CATEGORII DOCUMENTE
Afaceri Calculatoare Casa masina Didactica pedagogie Diverse Educatie Finante Geografie Istorie & politica Legislatie Limba Management Sanatate Tehnologie

Bulgara	Ceha slovaca	Croata	Engleza	Estona	Finlandeza	Franceza
Germana	Italiana	Letona	Lituaniana	Maghiara	Olandeza	Poloneza
Sarba	Slovena	Spaniola	Suedeza	Turca	Ucraineana

įstatymai	įvairių	Apskaitos	Architektūra	Biografija	Biologija	Botanika	Chemija
Ekologija	Ekonomika	Elektra	Finansai	Fizinis	Geografija	Istorija	Karjeros
Kompiuteriai	Kultūra	Literatūra	Matematika	Medicina	Politika	Prekyba	Psichologija
Receptus	Sociologija	Technika	Teisė	Turizmas	Valdymas	vietimas

TEIGINIŲ LOGIKA

matematika

+ Font mai mare | - Font mai mic


DOCUMENTE SIMILARE

TEIGINIŲ LOGIKA

Kaip ir kiekvien¹ moksl¹, taip ir logik¹ sudaro visa eilė teorijų. Pagrindinė logikos teorija yra teiginių teorija. Teiginių teorija svarbi tuo, kad jos dėsningumai galioja ir kitose logikos teorijose.

Teiginių logika yra logikos teorija, aikinanti teiginių ryius, gaunamus loginių konstantų “ne”, “ir”, “arba”, :jei…,tai”, “jei ir tik jei…, tai” pagalba.

TEIGINIAI IR GRAMATINIAI SAKINIAI

Teiginiu vadinamas bet koks sakinys, kuris yra arba teisingas arba klaidingas. Kalbiniai teiginiai gali turėti įvairiausias reikmes: jie gali būti tikėtini, neapibrė˛ti, galimi, norimi, laukiami ir pan. - neisemiama nekamosios kalbos įvairovė. Teiginių logikoje teiginiai turi tik dvi reikmes – jie gali būti arba teisingi arba klaidingi. Teisingumas ir klaidingumas vadinami teiginio reikmėmis.

Teiginių pavyzd˛iai: “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, “Dabar diena” ir pan.

Loginiai teiginiai skiriasi nuo gramatinių sakinių. Ne visi nekamosios kalbos sakiniai gali būti laikomi teiginiais, nes ne visi gramatiniai sakiniai gali būti teisingi arba klaidingi. Tarkime, klausiamieji sakiniai nėra nei teisingi nei klaidingi. “Kaip gyveni?”. Tegalima kalbėti, ar klausimas keliamas teisingai ar klaidingai. “Ar Veneroje populiarus Repas?” Klausimas keliamas neteisingai, nes jis suponuoja: a) Veneroje yra protingos būtybės, b) jos ˛ino Rep¹, c) venerėčiai muzikuoja. Tiesa yra tai, kad Repas negali būti atliekamas Veneroje.

Nėra teisingi nei klaidingi ir skatinamieji, liepiamieji sakiniai: “Siek iminties“, “Nepasiduok tinguliui“, “Noriu namo”. Čia reikiami ˛mogaus norai, nuotaikos, jausmai ir pan. Teiginių logika į tai visai nekreipia dėmesio. Tačiau klausiamųjų, skatinamųjų, liepiamųjų sakinių loginė analizė visai galima. Klausimus, komandas, vertinimus tiria atitinkamos logikos sritys, su kuriomis susipa˛insime vėliau.

Logikoje teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama, ar yra ka˛kas ar nėra, ar objektai turi ar neturi tam tikrų po˛ymių. Tiesioginiuose sakiniuose nurodoma, ar yra tam tikri faktai ar jų nėra. Tokie tiesioginiai sakiniai yra arba teisingi arba klaidingi, todėl jie ir yra teiginiai.

Teiginių logikoje teiginys nedalomas į jokias sudėtines dalis. Jis nagrinėjamas kaip nedaloma visuma. Atskirus teiginius logikoje ˛ymime ma˛osiomis abėcėlės raidėmis: a, b, c, d. Kiekvien¹ atskir¹ teiginį ˛ymime atskira raide.

“Vilnius Lietuvos sostinė” – a,

“Dabar diena” – b.

Pakartojimui

K¹ vadiname teiginiu?

Kokie gramatiniai sakiniai nelaikomi teiginiais, o kokie laikomi?

Ar teiginiai skaidomi į dalis?

Pratimai

Kurie i pateiktų sakinių yra loginiai teiginiai?

Tegul saulė Lietuvoj tamsumas praalina (V. Kudirka)

Kiek dabar valandų?

Kokia gra˛i iandien diena

Profesionalumas yra karjeros pagrindas

2. LOGINIS NEIGIMAS

Loginis neigimas ˛ymimas ˛od˛iais “ne”, “nėra”, “netiesa, kad…”, “klaidinga, kad…”. Teiginio “Auditorijoje yra studentai” neigimas reikiamas taip:

Auditorijoje nėra studentų.

Klaidinga, kad auditorijoje yra studentai.

Netiesa, kad auditorijoje yra studentai.

ie teiginiai lygiaverčiai. nekamojoje kalboje neigimas gali būti reikiamas dar kitais ˛od˛iais: “be”, “iskyrus” ir pan. Teiginys “ˇmogus buvo be lietsargio” lygiavertis teiginiu “ˇmogus buvo pamirźs lietsargį”.

Formalioje logikoje neigimas ˛ymimas simboliu – brūkniu, kuris dedamas vir teiginio. Pa˛ymėjus teiginių raide p, jo neigimas ˛ymimas p ir skaitomas taip: ne – p; netiesa, kad p; klaidinga, kad p.

Kyla klausimas, koks yra santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo p teisingumo po˛iūriu. Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė.

p p

kambaryje yra kėdė kambaryje nėra kėdės

teisinga klaidinga

klaidinga teisinga

Trumpumo dėlei loginio neigimo teisingumo lentelė pateikiama sekančiai:

p p

t k

k t

Raidės t ir k lentelėje yra teiginių “teisinga” ir “klaidinga” ˛enklai. I lentelės matome, kad jei pradinis teiginys p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; ir atvirkčiai, jei teiginys p klaidingas, tai p teisingas. Jei teiginys “Kambaryje yra kėdė” teisingas, tai jo neigimas “Kambaryje nėra kėdės” klaidingas; jei teiginys “Kambaryje yra kėdė” klaidingas, tai jo neigimas “Kambaryje nėra kėdės” teisingas.

Teisingumo lentelės dar kitaip vadinamos – teisingumo matricomis. Jas vadinsime tiesiog matricomis.

Dvigubas neigimas lygiavertis teigimu. is teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu. Jis u˛raomas taip: p ~ p.

Inagrinėkime i¹ iraik¹. J¹ sudaro teiginys p, io teiginio neigimas p , teiginio p neigimas p ir ˛enklas ~, reiki¹s lygiavertikum¹ (ekvivalentikum¹). p reikia suprasti taip: netiesa, kad p teisingas; netiesa, kad p klaidingas; klaidinga, kad p klaidingas.

Vis¹ iraik¹ p p skaitoma taip: teiginys “Netiesa, kad ne – p” lygiavertis teiginiui p.

Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys. Jei iraika visuomet teisinga, tai kintamuosius pakeitus konkrečiais teiginiais, gausime ties¹. Dvigubo neigimo dėsnyje kintam¹jį p reikia pakeisti kokiu nors konkrečiu teiginiu, paliekant nepakitusius dvigub¹ neigim¹ ir lygiavertikumo ˛enkl¹, nes jie yra loginiai pastovūs dyd˛iai. Pakeitź p teiginiu “Medus yra saldus”, iraik¹ p ~ p skaitoma taip: teiginys “Netiesa, kad medus yra nesaldus” lygiavertis teiginiu “Medus yra saldus”. Tai teisinga. Pakeitus p teiginiu “E studijuoja vadyb¹”, iraika p ~ p skaitoma: teiginys “Netiesa, kad E nestudijuoja vadybos” lygiavertis teiginiui “E studijuoja vadyb¹”. Tai taip pat teisinga. Vadinasi, iraikoje p ~ p kintam¹jį p galima pakeisti bet kokiu konkrečiu teiginiu, vis tiek iraika bus teisinga. Taip yra todėl, kad i iraika yra logikos dėsnis.

Logikos dėsniai dar kitaip vadinami bendrareikmėmis iraikomis. Bendrareikmė – tai visuomet teisinga iraika.

Patikrinti, ar iraika yra logikos dėsnis galima grynai loginėmis priemonėmis. Reikia iraikai sudaryti teisingumo lentelź. Dvigubo neigimo dėsnio teisingumo lentelė yra tokia:

p p p ~ p

t k t t

k t k t

Teisingumo lentelź (teisingumo matric¹) sudaro eilutės ir stulpeliai. Virutinėje eilutėje ˛ymimi visi loginiai elementai, sudarantys iraik¹. Dvigubo neigimo dėsnį sudaro: teiginys p, jo neigimas p , teiginio p neigimas p ir lygiavertikumo tarp p ir p nustatymas. Eilučių matricoje yra dvi, nes pradinis teiginys yra vienas – teiginys p. Pirmame matricos stulpelyje pa˛ymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p . I loginio neigimo ˛inome, kad jei teiginys p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas, jei p klaidingas, tai jo neigimas p teisingas. Trečiame stulpelyje p reikmė. Vėl taikome loginio neigimo taisyklź, nes p yra p neigimas. Taigi, jei p klaidingas, tai p teisingas, ir jei p teisingas, p klaidingas. Paskutiniame stulpelyje nustatomas p ~ p teisingumas. Trečiame ir pirmame stulpeliuose pa˛ymėtos teiginių p ir p teisingumo reikmės. ių stulpelių pirma eilutė vienoda – reikmė “teisinga”. Skaitome : reikmė “teisinga” lygiavertė reikmei “teisinga”. Tai tiesa. itai u˛raome paskutinio stulpelio virutinėje eilutėje. Trečio ir pirmo stulpelio antra eilutė taip pat vienoda – “klaidinga”. Tai tiesa ir itai u˛raome paskutinio stulpelio antroje eilutėje. Vadinasi, jei du teiginiai vienodi savo teisingumo reikmėmis, tai jie lygiaverčiai.

I matricos matome, kad iraika p ~ p visais atvejais teisinga (tokių atvejų tėra du). Kadangi p visuomet lygiavertika p, tai dvigub¹ neigim¹ galima nubraukti. Trigubas neigimas lygiavertis neigimui ~ p . Jei teiginyje yra lyginis neigimų skaičius, tai juos visus galima nubraukti, nes jie lygiaverčiai teigimui. Jei teiginyje nelyginis neigimų skaičius, tai jie visi lygiaverčiai vienam neigimui.

Loginis neigimas taikomas loginėje gramatinių sakinių analizėje. Tarkime, turime sakinį “S meluoja, kad draugauja su K” iame sakinyje ireiktos dvi mintys ir būtų netikslu teigti, kad viena j¹ priklauso pagrindiniam sakiniui, kita – alutiniam. Tos dvi mintys yra:

S teigė, kad ji draugauja su K,
S nedraugauja su K.

Logikai ianalizavź gauname sakinį: “S teigia, kad jis draugauja su K, ir S nedraugauja su K”.

Pakartojimui

Kokiais ˛od˛iais reikiamas loginis neigimas ir kaip jis simbolikai ˛ymimas? (“ne”, “nėra”, “netiesa, kad…”, “klaidinga, kad…”)

Kaip sudaroma loginio neigimo teisingumo lentelė?
K¹ teigia dvigubo neigimo dėsnis ir kaip jis patikrinamas?
K¹ vadiname logikos dėsniu?

Pratimai

1. Pateikite ių teiginių neigimus ir nustatykite jų teisingum¹:

a) Kiekvienas kūnas turi masź.

b) Lietuvių kalbos veiksma˛od˛iai kaitomi laikais.

c) Logika tiria ˛mogaus jausmus.

Teiginį “Lietus nebuvo nelauktas” u˛raykite loginiais simboliais ir nustatykite, kokiam teiginiui jis lygiavertis.
Inagrinėkite teiginį “M suklydo teigdamas, kad N sakė neties¹”.

KONJUNKCIJA

Visi teiginiai skirstomi į paprastus ir sudėtinius.

Paprastu teiginiu vadinamas teiginys, kuris į jokius kitus teiginius neskaidomas.

Sudėtiniu teiginiu vadinamas teiginys, sudarytas i kelių paprastų teiginių, sujungtų loginėmis jungtimis.

Loginių jungčių yra keturios: ir; arba; jei …, tai; jei ir tik jei…, tai. iomis jungtimis paprastus teiginius “Namas turi stog¹”, “Sienoje yra durys” jungiame į tokius sudėtinius:

Namas turi stog¹ ir sienoje yra durys.

Namas turi stog¹ arba sienoje yra durys.

Jei namas turi stog¹, tai sienoje yra durys.

Jei ir tik jei namas turi stog¹, tai sienoje yra durys.

Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu būdu, o patyrimu, stebėjimu, eksperimentu. Sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas loginėmis priemonėmis. Sudėtinio teiginio teisingumo reikmė priklauso:

nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikmių;

nuo jį sudarančių loginių jungčių pobūd˛io.

Konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas i kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi “ir”.

Teiginys “iandien dangus apniukźs ir lyja lietus” yra konjunkcinis ir sudarytas i dvejų paprastų teiginių: “iandien dangus apniukźs” (p) ir “Lietus lyja” (q). Turime p ir q. Jungtį “ir” pa˛ymime simboliu “ ” (takas), gauname i¹ konjunkcijos iraik¹:

p q.

Trumpumo dėlei konjunkcinį teiginį vadinsime tiesiog konjunkcija, o teiginius p ir q konjunkcijos nariais.

Konjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar pasakysime p ir q, ar q ir p, nuo to dalyko esmė nepasikeis.

Konjunkcij¹ gali sudaryti ne tik du teiginiai, bet ir daugiau paprastų teiginių. Teiginys “Studentai A, B, C ir D studijuoja informatik¹”. io teiginio struktūra: p ir q ir r ir s.

