiekvienas, kuris įsės į valtį [F(x)], nuskźs kartu su ja [G(x)]. Vadinasi, jei jie visi kartu susės į valtį [x F(x)], tai jie visi kartu nuskźs su valtimi [x G(x)]. Iš tiesų, jei valtis neišlaikys vieno žmogaus, tai ji neišlaikys ir visų į j¹ įsėdusių. Tačiau atvirkštinė implikacija negalima. Gali būti teisinga tai, kad jei jie visi kartu sės į valtį, tai visi nuskźs kartu su ja. Tačiau gali būti klaidinga, kad kiekvienas, kuris atskirai sės į valtį, nuskźs kartu su ja.

Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus išskaidym¹ implikacijoje, negali būti.

Patyrinėsime kvantorių jungimo dėsnis. Jie nurodo, kaip kvantorius iškeliamas už skliaustų.

Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje:

Šis dėsnis lengvai gaunamas iš bendrumo kvantoriaus išskaidymo konjunkcijoje dėsnio, sukeitus vietomis jo lygiavertes dalis.

Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus jungim¹ konjunkcijoje, negali būti, nes egzistavimo kvantorius išskaidymo konjunkcijoje dėsnis suformuluotas ne kaip lygiavertiškumas, bet kaip implikacija. Žinome, kad implikacijos antecendentas ir konsekventas negali būti sukeisti vietomis.

Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybź F arba kiekvienas x turi savybź G, tai kiekvienas x turi savybź F arba savybź G.

Tarkime, kad kiekvienas mūsų grupiokas keliavo baidarėmis Molėtų ežerais arba mūsų grupiokas keliavo Žeimena. Iš čia seka, kad kiekvienas mūsų grupiokas keliavo Molėtų ežerais arba Žeimena. Tačiau iš išraiškos negalima išvesti išraiškos Pvz., teisinga tai, kad kiekvienas medis turi lapus arba spyglius. Tačiau būtų klaidinga teigti, kad kiekvienas medis turi lapus arba kiekvienas medis turi spyglius. Abu šie teiginiai klaidingi, kad ir jų disjunkcija klaidinga.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje:

Šis dėsnis vėlgi gaunamas iš egzistavimo kvantoriaus išskaidymo disjunkcijoje dėsnio, lygiavertiškumo narius sukeitus vietomis.

Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus jungim¹ implikacijoje, negali būti, nes bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje suformuluotas ne kaip lygiavertiškumas.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje:

Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybź F, tai yra toks x, kuris turi savybź G. Iš to seka, jog yra toks x, kad jei x turi savybź F, tai x turi savybź G.

Tarkime, kad yra grupė studentų, kurie laikys logikos egzamin¹. Jei yra studentai, kurie laikys logikos egzamin¹, tai yra studentas (tas ar kitas), kuris geriausiai išlaikys egzamin¹. Iš to seka, kad jei kažkuris studentas laikys egzamin¹, tai jis išlaikys geriausiai.

Visi teiginių logikos dėsniai galioja ir predikatų logikoje, todėl savybių teorijos dėsnius galima išvesti iš teiginių logikos dėsnių. Tuo tikslu teiginių logikos išraiškose kintamuosius p, q, r reikia pakeisti savybių logikos kintamaisiais F(x), G(x), H(x), o loginės konstantos išlieka.

Išraiškoje pakeitź p išraiška F(x), o logines konstantas (dvigub¹ neigim¹ ir lygiavertiškumo ženkl¹) palikź, gauname dvigubo neigimo dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad x neturi savybės F” lygiavertė išraiškai “x turi savybź F”.

Pvz., jei netiesa, kad ši mergina nesimpatiška, tai reiškia, kad ji simpatiška.

Išraiškoje pakeitź p išraiška F(x), o logines konstantas palikź, gauname prieštaravimo dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad netiesa, jog x turi savybź F ir x neturi savybės F.

Pvz., neteisinga teigti, kad kas nors yra protingas ir neprotingas. Toks tvirtinimas tinka kiekvienam objektui.

Išraiškoje pakeitź p išraiška F(x), gauname negalimo trečiojo dėsnį savybių teorijoje.

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad x turi savybź F arba neturi savybės F.

Šitaip savybių teorijos dėsnius išvedant iš teiginių logikos dėsnių, prieš kiekvien¹ savybių teorijos dėsnį rašomas bendrumo kvantorius. Jis parodo, kad tai kas dėsnyje teigiama, tinka kiekvienam x.

Jei teiginių logikos išraiškoje yra ne vienas, bet keli kintamieji, tai kiekvienas iš jų pakeičiame atskira savybių teorijos išraiška. Dėsnyje p pakeitź F(x), q pakeitź G(x), gauname kontrapozicijos dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad jei iš to jog x turi savybź F, seka, kad x turi savybź G, tai iš to, kad x neturi savybės G, seka, jog x neturi savybės F.

Pavyzdys. Kiekvienas, jei jis krepšininkas, tai jis sportininkas. Iš to seka, kad jei jis ne sportininkas, tai jis ir ne krepšininkas.

Savybių teorijos dėsniai iš teiginių logikos dėsnių išvedami ir kitokiu būdu. Teiginių logikos kintamieji p, q, r pakeičiami išraiškomis ir pan. Dėsnyje p pakeitus išraiška o q – išraiška gauname:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybź F, tai yra toks y, kuris turi savybź G. Iš to seka, kad jei netiesa, jog yra toks y, kuris turi savybź G, tai netiesa, kad kiekvienas turi savybź F.

Pakartojimui

Aptarkite vienų kvantorių pakeitimo kitais dėsniais.

Kaip formuluojami bendrumo ir egzistavimo kvantorių išskaidymai ir jungimai konjunkcijoje, disjunkcijoje ir implikacijoje?

Kas yra dvejybiškumas predikatų logikoje ir kaip jo dėka išvedami dėsniai?

Kaip savybių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių?

Pratimai

Remdamiesi kvantorių pakeitimo dėsniais, nustatykite, kokiems teiginiams lygiaverčiai šie teiginiai:

a)      Visi pasiruošėme seminarui.

b)      Netiesa, kad visi pasiruošėme seminarui.

Išraiškai taikydami dvejybiškum¹, išveskite nauj¹ dėsnį.

Teiginių logikos dėsnį paverskite savybių teorijos dėsniu.

4. Išraiškų pertvarkymas savybių teorijoje

Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, iš vienų išraiškų išvedant kitas joms lygiavertes išraiškas.

Dėsniai

rodo, kad kurioje nors išraiškoje kintam¹jį pakeitź kitu kintamuoju, gauname jai lygiavertź išraišk¹. Išraiškoje pakeitź x kintamuoju y, gauname lygiavertź išraišk¹ Keičiant kintam¹jį kitu kintamuoju, reikia pakeitim¹ daryti visoje išraiškoje, kur tas kintamasis bebūtų. Be to, surištų kintamųjų negalima pakeisti surištais. Išraiškos negalima patvarkyti į išraišk¹ . Pirmoje išraiškoje y laisvas kintamasis, o antroje jis pakeičiamas surišta kintamuoju.

Savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad kvantoriai būtų iškelti prieš visus kitus išraišk¹ sudarančius simbolius. Sakoma, kad šitaip pertvarkytu išraiška įgauna normali¹j¹ form¹. Išraiškos normalioji forma ši: . Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savybź F arba y turi savybź G.

Taikant kvantorių lygiavertiškumo dėsnius ir teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad neigimas tektų tik savybėms. Panagrinėkime išraišk¹:

.

Skaitome, netiesa, kad jei yra toks x, kuris turi savybź F, tai kiekvienas y turi savybź G. Taikant šiai išraiškai teiginių logikos dėsnį , gauname:

.

Pritaikź kvantorių lygiavertiškumo dėsnį , gauname:

Gautoje išraiškoje neigimas tenka tik savybėms.

Panašiai išraiškos pertvarkomos ir antroje predikatų logikos dalyje - santykių teorijoje.

Pakartojimui

Kaip vieni kintamieji pakeičiami kitais kintamaisiais?

Kaip pertvarkyti savybių teorijos išraišk¹, kad ji įgautų normali¹j¹ form¹?

Pratimai

Išraiškoje laisv¹ kintam¹jį pakeiskite kitu kintamuoju.

Suteikite normali¹j¹ form¹ išraiškai

Išraišk¹ pertvarkykite taip, kad neigimas tektų tik savybėmis.

5. Formalioji implikacija

Teiginys, tyrintis form¹ “iš to, kad x turi predikat¹ F, visuomet seka, kad x turi predikat¹ G, vadinamas formali¹ja implikacija. Šis apibrėžimas reiškiamas išraiška

Taigi formalioji implikacija reiškiama materiali¹ja implikacija bei bendrumo kvantoriai ir turi ši¹ prasmź: kiekvienas objektas, turintis predikat¹ F, turi ir predikat¹ G.

Čia galimi du atvejai.

Objektų klasė yra baigtinė, ir jos elementai yra žinomi. Tarkime, kad ant prekystalio pateikta 20 prekių. Tada teiginio “Kiekvienas x, jei x yra prekė, gulinti ant prekystalio, tai ji yra lietuviška” teisingumas nustatomas, peržiūrint kiekvien¹ prekź. Vadinasi, šiuo atveju išraiška turi konjunkcijos prasmź: Ši formalioji implikacija teisinga, kai teisingi visi konjunkcijos nariai, t.y. visos atskiros implikacijos.

Objektų x klasė nesuskaičiuojama. Tada formaliosios implikacijos teisingumas negali būti reiškiamas atskirų implikacijų konjunkcija. Teiginio “Kiekvienas x, jei x gyvoji būtybė, tai x būdingas vislumas” teisingumas negali būti nustatytas stebint atskirus atvejus, nes tų atvejų nesuskaičiuojama daugybė”.

Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam iš jungties “jei …, tai” vartojimo variantų. Joje šiek tiek išreiškiamas prasminis antecendento ir konsekvento ryšys.

Pakartojimui

Kas yra formalioji implikacija ir kokiu tikslu ji vartojama?

Kaip nustatomas formaliosios implikacijos teisingumas?

Pratimai

Teiginiui “Visos miesto firmos turi peln¹” suteikite formaliosios implikacijos prasmź.

Aptarkite šio teiginio teisingumo nustatym¹.

SANTYKIŲ TEORIJA

6. Santykių samprata

Savybių teorijoje požymis buvo priskiriamas mažiausiai vienam objektui. Santykių teorija nagrinėja tokius požymius, kuriu negalima priskirti vienam objektui. Mažiausiai turi būti du objektai.

Kalboje gausu žodžių, reiškiančių santykius, pvz.:

daugiau  brolis dovanuoti priežastingumas

lygu  močiutė sukurti judėjimas

skirtingas  bičiulis suvokti ginčas

būti tarp draugas kviesti mainai.

Santykių teorijoje objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Pačius santykius žymėsime didžiosiomis raidėmis R, S. T.

Išraišk¹

xRy

skaitome taip: tarp objektų x ir y yra santykis R. Ši¹ struktūr¹ turi teiginys “Medžiotojas nušovė lapź”:

x R y

Medžiotojas  nušovė lapź.

Kai santykis yra tarp dviejų objektų, jis vadinamas dviviečiu santykiu. Tačiau yra ir tokių santykių, kurie egzistuoja tarp trijų, keturių ir daugiau objektų. Tokiu atveju sakoma, kad santykis yra trijų, keturių vietų ir t.t. Jei savybės yra vienviečiai predikatai (požymiai), tai santykiai yra daugiaviečiai predikatai (požymiai).

Teiginyje “Panevėžys yra tarp Vilniaus ir Šiaulių” santykis “būti tarp” reikalauja trijų objektų. Panevėžį pažymėjź raide x, Vilnį – y, Šiaulius – z, šį teiginį užrašome formule

R(x, y, z)

Skaitome: tarp objektų x, y, z yra santykis R.

Žodis “duoti” taip pat reiškia trivietį santykį: kas nors duoda k¹ nors kam nors, pvz., tėvas duoda vaikui kriaušź. Terminas “prekyba” – keturvietis santykis: kas nors kam nors k¹ nors parduoda už tam tikr¹ kain¹. Taigi prekės pirkimas yra keturvietis santykis, kuri sudaro pirkėjas, pardavėjas, prekė ir pinigai, sumokami už prekź.

Daugelis požymių, kurie laikomi savybėmis, pasirodo tikrumoje es¹ ne savybės bet santykiais. Kai sakoma, kad poelgis x geresnis už poelgį y, tai griežtai tariant, toks teiginys netiksliai suformuluotas. “Būti geresniu” yra trijų vietų santykis: x geresnis už y z atžvilgiu, t.y. poelgis x geresnis už poelgį y esamų moralei normų požiūriu.

Loginių santykių teorijoje pagrindinis santykis yra santykis tarp dviejų objektų, žymimas išraiška xRy.

Santykių teorijoje plačiai vartojami kvantoriai. Panagrinėkime šias išraiškas:

x studijuoja geriau už y.

x atkūrė y.

Šios išraiškos yra ne teiginiai, bet propozicinės funkcijos. Santykių teorijoje ir propozicinių funkcijų teiginiai sudaromi panašiai, kaip ir savybių teorijoje. Paprasčiausias būdas propozicinź funkcij¹ paversti teiginiu yra kintamųjų dydžių pakeitimas konkrečių objektų vardais, pvz.:

Vytautas studijuoja geriau už Marytź.

Lietuvių tauta atkūrė nepriklausomybź.

Antras būdas propozicinź funkcij¹ paversti teiginiu – susiejimas kvantoriais:

(x studijuoja geriau už y).

(x atkūrė y).

Šiuos teiginius skaitome taip:

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x studijuoja geriau už y.

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x atkūrė y.

Tai teisingi teiginiai, nes kiekvienoje grupėje gali būti du studentai, iš kurių vienas studijuoja geriau už kit¹; yra daug tautų, kurios atkūrė savo nepriklausomybź.

