Plokštumos afininių transformacijų grupė

Plokštumos afininių transformacijų grupė

Tegul turime plokštum¹ Π. Plokštumos bijektyvus atvaizdis f i j¹ pači¹ vadinamas plokštumos transformacija . Jeigu turime kokį nors plokštumos Π tašk¹ M, į kurį transformacija f atvaizduoja į tašk¹ : (), tai jis vadinamas taško M vaizdu. Taškas M vadinamas taško M’ pirmavaizdžiu.

Sakykime, kad turime dvi plokštumos transformacijas f ir g:

Jeigu transformacija , o transformacija , tai transformacija, kuri tašk¹ M atvaizduoja į tašk¹ yra vadinama transformacijų f ir g kompozicija. Žymima: .

Jei f ir g yra dvi plokštumos transformacijos, tai jų kompozicija taip pat yra bijekcija, t.y. ji yra plokštumos transformacija.

Sakykime ir . Kadangi f yra bijekcija, tai į tašk¹ atvaizduoja, nes vienintelis taškas M. Vadinasi, galime apibrėžti transformacij¹ , kuri tašk¹ atvaizduoja į tašk¹ M: Ji taip pat yra bijekcija, ir vadinama transformacijos f atvirkštine transformacija. Taigi, bet kuri plokštumos transformacija turi atvirkštinź transformacij¹, kuri taip pat yra plokštumos transformacija.

Akivaizdu, kad transformacija , kuri kiekvien¹ plokštumos tašk¹ M atvaizduoja į jį patį, irgi yra plokštumos transformacija ir vadinama tapating¹ja transformacija.

Aišku, kad bet kuriai transformacijai yra teisingos: ir .

Bet kokių trijų transformacijų kompozicijai yra teisingas asociatyvumo dėsnis: . Iš tikrųjų: ;

Tuomet akivaizdu, kad:

Imame:

Kadangi M yra bet koks plokštumos Π taškas, tai iš čia gauname, . Iš pateiktų savybių išplaukia, kad plokštumos Π visų transformacijų aibė, kurioje yra apibrėžta transformacijų kompozicijos operacija yra grupė, transformacijų kompozicijos atžvilgiu. Tapatinga transformacija vaidina grupės vienetinio elemento vaidmenį.

Jeigu turime plokštumos figūr¹, tai figūros vaizdu, atliekant transformacij¹ f, vadiname aibź taškų, kurie yra figūros Ф taškų vaizdai:

Figūra Ф vadinama invariantine transformacijos f atžvilgiu, jeigu ji atvaizduojama pati į save.

Tegul afininėje plokštumoje yra duotas afininis reperis . Tuomet kiekvienas plokštumos taškas A turi koordinates: , . Jei, atlikus koki¹ tai plokštumos transformacij¹ f, taškas A atvaizduojamas į tašk¹ A’ su koordinatėmis tame pačiame reperyje, tai ir .

APIBRĖŽIMAS. Plokštumos transformacija yra vadinama plokštumos afinine transformacija, jeigu kiekvieno jos taško vaizdo koordinatės tiesiškai išsireiškia per taško M koordinates tokiu būdu:

              (1)

čia yra skaičiai ir determinantas

Pažymėkime: , , tai .

Tuomet (1) formules galima užrašyti: . Kadangi , tai matrica A yra vadinama afininės transformacijos matrica.

Dabar įrodysime, kad visų plokštumos afininių transformacijų aibė yra grupė transformacijų kompozicijos atžvilgiu. Sakykime, kad:

Šių afininių transformacijų kompozicija yra taip apibrėžta: . Parodysime, kad kompozicija yra afininė transformacija. Jei transformacijos f yra matrica , o transformacijos g matrica ir , tai transformacij¹ f matriciniu būdu galime užrašyti taip:

( 2 ), o transformacija g yra:

( 3 )

Norint užrašyti kompozicijos koordinatinź išraišk¹, reikia matric¹ X” išreikšti per matric¹ X. Įstatź į lygybź ( 3 ) matricos X’ išraišk¹ ( 2 ) gausime:

Kadangi matricų daugyba yra asociatyvi, tai: . Pažymėjź, , gausime: , kuri, aišku, turi tokį pat pavidal¹, kaip ir matrica A. Be to, kadangi f ir g yra afininės transformacijos, tai ir . Tuomet, pagal matricų sandaugos determinanto formulź, gauname, kad ir , o tai reiškia, kad transformacija yra afininė. Tokiu būdu įrodėme, kad dviejų afininių transformacijų kompozicija yra afininė transformacija, o jos matrica yra lygi tų transformacijų matricų sandaugai.

Sakykime turime afininź transformacij¹

. (5)

Tuomet egzistuoja  jai atvirkštinė transformacija:

Įrodysime, kad ji yra afininė. Norint rasti atvirkštinės transformacijos koordinatinź išraišk¹, reikia išreikšti per . Abi lygybės puses iš kairės dauginame iš . Matrica egzistuoja, nes . Tuomet gauname: , t.y. turime: , kur . Iš gauname, kad: , ir matrica X turi tokį patį pavidal¹ kaip ir (5) išraiškoje, nes ir . Vadinasi transformacja f^(-1) irgi yra afininė transformacija.

Aišku, kad plokštumos tapatinga transformacija irgi yra afininė transformacija, kuri¹ galime užrašyti taip . Jos matrica yra vienetinė matrica E, kurios determinantas nelygus nuliui.

Taigi, tapatinga transformacija taip pat yra afininė transformacija.

Mes įrodėme, kad bet kurioms trims plokštumos transformacijoms yra teisingas asociatyvumo dėsnis. Aišku, kad jis teisingas ir bet kurioms trims afininėms plokštumoms. Iš įrodyto seka, kad afininių transformacijų aibė yra grupė transformacijų kompozicijos atžvilgiu. Ji vadinama plokštumos afinine grupe ir žymima .

Afininė transformacija f, kurios matricos A yra vadinama tiesiogine afinine transformacija, o kurios – vadinama netiesiogine afinine transformacija. Aišku, kad visų tiesioginių afininių transformacijų aibė yra grupė, kuri¹ žymime . Netiesioginių transformacijų aibė nėra grupė, nes dviejų netiesioginių transformacijų kompozicija yra tiesioginė transformacija.

Afininė transformacija f yra vadinama ekviafinine, jeigu jos matricos A determinantas . Ekviafininės transformacijos sudaro grupź, žymim¹ . Transformacija f, kurios matricos , determinantas yra vadinamas unimoduliarine transformacija. Aišku, kad unimoduliarinės transformacijos sudaro grupź, kuri žymima ir vadinama plokštumos unimoduliarine grupe. Visos afininės transformacijos, kurios tašk¹ X atvaizduoja į tašk¹ taip: , vadinamos centro afininėmis transformacijomis.

Jeigu , , tai ir . Kadangi f ir g yra centro afininės transformacijos, tai ir jų kompozicija centro afininė transformacija. Jeigu , tai ir tuomet, centro afininei transformacijai atvirkštinė transformacija f^(-1) irgi yra centro afininė transformacija. Tapatinga transformacija id irgi yra centro afininė transformacija. Taigi centro afininių transformacijų aibė yra grupė , vadinama taško X stabilizatoriumi. Visos išvardintos transformacijų grupės yra afininių transformacijų grupės pogrupiai.