T. y. – p q r s. Kiek paprastų teiginių besudarytų konjunkcij¹, pagrindinis santykis konjunkcijoje yra santykis tarp dviejų teiginių. Todėl teiginį p q r s pertvarkius į (p q) (r s), turėsime du konjunkcijos narius, kurių kiekvienas – taip pat konjunkcinis teiginys.

Konjunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikmių.

Nustatysime konjunkcijos teisingumo s¹lygas.

p q p q

Namas turi stog¹. Sienoje yra durys. Namas turi stog¹ ir sienoje yra durys.

teisinga teisinga teisinga

teisinga klaidinga klaidinga

klaidinga teisinga klaidinga

klaidinga klaidinga klaidinga

Konjunkcijos matrica atrodys taip:

p q p q

t t t

t k k

k t k

k k k

Pirmuose dviejuose stulpeliuose pa˛ymėti visi galimi paprastų teiginių teisingumo ir klaidingumo atvejai. Tokių atvejų tebus keturi: 1) p teisingas, q teisingas; 2) p teisingas, q klaidingas; 3) p klaidingas, q teisingas; 4) p klaidingas, q klaidingas.

Pirma eilutė po brūkniu: teiginys p teisingas, teiginys q teisingas – konjunkcija p q teisinga (ir t.t. – perskaityti matric¹).

Konjunkcijos taisyklė: konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

Konjunkcija “Namas turi stog¹ ir sienoje yra langas” teisingas tik tuomet, kai namas turi stog¹ ir sienoje tikrai yra langas.

Panagrinėkime…

nekamojoje kalboje konjunkcija reikiama ne tik ˛od˛iu “ir”. Natūrali kalba labai turtinga. Daugeliu atveju loginiu po˛iūriu jungčiai “ir” lygiaverčiai ie gramatiniai jungtukai: “o”, “bet”, “tačiau”, “nors”.

ie teiginiai loginiu po˛iūriu lygiaverčiai: “Algis dar paskaitoje ir eis į pasimatym¹ su Aiste”.

¾ ¾ o ¾ ¾

¾ ¾ bet ¾ ¾

¾ ¾ nors ¾ ¾

¾ ¾ tačiau ¾ ¾

Visi ie teiginiai teisingi tik tada, kai teisingi paprasti juos sudarantys teiginiai. Kartais konjunkcija sudaro ˛odis “kuris”. “Jis susitiko draug¹, kuris skubėjo į paskait¹” (galima pakeisti jungtuku “ir”).

Kalboje kartais konjunkcij¹ ireikia ˛odis “kuris”. “Prie namo stovėjo automobilis, panaus į Opelį” (…, ir jis…). Konjunkcij¹ gali ireikti ir ˛odis “tik”. “Tik Petraitis neilaikė matematikos egzamino”. “Petraitis ilaikė, ir niekas kitas neilaikė”.

¾ ¾ iskyrus ¾ ¾ (visi, iskyrus…)

Konjunkcij¹ taip pat ireikia gramatiniai jungtukai “…nei, nei…”; “kaip, …, taip”; “tai …, tai”, ir pan.

Kad ir kokiomis kalbinėmis priemonėmis būtų ireikta konjunkcija, visais atvejais ji teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

Pakartojimui

Kokį teiginį vadinama paprastu ir kokį sudėtiniu?

Nuo ko priklauso sudėtinio teiginio teisingumas?
Kokį teiginį vadiname konjunkcija?
Kaip sudaroma konjunkcijos teisingumo lentelė?
Kokiomis gramatinėmis priemonėmis konjunkcija ireikiama nekamojoje kalboje?

4. PRIETARAVIMO DĖSNIS

Tai vienas svarbiausiųjų logikos dėsnių. Jis u˛raomas taip:

Skaitome itaip: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas “ne – p” yra kartu teisingi. Prietaravimo dėsnį dar galima nusakyti dar ir taip: teiginys negali būti ir teisingas ir klaidingas.

Iraik¹ sudaro teiginys p, jo neigimas p , teiginių p ir p konjunkcija, ios konjunkcijos neigimas. Iraik¹ pradedame skaityti nuo ilgojo brūknio, reikiančio p p neigim¹: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne – p kartu yra teisingi.

Kadangi iraika yra logikos dėsnis, tai kintam¹j¹ p pakeitus kokiu nors konkrečiu teiginiu, visuomet gauname ties¹. Pakeitź p teiginiu, tarkime, “Studentas S mokosi vadybos fakultete”, iraik¹ skaitome sekančiai: netiesa, kad teiginys “Studentas S mokosi vadybos fakultete” ir jo neigimas “Studentas S nesimoko vadybos fakultete” yra kartu teisingi. Akivaizdu, kad negali būti taip, kad kas nors studijuotų VGTU ir kartu jame nesimokytų.

Norėdami patikrinti, ar iraik¹ yra logikos dėsnis, sudarome jos matric¹:

p p p p

t k k t

k t k t

Pirmame matricos stulpelyje pa˛ymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikmė: jei p teisingas, tai ne – p klaidingas, jei p klaidingas, tai ne – p teisingas. Trečiame stulpelyje nustatomas konjunkcijos p p teisingumo reikmė. ˇinoma, kad konjunkcija teisinga tik tuomet, kai teisingi visi jos nariai. Pirmoje eilutėje p teisingas, bet p klaidingas, todėl konjunkcija p p klaidinga. Antroje eilutėje p klaidingas, p teisingas, todėl ir konjunkcija p p taip pat klaidinga. Paskutiniame lentelės stulpelyje nustatoma teisingumo reikmė. Remiamės loginio neigimo taisykle. Kadangi, yra iraikos p p neigimas, tai iraikai p p esant klaidingai, jos neigimas yra teisingas. Neigiant tai, kas yra klaidinga (trečio stulpelio pirma ir antra eilutė), gauname reikmź “teisinga” (ketvirtojo stulpelio pirma ir antra eilutės). Taigi, iraika yra visuomet teisingas teiginys.

Atkreipiame dėmesį į tai, kad iraika p p visuomet yra klaidinga Taigi, jei mūsų mintys įgaus i¹ form¹, tiesos neprieisime. Teiginys “Studentas S mokosi vadybos fakultete ir studentas nesimoko vadybos fakultete” klaidingas.

Teiginiai p ir p vadinami prietaraujančiais Du teiginiai vienas kitame prietarauja, jei nėra teiginio, kuris patvirtintų juos abu. Logikoje nėra teiginio, kuris patvirtintų ir p ir ne – p.

Prietaravimo dėsnis draud˛ia apie objekt¹ m¹styti prietaringai. Jis nurodo, kad negalima tuo pat metu ir tuo pačiu at˛vilgių k¹ nors apie objekt¹ teigti ir t¹ patį neigti. Negalima suderinti teiginio ir to paties teiginio neigimo. Tai reikia, kad realios tikrovės įvykiai yra neataukiami. Tikrovė nepermaldaujamai vienkartika (… arba yra, arba nėra … - ir viskas).

Visai kas kita virtualinėje tikrovėje… Gal todėl ji taip magikai traukia nebrand˛ias (vadinasi besikratančias atsakomybės) asmenybes. Virtualinė tikrovė ontologikai immorali (lot. – im – ne). Gal čia ir glūdi jos destruktyvaus poveikio ˛mogui itakos…

Prietaravimo dėsnis yra vienas pagrindinių logikos dėsnių, kuriuo privalu visuomet vadovautis savo samprotavimuose.

Prietaravimo dėsnį galima taikyti tik vartojant teiginius p ir p vienu ir tuo pačiu po˛iūriu, viena ir ta pačia prasme. Jei teiginį p vartosime vienu po˛iūriu, o jo neigim¹ p - kitu po˛iūriu, tai prietaravimo dėsnis tokių teiginių at˛vilgiu negalios. Tarkime, pagal prietaravimo dėsnį negali būti laikomi kartu teisingais teiginiai “M yra kambaryje” ir “M nėra kambaryje”. Jei kas nors sako, kad vis tik galima būti kambaryje ir kartu nebūti jame (pavyzd˛iui, gulėti kambaryje ant sofos ir svajonėmis nuklysti į Pary˛ių…), tai akivaizdu, kad teiginiai “M yra kambaryje” ir “M nėra kambaryje” vartojami skirtingomis prasmėmis. Logika reikalauja, kad samprotavimuose vienas ir tas pats teiginys turi būti vartojamas viena ir ta pačia prasme. į reikalavim¹ visuomet reikia prisiminti diskusijoje, sekti, kad io dėsnio grie˛tai laikytųsi ir oponentas.

Prietaravimo dėsnis atspindi tam tikrus (net ontologinius) tikrovės bruo˛us mūsų m¹styme. Tai reikia, kad tikrovės objektai negali kartu ir egzistuoti ir neegzistuoti, turėti kokias nors savybes it jų neturėti. Ji neataukiamai vienkartika.

Pakartojimui

K¹ teigia prietaravimo dėsnis?
Kaip jis u˛raomas ir patvirtinamas?
Kodėl iraika p p yra visuomet klaidinga?

5. DISJUNKCIJA

Disjunkcija ireikiama logine jungtimi “arba”.

Disjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas i kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi “arba”.

Teiginys “Į laboratorij¹ u˛ėjo studentas M arba į laboratorij¹ u˛ėjo studentas N” yra disjunkcinis, sudarytas i dviejų paprastų teiginių: “Į laboratorij¹ u˛ėjo studentas M” (p), “Į laboratorij¹ u˛ėjo studentas N” (q).

Turime: p arba q.

Jungtį “arba” ˛ymime simboliu V. Taigi, disjunkcijos formulė tokia:

p V q.

Teiginys p ir teiginys q vadinami disjunkciniais. Disjunkcinį teiginį trumpumo dėlei vadinsime tiesiog disjunkcija.

Disjunkcijos, kaip ir konjunkcijos, narius galima sukeisti vietomis:

p V q lygiavertika q V p.

Atskiri disjunkcijos nariai – tai alternatyvos. Alternatyva yra vienas galimų atvejų. Teiginį p V q sudaro alternatyva p ir alternatyva q. Disjunkcij¹ gali sudaryti ne tik du, bet ir daugiau paprastų teiginių, t.y. alternatyvų gali būti dvi arba daugiau. “Egzamin¹ galima ilaikyti arba penketui arba eetui arba …”. į teiginį sudaro keli disjunkciniai teiginiai. (…) Kad ir kiek paprastų teiginių sudarytų disjunkcinį teiginį, pagrindinis santykis disjunkcijoje yra santykis tarp dviejų teiginių (alternatyvų).

Jungtis “arba” turi dvi reikmes – grie˛t¹j¹ ir silpn¹j¹. Priklausomai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rūys – grie˛toji disjunkcija ir silpnoji disjunkcija.

Grie˛tojoje disjunkcijoje i kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas.

Grie˛toji disjunkcija ˛ymima simboliu V . Grie˛tosios disjunkcijos matrica yra tokia:

p q p V q

t t k

t k t

k t t

k k k

I matricos matome, kad grie˛toji disjunkcija teisinga tada, kai teisingas yra tik vienas jos narys.

Panagrinėkime klasikinį pavyzdį: mėtant monet¹ į virų, “Ikris herbas arba skaičius”. i¹ disjunkcij¹ patikrinsime teisingumo lentele:

p q p V q

Ikris herbas Ikris skaičius Ikris herbas arba skaičius

t t k

t k t

k t t

k k k

Herbas ir skaičius abu i karto negali ikristi (reikmė “klaidinga” paskutinio stulpelio pirmoje eilutėje). Gali būti, kad ikrinta herbas, o skaičius neikrinta (reikmė “teisinga” paskutinio stulpelio antra eilutė). Gali būti taip, kad herbas neikrinta, o skaičius ikrinta (reikmė “teisinga” trečio stulpelio trečioje eilutėje). Galų gale negali būti taip kad neikrinta nei herbas nei skaičius (reikmė “klaidinga” ketvirtoje eilutėje).

Anksčiau pateiktas teiginys “Egzamin¹ galima ilaikyti arba penketui arba eetui…” yra grie˛toji disjunkcija, nes, egzamin¹ ilaikius, galima gauti tik vien¹ vertinim¹: arba …

Grie˛toji disjunkcija reikia: teisingas tik p arba tik q.

Silpnojoje disjunkcijoje i kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas vienas, tačiau numatoma, kad gali būti įvykdomi ir kiti atvejai. Silpnoji disjunkcija ˛ymima ˛enklu V (be tako viruje).

Silpnosios disjunkcijos matrica yra:

p q p V q

t t t

t k t

k t t

k k k

Tarkime, laikratyje ispausdintas tokio pobūd˛io skelbimas: “Akcinei bendrovei reikalingas vadybininkas, turintis aukt¹jį universitetinį isilavinim¹ arba didelį praktinį patyrim¹”. Panagrinėkime, kokie asmenys patenkins iame skelbime suformuluotas s¹lygas. Jei asmuo, padavźs pareikim¹ vietai u˛imti, turės aukt¹jį universitetinį isilavinim¹ ir didelį praktinį patyrim¹, jis geriausiai atitiks pateiktas s¹lygas (reikmė “teisinga” paskutinio stulpelio pirmoje eilutėje). Jei jis turės aukt¹jį universitetinį isilavinim¹, bet neturės didelio praktinio sta˛o, jis taip pat atitiks skelbimo s¹lygas (reikmė “teisinga” antroje eilutėje). Jei is asmuo neturės auktojo universitetinio isilavinimo, bet turės didelį sta˛¹, jis irgi galės pretenduoti u˛imti viet¹ (reikmė “teisinga” trečioje eilutėje). Ir, pagaliau, jei jis neturės nei diplomo nei sta˛o, tai skelbime nurodytų s¹lygų neatitiks (reikmė “klaidinga” ketvirtoje eilutėje).

Silpnosios disjunkcijos dėsnis: silpnoji disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai.