Santykių teorijoje, kaip ir savybių teorijoje, propozicinės funkcijos gali būti susiejamos įvairiais kvantoriais. Išraiška Vy (xRy) skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R. Trumpiau galima sakyti taip: kiekvienas x yra santykyje R su kiekvienu y. Tegul R reiškia “sukelti, x – “priežastis”, y – “pasekmė”. Skaitome: kiekvienai priežasčiai ir kiekvienai pasekmei teisinga, kad priežastis sukelia pasekmź.

Išraiška (xRy) skaitome: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R. Pvz., yra žmonių, kurie … pavydūs.

Jei išraišk¹ susiejantys kvantoriai vienodi, tai juos galima sukeisti vietomis. Ar parašysime (xRy), ar (xRy), nuo to išraiškos esmė nepasikeis. Tačiau jei išraišk¹ susiejantys kvantoriai nevienodi, tai jų sukeisti vietomis negalima, nes, sukeitus vietomis, pakinta išraiškos prasmė.

Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kuriose ne visi kinttamieji susieti, pasitaiko ir laisvų kintamųjų. Išraiškoje (xRy) kintamasis x surištas, o kintamasis y laisvas.

Pakartojimui

K¹ nagrinėja santykių teorija?

Kiek objektų santykis gali apimti?

Kaip santykių teorijoje vartojami kvantoriai?

Pratimai

Kurie iš pateiktų žodžių reiškia savybes ir kurie – santykius:

a)      gyventi kaimynystėje;

b)      mylėti;

c)      būti geru specialistu.

Kiek objektų reikalauja šie santykiai:

a)      diskusija;

b)      vienareikšmiškumas;

c)      kaltinti;

d)      sugriauti.

Perskaitykite išraišk¹ (xRy) ir x bei y pakeiskite konkrečiais objektais, o santykį R konkrečiu santykiu taip, kad gautumėte teising¹ teiginį.

7. Veiksmai su santykiais

Su loginiais santykiais atliekami tam tikri veiksniai.

Santykio neigimas

Santykį neigiant, virš santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišk¹

xy

skaitome: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y nėra santykio R.

Teiginyje “Netiesa, kad Sovietų S¹jungoje buvo ginamos žmogaus teisės” nurodoma, kad tarp šių objektų tokio santykio nebuvo.

Santykio konversija

Kai xRy yra bet koks santykis, tai xRy konversija yra santykis, kuris atsiranda tarp x ir y. Santykio konversija žymima simboliu R ir išreiškiama formule

XRy~yRx.

Santykio “x yra y tėvas” konversija – tai santykis “y yra x sūnus”. Santykio “Marytė myli Jon¹” konversija – “Jonas yra “Marytės mylimas”. Taigi, jei santykį reiški¹s žodis yra veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiam¹ja … (pasyvu).

Tam tikro santykio konversijos konversija yra pradinis santykis:

R ~ R.

Santykio “x lengvesnis už y” konversija – santykis “y sunkesnis už x”; santykio “y sunkesnis už x” konversija – santykis “x lengvesnis už y”.

Pažymėtina, kad konversijos neigimas nieko nekeičia:

Skaitome: konversijos neigimas lygiavertis konversijos neigimui.

Galima konversuoti ir santykį konjunkcij¹ ir disjunkcij¹. Pvz.:

RVS~(xRyVxSy)~(yRxVySx).

Tegul R žymi santykį “suvalgyti”, o S santykį “pagaminti”. Sudarome teiginį “x suvalgė y arba x pagamino y”. Jį konversavź, gausime: “y buvo x-so suvalgytas arba y buvo x pagamintas”.

Santykyje xRy visi objektai x sudaro šio santykio sritį, o visi objektai y sudaro santykio R konversinź sritį. Santykio sritį ir konversinź sritį sudaro vienarūšiai arba nevienarūšiai objektai. Santykyje “x draugauja su y” santykio sritį ir konversinź sritį sudaro vienarūšiai objektai – žmonės. Tuo tarpu santykyje “Inžinieriai sukūrė nauj¹ mobiliųjų telefon¹” santykio sritį sudaro žmonės, o konversinź sritį – kitos rūšies objektai – elektroniniai įrenginiai. Santykio sritis ir konversinė sritis sudaro santykio lauk¹.

Santykio sudėtis

Dviejų santykių sudėtinis nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas iš santykių R, S. Santykių sudėtis žymima simboliu È. Išraiška

R È S

skaitoma: santykis R sudedamas su santykiu S. Detaliai santykių sudėtis reiškiama formule:

xRyÈxSy.

Santykių sudėtis suprantama taip, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas sudėdamų santykių. Vadinasi, ženklas È čia reiškia t¹ patį, k¹ ir silpnoji disjunkcija teiginių logikoje:

(RÈS)~(xRyVxSy).

Santykis “būti tėvais” yra santykių “būti tėvu” (R) ir “būti motina” (S) sudėtis. Tai reiškia: x yra y tėvas arba x yra y motina. Jei k¹ nors laikome x tėvas, tai turi būti arba x tėvas, arba x motina. Santykių “būti draugu” (R) ir “būti pažįstamu” (S) sudėtis reiškia, kad x yra y draugas arba x yra y pažįstamas.

Santykių daugyba

Dviejų santykių daugyba nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra abu santykiai R ir S. Santykių daugybe žymima ženklu . Išraiška

R S

skaitoma: santykis R dauginamas su santykiu S. Detaliau santykių daugyba užrašoma taip:

xRy xSy.

Sudauginus santykius “būti jaunesniu” (R) ir “būti draugu” (S), gauname: x jaunesnis už y ir x yra y draugas. Taigi ženklas reiškia t¹ patį, k¹ ir konjunkcija teiginių logikoje:

(R S)~(xRy xSy).

Sudauginź santykius “dirbti geriau” (R) ir “dirbti greičiau” (S), gauname: x dirba geriau už y ir x dirba greičiau už y. Pvz., naujai sukurtas kompiuteris dirba geriau ir greičiau už sen¹.

Santykių sudėtis ir daugyba tarpusavy skiriasi. Sudedant du santykius, laikoma, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas sudedamų santykių. Dauginant du santykius, laikoma, kad tarp objektų x ir y yra abu santykiai. Jei santykį “pažinti” sudėsime su santykiu “patikti”, gausime: x pažįsta y arba x patinka y. Jei šiuos du santykius dauginsime, gausime: x pažįsta y ir x patinka y.

Santykių kompozicija

Santykių kompozicija iš dviejų santykių sudaromas naujas sudėtinis santykis. Santykiai “senas kolega”, “tėvo brolis” ir pan. gaunami santykių kompozicijos būdu.

Santykių kompozicija žymima taip:

R S

Santykių kompozicija – veiksmas, kuriuo nustatomas santykis tarp objektų x ir y, remiantis jų santykiais su objektu z:

xR Sy~x(xRz zSy)

Teiginį, kad tarp x ir y yra santykiai R ir S, užrašome: xR; Sy. Tokiu atveju egzistuoja objektas z, su kuriuo x yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y:

xRz zSy.

