Plokštumos afininiø transformacijø grupë

Plokštumos afininiø transformacijø grupë

Tegul turime plokštum¹ Π. Plokštumos bijektyvus atvaizdis f i j¹ paèi¹ vadinamas plokštumos transformacija . Jeigu turime koká nors plokštumos Π tašk¹ M, á kurá transformacija f atvaizduoja á tašk¹ : (), tai jis vadinamas taško M vaizdu. Taškas M vadinamas taško M’ pirmavaizdžiu.

Sakykime, kad turime dvi plokštumos transformacijas f ir g:

Jeigu transformacija , o transformacija , tai transformacija, kuri tašk¹ M atvaizduoja á tašk¹ yra vadinama transformacijø f ir g kompozicija. Žymima: .

Jei f ir g yra dvi plokštumos transformacijos, tai jø kompozicija taip pat yra bijekcija, t.y. ji yra plokštumos transformacija.

Sakykime ir . Kadangi f yra bijekcija, tai á tašk¹ atvaizduoja, nes vienintelis taškas M. Vadinasi, galime apibrëžti transformacij¹ , kuri tašk¹ atvaizduoja á tašk¹ M: Ji taip pat yra bijekcija, ir vadinama transformacijos f atvirkštine transformacija. Taigi, bet kuri plokštumos transformacija turi atvirkštinê transformacij¹, kuri taip pat yra plokštumos transformacija.

Akivaizdu, kad transformacija , kuri kiekvien¹ plokštumos tašk¹ M atvaizduoja á já patá, irgi yra plokštumos transformacija ir vadinama tapating¹ja transformacija.

Aišku, kad bet kuriai transformacijai yra teisingos: ir .

Bet kokiø trijø transformacijø kompozicijai yra teisingas asociatyvumo dësnis: . Iš tikrøjø: ;

Tuomet akivaizdu, kad:

Imame:

Kadangi M yra bet koks plokštumos Π taškas, tai iš èia gauname, . Iš pateiktø savybiø išplaukia, kad plokštumos Π visø transformacijø aibë, kurioje yra apibrëžta transformacijø kompozicijos operacija yra grupë, transformacijø kompozicijos atžvilgiu. Tapatinga transformacija vaidina grupës vienetinio elemento vaidmená.

Jeigu turime plokštumos figûr¹, tai figûros vaizdu, atliekant transformacij¹ f, vadiname aibê taškø, kurie yra figûros Ф taškø vaizdai:

Figûra Ф vadinama invariantine transformacijos f atžvilgiu, jeigu ji atvaizduojama pati á save.

Tegul afininëje plokštumoje yra duotas afininis reperis . Tuomet kiekvienas plokštumos taškas A turi koordinates: , . Jei, atlikus koki¹ tai plokštumos transformacij¹ f, taškas A atvaizduojamas á tašk¹ A’ su koordinatëmis tame paèiame reperyje, tai ir .

APIBRËŽIMAS. Plokštumos transformacija yra vadinama plokštumos afinine transformacija, jeigu kiekvieno jos taško vaizdo koordinatës tiesiškai išsireiškia per taško M koordinates tokiu bûdu:

              (1)

èia yra skaièiai ir determinantas

Pažymëkime: , , tai .

Tuomet (1) formules galima užrašyti: . Kadangi , tai matrica A yra vadinama afininës transformacijos matrica.

Dabar árodysime, kad visø plokštumos afininiø transformacijø aibë yra grupë transformacijø kompozicijos atžvilgiu. Sakykime, kad:

Šiø afininiø transformacijø kompozicija yra taip apibrëžta: . Parodysime, kad kompozicija yra afininë transformacija. Jei transformacijos f yra matrica , o transformacijos g matrica ir , tai transformacij¹ f matriciniu bûdu galime užrašyti taip:

( 2 ), o transformacija g yra:

( 3 )

Norint užrašyti kompozicijos koordinatinê išraišk¹, reikia matric¹ X” išreikšti per matric¹ X. Ástatê á lygybê ( 3 ) matricos X’ išraišk¹ ( 2 ) gausime:

Kadangi matricø daugyba yra asociatyvi, tai: . Pažymëjê, , gausime: , kuri, aišku, turi toká pat pavidal¹, kaip ir matrica A. Be to, kadangi f ir g yra afininës transformacijos, tai ir . Tuomet, pagal matricø sandaugos determinanto formulê, gauname, kad ir , o tai reiškia, kad transformacija yra afininë. Tokiu bûdu árodëme, kad dviejø afininiø transformacijø kompozicija yra afininë transformacija, o jos matrica yra lygi tø transformacijø matricø sandaugai.

Sakykime turime afininê transformacij¹

. (5)

Tuomet egzistuoja  jai atvirkštinë transformacija:

Árodysime, kad ji yra afininë. Norint rasti atvirkštinës transformacijos koordinatinê išraišk¹, reikia išreikšti per . Abi lygybës puses iš kairës dauginame iš . Matrica egzistuoja, nes . Tuomet gauname: , t.y. turime: , kur . Iš gauname, kad: , ir matrica X turi toká patá pavidal¹ kaip ir (5) išraiškoje, nes ir . Vadinasi transformacja f^(-1) irgi yra afininë transformacija.

Aišku, kad plokštumos tapatinga transformacija irgi yra afininë transformacija, kuri¹ galime užrašyti taip . Jos matrica yra vienetinë matrica E, kurios determinantas nelygus nuliui.

Taigi, tapatinga transformacija taip pat yra afininë transformacija.

Mes árodëme, kad bet kurioms trims plokštumos transformacijoms yra teisingas asociatyvumo dësnis. Aišku, kad jis teisingas ir bet kurioms trims afininëms plokštumoms. Iš árodyto seka, kad afininiø transformacijø aibë yra grupë transformacijø kompozicijos atžvilgiu. Ji vadinama plokštumos afinine grupe ir žymima .

Afininë transformacija f, kurios matricos A yra vadinama tiesiogine afinine transformacija, o kurios – vadinama netiesiogine afinine transformacija. Aišku, kad visø tiesioginiø afininiø transformacijø aibë yra grupë, kuri¹ žymime . Netiesioginiø transformacijø aibë nëra grupë, nes dviejø netiesioginiø transformacijø kompozicija yra tiesioginë transformacija.

Afininë transformacija f yra vadinama ekviafinine, jeigu jos matricos A determinantas . Ekviafininës transformacijos sudaro grupê, žymim¹ . Transformacija f, kurios matricos , determinantas yra vadinamas unimoduliarine transformacija. Aišku, kad unimoduliarinës transformacijos sudaro grupê, kuri žymima ir vadinama plokštumos unimoduliarine grupe. Visos afininës transformacijos, kurios tašk¹ X atvaizduoja á tašk¹ taip: , vadinamos centro afininëmis transformacijomis.

Jeigu , , tai ir . Kadangi f ir g yra centro afininës transformacijos, tai ir jø kompozicija centro afininë transformacija. Jeigu , tai ir tuomet, centro afininei transformacijai atvirkštinë transformacija f^(-1) irgi yra centro afininë transformacija. Tapatinga transformacija id irgi yra centro afininë transformacija. Taigi centro afininiø transformacijø aibë yra grupë , vadinama taško X stabilizatoriumi. Visos išvardintos transformacijø grupës yra afininiø transformacijø grupës pogrupiai.