Samprotavimuose labai svarbu skirti grie˛t¹j¹ ir silpn¹j¹ disjunkcij¹. Teiginį “Egzamine nusirainėjo studentas A arba studentas B” (auditorijoje rasta pargalkė) galima suprasti dvejopai priklausomai nuo to, koki¹ reikmź priskirsime jungčiai “arba”. Jei jungtį “arba” suprasime grie˛t¹ja reikme, tai duot¹jį teiginį turėsime suprasti tik taip, kad nusi˛engė etikai tik vienas studentas – tik A arba B. Jungčiai “arba” priskyrź silpn¹j¹ reikmź, duot¹jį teiginį turėsime suprasti taip, kad nusi˛engė studentas A arba studentas B, arba jie abu. Jei ne˛inosime, ar abu studentai, ar tik vienas i jų nusirainėjo, tai teiginį ir turime formuluoti kaip silpn¹j¹ disjunkcij¹.

Silpnoji disjunkcija yra bendresnio, abstraktesnio pobūd˛io, negu grie˛toji. Todėl loginėse iraikose vartojama silpnoji disjunkcija, nes logikai rūpi sukurti abstrakčius alfabetus, tinkamus vartoti įvairiuose moksluose.

nekamojoje kalboje disjunkcija reikiama ne tik jungtimi “arba”, bet ir kitais ˛od˛iais: “gal …, gal”.

Kasdieninėje kalboje vartojant jungti “arba”, neretai pasireikia psichologiniai faktoriai.

Tarkime, jaunuolis tikisi pabendrauti su panele ir klausia jos, ar ji ateis į diskotek¹. Ji gi atsako ateisianti, jei neivyks į namus. Vėliau nelaimėlis su˛ino, kad jau tuo metu, kai buvo klausiama, ji jau buvo nesprendusi iva˛iuoti bei taip ir padarė. Ir nors formaliai logikai ji kalbėjo teisingai, tačiau tikrumoje melavo… Ech tos panelės.

Pakartojimui

Kokį teiginį vadiname disjunkciniu?

Kada teisinga grie˛toji disjunkcija?

Kada klaidinga silpnoji disjunkcija?

Kuri disjunkcija (silpnoji ar grie˛toji) yra bendresnio pobūd˛io? Kodėl?

6. NEGALIMO TREČIOJO DĖSNIS

Remiantis disjunkcijos ir neigimo taisyklėmis, įrodomas vienas svarbiausių logikos dėsnių, kuris vadinamas negalimo trečiojo dėsniu. Jis u˛raomas formule:

p V p,

kuri skaitoma taip: teiginys p teisingas arba jo neigimas ne – p teisingas – trečios galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnis tradicikai formuluojamas lotynu kalbos posakiu: t e r t i u m

n o n d a t u r (trečios galimybės nėra).

Kadangi iraika p V p yra logikos dėsnis, tai kintam¹jį p pakeitus kokiu nors konkrečiu teiginiu, visuomet gausime ties¹.

Kintam¹jį p pakeitus teiginiu “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, iraik¹ p V p skaitome taip: “Vilnius yra Lietuvos sostinė arba Vilnius nėra Lietuvos sostinė”. Trečios galimybės nėra. I ių teiginių teisingas tėra vienas – arba teiginys p, arba jo neigimas p. Remiantis loginio neigimo taisykle, nustatoma: jei p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; jei p klaidingas, tai jo neigimas p teisingas. I dviejų teiginių teisingas tik vienas, o antras – klaidingas. Tačiau logika negali nustatyti, kuris būtent teiginys teisingas – p ar p. Tam logika neturi priemonių. Tai fakto tiesų (empirinių) nustatymo reikalas. Kuris i dviejų prietaraujančių teiginių teisingas, nustato atskiri mokslai, patyrimas. Logika nustato tik formali¹ bendro pobūd˛io taisyklź: jei turime kokį nors teiginį, tai arba jis teisingas, arba jo neigimas teisingas – trečios galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnio p V p matrica tokia:

p p p V p

t k t

k t t

i matrica sudaryta, remiantis neigimo ir disjunkcijos taisyklėmis. Pirmame stulpelyje nurodyta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje pagal loginio neigimo taisyklź nustatoma p reikmė. Trečiame stulpelyje turime disjunkcij¹ p V p. Pirmoje eilutėje nurodyta, kad vienas ios disjunkcijos narių yra teisingas, o kitas klaidingas. Vadinasi p V p teisinga. Panaiai ir antroje eilutėje. Taigi, paskutiniame stulpelyje gauname tik reikmź “teisinga”; tai rodo, kad iraika p V p logikos dėsnis.

Negalimo trečiojo dėsnį galima u˛rayti, pavartojus ir grie˛t¹j¹ disjunkcij¹: p V p. Tačiau jau esame nurodź, kad silpnoji disjunkcija yra bendresnio pobūd˛io, todėl kaip tik ji vartojama loginėse iraikose.

Kaip ir prietaravimo dėsnis, negalimo trečiojo dėsnis yra vienas pagrindinių dėsnių, nuolat vartojamų samprotavimuose. Tai pamatinis būties ir m¹stymo dėsnis. Jis atspindi (ireikia) t¹ akivaizdų fakt¹, kad koks nors objektas arba egzistuoja arba neegzistuoja, kad jis turi kokius nors po˛ymius arba jų neturi.

Pakartojimui

Kaip formuluojamas trečiojo negalimumo dėsnis?

Kokia formule jis u˛raomas?

Ar logika gali nurodyti, kuris i prietaraujančių teiginių teisingas ir kuris klaidingas?

Pratimai

1. Kuriam i pateiktų pavyzd˛ių taikomas trečiojo negalimo dėsnis?

a) iandien arba lyja arba ne,

b) būti ar nebūti – tai klausimas (V. ekspyras).

2. Ar galima pritarti tokiam samprotavimui: Teiginiui “i gėlė arba geltona arba mėlyna” taikomas negalimo trečiojo dėsnis. Vienas i dviejų – arba teisinga, kad gėlė geltona, arba teisinga, kad ji mėlyna. Trečios galimybės nėra. (Arba abu teiginiai klaidingi, kai, pavyzd˛iui, gėlė – raudona).

7. IMPLIKACIJA

Implikacija ireikiama logine jungtimi “jei…, tai”. Implikacija yra sudėtinis teiginys, sudarytas i dviejų paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi “jei…, tai”.

Teiginys “Jei iandien penktadienis, tai rytoj bus etadienis” yra implikacija, sudaryta i dviejų paprastų teiginių: “iandien penktadienis” (p), “Rytoj etadienis” (q). Turime: jei p, tai q. Jungtį “Jei …, tai” ˛ymėsime ˛enklu Implikacijos formule tokia:

p q.

Pirmasis implikacijos narys p vadinamas antecendentu, o antrasis narys q – konsekventu. Iraika p q skaitoma dvejopai: 1) jei p, tai q; 2) i p seka q. Taigi, implikacijos prasmė ta, kad i antecendento seka konsekventas.

Pateiktas dvejopas iraikos p q skaitymas naudingas tada, kai implikacija teiginyje pasikartoja kelis kartus. Iraika p (q r) skaitoma taip: jei p, tai i q seka r. Skliaustai parodo, kuris teiginys i kurio teiginio seka. Jei skliaustų nebūtų, tai iraik¹ būtų sunku suvokti.

nekamojoje kalboje implikacija reikiama įvairiais ˛od˛iais. Jungties “jei…, tai” teiginyje kartais gali ir nebūti, tačiau teiginys gali turėti implikacijos prasmź. Pvz.: “Laas po lao ir akmenį prat¹o” arba “K¹ pasėsi, t¹ ir pjausi”. Tai tas pat, k¹ teigtume su jungtimi “jei…, tai”. “Jei laės laas po lao, tai ir akmenį prat¹ys”. “Jei k¹ pasėsi, tai t¹ ir pjausi”. Implikacij¹ taip pat ireikia ˛od˛iai “taigi”, “vadinasi”, “reikia” ir pan.

Jungtis “jei…, tai” – sudėtingiausia i visų loginių jungčių. Ji turi daug reikmių, pagal kurias skiriamos implikacijos rūys. Svarbiausios jų yra tokios.

Kauzalinė implikacija ireikia prie˛astinį ryį tarp reikinių. “Jei temperatūra kyla, tai molekulių judėjimas greitėja”. iame teiginyje jungtis “jei…, tai” turi kauzalinės implikacijos reikmź: i p prie˛astingai seka q.

Grie˛toji implikacija ireikia būtin¹ ryį tarp reikinių. Prie˛astiniai ryiai taip pat būtini, tačiau ne visi būtini ryiai yra prie˛astiniai. Pvz.: “Jei skaičius dalijasi i 9, tai jis dalijasi ir i 3”. Čia jungtis “jei…, tai” turi grie˛tosios implikacijos reikmź: i p būtinai seka q.

Formalioji implikacija ireikia ryį tarp objekto ir jo po˛ymio. Teiginyje “Jei A yra ˛mogus, tai jis yra mirtinga būtybė” pasakoma, kad jei kas nors turi po˛ymi “būti ˛mogumi”, tai jis turi ir mirtingumo po˛ymį. iame teiginyje jungtis “jei…, tai” turi formaliosios implikacijos reikmź.

Materialioji implikacija yra pati bendriausia pamatinė implikacijos rūis. Materialiojoje implikacijoje neatsi˛velgiama nei į prie˛astinius, nei į būtinus ar kokius nors kitus ryius. Materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryių ir atsi˛velgiama tik į vien¹ faktorių – teiginių teisingum¹ ir klaidingum¹. Formulė p q ir yra materialiosios implikacijos simbolinis u˛raymas. J¹ ir vartosime loginėse iraikose ir, u˛uot sakź “materialioji implikacija”, sakysime tiesiog “implikacija”.

Implikacijos matrica yra tokia:

p q p q

t t t

t k k

k t t

k k t

Skaitome. Pirma eilutė: i teisingo antecendento p seka teisingas konsekventas q, implikacija p q teisinga. Taip ir būna samprotavimuose: kai turime teising¹ teiginį p ir i jo ivedame kit¹ teising¹ teiginį q, tai reikia, kad mūsų samprotavimo būdas teisingas.

Antra eilutė: i teisingo antecendento p seka klaidingas konsekventas q, implikacija p q klaidinga. Jei kas nors i teisingo teiginio iveda klaiding¹ teiginį, tai jo samprotavimo būdas klaidingas. I teisingo teiginio negali sekti klaidingas teiginys. Jei i teisingų teiginių būtų galima logikai ivesti klaidingus, tai mes nesuprastume vienas kito. Nesusikalbėtume.

Trečia eilutė: i klaidingo antecendento p seka teisingas konsenventas q, implikacija p q teisinga. Pradedantiesiems i implikacija atrodo neįtikėtina. Ar gi galima i klaidingo teiginio logikai ivesti teising¹ teiginį. Tam, atrodytų, prietarauja sveikas protas. Pasirodo galima. Logika neprietarauja sveikam protui. Ji eina kartu su juo, bet – toliau.

Tarkime turime samprotavim¹:

Molis maistingas

Pyragaitis ikeptas i molio

Vadinasi, pyragaitis maistingas

Nors iame samprotavimuose prielaidos “Molis yra maistingas” ir “Pyragaitis ikeptas i molio” yra klaidingos, ivada “Pyragaitis maistingas” teisinga ir yra ivesta visikai logikai. Vadinasi, i klaidingų teiginių galima ivesti teisingus teiginius, ir iuo atveju implikacija turi būti laikoma teisinga. Sie Formalus loginis teisingumas yra būtinas, tačiau ne visuomet pakankamas. Todėl teisingų teiginių ivedimas i klaidingų teiginių yra ne dėsningas, bet atsitiktinis reikinys. Todėl (dėmesio!) logika negali nurodyti, kada i klaidingų teiginių gausime teisingus teiginius.

Ketvirta eilutė: i klaidingo antecendento p seka klaidingas konsenventas q, implikacija p q teisinga. is atvejis pradedantiesiems taip pat da˛nai kelia nuostab¹. Tačiau dalykas čia paprastas. Kai i klaidingo teiginio p ivedame klaiding¹ teiginį q, tai samprotaujame teisingai ar ne? ˇinoma, kad gerai (teisingai). I klaidingų teiginių ir turi sekti klaidingi teiginiai. Jei, ˛mogau, laikaisi klaidingų nuostatų, tai jos ir turi tave nuvesti klystkeliais! Tai teisinga.

Trumpiau implikacijos matric¹ galima nusakyti taip:

i teisingo seka teisingas – implikacija teisinga;

i teisingo seka klaidingas – implikacija klaidinga;

i klaidingo seka teisingas – implikacija teisinga;

i klaidingo seka klaidingas – implikacija teisinga.

Implikacijos taisyklė: implikacija klaidinga tik tada, kai i teisingo antecendento seka klaidingas konsekventas.

Apibendrinant tai, kas ireikta implikacijos matricos trečioje ir ketvirtoje eilutėse, nustatomas svarbus dėsnis: i klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys (teisingas arba klaidingas). is dėsnis u˛raomas formule:

p p q),

kuri¹ skaitome taip: jei p, tai i ne – p seka q. Kitais ˛od˛iais, jei turime teiginį p ir nustatome, kad jis klaidingas ( p ), tai i p seka bet kuris teiginys q. Trumpiau tariant, i klaidingo teiginio seka bet kas.

ie dėsnis turi did˛iulź metodologinź reikme įrodymuose. Jei teorijoje pasirodo klaidingas teiginys, tai i jo galima ivesti daug kitų klaidingų teiginių. Arba: jei kas nors vartoja klaidingus teiginius, tai jis gali įrodyti bet k¹. Istorija pateikia aibź pavyzd˛ių, kai klaidingas po˛iūris, įsitikinimai atvedė į daugybź klaidų. Klaidingi komunizmo ar faizmo teiginiai atvedė į did˛iausias katastrofas XX am˛iaus ˛monijos istorijoje.

Apibendrinant tai, kas ireikta implikacijos matricos pirmoje ir trečioje eilutėse, nustatomas ir kitas implikacijos dėsnis: teisingas teiginys seka i bet kurio kito teiginio (teisingo ar klaidingo). is dėsnis u˛raomas iraika:

p (q p),

kuri skaitoma taip: jei p, tai i q seka p. Kitaip tariant, jei turime teising¹ teiginį p, tai jis seka i bet kokio teiginio q (teisingo arba klaidingo).