Skaitome: x yra santykyje R su z, o z yra santykyje S su y.

Tegul R reiškia “būti dukra”, o S – “būti seserimi”. Tada pateikt¹ santykį kompozicijos formulź skaitome: x yra z dukra, o z yra y sesuo. Vadinasi, x yra y sesers dukra. Sukomponavź santykius “dukra” ir “sesuo”, gavome nauj¹ santykį “sesers dukra”.

Tegul R reiškia “pažįstamas”, o S – “draugas”. Sukomponavź šiuos du santykius, gauname: x yra z pažįstamas, o z yra y draugai; vadinasi, x yra y draugo pažįstamas.

Galima santykių kompozicijos konversija:

xRz zSy~zSy xRz~ySz zRx.

Tegu R žymi santykį “būti mokytoju” S – “būti vyresniuoju draugu”. Kompozicijos “x yra mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas” konversija bus tokia: “y yra x mokinio jaunesnysis draugas”. Tegu x žymi Sokrat¹, y – Aristotelį, z – Platon¹. Teiginio “Sokratas yra Platono mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas” konversija yra teiginys “Aristotelis yra Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas”.

Pakartojimui

Kaip santykis neigiamas?

Kas yra santykio konversija?

Apibūdinkite santykių sudėtį ir daugyb¹, nusakykite skirtum¹ tarp šių veiksmų.

Kas yra santykių kompozicija?

Pratimai

Suraskite santykio konversija: “Pirkėjas susipažino su nauju butu”.

Kaip sukomponuoti santykį “brolio sūnus”?

Išsprźskite uždavinį: Sigutei dukart daugiau metų, negu Birutė jų turės tada, kai Zinai bus tiek, kiek Sigutei dabar. Kuri vyriausia, vidurinė ir jauniausia?

8. Specialios loginės santykių savybės

Nors pasaulyje begalė objektų ir santykių tarp jų, tačiau santykiai turi tikrų savybių, kurias ir išnagrinėsime.

REFLEKSYVUMAS. Refleksyviniu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame santykyje su pačiu savimi. Refleksyvumo santykis užrašomas

xRx.

Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvus, nes kiekvienas objektas lygus pats sau, tapatus pats sau ir pan.

Nerefleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas nėra tame santykyje su savim pačiu. Nerefleksyvumo santykis užrašomas

xx.

Būti sunkesniu, vyresniu, kaimynu, kolega – nerefleksyvūs santykiai, niekas negali būti paties savźs kolega ir pan.

SIMETRIŠKUMAS. Simetrišku vadinamas toks santykis, kai būdamas tarp objektų x ir y, jis yra tarp objektų y ir x. Simetriškumo santykis užrašomas

xRy yRx.

Santykis “stovėti greta” simetriškas, nes jei x sėdi greta y, tai y sėdi greta x. Skirtumo santykis taip pat simetriškas: x skiriasi nuo y; o y skiriasi nuo x.

Jei santykio, kuris yra tarp objektų x ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas

xRy yx.

Santykiai “būti tėvu”, “būti protingesniu” – nesimetriški: jei x yra y tėvas, tai y yra sūnus arba duktė; jei x sunkesnis už y, tai y lengvesnis už x. Kartais negalima pasakyti ar santykis simetriškas, ar nesimetriškas. Pvz., jei x myli y, tai jokiomis logikos priemonėmis nenustatysi, ar y myli x, ar nemyli.

TRANZITYVUMAS. Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų y ir x, yra taip pat tarp objektų x ir z. Tranzityvumo santykis užrašomas

(xRy yRz) xRz.

Santykiai “lygus”, “didesnis”, “aukštesnis” – tranzityvūs: jei x įvyko ankščiau už y, o y įvyko ankščiau už z, tai x įvyko ankščiau už z.

Netranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų y ir z, nesti tarp objektų x ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas

(xRy yRz) xz.

Pvz., jei x yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai x jau ne z tėvas, bet senelis. Kartais vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pvz., jei x yra y bičiulis, o y yra z bičiulis, tai visai neaišku, ar x yra z draugas.

VIENAREIKŠMIŠKUMAS. Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris nors santykis. Kiekvienas turi tik vien¹ tėv¹ ir vien¹ motin¹, tuo tarpu pastarieji gali turėti ir daugiau vaikų.

Vienareikšmiu vadinamas toks santykis, kai santykyje xRy kiekvien¹ objekt¹ y atitinka tik vienas objektas x. Santykis “x yra y pirmasis mokytojas” – vienareikšmis. Kiekvienas (y), pirm¹ kart¹ atėjźs į mokykl¹, turi savo pirm¹jį mokytoj¹ (x). Tačiau pirmasis mokytojas turi ne vien¹ mokinį, bet vis¹ klasź.

Vienareikšmiškumo santykis užrašomas

(xRy yRz) (x = z).

Jei x yra y tėvas, tai y yra x sūnus ir x = z, nes y negali turėti vien¹ tėv¹.

Abipusiai vienareikšmis santykis yra tada, kai santykyje xRy kiekvien¹ objekt¹ y atitinka tik vienas objektas x, ir atvirkščiai: kiekvien¹ objekt¹ x atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje “M. Mažvydas išleido pirm¹j¹ lietuvišk¹ knyg¹” išreikštas … vienareikšmis santykis. … žiniomis, pirm¹j¹ lietuvišk¹ knyg¹ išleido vienas asmuo – M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M. Mažvydas išleido vienintelź pirm¹j¹ lietuvišk¹ knyg¹.

Yra santykių, kurie turi kelias specialias ligines savybes. Skirtumo santykis yra nerefleksyvus, simetriškas; lygybės santykis refleksyvus, simetriškas, tranzityvus.

Pakartojimui

Koks santykis vadinamas refleksyviu, nerefleksyviu?

Koks santykis vadinamas simetrišku, nesimetrišku?

Kas yra tranzityvumas, netranzityvumas?

Koks santykis vadinamas vienareikšmiu, abipusiai vienareikšmiu?

Pratimai

Išsprźskite uždavinį:

Danutė, Janina, Birutė, Bronius, Domas ir Tomas kartu mokėsi universitete, ir trejas vestuves šešetas nutarė iškelti taip pat kartu. Kas k¹ vedė, jei žinoma, kad Tomas – Danutės brolis. Jis vyresnis už Dom¹. Birutė – vyriausia iš merginų. Bendras kiekvienos poros amžius visų vienodas, tačiau metai skirtingi. Domui ir Janinai kartu tiek pat metų, kiek jų turi Bronius ir Danutė.

9. Tapatybės santykis

Tapatybės santykis turi svarbi¹ reikšmź moksluose ir įvairiose technologijų bei gyvenimo srityse. Tapatybź galima nagrinėti dviem požiūriais – ontologiniu ir loginiu. Ontologiniu požiūriu nagrinėjama objektų ir reiškinių tapatybė. Loginiu požiūriu nagrinėjama minčių tapatybė. Tiek ontologiniam, tiek ir loginiam tapatybės aspektui būdingi bendri bruožai, kuriuos ir panagrinėsime.