Panagrinėkime teiginį: “Jei mūsų giminaitis skursta, tai mes jam padedame”. Patikrinkime į teiginį implikacijos matrica, nustatydami, kada mes įvykdome savo priedermź giminei.

Pirma eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jį paremiame). Implikacija (…) teisinga, mūsų pareiga įvykdyta.

Antra eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q klaidingas (mes jam nepadedame). Implikacija klaidinga – mes savo pareigos neįvykdėme.

Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų giminaitis neskursta), q teisingas (mes jį paremiame). Implikacija teisinga (mes paremiame giminaitį). Juk niekas nedraud˛ia, tarkime, k¹ nors padovanoti giminei.

Ketvirta eilutė: p klaidingas (giminaitis pasiturinčiai gyvena), q klaidingas (mes jo niekaip neremiame). Implikacija teisinga, mūsų įsipareigojimas giminei nesulau˛ytas.

Da˛niausia, kaip matėme, naudojama materialioji implikacija (joje neatsi˛velgiama nei į prie˛astinius, nei į būtinus ar kokius nors kitus antecendento ar konsekvento ryius). Kadangi (materialioje) implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryių, antecendentas ir konsekventas nagrinėjami tik jų teisingumo po˛iūriu, tai materialiojoje implikacijoje jungtimi “jei…, tai” galima jungti bet kokius teiginius. Svarbu tik tai, kad teiginiai būtų prasmingi, nors jie gali priklausyti ir skirtingiausioms sritims.

tai, tarkime, teiginiai, i pa˛iūros prietaraujantys sveikam protui:

Jei 2 x 2 = 4, tai ugnis karta.

Jei 2 x 2 = 4, tai ugnis alta.

Jei 2 x 2 = 5, tai ugnis karta.

Jei 2 x 2 = 5, tai ugnis alta.

ių teiginių antecendentai ir konsekventai priklauso skirtingoms objektų sritims, tačiau i jų sudaryti teiginiai nėra beprasmiki (…). Trys teiginiai … yra teisingi. Klaidingas tėra tik antras teiginys (jo konsekventas klaidingas). Čia visai nesvarbu ar antecendentai ir konsekventai susijź kokiais nors ryiais. Jei atsi˛velgiama tik į antecendento ir konsekvento ryį teisingumo po˛iūriu, tai implikacine jungtimi “jei…, tai” galime jungti teiginius, priklausančius skirtingiausioms sritims. Tokie atvejai pasitaiko ir moksluose (…). O nekamojoje kalboje tai sutinkame netgi neretai.

Pvz., “Jei Sovietų S¹junga savanorikai suteiktų Lietuvai laisvź, tai jūros id˛iūtų”. iame teiginyje antecendentas ir konsekventas paimti i skirtingų sričių. Jūros negali id˛iūti – vadinasi konsekventas klaidingas. Tam, kad implikacija būtų teisinga, klaidingas turi būti ir antecendentas. iuo teiginiu pasakoma, kad Sovietų S¹junga niekad laisvanorikai nepaleistų Lietuvos – ji pirmiausia turėjo subyrėti.

Teiginius, priklausančius skirtingoms sritims, implikacijoje galima susieti taip pat jungtimi “ir”, “arba”. Tarkime: “Panelė gra˛i ir vynas saldus”.

Pakartojimui

Kokį teiginį vadiname implikacija?

Kas yra antecendentas ir konsekventas?
Sudarykite implikacijos teisingumo lentelź.
Kaip paaikinti, kad i klaidingo teiginio galima ivesti teising¹ teiginį?

Pratimai

Perskaitykite iraik¹ (p q) (q r).
Konjunkcijos ir disjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar galima tai padaryti implikacijoje?
I klaidingo teiginio “3 = 2” iveskite teisinga teiginį “3 = 3”.

8. LOGINIS EKVIVALIKUMAS (LYGIAVERTIKUMAS)

Du teiginiai, sujungti logine jungtimi “jei ir tik jei…, tai” vadinami ekvivalentikais arba lygiaverčiais.

Loginį lygiavertikum¹ ˛ymime ˛enklu ~. Iraika

p ~ q

skaitoma dvejopai: 1) jei ir tik jei p, tai q;

2) p ekvivalentikas (lygiavertikas) q.

Teiginius “Visi konjunkcijos nariai teisingi” ir “Konjunkcija teisinga” sujungus jungtimi “jei ir tik jei…, tai”, gausime loginį lygiavertikum¹: “Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga”.

Loginio lygiavertikumo matrica tokia:

p q p ~ q

t t t

t k k

k t k

k k t

Pirma eilutė: p teisingas, q teisingas. Teiginys “Teisingumas lygiavertis teisingumui” teisingas.

Antra eilutė: p teisingas, q klaidingas. Teiginys “Teisingumas lygiavertis klaidingumui” klaidingas.

Trečia eilutė: p klaidingas, q teisingas. Teiginys “Klaidingumas lygiavertis teisingumui” klaidingas.

Ketvirta eilutė: p klaidingas, q klaidingas. Teiginys “Klaidingumas lygiavertis klaidingumui” teisingas.

Loginio lygiavertikumo taisyklė tokia: du teiginiai logikai lygiaverčiai, jei jų teisingumo reikmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

Teiginį “Jei ir tik jei mūsų giminaitis skusta, tai mes jam padedame” patikrinkime teisingumo lentele, nustatydami, kada i¹ priedermź įvykdome ir kada ne.

Pirma eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jam padedame). Teiginys “Jei ir tik jei mūsų giminaitis skursta, tai mes jam padedame” teisingas. Pa˛adas įvykdytas.

Antra eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q klaidingas (mes jam nepadedame). Pa˛adas neįvykdytas.

Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jam padedame). Pa˛adas neįvykdytas, nes mes buvome pa˛adėjź padėti tik vienu atvejų, būtent, jei jis skurs.

Ketvirta eilutė: p klaidingas (mūsų pa˛įstamas neskursta), q klaidingas (mes jam nepadedame). Pa˛adas itesėtas.

Matome, kad loginis lygiavertikumas skiriasi nuo implikacijos. Implikacija teisinga ir trečioje eilutėje, o loginis lygiavertikumas toje eilutėje klaidingas.

Loginis lygiavertikumas – tai implikacija abiem kryptimi.

( p ~ q) ~ [(p q) (q p)].

Skaitome taip: teiginys “Jei ir tik jei p, tai q” lygiavertis teiginiui “I p seka q ir i q seka p”.

Teiginys “Jei ir tik jei produktas atitinka Europos S¹jungos standartus, tai jis yra auktos kokybės” yra implikacija abiem kryptimis: “Jei produktas atitinka Europos S¹jungos standartus, tai jis auktos kokybės, ir jei produktas auktos kokybės, tai jis atitinka Europos S¹jungos standartus”.

nekamojoje kalboje loginis lygiavertikumas reikiamas įvairiais ˛od˛ių junginiais: “tik tada”, “tada ir tik tada”, “tik tuo atveju” ir pan. Kartais jungčiai “jei…, tai” suteikiama jungties “jei ir tik jei” reikmė.

Inagrinėjź keturias logines jungtis, sudarysime bendr¹ jų teisingumo lentelź:

p q p q p V q p V q p q p ~ q

t t t k t t t

t k k t t k k

k t k t t t k

k k k k k t t

i matrica ko nors naujo nepateikia, čia tik vienoje vietoje pateikiamos visų loginių jungčių teisingumo s¹lygos. Konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, loginio lygiavertikumo, taip pat loginio neigimo teisingumo s¹lygas būtina gerai ˛inoti. Jų ne˛inant, neįmanoma toliau studijuoti logikos dalyk¹.

Pakartojimui

Kokius teiginius vadiname logikai lygiaverčiais?

Kaip iraika p ~ q skaitoma?
Kada du teiginiai logikai lygiaverčiai?
Kodėl lygiavertikumas yra implikacija abiem kryptimis?

Pratimai

Ar pakistų loginė teiginių prasmė, jungtį “jei…, tai” pakeitus jungtimi “jei ir tik jei…, tai”:

Jei mokate lietuvių kalb¹, tai nesunkiai imoksite latvių kalb¹ (pakistų).
Jei iraika yra logikos dėsnis, tai ji visuomet teisinga (nepakistų).

9. SIMBOLINIO ˇYMĖJIMO SISTEMOS

iuolaikinź formali¹j¹ (simbolinź) logik¹ kūrė įvairių alių mokslininkai. Todėl susiklostė skirtingos loginių veiksmų simbolinio ˛ymėjimo tradicijos (sistemos). Tam, kad nepasimestume ioje sistematikos įvairovėje, būtina bent jau ˛inoti jų ˛enklinius skirtumus. tai būdingiausios ˛enklų sistemos teiginių logikoje:

autoriai	neigimas	konjunkcija	disjunkcija	implikacija	lygiavertikumas
rederis Pirsas	p ¢	p q	p + q	p q	p º q
Peanas Raselas	~ p	p q	p V q	p q	p º q
Hilbertas	p	p & q	p V q	p q	p ~ q
Lukasevičius	N p	K p q	A p q	C p q	p q
Kiti	Ø p	p Ù q

Galime atkreipti dėmesį į ˛ymaus lenko J. Lukasevičiaus sukurt¹ vadinam¹j¹ beskliaustź loginių veiksmų ˛ymėjimo sistem¹. Tarkime, joje iraika p (p V q) u˛raoma taip: C p A p q. Iraika ( p ~ q) ~ [(p q) (q p)] u˛raoma p q K C p q C q p.

iuolaikinėje logikos literatūroje naudojamos įvairios loginių veiksmų simbolinio ˛ymėjimo sistemos.

Pratimai

Iraika (p q) V ( p q) u˛raykite įvairių simbolinio ˛ymėjimo sistemų ˛enklais.

10. SUDĖTINIŲ TEIGINIŲ NEIGIMAS

Neigti galima ne tik paprastus, bet ir sudėtinius teiginius. Sudėtinių teiginių neigimo procedūra ta pati, kaip ir paprastų teiginių.

Konjunkcijos neigimas: (netiesa, kad p ir q).

Disjunkcijos neigimas: (netiesa, kad p arba q).

Implikacijos neigimas: (netiesa, kad i p seka q).

Lygiavertikumo neigimas: (netiesa, kad p lygiavertis q).

Panagrinėkime konjunkcijos neigim¹. Tarkime turime teiginį “Netiesa, kad firmos A ir firmos B gaminių reklama yra teisinga”. Ar tai reikia, kad abiejų firmų reklamos yra nepagrįstos? Ne, nereikia. Manyti, kad abi firmos meluoja, reiktų sudaryti iraik¹ ~ ( p q ). J¹ skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne - p ir ne - g”1. Tačiau iraika ~ ( p q ) nėra logikos dėsnis. Tai rodo jos teisingumo matrica:

p q p q p q p q ~ ( p q )

t t k k t k k t

t k k t k t k k

k t t k k t k k

k k t t k t t t

i matrica sudaryta remiantis tuo, kas jau ˛inoma. Turime du teiginius – p ir q. Paraome visus galimus jų teisingumo ir klaidingumo atvejus. p ir q teisingumo reikmes ivedame, remdamiesi loginiu neigimu: jei p teisingas, tai p klaidingas, ir t.t. Teiginio p q teisingum¹ nustatome pagal p (pirmas stulpelis) ir q (antras stulpelis) teisingumo reikmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. yra p q neigimas. Jei p q teisingas, tai klaidingas, ir t.t. Teiginio p q reikmź nustatome pagal p (trečias stulpelis) ir pagal q (ketvirtas stulpelis) teisingumo reikmes, taikydami konjunkcijos taisyklź. Paskutiniame lentelės stulpelyje taikome lygiavertikumo taisyklź: du teiginiai lygiaverčiai, kai jų reikmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi). Tačiau teiginiai ir p q antroje ir trečioje eilutėse nevienodi savo reikmėmis, o todėl ir nelygiaverčiai. Reikia, iraika p q ) nėra visuomet teisingas teiginys, todėl nėra logikos dėsnis. Todėl ir teiginio “Netiesa, kad firmos A ir firmos B gaminių reklama yra teisinga” negalime suprasti taip, kad abi reklamos melagingos. i teiginį reikia suprasti taip: firma A savo reklamoje arba firma B savo reklamoje sako neties¹ (arba abi sako netiesa, nes silpnojoje disjunkcijoje numatoma, kad ir abu atvejai gali būti realūs). Visa tai u˛raome:

p V q

i¹ iraik¹ skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne - p arba ne - q”. Patikrinsime matrica.

p q p q p q p V q ~ ( p V q )

t t k k t k k t

t k k t k t t t

k t t k k t t t

k k t t k t t t

Paskutiniame matricos stulpelyje yra tik reikmė “teisinga”, vadinasi, duotoji iraika yra visuomet teisingas teiginys, t.y. logikos dėsnis. Vadinasi, konjunkcijos neigim¹ suprantame teisingai.

Panagrinėkime disjunkcijos neigim¹. Teiginys “Netiesa, kad firmos A arba firmos B reklama yra teisinga” reikia ne tai, kad firmos A reklama neteisinga arba firmos B reklama neteisinga, bet tai, kad A reklama neteisinga ir B reklama neteisinga:

~ ( p V q ).

Skaitome: teiginys “Netiesa, kad p arba q” lygiavertis teiginiui “Ne – p ir ne – q”.

Iraikos

~ ( p q ),

~ ( p q )

vadinamos de Morgano taisyklėmis[1]. Skaitome pirm¹j¹ taisyklź: konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui. Skaitome antr¹j¹ taisyklź: disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Panagrinėkime implikacijos neigim¹. Jis suprantamas taip:

~ (p q )

Skaitome: iraika “Netiesa, kad i p seka q”, lygiavertė iraikai “p ir ne - q”.

Teiginys “Netiesa, kad jei Sovietų S¹jungoje buvo socialistinė santvarka, tai joje buvo demokratija” lygiavertis teiginiui “Sovietų S¹jungoje buvo socialistinė santvarka ir joje nebuvo demokratijos”.

Jau buvo nurodyta, kad lygiavertikumas yra implikacija abiem kryptim. Lygiavertikumo neigimas reikiamas taip:

~ [(p q) ].

Skaitome: iraika “Netiesa, kad p lygiavertis q” lygiavertė iraikai “Jei i p seka q, tai netiesa, kad i q seka p”.

Pakartojimui

Kaip reikiamas sudėtinių teiginių neigimas?

Kam lygiavertis konjunkcijos neigimas?
Kam lygiavertis disjunkcijos neigimas?
Kam lygiavertis implikacijos neigimas?

Pratimai

Iraik¹ ~ ( p q ) patikrinkite teisingumo lentele.
Ar teiginys “Jonas klydo ir Marytė klydo” u˛raomas iraik¹ p q ? Ar teisinga, kad jis lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad Jonas sakė ties¹ ir a sakiau ties¹?
Kam lygiavertis teiginys “Netiesa, kad jei Jonas klydo, tai a klydau”?

11. TEIGINIŲ FORMALIZAVIMAS

Remiantis tuo, k¹ ˛inome apie logines jungtis ir loginį neigim¹, lengvai galime formalizuoti teiginius, t.y. u˛rayti juos simbolių kalba.

Formalizuokime teiginį “Jei nėra susitarimo, reguliuojančio ˛aliavos kain¹, ir jei nėra sutarties, nurodančios ˛aliav¹ teikiančio partnerio, tai firma pati gali rinktis partnerį ir mokėti u˛ ˛aliav¹ pasaulinės rinkos kainomis”. Nustatysime sudėtinį teiginį sudarančius paprastus teiginius: “Nėra susitarimo, reguliuojančio ˛aliavos kain¹” ( p ); “Nėra sutarties, nurodančios ˛aliav¹ teikiančio partnerio” ( q ); “Firma pati gali rinktis partnerį” ( r ); “Firma gali pirkti ˛aliav¹ rinkos kaina” ( s ). Loginės jungtys isidėsto taip: jei … ir …, tai … ir … . Nagrinėjamo teiginio struktūra tokia:

p q ) ( r s )

Pakartojimui

Formalizuokite teiginius:

Kai girdi samprotavimus, nepagrįstus faktais ir logikais argumentais, įsitikinimus, nepatvirtintus racionaliais samprotavimais, darai ivad¹, kad kalbiesi su dogmatiku panekovu, besivadovaujančiu iankstinėmis nuostatomis.
Jei netiesa tai, k¹ sako A, arba netiesa tai, k¹ sako B, tai netiesa, kad jų abiejų teiginiai yra kartu teisingi.

12. SUDĖTINIO TEIGINIO TEISINGUMO REIKMĖS NUSTATYMAS, ˇINANT PAPRASTŲ TEIGINIŲ TEISINGUMO REIKMES

Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikmių, tai ˛inant paprastų teiginių p, q, r … teisingumo reikmes, lengvai galime nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikmź. Taikomos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, lygiavertikumo taisyklės.

Tarkime, kad teiginyje ( p q ) r teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k) ir r klaidingas (k). Tai ˛inant, lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio ( p q ) r teisingumo reikmź. Pirmiausia p, q, r pakeičiame j¹ teisingumo reikmėmis. Kadangi p teisingas, tai jį pakeičiame reikme t (teisinga), q pakeičiame reikme k (klaidinga), r pakeičiame taip pat reikme k (klaidinga). Gauname:

( t k ) k.

Atliekame veiksm¹, nurodyt¹ skliaustuose. is veiksmas – tai konjunkcija. Vienas konjunkcijos narys klaidingas, vadinasi, konjunkcija klaidinga. Tai ir u˛raome:

k k,

nes, kai i klaidingo teiginio seka klaidingas teiginys, tai implikacija teisinga. Tad pagal turimas teisingumo reikmes sudėtinis teiginys ( p q ) r teisingas.

Nustatysime iraikos p ) q teisingumo reikmź, kai abu pradiniai teiginiai p, q klaidingi. Gauname:

( k ) k.

Taikome konjunkcijos taisyklź iraikos daliai . Kadangi abu konjunkcijos nariai klaidingi, tai konjunkcija klaidinga:

()k.

Taikome neigimo taisyklź. Neigiant klaidingum¹, gauname reikmź “teisinga”:

( t t ) k.

Dabar belieka taikyti implikacijos taisyklź. Kai i teisingo seka klaidingas, implikacija klaidinga:

Vadinasi, iraika ( p ) q, kai p ir q klaidingi, yra klaidinga.

Inagrinėkime pavyzdį. Tėvas pasako teiginį: “Jei sūnus nusi˛engs, jis bus grie˛čiau ar velniau nubaustas”. į teiginį sudaro trys paprasti teiginiai: “Sūnus nusi˛engs” (p), “Jis bus grie˛čiau nubaustas” (q), “Jis bus velniau nubaustas” ( r ). Turime p ( q V r ). Kadangi iame tėvo teiginyje kalbama apie ateitį, tai, kai jis į teiginį pasako, jis dar nėra nei teisingas, nei klaidingas. Teisingu ar klaidingu jis taps po to, kai sūnus nusi˛engs ir tėvas jį baus ar nebaus. Tarkime sūnus nusi˛engė (p teisingas), tėvas jį grie˛tai nubaudė (q teisingas), reikia velniai nenubaudė (r klaidingas). Gauname:

t ( t V k ).

t t.

Vadinasi, kai sūnus nusi˛engė ir tėvas jį grie˛čiau nubaudė, jo teiginys “Jei sūnus nusi˛engs, jis bus grie˛čiau ar velniau nubaustas” tapo teisingas.

Tarkime, kad sūnus nusi˛engė (p teisingas), tačiau tėvas jo nenubaudė nei grie˛čiau nei velniau, t.y. q klaidingas ir r klaidingas. Gauname:

t ( k V k ).

t k.

Vadinasi, jei sūnus nusi˛engė, o tėvas jo nenubaudė nei grie˛tai nei velniai, minėtas teiginys klaidingas.

Pratimai

Nustatykite teiginio p ( p q ) teisingumo reikmź, jei p klaidingas, o q teisingas.
Nustatykite iraikos ( p V q q ) q teisingumo reikmź, jei p klaidingas ir q klaidingas.

13. LOGINIŲ JUNGČIŲ PAKEITIMAS

Jau ˛inote, kad nepaisant to, kokiomis gramatinėmis priemonėmis teiginiai sujungti tarpusavyje, loginiu po˛iūriu jie tegali būti sujungti keturiomis loginėmis jungtimis. Tačiau pasirodo, kad vienas logines jungtis galima pakeisti kitomis. Galimi trys atvejai:

galima isiversti tik su konjunkcija ir neigimu;

galima isiversti tik su disjunkcija ir neigimu;

galima isiversti tik su implikacija ir neigimu.

Jungties “jei ir tik jei …, tai” nepakanka ireikti kitoms jungtims. Panagrinėsime loginių jungčių pakeitim¹ konjunkcija ir neigimu.

Disjunkcijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p V q ) ~

Skaitome: iraika “p arba q” lygiaverti iraikai “Netiesa, kad ne – p ir ne - q”

Teiginys “ALGOL yra kompiuterinė kalba arba MALGOL yra kompiuterinė kalba” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad ALGOL ne kompiuterinė kalba arba MALGOL ne kompiuterinė kalba”. Teisingumo lentele lengva įrodyti, kad iraikos p V q ir lygiavertės.

Implikacijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p q) ~ .

Skaitome: “I p seka q” lygiavertika “Netiesa, kad p ir ne – q”.

Teiginys “Jei gerai studijuosi, tai gausi stipendij¹” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad jei gerai studijuosi, tai negausi stipendijos”.

Ekvivalentikumo pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p ~ q ) ~ ( ).

Skaitome iraika “p lygiavertis q” lygiavertė iraikai “Netiesa, kad p ir ne - q, ir netiesa, kad q ir ne – p”.

i formulė ivedama taip. Jau ˛inome, kad lygiavertikumas yra implikacija abiem kryptimis: ( p ~ q ) ~ [( p q ) ( q p )]. ioje iraikoje p q ir q p tereikia pakeisti konjunkcija ir neigimu, ir gauname lygiavertikumo pakeitim¹ konjunkcija ir neigimu.

Ap˛velgsime jungčių pakeitim¹ disjunkcija ir neigimu.

Konjunkcijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p q ) ~ .

Skaitome: “p ir q” lygiavertika “Netiesa, kad ne – p arba ne – q”.

Teiginys “ˇodis “stalas” – daiktavardis ir ˛odis “kėdė” – daiktavardis” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad ˛odis “stalas” ne daiktavardis arba ˛odis “kėdė” ne daiktavardis”.

Implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p q ) ~ ( V q )

Teiginys “Jei iandien ateisi, pavaiinsiu tave arbata” lygiavertis teiginiui “iandien neateisi arba pavaiinsiu tave arbata”. nekamojoje kalboje implikacijos pakeitimas disjunkcija skamba kiek neįprastai, tačiau patikrinimas matrica rodo, kad toks pakeitimas visikai teisėtas.

Lygiavertikumo pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p ~ q ) ~

Skaitome: iraika “p lygiavertis q” lygiavertė iraikai “Netiesa, jog netiesa, kad ne – p arba q, arba netiesa, kad ne – q arba p”.

i sudėtinga iraika ivedama taip. ˇinoma, kad lygiavertikumas yra implikacija dviem kryptims. Implikacij¹ reikia pakeisti disjunkcija ir neigimu, o paskui konjunkcij¹ pakeisti disjunkcija ir neigimu.

Panagrinėsime loginių jungčių pakeitim¹ implikacija ir neigimu.

Konjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p q) ~ .

Teiginys “Studentas K yra vadybininkas, ir studentas L yra mechanikas” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad jei studentas K vadybininkas, tai studentas B ne mechanikas”.

Disjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p V q ) ~ ( q ) .

Tarkime praneta, kad apie 18 val. sporto salėje bus arba studentas A arba studentas B. Jei informacija teisinga, tai atėjź į sporto salź ~ 18 val. rasime arba student¹ A arba student¹ B.

Lygiavertikumo pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p ~ q ) ~ .

Skaitome: iraika “p lygiavertis q” lygiavertė iraikai “Netiesa, kad jei i p seka q, tai i q neseka p”.

itaip vienos loginės jungtys pakeičiamos kitomis. Tačiau teorikai galima eiti dar toliau. Pasirodo, kad pakanka tik vieno loginio ˛enklo, kad juo būtų galima pakeisti visas jungtis. Tas ˛enklas vadinamas eferio trichu ir ˛ymimas ˛enklu½ Iraika p½q skaitoma: p nesuderinamas su q. Teiginys “p nesuderinamas su q” reikia, kad p ir q negali būti kartu teisingi, t.y. . Pagal de Morgano taisyklź, ~ ( V ). Disjunkcij¹ pakeitus implikacija, turime ( V ) ~ ( p ). Vadinasi,

p½q ~ ~ ( V ) ~ ( p ).

itaip i ˛od˛io “nesuderinama” ivedėme konjunkcij¹, disjunkcij¹ ir implikacij¹. eferio trichas panaudojamas techninėje logikoje, kai loginius veiksmus atlieka kompiuteriai.

Neigimas ir loginės jungtys eferio trichu u˛raomos taip:

~ ( p½q ).

( p q ) ~ [(p½q) ½(p½q)].

( p V q ) ~ [(p½p) ½(q½q)].

( p q ) ~ [p ½(q½q)].

Nesuderinamumo veiksmas reikiamas matrica:

p q p ½q

t t k

t k t

k t t

k k t

Lygiai tokia pati yra iraikos matrica bei kitų iraikai p½q lygiaverčių teiginių matricos. Paskutinioji pateiktosios matricos eilutė nurodo, kad vienas klaidingas teiginys gali būti nesuderinamas su kitu klaidingu teiginiu. Tarkime, jei ka˛kas tvirtina, kad Petras yra baigźs VGTU, o kitas sako, kad Petras yra baigźs VU, tai jie abu gali klysti, nes Petras gali būti baigźs Oksfordo universitet¹.

Pakartojimui

Kaip jungtys pakeičiamos konjunkcija ir neigimu?

Kaip jos pakeičiamos disjunkcija ir neigimu?

Kaip jos pakeičiamos implikacija ir neigimu?

Kas yra eferio trichas?

Pratimai

Iraikoje ( p q ) ( q p ) konjunkcij¹ pakeiskite disjunkcija.

Turime iraik¹ ( p V q ) r . Reikia:

a) implikacij¹ pakeisti konjunkcija. Gauname . Ar teisingai pakeista?

b) implikacij¹ pakeisti disjunkcija. Gauname V r. Ar teisingai pakeista?

14. DVEJYBIKUMAS

Loginių jungčių pakeitimas rodo, kad kiekvien¹ teiginių logikos iraik¹ galima pertvarkyti taip, kad j¹ sudarytų tik trys veiksmai: konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Veiksmai “ “ ir “ V “ vadinami dvejybikais, t. y. konjunkcija dvejybika disjunkcijai ir atvirkčiai.

Dvi iraikos vadinamos dvejybikomis, jei viena gaunama i kitos, kiekvien¹ veiksm¹ pakeitus dvejybiku veiksmu. Antai iraikos

( p q ) V r ir ( p V q ) r;

V ( r ) ir ( r V )

yra dvejybikos. Teisingumas ir klaidingumas – taip pat dvejybiki (dualai). Nesikeičia tik neigimas – jis vadinamas savaime dvejybiku.

Dvejybikumo principas teigia: jei dvi iraikos lygiavertės joms dvejybikos iraikos taip pat lygiavertės.

Pvz.: ~ ( V ). Pagal dvejybikumo princip¹ gauname: ~ ( ). Arba ~ ( p q ). I to seka, kad ~ ( p V q ).

Visuomet teisingo teiginio dualas yra visuomet klaidingas teiginys. Antai iraikos dualas yra iraika , kuri visuomet klaidinga.