Kalboje tapatybė reiškiama įvairiai:

x tapatus y.

x toks pat, kaip y.

x lygus y, ir pan.

Yra keli tapatybės dėsniai. Pagrindinis tapatybės dėsnis formuluojamas taip: x tapatus y, jei ir tik jei x turi kiekvien¹ požymį, kurį turi y, ir y turi kiekvien¹ požymį, kurį turi x.

Kitaip tariant, x tapatus y, jei ir tik jei x visi jų požymiai bendri jiems abiems. Tapatybź pažymėjź ženklu = , požymius – raide Q, pagrindinį tapatybės dėsnį užrašome taip:

(x = y) ~ Q [Q(x) ~ Q (y)].

Skaitome: x tapatus y, jei ir tik jei kiekvien¹ požymį Q, kai jį turi objektas x, tai jį turi objektas y, ir priešingai.

Vadinasi, jei objektas x turi kokį nors požymį, o objektas y jo neturi, tai x skirtingas nuo y.

Nesunku suprasti, kad tokių objektų, kurių visi požymiai būtų tie patys, tikrovėje nėra. Absoliučiai tapačių objektų negali būti dėl …. pasaulio įvairovės. Sakoma, kad nėra dviejų tapačių lapų ant medžio. Absoliuti tapatybė yra abstrakcija, sudaryta atsyjant nuo tikrovės. Realiai egzistuoja ne absoliučiai, bet santykiniai tapatūs objektai, t.y. objektai, kuriuo nors atžvilgiu turintys tuo pačius požymius.

Iš pagrindinio tapatybės dėsnio išvedamas kitas svarbus tapatybės dėsnis: kiekvienas objektas tapatus pats sau. Šis dėsnis užrašomas taip

x = x.

Dėl šio dėsnio būna įvairių nuomonių. Kildavo teisėtas klausimas, kaip objektai išsaugo savo tapatybź, jei jie kinta, vystosi. Jau Herakleitas teigė, kaip žinote, kad gamtoje nieko nėra pastovaus. P a n t a z e i - štai Herakleito principas. Herakleitas sako – du kart į t¹ pači¹ upź neįbristi. Kitas graikų filosofas Kratilas nuėjo dar toliau – į t¹ pači¹ upź ir vien¹ kart¹ neįbrisi. Nes brendant upė keičiasi Upė netapati pati sau. Kratilas moki, kad reikia susilaikyti nuo sprendimų apie daiktus. Nes, pasak Kratilo, pradėjus k¹ nors teigti apie daikt¹, daiktas kinta, vadinasi, baigus sakyti, daiktas jau kitas. Tegalima pirštu rodyti į daikt¹.

Akivaizdu, Kratilo samprotavimai, neišlaiko sveiko proto kritikos, nes daiktams kintant, juose visuomet išlieka pastovumo momentai. Juose daiktai išlaiko savo kokybinį ir kiekybinį saik¹ – apibrėžtum¹. Kitaip tariant, jie nenustatź buvź tuo, kas jie yra, t.y. tapatūs sau.

Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas m¹styme yra loginis tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati pati sau. Šis dėsnis užrašomas taip

A = A,

kur A reiškia koki¹ nors mintį.

Iš šio dėsnio seka, kad tame pačiame samprotavime s¹vokos, teiginiai turi būti vartojami vienareikšmiškai. Diskusija gali būti nevaisinga todėl, kad diskutuojančios pusės neišaiškina, ar tuo pačiu žodžiu supranta skirtingus ar tuos pačius objektus.Štai pavyzdys: mokinys klausia mokytojo, ar galima bausti už tai, ko nepadarei. Mokytojas atsako, kad ne. tada mokinys prašo jo nebausti už tai, kad jis neparuošė pamokos. Mokytojas …, kad klausdamas mokinys žodį “nepadarė” vartoja prasme “nepadarė ir neprivalo daryti”. Tuo tarpu mokinys, prašydamas nebausti, žodį “nepadarė” vartoja prasme “nepadarė, bet privalėjo padaryti”.

Pakartojimui

Kokiais dviem požiūriais tapatybė nagrinėjama?

Apibūdinkite tapatybės dėsnį.

Kaip suprantamas loginis tapatybės dėsnio aspektas?

Kodėl s¹vokas ir teiginius samprotavimuose reikia vartoti vienareikšmiškai?

Pratimai

Ar žodis “Petras” vienareikšmiškai pavartotas:

a)      Petras yra vyras;

b)      Petras yra vardas.

Kodėl antras sakinys netaisyklingai parašytas?

2. Suraskite klaidų šiame samprotavime: Lapė – plėšrūnė. Lapė - …. žodis. Vadinasi, kai kurie … žodžiai – plėšrūnai.

10. Santykių teorijos dėsniai

Santykių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių.

Išraiškoje pakeitź p xRy, o logikos konstantas palikź, gauname dvigubo neigimo dėsnį santykių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad tarp x ir y nėra santykio R” lygiavertė išraiškai “Tarp x ir y yra santykis R”.

Pvz., jei netiesa, kad doktorantas nebaigė rašyti disertacijos, tai šitai reiškia, kad doktorantas baigė rašyti disertacija.

Išraiškoje pakeitź p xRy, gauname negalimo trečiojo dėsnį santykį teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R arba tarp jų santykio R nėra.

Jei teiginių išraiškoje yra ne vienas, bet keli kintamieji, tai kiekvienas iš jų pakeičiamas atskira santykių teorijos išraiška: p pakeičiamas xRy, q pakeičiamas xSy ir t.t. Pvz., kontrapozicijos dėsnis santykių teorijoje reiškiamas taip: Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad jei tarp jų yra santykis R, tai tarp jų yra santykis S; iš to seka, kad jei tarp x ir y nėra santykio S, tai tarp jų nėra santykio R. Pvz., apie bet kuriuos du žmones teisinga pasakyti, kad iš to, jei jie broliai, tai jie giminės, seka, kad jei jie ne giminės, tai jie ne broliai.

Santykių teorijos dėsniai išvedami taip pat iš savybių teorijos dėsnių, savybes pakeičiant santykiais.

Pakartojimui

Kaip santykių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių?

Pratimai

Paaiškinkite, kaip išvedamos šios išraiškos:

1)

2)

11. Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais

Santykiai gali būti:

Tarp individų, pvz., “Jonas aukštesnis už Petr¹”.

Tarp objektų klasių, pvz., “Šitos komandos žaidėjai aukštesni, negu anos”.

Tarp pačių santykių, pvz., “Verčiau ubagas, negu vargas”.

Nors predikatų logikoje skiriame savybes (vienviečius predikatus) ir santykius (daugiaviečius predikatus), tačiau šis skirtumas ne absoliutus. Pačius santykius galima laikyti savybėmis, būtent, savybėmis sutvarkytų objektų dvejetų, trejetų, ketvertų ir t.t. Antai santykis “būti vedusiam” gali būti aiškinamas kaip savybė, kuri¹ atitinka sutvarkytas dvejetas – vyras, moteris. Tada predikatas “vedźs” priskiriamas vyriškiui.