Pakartojimui

Kada dvi iraikos vadinamos dvejybikomis?

K¹ teigia dvejybikumo principas?

Pratimai

Ar i iraikos ~ ( q ) pagal dvejybikumo princip¹ seka ~ ( V q )?

Ar i ( p V q ) r seka ( p q ) V r?

15. TEIGINIŲ LOGIKOS DĖSNIAI

Teiginių logikos dėsnių yra labai daug. Tai rodo, kad ˛mogus turi didelź įvairovź priemonių tikrovei pa˛inti.

Pateiksime kai kuriuos teiginių logikos dėsnius, turinčius svarbesnź reikmź.

Dvigubo neigimo dėsnis:

~ p.

Dvigubas neigimas lygiavertis teigimui.

Prietaravimo dėsnis:

Teiginys negali būti kartu ir teisingas ir neteisingas. (Iraika p yra visuomet klaidinga. “Stalas yra kambaryje ir stalo nėra kambaryje”).

Negalimo trečiojo dėsnis:

p V .

Teiginys p teisingas arba jo neigimas ne – p teisingas – trečios galimybės nėra. Arba: kiekvienas teiginys arba teisingas arba klaidingas – trečios galimybės nėra. (Tertium non datur).

I klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys:

p ( q ).

Skaitome: jei p tai i ne – p seka q. Kitaip tariant, jei turime teiginį p ir nustatome, kad jis klaidingas (), tai i seka bet kuris kitas teiginys q. I klaidingo seka bet kas.

Teisingas teiginys seka i bet kurio kito teiginio (teisingo arba klaidingo):

p ( q p ),

skaitome: jei p, tai i q seka p. Kitaip tariant, jei turime teising¹ teiginį p, tai jis seka i bet kokio teiginio q (teisingo arba klaidingo). (Antecendentas ir konsekventas).

Loginis ekvivalentikumas (lygiavertikumas):

Du teiginiai logikai lygiaverčiai, jei jų teisingumo reikmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

p ~ q

Skaitome dvejopai: 1) jei ir tik jei p, tai q; 2) p ekvivalentikas q.

“Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga”.

De Morgano taisyklės:

~ ( V ).

~ ( ).

Skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne – p arba ne – q”. Ir: “Netiesa, kad p arba q” lygiavertis teiginiui “Ne – p ir ne – q”.

De Morgano taisyklės: 1) konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui; 2) disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

iuos dėsnius nagrinėjome jau ankčiau. Dabar pateiksiu naujų teiginių logikos dėsnių.

Suprastinimo dėsniai:

( p p ) ~ p.

( p V p ) ~ p.

Suprastinimo dėsniai įgalina ivengti tučia˛od˛iavimo, betikslio tų pačių minčių kartojimo: kiek bekartotume t¹ patį teiginį p, jis logikai tera lygiavertis vienam teiginiui p. Kiek bekartosime “A ˛inau”, “A ˛inau” – nieko naujo nepasakysime. Bet kaip kartais reikia kartoti ir kartoti “Myliu tave”, “myliu tave” – kaip nelogika, bet svarbu… Gyvenimas visuomet daugiau negu logika.

Kiti suprastinimo dėsniai:

( p teisingas teiginys ) ~ p.

( p klaidingas teiginys ) ~ klaidinga.

ie suprastinimo dėsniai ivedami i konjunkcijos taisyklės. Jei p reikmės ne˛inome, o koks nors kitas teiginys teisingas, tai ių teiginių konjunkcija turi teiginio p reikmź. Vadinasi, dar reikia nustatyti, teisingas ar klaidingas teiginys p. Jei teiginio p reikmės dar ne˛inome, bet ˛inome, kad antrasis teiginys klaidingas, tai ių teiginių konjunkcija klaidinga. Tokiu atveju jau nebereikia nustatyti p reikmės.

( p V teisingas teiginys ) ~ teisinga.

( p V klaidingas teiginys ) ~ p.

( p teisingas teiginys ) ~ teisinga.

ie suprastinimo dėsniai sudaryti, remiantis disjunkcijos ir implikacijos teisingumo taisyklėmis.

Iskaidymo dėsniai:

p ~ [( p q ) V ( p )].

p ~ [( p V q ) ( p V )].

Skaitome pirm¹j¹ iraik¹: teiginys p lygiavertis teiginiui “p ir q arba p ir ne – q”. Skaitome antr¹j¹ iraik¹: teiginys p lygiavertis teiginiui “p arba q ir p arba ne – q”.

ie dėsniai parodo, kad prie teiginio p galima tam tikru būdu prijungti bet kurį kit¹ teiginį, nepakeičiant p teisingumo reikmės.

Teiginys “Algis va˛iuoja atostogauti” lygiavertis teiginiui “Algis va˛iuoja atostogauti ir jo draugė va˛iuoja atostogauti, arba Algis va˛iuoja atostogauti ir jo draugė neva˛iuoja atostogauti”. Antruoju atveju teiginys “Algis va˛iuoja atostogauti” lygiavertis teiginiui “Algis va˛iuoja atostogauti arba jo draugė va˛iuoja atostogauti, ir Algis va˛iuoja atostogauti arba jo draugė neva˛iuoja atostogauti”.

Remdamiesi grie˛tosios disjunkcijos teisingumo taisykle, gauname dėsnį:

[( p V q ) p ] .

Skaitome: jei gali būti teisingas tik p arba tik q ir nustatyta, kad p teisingas, tai q klaidingas.

Pvz.: rytoj eisiu į paskaitas pėsčias arba va˛iuosiu troleibusu. Nusprend˛iau va˛iuoti troleibusu. Taigi pėsčias neisiu.

[( p V q ) ] q.

Skaitome: jei disjunkcija p V q teisinga ir p klaidingas, tai q teisingas.

Pvz.: tikrai ˛inome, kad mus dominanti informacija yra viename i dviejų internetinių adresų tokiame puslapyje. Surandame viename i adresų nurodyt¹ puslapį. Pasirod˛ius, kad tame puslapyje nėra mus dominančios informacijos, mes ˛inome, kad ji bus kitu adresu.

Panaiai galima samprotauti, vartojant ir silpn¹j¹ disjunkcij¹:

[( p V q ) ] q.

Remiantis silpnosios disjunkcijos taisykle, gaunami ie dėsniai:

p ( p V q ).

q ( p V q ).

ie dėsniai abejonių nekelia. Jie teigia, kad prie teisingo teiginio disjunktyviai galima prijungti bet kurį kit¹ teising¹ teiginį, nes silpnoji disjunkcija teisinga, jei vienas jos narys teisingas.

Įvairių dėsnių galima gauti, remiantis implikacijos teisingumo taisykle.

Antecendento teigimo dėsnis:

[( p q ) p ] q.

Skaitome: jei implikacija p q teisinga ir antecendentas p teisingas, tai konsekventas q taip pat teisingas.

Pvz.: “Jei įstatymo projektui pritaria dauguma seimo narių, tai įstatymas priimtas. Įstatymo projektui pritarė dauguma seimo narių. Vadinasi, įstatymas priimtas”.

Konsekvento neigimo dėsnis:

[( p q ) ] .

Skaitome: jei implikacija p q teisinga ir konsekventas q klaidingas, tai antecendentas p taip pat klaidingas.

Aptarkime t¹ pači¹ implikacij¹ “Jei įstatymo projektui pritaria dauguma seimo narių, tai įstatymas priimtas”. Neigiame konsekvent¹ – “Įstatymas nebuvo priimtas”. I to seka, kad turime neigti antecendent¹ – “Įstatymo projektui nepritarė dauguma Seimo narių”.

Kontrapozicijos dėsnis:

( p q ) ( ).

Skaitome: jei i p seka q, tai i ne – q seka ne – p. Galima skaityti ir taip: jei i p seka q, tai jei konsekventas klaidingas, klaidingas ir antecendentas. Kontrapozicijos atveju ivadoje tereikia prielaidos antecendent¹ ir konsekvent¹ sukeisti vietomis ir juos abu neigti.

Pvz.: “Jei firmos produktas buvo nupirktas, tai jo kokybė ir kaina geri”. I to seka, kad jei produkto kokybė ir kaina netikź, tai jis nebuvo nupirktas”.

Implikacijos pereinamumas:

[( p q ) ( q r )] ( p r ).

Skaitome: jei i p seka q ir i q seka r, tai i p seka r.

“Jei vystosi mokslas, tai auga technologinė pa˛anga. Jei auga technologinė pa˛anga, tai kyla ekonomikos lygis. Vadinasi, jei vystosi mokslas, tai kyla ekonomikos lygis”. Implikacijos pereinamumo dėsnis nurodo, kad jei koks nors teiginys seka i konsekvento, tai jis seka ir i antecendento. Kartais is dėsnis u˛raomas: ( p q ) [( q r ) ( p r )]. Skaitome: jei i p seka q, tai jei i q seka r, tai i p seka r.

Prietaravimo ivedimas:

( p ) .

Skaitome: jei i teiginio p seka jo neigimas ne – p, tai ne – p teisingas.

Pvz.: atėjź į egzamin¹, manome, kad turime pargelkź. Ivertź kienes, įsitikiname, kad pargalkės neturime, pamirome namie. Taigi pargalkės nėra – akės.

Iraika ( p ) yra svarbus teiginių logikos dėsnis. Juo remiantis galima isprźsti vadinam¹jį laisvės paradoks¹. Jis sako, kad neribota laisvė ima pati sau prietarauti, ir todėl laisvź reikia apriboti. Jei teigsime, kad viskas leistina, tai leistina ir neigti teiginį, kad viskas leistina. O jei leistina neigti, kad viskas leistina, vadinasi, ne viskas leistina. Tad jei i teiginio (“viskas leistina”) seka jo neigimas (“ne viskas leistina”), tai tas teiginys (“viskas leistina”) klaidingas, o jo neigimas (“ne viskas leistina”) teisingas. Panaiai Sokratas paneigia Protagoro teiginį, kad kiekvienas teiginys teisingas, kad reikia tik mokėti teiginį argumentuoti, ir juo visi patikės. Jei Protagoro teiginys “Kiekvienas teiginys teisingas” yra tiesa, tai teisingas taip pat ir jo prieininkų teiginys – “Ne kiekvienas teiginys teisingas”. Tai jei i teiginio “Kiekvienas teiginys teisingas” seka jo neigimas “Ne kiekvienas teiginys teisingas”, tai teisingas yra teiginys “Ne kiekvienas teiginys yra teisingas”.

T¹ pači¹ prasmź, kaip pateiktoji, turi ir i iraika:

( p ) p

Skaitome: jei i ne – p seka p, tai p teisingas.

Konsekvento nepriklausomybė nuo antecendento:

[( p q ) ( q )] q.

Skaitome: jei i p seka q ir i ne – p seka q, tai q teisingas.

ioje iraikoje teigiama, kad teiginys q teisingas nepriklausomai nuo to, ar p teisingas, ar ne – p teisingas. “Jei ilaikysiu paskutinį sesijos egzamin¹, vyksiu atostogų į Palang¹. Jei neilaikysiu paskutiniojo egzamino vyksiu atostogauti į Palang¹. Taigi va˛iuosiu atostogų į Palang¹” (nepriklausomai nuo to, ar ilaikysiu paskutinį egzamin¹ ar ne).

Kas nesuderinama su konsekventu, nesuderinama ir su antecendentu:

( p q ) ( ).

Skaitome: jei i p seka q, tai jei q nesuderinamas su r, tai p nesuderinamas ir su r.

Pvz.: jei asmuo studijuoja universitete, tai jis turi laikytis Universiteto statuto. I to seka, kad jei Universiteto statutas nesuderinamas su amoraliu elgesiu, tai studijavimas universitete nesuderinamas su nusirainėjimu egzaminu metu.

Antecendentų jungimo dėsnis:

[( p q ) ( q r )] [( p V q ) r].

Skaitome: jei i p seka q ir i q seka r, tai i p V q seka r.

“Jei į namus vyksiu autobusu, kelionė truks dvi valandas. Jei į namus vyksiu traukiniu, tai kelionė taip pat truks dvi valandas. Taigi jei į namus vyksiu autobusu ar traukiniu, kelionė truks dvi valandas”.

Konsekventų jungimo dėsnis:

[( p q ) ( p r )] [ p ( q r )].

Skaitome: jei i p seka q ir i p seka r, tai i p seka q ir r.

“Jei A buvo Berlyne, tai su juo kartu buvo B, ir jei A buvo Berlyne, tai su juo buvo C. Vadinasi, jei A buvo Berlyne, tai kartu su juo buvo B ir C”.

Antecendentų ir konsekventų jungimo dėsnis:

[( p q ) ( r s )] [( p r )( q s )].

Skaitome: jei i p seka q ir i r seka s, tai i p ir r seka q ir s.

iame dėsnyje dviejų implikacijų antecendentai ir konsekventai sujungiami konjunkcija. “Jei vakar buvo pirmadienis, tai iandien antradienis, ir jei rytoj trečiadienis, tai poryt ketvirtadienis. I to seka, kad jei vakar buvo pirmadienis ir rytoj trečiadienis, tai iandien antradienis ir poryt ketvirtadienis”.

Konsekventų ir antecendentų nesuderinamumo dėsnis:

[( p q ) ( r s)] ( ).

Skaitome: jei i p seka q ir i r seka s, tai jei q nesuderinamas su s, tai p nesuderinamas su r.

is dėsnis nurodo, kad jei dviejų implikacijų konsekventai nesuderinami (negali kartu būti teisingi), tai nesuderinami ir tų implikacijų antecendentai.

“Jei dėstytojas kalba nuobod˛iai, tai studentus ima miegas, ir jei dėstytojas nuolat vartoja nesuprantamus terminus, tai studentus tas pykina. I to seka, kad jei netiesa, kad studentus ima miegas ir dėstytojo kalba juos pykina, tai netiesa, kad dėstytojas dėsto nuobod˛iai ir vartoja nesuprantamus terminus”.

Pakartojimui

Aptarkite suprastinimo ir iskaidymo dėsnius.

Kokius ˛inote dėsnius, pagrįstus disjunkcijos taisykle?
Nurodykite dėsnius, pagrįstus implikacijos taisykle.

Pratimai

Suskirskite teiginių logikos dėsnius į 4 klases:

turinčius vien¹ kintam¹jį (p);

turinčius du kintamuosius (p, q);

turinčius trys kintamuosius (p, q, r);

turinčius keturis kintamuosius (p, q, r, s).

16. TEIGINIŲ LOGIKOS TAIKYMAS SAMPROTAVIMUOSE.

(NEKAMOSIOS KALBOS FORMALIZAVIMAS).

Samprotavim¹ sudaro trys dalys: prielaidos, ivada ir ivedimo taisyklė.

Prielaidos yra pradiniai samprotavimo teiginiai.

Ivada yra tas teiginys, kuris gaunamas i prielaidų.

Ivedimo taisyklė įgalina i prielaidų padaryti ivad¹.

I tam tikrų prielaidų daroma ne bet kokia, bet tam tikra ivada. Tai padaryti įgalina toji ivedimo taisyklė, kuria remiamasi samprotavimuose. Ivedimo taisyklėmis būna logikos dėsniai arba kokios nors kitos taisyklės.

Panagrinėkime samprotavim¹:

Jei dėstytojas nepatraukliai dėsto (), tai studentai nestudijuoja produktyviai ().

Dėstytojas dėsto nepatraukliai ().

__________ ______ ____ _________

Vadinasi, studentai nestudijuoja produktyviai ().

Pirmieji du teiginiai yra io samprotavimo prielaidos, o ivada nuo jų atskirta brūkniu. iame samprotavime taikom¹ logikos dėsnį galima surasti, formalizavus samprotavim¹, nustačius jo loginź struktūr¹. Gauname:

prielaidos .

___________

ivada Vadinasi, .

Logikos iraikos raomos vienoje eilutėje. Tuo tikslu prielaidas reikia sujungti konjunkcijos ˛enklu, o ivad¹ prie prielaidų prijungti implikacijos ˛enklu, nes ivada seka i prielaidų. Pateikto samprotavimo loginė struktūra vienoje eilutėje u˛raoma taip: [( ) ] . i iraika ir yra toji ivedimo taisyklė, kuria remiamasi, i prielaidų darant ivad¹ (antecendento teigimo dėsnis – jei antecendentas teisingas, tai teisingas ir konsekventas).

Kiek prielaidų sudaro samprotavim¹? Samprotavime ma˛iausiai turi būti dvi prielaidos. Bet gali būti dvi, trys, keturios ir t.t. prielaidos.

Turime vien¹ prielaid¹: “Jei paskaita prasidėjo, tai dėstytojas yra auditorijoje”. i¹ prielaid¹ sudaro du paprasti teiginiai, sujungti implikacija: p q. I ios prielaidos galima gauti ivad¹, panaudojus kontrapozicijos dėsnį: ( p q ) ( ). Tad i prielaidos “Jei paskaita prasidėjo, tai dėstytojas yra auditorijoje” seka ivada “Jei dėstytojo auditorijoje nėra, tai paskaita neprasidėjo”.

Tarkime turime tris teiginius: “Kaupiasi debesys” (p); “Kyla vėjas” (q); “Prasideda audra” (r). I ių teiginių sudarykime sudėtinį teiginį: “Jei kaupiasi debesys ir kyla vėjas, tai prasideda audra”. Laikykime į teiginį prielaida ir padarykime i jos ivad¹. Pirmiausia nustatome, kad prielaidos loginė struktūra tokia: ( p q ) r. ios iraikos daliai q r taikykime kontrapozicijos dėsnį. Gauname: . Vadinasi, i prielaidos ( p q ) r darome ivad¹ ( p ) . Sujungź prielaid¹ ir ivad¹ implikacija, gauname: [( p q ) r] [( p ) ]. Taigi i prielaidos “Jei kaupiasi debesys ir kyla vėjas, tai prasideda audra”, darome ivada “Jei kaupiasi debesys ir nekyla audra, tai vėjas nekyla”.

Būtina pa˛ymėti, kad i tos pačios prielaidos, panaudojant skirtingus logikos dėsnius, galima gauti skirtingas ivadas. I prielaidos “Jei internetinė svetainė įdomi, tai joje daug kas lankosi” galima daryti įvairias ivadas. Panaudojus dėsnį, kas nesuderinama su konsekventu, nesuderinama su antecendentu – ( p q ) ( ) – ir r pakeitus teiginiu “Interneto svetainė u˛mirta”, skaitome: “I to kad interneto svetainė įdomi ir joje daug kas lankosi, seka, kad jei netiesa, kad svetainėje daug kas lankosi ir ji yra u˛mirta, tai netiesa, kad internetinė svetainė įdomi ir ji yra u˛mirta”.

Panaudojus implikacijos pereinamumo dėsnį ( p q ) [( q r ) ( p r )] ir r pakeitus teiginiu “Pravartu turėti kelias įdomias svetaines”, skaitome: i prielaidos “Jei interneto svetainė įdomi, tai joje daug kas lankosi” seka ivada “I to, kad interneto svetainėje daug kas lankosi, tai pravartu turėti kelias įdomias svetaines, seka, kad jei interneto svetainė įdomi, tai pravartu turėti kelias įdomias interneto svetaines”.

Teiginių logika sėkmingai taikoma sudėtingiems klausimams, sudėtingoms situacijoms sprźsti. Inagrinėsime tokį atvejį. Tarkime, kad tam tikr¹ nusikaltim¹ galėjo padaryti tik vienas i keturių įtariamų asmenų: K, L, M, N. K teigia, kad nusikaltim¹ padarė L; L teigia, kad nusikaltim¹ padarė N; M sako, kad jis nepadarė nusikaltimo; N sako, kad jis nepadarė nusikaltimo. Kas padarė nusikaltim¹, jei yra ˛inoma, kad tik vienas i keturių teiginių teisingas?

Kiekvieno asmens parodymus ˛ymėsime atskiru simboliu: nusikaltim¹ padarė L (L); nusikaltim¹ padarė N (N); M nepadarė nusikaltimo (); N nepadarė nusikaltimo (). Taigi turime keturis teiginius: L, N, , .

Tarkime, kad teisingas teiginys L (nusikaltim¹ padarė L). Jei L teisingas, tai pagal s¹lyg¹, visi kiti trys teiginiai turi būti klaidingi. Jei L teisingas, tai N (nusikaltim¹ padarė N) klaidingas: L . Tai atitinka s¹lyg¹. Jei L teisingas, tai (M nepadarė nusikaltimo) klaidingas. Tada turime neigti (). ˇinome, kad dvigubas neigimas lygiavertis teigimui: ~ M. Tačiau M reikia: nusikaltim¹ padarė M. Ieina, kad nusikaltim¹ padarė dar ir antras asmuo, bet tai prietarauja s¹lygai. Vadinasi prielaida, kad L teisingas (nusikaltim¹ padarė L) atkrinta, nustatome, kad L nusikaltimo nepadarė.

Tarkime, kad teisingas teiginys N (nusikaltim¹ padarė N). Susidaro ta pati situacija, kaip ir aukčiau pateiktoji. Jei N teisingas, tai klaidingas. O dvigubas neigimas tolygus teigimui: “Netiesa, kad M nepadarė nusikaltimo” lygiavertis teigimui “M padarė nusikaltim¹”. Vėl ieina, kad nusikaltim¹ padarė dar ir antras asmuo. Taigi nustatome, kad teiginys N klaidingas ir N nusikaltimo nepadarė.

Tarkime, kad teisingas teiginys (M nepadarė nusikaltimo). Pagal s¹lyg¹, visi likusieji teiginiai turi būti klaidingi: L (nusikaltim¹ padarė L) klaidingas, vadinasi, L nepadarė nusikaltimo; N (nusikaltim¹ padarė N) klaidingas, vadinasi, N nepadarė nusikaltimo; (nusikaltimo N nepadarė) klaidingas, vadinasi, N padarė nusikaltim¹. Gavome aikų prietaravim¹: N nepadarė nusikaltimo ir N padarė nusikaltim¹. Teiginys, i kurio seka prietaravimas, yra klaidingas. Vadinasi, prielaida (M nepadarė nusikaltimo) klaidinga, ir nusikaltim¹ padarė M.

Kad nusikaltim¹ padarė M, įrodo ir paskutiniojo atvejo patikrinimas. Tarkime, kad (N nepadarė nusikaltimo) teisingas. Tada L (nusikaltim¹ padarė L) klaidingas, N (nusikaltim¹ padarė N) klaidingas, (M nepadarė nusikaltimo) klaidingas, vadinasi M padarė nusikaltim¹.

Pakartojimui

Kas sudaro samprotavim¹?

K¹ vadiname prielaidomis ir k¹ – ivadomis?
Koks dėsnio vaidmuo samprotavimuose?
Kokiu ˛enklu sujungiamos prielaidos ir kokiu ˛enklu prie prielaidų prijungiama ivada?

Pratimai

17. ISPRENDˇIAMUMO PROBLEMA

Visos loginės iraikos skirstomos į tris grupes.

1. Visuomet teisingos iraikos. Jos yra logikos dėsniai. Kai samprotavimas įgauna logikos dėsnio form¹, ivada visuomet esti teisinga (esant teisingoms samprotavimo prielaidoms).

2. Visuomet klaidingos iraikos. Jos yra logikos dėsnių neigimas. Kai samprotavimas įgauna visuomet klaidingos iraikos form¹, teisinga iraika niekuomet negaunama.

3. Kartais teisingos (atitinkamai – kartais klaidingos) iraikos. Kai samprotavimas įgauna ios iraikos form¹, tai gaunama teisinga arba klaidinga ivada. Kada gaunama teisinga ivada ir kada klaidinga – dėsningumo nėra. Tai priklauso tik nuo objektų, apie kuriuos samprotaujama.

Isprend˛iamumo problemos esmė yra ta, kad, panaudojus apibrė˛t¹ loginių veiksmų skaičių, galima nustatyti, ar nagrinėjamoji iraika yra visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga, ar kartais teisinga (atitinkamai – kartais klaidinga).

Isprend˛iamumo problema yra pagrindinė kiekvienos loginės teorijos problema. Kiekvienoje loginėje teorijoje nustatoma, kokios iraikos joje laikomos bendrareikmėmis, t.y. dėsniais.

Teiginių logikoje isprend˛iamumo problem¹ galima sprźsti keliais būdais. Inagrinėsime du būdus: vartojant matricų metod¹ ir suteikiant iraikai normali¹j¹ form¹.

ISPRENDˇIAMUMO PROBLEMOS SPRENDIMAS MATRICŲ METODU.

Jau ankčiau iraikų teisingum¹ nustatydavome matricomis. Panagrinėkime į samprotavim¹:

Netiesa, kad teorija S ir teorija S₁ teisinga.

Nustatyta, kad teorija S klaidinga._______

Vadinasi, …

Kokia ivada seka i ių prielaidų? Tarkime, kad kas nors samprotauja taip: jei dvi teorijos nėra abi kartu teisingos ir viena i jų yra klaidinga, tai antroji teorija teisinga. Tikrinant, ar i ivada teisinga, pirmiausia reikia samprotavim¹ formalizuoti. Teiginį “Teorija S teisinga” pa˛ymėkime raide p, teiginį “Teorija S₁ teisinga” raide q. Gauname:

Vadinasi, q.

Sujunkime prielaidas konjunkcija: . Ivad¹ prie prielaidų prijunkime implikacija: ( ) q. i iraika ir yra nagrinėjamo samprotavimo loginė struktūra, ivedimo taisyklė. Jos teisingum¹ nustatysime matrica:

p q p p q ( ) q

t t k t k k t

t k k k t k t

k t t k t t t

k k t k t t k

Paskutiniame lentelės stulpelyje yra tiek reikmė “teisinga” tiek ir reikmė “klaidinga”. Vadinasi, nagrinėjamoji iraika nėra logikos dėsnis, nes ji yra kartais teisinga ir kartais klaidinga. Tai rodo, kad samprotavimui įgavus ios iraikos form¹, kartais galima gauti teising¹, o kartais – klaiding¹ ivad¹. I tiesų, jei yra ˛inoma, kad dvi teorijos negali būti kartu teisingos ir kad viena i jų klaidinga, tai vien tik logikai samprotaujant negalima daryti ivados, kad antroji teorija būtinai teisinga, nes abi teorijos gali būti klaidingos. Vien tik logikos priemonėmis tokiu atveju neįmanoma nustatyti, ar antroji teorija teisinga, ar neteisinga. Reikia teorij¹ konkrečiai tirti.

Pateikto samprotavimo prielaidas pertvarkykime taip:

Netiesa, kad teorija S teisinga ir teorija S₁ teisinga ( )

Nustatyta, kad teorija S teisinga ( p ).__________________

Vadinasi, teorija S₁ klaidinga ( ).

Ar teising¹ padarėme ivad¹ – į tai atsako io samprotavimo struktūros ( p) patikrinimas matrica:

p q q p q p ( p )

t t k t k k t

t k t k t t t

k t k k t k t

k k t k t k t

Paskutinis matricos stulpelis rodo, kad nagrinėjamoji iraika yra visuomet teisinga, o tai reikia, kad ivad¹ padarėme teising¹.

Ankčiau nagrinėjome samprotavim¹: i prielaidos: “Jei debesys kaupiasi ir kyla vėjas, tai prasideda audra” seka ivada “Jei kaupiasi debesys ir neprasideda audra, tai nekyla vėjas”. Patikrinkime ar teisinga padarytoji ivada.

į samprotavim¹ esame u˛raź iraika [ (p q ) r ] [ ( p ) ]. Iki iol sudarinėdavome matricas iraikoms, kuriose būdavo daugiausia du pradiniai teiginiai – p ir q, pasitaikydavo dar jų neigimai. Tuo tarpu ioje iraikoje yra trys pradiniai teiginiai – p, q, r. Tad paprastų teiginių visų galimų teisingumo atvejų skaičius bus ˛ymiai didesnis. I viso matricoje bus 8 eilutės:

p q r q p q (p q) r p (p ) [(p q) r] [(p ) ]

t t t k k t t k t t

t t k k t t k t k t

t k t t k k k k t t

t k k t t k k t t t

k t t k k k k k t t

k t k k t k k k t t

k k t t k k k k t t

k k k t t k k k t t

Matricos paskutiniame stulpelyje yra tik reikmė “teisinga”. Vadinasi, nagrinėjamoji iraika yra logikos dėsnis, ir padaryta ivada teisinga.