Tai, kad objektų dvejetas, trejetas, ketvertas ir t.t. yra sutvarkytas duotojo santykio atžvilgiu, reikia, jog šiuo santykiu galima susieti ne bet kokius objektus, o tik išdėstytus tam tikra tvarka. Pvz., santykį “daugiau” atitinka skaičių pora 2, 1. Ji ir yra sutvarkyta šio santykio atžvilgiu. O pora 1, 2 šio santykio neišpildo, nes 1>2 – klaidinga. Panašiai santykis “būti ištekėjusiai” reiškia savybź, kuri¹ atitinka dvejetas – moteris, vyras.

Pakartojimui

Kodėl skirtumas tarp savybių ir santykių ne absoliutus?

K¹ reiškia, kad objektų dvejetas, trejetas ir t.t. yra sutvarkytas kurio nors santykio atžvilgiu?

12. Išsprendžiamumo problema predikatų logikoje

Ankščiau nagrinėjome, kaip teiginių logikoje galima sprźsti išsprendžiamumo problem¹ kiekvienos išraiškos atžvilgiu, teikiant matricų metod¹ arba suteikus normali¹j¹ form¹. Visai kas kita predikatų logikoje. Predikatų logikoje nėra kokio nors bendro metodo išsprendžiamumo problemai sprźsti. Nei savybių teorijoje, nei santykių teorijoje nėra bendro metodo nustatyti, ar tam tikra išraiška visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga, ar ji kartais teisinga. To priežastis – predikatų logikos sudėtingumas. Predikatų logikoje nagrinėjami sudėtingesni loginiai veiksmai, negu teiginių logikoje. Tiesa, atskirose predikatų logikos srityse egzistuoja metodai išsprendžiamumo problemai sprźsti. Tačiau sudėtingesniais atvejais, nustatant predikatų logikos išraiškos teisingumo reikšmź, reikia nemaža patyrimo ir sumanumo.

Pasaulis – neišsemiama įvairiausių objektų su skirtingiausiomis savybėmis tikrovė, todėl jos neįmanoma aprėpti viena logine išsprendžiamumo procedūra. Išsprendžiamumo teorija predikatų logikoje kuriama atskiroms objektų sritims.

Predikatų logikos formulė vadinama išpildoma kokioje nors objektų srityje, jei jos predikatinius kintamuosius F, G, R, S … pakeitus tam tikrais konkrečiais predikatais ir laisvus individinius kintamuosius x, y, z… pakeitus tam tikrais individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu.

Predikatų logikos formulė vadinama visuomet teisinga, arba bendrareikšme, kokioje nors objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais tos objektų srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu.

Predikatų logikos formulė vadinama, visuomet teisingu, arba bendrareikšme, bet kurioje objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais tos objektų srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu.

Pateiktuose apibrėžimuose numatoma, kad predikatų logikos formulėse nėra individualius objektus žyminčių simbolių.

Išraiška , žinoma, ne visuomet teisinga, ne bendrareikšmė, nes ne bet kurie predikatai ir individualūs objektai j¹ paverčia teisingu teiginiu. Tuo tarpu išraiška visuomet teisinga bet kurioje objektų srityje.

Jei formulė Q kokioje nors srityje ne visuomet teisinga, tai toje srityje išpildoma. Jei formulė kokioje nors srityje neišpildoma, tai formulė Q toje srityje visuomet teisinga.

Išsprendžiamumo problema predikatų logikoje laikoma išsprźsta, jei yra metodas, kuris įgalina nustatyti, kokiose objektų srityse kiekviena formulė išpildoma arba esti visuomet teisinga ir kokiose – ne. efektyvi išsprendimo priemonė predikatų logikoje yra aksiominis dedukcinis metodas, kurio struktūra aiškinama vėliau.

Pakartojimui

Apibūdinkite išsprendžiamumo problem¹ predikatų logikoje.

Kada predikatų logikos formulė išpildoma?

Kada predikatų logikos formulė bendrareikšmė kurioje nors objektų srityje ir bet kurioje objektų srityje?

Pratimai

Ar išraiška išpildoma kokioje nors srityje?

Kokiose srityse išraiška yra bendrareikšmė?

13. Predikatų logikos taikymas filosofijoje

Baigiant nagrinėti predikatų logik¹, trumpai paliesime jos panaudojim¹ samprotavimams nagrinėti. Yra geras pavyzdys, parodantis kaip gali pasitarnauti predikatų logika sprendžiant problem¹, dėl kurios buvo tiek daug ginčijamasi. Senovės filosofas Zenonas Elėpėtis įrodinėjo, kad, nagrinėdami kūno judėjim¹, prieiname prieštaravim¹ m¹styme. Kadangi prieštaravimų m¹styme neturi būti, tai protas negali įrodyti kūnų judėjimo. Zenonas sako, kad strėlė iš taško A pasiekia tašk¹ B per tam tikr¹ laik¹. Pažymėkime t¹ laik¹ t₁ – t₂. Per šį laik¹ strėlė turi pereiti tarpinius taškus, esančius tarp A ir B. Kiekvienu laiko t₁ – t₂ momentu strėlė turi būti kuriame nors tarpiniame taške. Tai, kad strėlė yra kokiame nors tarpiniame taške, reiškia, kad ji tuo laiko momentu (nors ir labai trumpu) yra rimtyje, t.y. nejuda. Išeina, kad judėjim¹ sudaro rimties būvių suma, o tai aiškiai klaidinga. Iš čia Zenonas daro išvad¹, kad strėlės judėjimo protas negali įrodyti.

Šį Zenono samprotavim¹ galima užrašyti predikatų logikos terminais. Įnešime šiuos žymėjimus:

a – judas kūnas (strėlė).

T – bet kuris laiko t₁ – t₂ momentas.

m – bet kuris erdvės taškas.

Teiginį, kad kiekvienu laiko t₁ – t₂ momentu yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti, užrašome:

(a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T).

Tačiau iš to dar neseka, kad strėlė laiko tarpu t₁ – t₂ yra rimties būvyje. Strėlė per laik¹ t₁ – t₂ būtų rimties būvyje tuo atveju, jei iš teiginio “Bet kuriuo laiko t₁ – t₂ momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti” būtų galima išvesti teiginį “Yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t₁ – t₂ momentu T”. Šį antr¹ teiginį užrašysime

(a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T).

Vadinasi, Zenono įrodinėjimas, kad strėlė nejuda, būtų teisingas, jei būtų teisinga implikacija [(a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T)] (a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T).

Tačiau kaip tik ši implikacija nėra teisinga, nėra logikos dėsnis. Iš teiginio

(a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T)

negalima išvesti teiginio

(a yra taške m laiko t₁ – t₂ momentu T).

Toks antecendento kvantorių sukeitimas vietomis konsekvente neleistinas.

Išraiška

nėra predikatų logikos dėsnis. Tačiau predikatų logikos dėsnis yra išraiška

Pagal ši¹ išraišk¹, nagrinėjant strėlės keli¹ erdvėje, tegalima pasakyti: iš teiginio “Yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t₁ – t₂ momentu T” seka teiginys “Bet kuriuo laiko t₁ – t₂ momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti”. Tačiau iš to neseka išvada, kad strėlė laiko tarpu t₁ – t₂ yra rimtyje. Vadinasi, Zenono Elijiečio samprotavime, kad strėlė nejuda slypi tiesiog loginė klaida. Pateiktas pavyzdys rodo, koki¹ naud¹ gali teikti simbolinės kalbos vartojimas vietoj įprastinės kalbos.

LOGINIŲ KLASIŲ TEORIJA

1. Loginė klasė ir jos struktūra

Teiginių logika ir predikatų logika rodo, kad teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais požiūriais. Jei, pvz., teiginį “Kiekvienas lietuvis yra žmogus” nagrinėsime savybių teorijos požiūriu, tai jame atrasime bendrumo kvantorių objekt¹, jo savybes “būti lietuviu” ir “būti žmogumi”. Tačiau teiginį “Kiekvienas lietuvis yra žmogus” galima nagrinėti ir kitu požiūriu. Galima tirti, kokie objektai sudaro lietuvių ir žmonių visum¹, kiek tokių objektų yra, kokie jų tarpusavio santykiai.

Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus požymius.

„žuolas, beržas, klevas, uosis ir t.t. sudaro loginź klasź “medžiai”, nes jie visi turi bendrus požymius: yra augalai, turi šaknis, kamien¹, lapus ir t.t. Žodžiai “eiti”, “bėgti”, “skristi”, “nešti” ir t.t. sudaro loginź klasź “veiksmažodžiai” dėl to, kad turi bendr¹ požymį – yra veiksmo pavadinimai. Krepšininkai, futbolininkai, imtynininkai ir kt. Sudaro loginź klasź “sportininkai”.

Logikos požiūriu, pasaulio objektai egzistuoja ne kas sau,ne atskirai, bet sudaro tam tikras klases. Todėl pasaulis suvokiamas kaip loginių klasių visuma.

Loginės klasės dar vadinamos loginėmis aibėmis

Objektai, sudarantys klasź, vadinami loginės klasės elementais. Kiekvienas atskiras veiksmažodis yra klasės “veiksmažodžiai” elementas, kiekvienas atskiras žmogus yra klasės “žmonės” elementas.

Loginės klasės sudaro ne tik elementai, bet ir elementų deriniai. Elementų deriniai, sudarantys loginź klasź, vadinami poklasiais. Klasź “žmonės” sudaro ne tik atskiri žmonės – Jonas, Marytė, Liubomiras ir t.t. – bet ir poklasiai – lietuviai, islandai, kinai ir t.t

Ta pati klasė gali būti klase poklasiu. Tai priklauso nuo to, su kokia klase t¹ klasź lyginame. Jai laikysime, kad klasź “krepšininkai” sudaro atskiri žaidėjai (pvz., Sabonis, Jautokas ir kt.), tai visuma “krepšininkai” yra loginė klasė. Visuma “krepšininkai” yra klasė ir tuo atveju, kai j¹ nagrinėjame kaip susidedanči¹ iš atskirų poklasių, pvz.: “Žalgirio”, “Lietuvos rytos” krepšininkai. Jei klasź “krepšininkai” nagrinėsime ryšium su klase “sportininkai”, tai šiuo atveju krepšininkai yra klasės “sportininkai” poklasis. Klasź “sportininkai” sudaro daug poklasių – krepšininkai, futbolininkai, imtynininkai ir pan. Taigi klasėje “sportininkai” kur kas daugiau elementų, negu klasėje “krepšininkai”, kuri yra klasės “sportininkai” poklasis.

Elementus žymėsime mažosiomis alfabeto raidėmis: x, y, z. Klases ir poklasius žymėsime didžiosiomis raidėmis: A, B, C. Elemento priklausym¹ klasei žymėsime simboliu . Išraiška

x A

skaitoma: x yra klasės A elementas; x priklauso klasei A, ir pan.

Teiginys “Sviprlytė yra studentė” loginių klasių teorijoje užrašomas išraiška x A , kurioje x žymi Svirplytź, A – studentus, žymi x priklausym¹ klasei A.

Poklasio įskyrim¹ į klasź žymėsime simboliu . Išraiška

A B

skaitoma: klasė A įskiriama į klasź B; A yra klasės B poskyris.

Teiginys “Krepšininkai yra sportininkai” klasių teorijoje užrašomas išraiška A B , kur A žymi krepšininkus, o B – sportininkus.

Pagal elementų skaičių klasės būna trejopos.

1. Klasės, kurias sudaro daug elementų. Tokios klasės gali turėti apibrėžtų ir neapibrėžtų elementų skaičių. Klasių “Valstybės – Europos s¹jungos narės”, “Lietuvos Respublikos apskritys” elementai tiksliai suskaičiuojami. Klasė “Vingio parko medžiai 2004 m.” taip pat apibrėžta, nes Vingio parke 2004 m. auga tam tikras medžių skaičius. Žinoma, nežinia ar jis tiksliai suskaičiuotas. Klasės “sveikieji skaičiai”, “taškas”, “atomas” sudaro neapibrėžtas elementų skaičius: visuomet galima atsirasti sveik¹ skaičių, didesnį už duot¹jį; pasaulis begalinis, todėl ir atomų skaičius begalinis.

Žodis “daug” klasių teorijoje reiškia, kad jei klasź sudaro bent du elementai, tai toji klasė priskiriama toms klasėms, kurias sudaro daug elementų. Čia priskiriamas ir tos klasės, kurių elementų skaičius griežtai neapibrėžtas – pvz., klasė “vaikai”. K¹ priskirti šiai klasei – tai priklauso nuo samprotaujančio asmens. Kitos tokios klasės: “protingi”, “gražūs”, “garbingi” ir pan. 

2. Klasės, kurias sudaro vienas elementas. Klasź “Ilgiausia Lietuvos upė” sudaro vienas elementas – Nemunas. Klasės, kurios sudaro vienas elementas, gramatiškai gali būti formuluojamos ir daugiskaitoje, pvz., “Asmenys, parašź pirm¹j¹ lietuvišk¹ knyg¹”. Kadangi tokių asmens tebuvo vienas (M. Mažvydas), tai ši¹ klasź sudaro vienas elementas. Panašūs formulavimai daugiskaitoje leistini ir teisėti, ypač tada, kai dar nežinoma klasės elementų skaičius.

3. Klasės, kurios neturi vieno elemento. Tokios klasės vadinamos nulinėmis arba tuščiomis. “Amžinasis variklis”, “bevaikės motinos duktė”, “mažiausias iš lygiųjų” – tai nulinės klasės, nes jose pažymėtų objektų tikrovėje nėra. Nulinės yra ir socialinės psichologijos klasės: “lemtis”, “stebuklas” ir pan. Nulinės klasės dažnai vadinamos fikcijomis, klaidingomis s¹vokomis. Logikoje nulinė klasė žymima simboliu O.

Nulinź klasź galima apibrėžti kaip klasź, kurios kiekvienas elementas įskiriamas į klasź ir neįskiriamas į klasź A:

Pagal prieštaravimo dėsnį, klasė, kurios kiekvienas elementas būtų įskiriamas į j¹ ir neįskiriamas, negalima, taigi tokia klasė neturi elementų. Nulinź klasź galima suprasti ir kaip klasź objektų, kurie netapatūs patys sau (tuo pačiu tokia klasė neturi elementų, nes kiekvienas objektas yra tapatus pats sau).

Nulinių klasių nedera painiuoti su idealizuotais objektais, tokiais kaip “taškas”, “absoliučiai kietas kūnas”, “absoliučiai juodas kūnas – juodoji dėžė” ir pan. Tikrai, tokių objektų realioje tikrovėje nėra, tačiau yra šių idealizuotų objektų prototipai: juodi kūnai, kieti kūnai ir t.t. Tokie idealizuoti objektai gaunami idealizavimo procese ir naudojami moksliniame diskurse bei turi euristinź vertź.

Visiška priešingybė nulinės klasės yra universalioji klasė. J¹ sudaro visi objektai tos srities, kuri¹ turime galvoje sprźsdami vienas ar kitas problemas. Kai orientuojama kokia nors klase, ji visuomet m¹stoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Operuojant klase “pasakos”, ši klasė vartojama objektų srityje “tautosaka”; orientuojant klase “poezijos kūriniai” ši klasė vartojama objektų srityje “grožinės literatūros kūriniai”. Objektų sritis (universalioji klasė), kurios ribose vyksta samprotavimas, gali plėstis arba siaurėti. Universalioji klasė žymima skaičiumi 1.

Pakartojimui

Kas yra loginė klasė?

K¹ vadiname klasės elementais, poklasiais?

Kaip klasės skirstomas pagal elementų skaičių?

Kas yra universalioji klasė?

Pratimai

Suskirstykite klases pagal elementų skaičių:

Studentų mokslinės konferencijos dalyviai.

Inžinieriai, kurie kartu yra vadybininkai.

Rašytojai, parašź knyg¹ “Don Kichotas”.

Lietuviai lakūnai, pirmieji perskridź Atlant¹.

2. Izomorfizmas ir homomorfizmas

Izomorfizmas (graikų kalbos i s o s – “vienodas”, m o r p f i e – “forma”) ir homomorfizmas (graikų kalbos h o m o i o s – “panašus”) yra svarbūs klasių ir santykių požymiai.

Jei tarp klasės A ir klasės B elementus nustatytas toks atitikimas, kad kiekvien¹ klasės A element¹ atitinka tik vienas klasės B elementas ir kiekvien¹ santykį klasėje A atitinka tik vienas santykis klasėje B, o kiekvien¹ klasės B element¹ atitinka tik vienas klasės A elementas ir kiekvien¹ santykį klasėje B atitinka tik vienas santykis klasėje A, tai toks atitikimas vadinamas abipusiai vienareikšmiu, arba izomorfiniu, atitikimu

Jei auditorijoje yra 25 stalai ir 25 studentai ir už kiekvieno stalo sėdi po vien¹ student¹, tai auditorijoje esančių stalų klasė ir studentų klasė yra izomorfinės. Kiekvien¹ stal¹ atitinka tik vienas studentas, kiekvien¹ student¹ atitinka tik vienas stalas, ir erdvinius santykius tarp stalų atitinka erdviniai santykiai tarp studentų. Jei kambaryje yra 10 vyrų, kurių visi yra su švarkais ir nėra nė vieno kitaip apsirengusio, tai vyrų klasė ir švarkų klasė yra izomorfinės.

Izomorfizmas – svarbi bendramokslinė s¹voka, nurodanti, kad dviejų sistemų struktūros tam tikru atžvilgiu vienodos.

Galima pateikti begalź izomorfizmo pavyzdžių: muzikos kūrinys ir …, ir t.t. ir t.t.

Matome, kad izomorfizmas susijźs ne su visomis objektų santykiais, o tik su kai kuriais. Kitais požymiais objektai gali skirtis. Dvi klasės gali būti izomorfinės vienais požymiais ir neizomorfinės kitais.

Izomorfizmo s¹vokos apibendrinimas yra homomorfizmas. Homomorfizmas – tai nepilnas izomorfizmas, t.y. atitikimo vienareikšmiškumas tik viena kryptimi: kiekvien¹ klasės A element¹ atitink¹ tik vienas klasės B elementas ir kiekvien¹ santykį klasėje A atitinka tik vienas santykis klasėje B.

Tarkime, kad yra grupė žmonių (pvz.- 3), pragyvenusių įvairų metų skaičių: pirmasis – 21, antrasis – 19. Atitinkama jų amžiaus skaitinė išraiška yra 21>20>19. Asmenų pragyventų metų didėjimo santykis su t¹ didėjim¹ išreiškiančių skaičių santykiu yra ne izomorfinis, bet homomorfinis. Mat santykį 21>20>19 atitinka ne tik minimi trys asmenys, bet ir begalė kitų žmonių ir objektų.

Jei klasės A objektams x, y, z… išpildomos šios klasės santykis R, tai klasės B objektams x’, y’, z’… išpildomas B klasės santykis R’, atitinkantis santykį R. klasės B objektai ir santykiai vadinami klasės A objektų ir santykių homomorfiniu atvaizdu. Kadangi, kiekvienas izomorfizmas kartu yra ir homomorfizmas, bet ne priešingai, tai nurodyt¹ s¹lyg¹ turi patenkinti ir izomorfizmas.

Homomorfinis originalo atvaizdas yra nepilnas, apytikris originalo struktūros pavaizdavimas. …. automobilio modelis yra homomorfinis būsimo automobilio pavaizdavimas.

Homomorfizmo s¹voka išreiškia atitinkamo santykį tarp tikrovės ir jos pažinimo, aprašymo tais ar kitais terminais bei teorijomis. Jei teorija teisinga, tai jos teiginius atitinka faktui, realiai esantys tikrovėje. Kita vertus, atrandami faktai fiksuojami teorijos teiginiais. Betgi pasaulio pažinimo pilnumas ir tikslumas visuomet yra santykiniai, dėl to atitikimas tarp realaus pasaulio objektų ir jų atvaizdų m¹styme yra homomorfinis.

Izomorfizmo ir homomorfizmo s¹vokų paskirtis – pertvarkyti apie objektus gaunam¹ informacij¹ (kurioje kartu su esminiais požymiais būna ir neesminių, netralinių požymių), suteikiant jai … ir patogi¹ form¹.

Pakartojimui

Kas yra izomorfizmas?

Kas yra homomorfizmas?

Kokia šių s¹vokų paskirtis?

Pratimai

Ar izomorfinės šios klasės:

Studentai grupėje, jų …..

Kairės rankos ir dešinės kojos pirštai