Matricos patogios sprźsti isprend˛iamumo problem¹, kai iraikoje nedaug paprastų teiginių. Kuo paprastų teiginių daugiau, tuo matrica darosi sudėtingesnė. Jei iraikoje yra 4 paprasti teiginiai, tai matric¹ sudarys jau 16 eilučių, jei 5 – 32 eilutės. Sudarant matricas, kyla techninio pobūd˛io sunkumų, nes lengvai galima apsirikti. Tokiu atveju isprend˛iamumo problem¹ galima sprźsti kitu būdu – suteikiant iraikai normali¹j¹ form¹.

ISPRENDˇIAMUMO PROBLEMOS SPRENDIMAS, SUTEIKIANT LOGINĖMS IRAIKOMS NORMALI�J� FORM�

Kiekvien¹ teiginių logikos formulź galima ireikti, pavartojus tris veiksmus – neigim¹, konjunkcij¹ ir disjunkcij¹.

Normali¹j¹ form¹ iraika turės tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija. Be to, neigimas turi tekti tik paprastiems teiginiams.

Suteikiant iraikai normali¹j¹ form¹, remiamasi iais lygiavertikumais:

lygiavertika p (1)

lygiavertika (2)

lygiavertika (3)

lygiavertika (4)

lygiavertika (5)

lygiavertika (6)

lygiavertika (7)

lygiavertika (8)

lygiavertika (9)

lygiavertika (10)

lygiavertika (11)

(1) (5) dėsniai mums jau ˛inomi. Tai dvigubo neigimo dėsnis, de Morgano taisyklės, implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu, implikacijos neigimo lygiavertikumas. (6) (7) lygiavertikumai taip pat ˛inomi. Tai konjunkcijos ir disjunkcijos narių sukeitimas vietomis (komutatyvumas). (8) ir (9) lygiavertikumai vadinami asociatyviniais dėsniais. Jie parodo, kad teiginį galima įkelti arba ikelti u˛ skliaustų. Jie visai panaūs į elementariuosius matematikos veiksmus: a ( b c ) = (a b ) c ; a + ( b + c ) = ( a + b ) + c. Dėl to ir sakoma, kad su jungtimi “ir” galima atlikti veiksm¹, panaų į daugybos veiksm¹, o su jungtimi “arba’ galima atlikti veiksm¹, panaų į sudėties veiksm¹. (10) ir (11) lygiavertikumai vadinami distributyviniais dėsniais. (10) dėsnis panaus į distributyvum¹ elementariojoje matematikoje: a ( b + c ) = (a b ) + ( a c ). Konkretus (10) dėsnio pavyzdys: teiginys “Tais metais gegu˛ės mėnuo buvo labai iltas ir pūtė pietryčių vėjas arba da˛nai buvo giedra” lygiavertis teiginiui “Tais metais gegu˛ės mėnuo buvo iltas ir pūtė pietryčių vėjas arba tais metais gegu˛ės mėnuo buvo iltas ir visai nelijo”.

Kai iraikoje yra daugiau teiginių, atsiranda ie du distributyvinių dėsnių variantai:

[ () ( ) ] ~ [ () () ( ) ( ) ].

Matome, kad iuo atveju distributyvinis dėsnis taikomas du kartus: [] ~ [] ir [] ~ [].

Panaiai [] ~ [].

2. [ ] ~ [ ].

iuo atveju teiginys laikomas neskaidomu vienetu ir prie jo prijungiami teiginys r ir teiginys s.

Panaiai [] ~ [].

O jei pvz., turime iraik¹ , tai, pirmiausia sukeitź konjunkcijos narius vietomis, gauname , o paskui iai iraikai taikome antr¹jį distributyvinio dėsnio variant¹.

Suteikiant iraikoms normali¹j¹ form¹, kartais tenka remtis dar ir kitais lygiavertikumais. Tačiau mūsų tikslui pakanka pateiktų lygiavertikumų, jie laikomi pagrindiniais.

Loginėms iraikoms galima suteikti dvi normali¹sias formas – konjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹ ir disjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹. Kiekviena i ių normaliųjų formų turi savo variantus.

Pakartojimui

Kaip suprantama isprend˛iamumo problema?
Kokiais būdais ji sprend˛iama?

Pratimai

Ivados teisingum¹ nustatykite matrica:

Jei ilgai ¹la, tai e˛erai pasidengia ledu. Ne¹la, vadinasi, e˛erai nepasidengź ledu.
Jei ilgai ¹la, tai e˛erai pasidengia ledu. E˛erai nepasidengź ledu. Vadinasi, ne¹la.

18. IRAIKOS KONJYNKTYVI NORMALIOJI FORMA

Iraikos konjunktyvi normalioji forma yra jai lygiavertė iraika, kuri yra paprastų disjunktyviai susietų teiginių konjunkcija.

Kiekvienai iraikai lygiaverčių pertvarkymų dėka galima suteikti konjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹. Suteiksime normali¹j¹ form¹ iraikai .

Remiantis (3) lygiavertikumu, patvarkome :

Pritaikź (11) , gauname:

Gautoji iraika yra konjunktyvi normalioji forma. Ji yra konjunktyvus teiginys, be to, kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija.

Pavadinimo “konjunktyvi normalioji forma” santrumpa yra knf. Inagrinėkime du knf standartinius variantus.

Vienas konjunktyvios normaliosios formos variantų yra visuomet teisingas teiginys.

Jei iraikai suteikiama konjunktyvi normalioji forma, kurioje konjunkcijos nariai yra paprastų teiginių disjunkcijos ir kiekvienoje disjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas, tai tokia iraika yra visuomet teisinga.

Natūralu, kad ne kiekvienai iraikai galima suteikti toki¹ konjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹. J¹ galima suteikti tik toms iraikoms, kurios yra logikos dėsniai.

Aptariam¹j¹ konjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹ suteiksime iraikai .

Remdamiesi (4) lygiavertikumu, skliaustuose esanči¹ implikacij¹ pakeičiame disjunkcija: .

Atkreipkite dėmesį į iraik¹ . Ji gaunama taip. Pagal (4), implikacij¹ keičiant disjunkcija, reikia implikacijos ˛enkl¹ pakeisti disjunkcijos ˛enklu ir neigti buvusios konjunkcijos antecendent¹. Kadangi implikacijos antecendentas buvo , tai jis įgauna dar vien¹ neigim¹ . Buvźs implikacijos konsekventas ilieka nepakitźs.

Pritaikź (1), paaliname dvigub¹ neigim¹:

Remdamiesi (4), implikacij¹ pakeisime disjunkcija:

Pritaikź (3), paaliname neigim¹:

Paaliname dvigub¹ neigim¹:

Pritaikź (11), gauname:

i iraika yra ta konjunktyvi normalioji forma, kuri visuomet yra teisingas teiginys. Ji yra konjunktyvus teiginys, be to, kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija. Kiekvienoje disjunkcijoje yra teiginys ir to teiginio neigimas. Pirmoje disjunkcijoje turime , antroje - . Teiginiai ir yra visuomet teisingi, jie yra negalimo trečiojo dėsnio pasireikimai. ˇinome, kad disjunkcija teisinga, jei teisingas bent vienas jos narys. Vadinasi, prie ir disjunktyviai galime prijungti bet kokius teiginius, vis tiek visa disjunkcija bus teisinga. Kadangi disjunkcija teisinga ir disjunkcija teisinga, tai ių disjunkcijų konjunkcija taip pat teisinga.

Suteiksime konjunktyviai normali¹j¹ form¹ iraikai:

[] .

Remdamiesi (4), skliaustuose esanči¹ implikacij¹ pakeičiame disjunkcija:

[]

Vėl implikacij¹ pakeičiame disjunkcija pagal (4):

Pritaikź (2) paaliname didįjį neigim¹:

Taikome (3):

Paaliname dvigub¹ neigim¹:

[] .

Lau˛tiniuose skliaustuose esančiai iraikai taikome (11);

[ ] .

Vėl taikome (11), prie tai aikumo dėlei sukeitź disjunkcijos narius vietomis pagal (7):

[ ].

Dabar taikome (11), t.y. prie p V r disjunktyviai prijungiame kiekvien¹ lau˛tiniuose skliaustuose esanti konjunkcijos narį:

Gautoji iraika yra konjunktyviai normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga. Ji yra konjunkcija, kurios atskiri nariai – disjunktyvūs teiginiai. Kiekvien¹ disjunkcij¹ sudaro koks nors teiginys ir to teiginio neigimas.

Konjunktyvi normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga, įgalina nustatyti, ar formulė B yra formulių A₁, A₂, A₃…A_n loginis sekmuo.

Tegul turime prielaidas . Reikia nustatyti, ar i ių prielaidų galima ivesti sekmenį q. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija, o ivada prie prielaidų prijungiama implikacijos ˛enklu. Gauname:

[ ] .

iai iraikai suteikiame knf. Pirmiausia implikacij¹ keičiame disjunkcija pagal (4):

Taikome (2):

Taikome (3) ir (1):

[]

Remdamiesi (7), disjunkcijos narius sukeičiame vietomis:

[].

Lau˛tiniuose skliaustuose esančiai iraikos daliai taikome (11):

[].

Dar kart¹ taikome antr¹jį distributyvinį dėsnį:

Gautoji iraika yra knf, kuri yra visuomet teisingas teiginys, dėl to ir teiginys q yra prielaidų loginis sekmuo.

Jei, prielaidas sujungus konjunkcija ir iekom¹ sekmenį prie prielaidų prijungus implikacija, sudarytajai iraikai neįmanoma suteikti knf, kuri yra visuomet teisinga, tai reikia, kad duotasis teiginys i turimųjų prielaidų logikai neseka.

Antrasis konjunktyvios normaliosios formos variantas yra tobula knf.

Iraikos tobula konjunktyvi normalioji forma yra jos konjunktyvi normalioji forma, turinti iuos po˛ymius:

a) joje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;

b) nė viename konjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;

c) nė viename konjunkcijos naryje nėra teiginio ir kartu to teiginio neigimo;

d) kiekviename konjunkcijos naryje yra visi iraikoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigiamo ˛enklu arba be jo.

Isiaikinkime iuos tobulos knf po˛ymius.

Reikalavim¹ a) galima įvykdyti, remiantis suprastinimo dėsniu Jei, pvz., turime iraik¹ tai vienas pasikartojantis konjunkcijos narys ibraukiamas. Gauname

Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu Jei turime iraik¹ tai pirmajame konjunkcijos naryje pasikartojantį teiginį p ibraukiame. Gauname

Reikalavimas c) reikia, kad nė viename konjunkcijos naryje neturi būti formos teiginių. Tokios formos teiginys visuomet būtų teisingas. Dėl to, jei, sakysime, yra iraika , tai treči¹jį konjunkcijos narį reikia ibraukti. Gauname .

Reikalavimas d) įvykdomas taip: jei kurio nors iraikos teiginio X konjunkcijos naryje trūksta, tai t¹ teiginį ir jo neigim¹ disjunkcijos ˛enklu reikia prijungti prie konjunkcijos nario. is prijungimas teisėtas, remiantis iskaidymo dėsniu []. Tegu turime iraik¹ . Ji yra knf, tačiau nėra tobula knf, nes neatitinka reikalavimo d). Remiantis iskaidymo dėsniu, prie teiginio prijungiame trūkstam¹ teiginį q: []. Pritaikź (11), gauname: .

Tobul¹ knf galima suteikti bet kuriai iraikai, iskyrus visuomet teisingas. i¹ form¹ suteiksime iraikai

Remiantis (4), implikacij¹ pakeičiame disjunkcija:

Gavome konjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹, kuri nėra tobula knf, nes neatitinka reikalavimo b). Dėl to pasikartojantį teiginį ibraukiame:

i knf taip pat dar ne tobula knf, nes ji neatitinka d) reikalavimo. Dėl to prie teiginio disjunkcijos ˛enklu prijungiame

Taikome (11):

Gautoji iraika vėlgi nėra tobula knf, nes ji neatitinka a) reikalavimo. Dėl to pasikartojantį konjunkcijos narį ibraukiame:

i iraika jau yra iraikos tobula knf.

Tobula knf įgalina nustatyti visus turimųjų prielaidų sekmenis. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija ir gautai iraikai suteikiama tobula knf: kiekvienas tobulos knf konjunkcijos narys ir kiekviena konjunkcija su bet kuriuo narių skaičiumi yra turimų prielaidų sekmuo.

Tegul turime prielaidas ; p. Nustatysime jų sekmenis. Tuo tikslu iraikai suteiksime tobul¹ knf.

Remiantis (2):

Pagal reikalavim¹ d) prie teiginio p prijungsime trūkstam¹ narį q:

[]

Lau˛tiniuose skliaustuose esančiai iraikos daliai taikome (11):

Gautoji iraika yra tobula knf. Ji rodo, kad i prielaidų ir ivedami 7 sekmenys:

Pakartojimui:

Kas yra iraikos konjunktyvi normalioji forma?

Kuri knf visuomet teisinga?
K¹ įgalina nustatyti knf, kuri visuomet teisinga?
Kas yra tobula knf?
K¹ parodo tobula knf?

Pratimai:

Suteikite konjunktyvinź normali¹j¹ form¹, kuri yra visuomet teisinga iraikai []

Ar iraika yra prielaidų loginis sekmuo?

Suteikite tobul¹ knf iraikai [ ] V p.

Kokie sekmenys ivedami i prielaidų p; pq?

19. DISJUNKTYVI NORMALIOJI LOGIKA

Iraikos disjunktyvi normalioji forma yra jai lygiavertė iraika, kuri yra paprastų konjunktyviai susietų teiginių disjunkcija.

Pavadinimo “disjunktyvi normalioji forma” santrumpa yra dnf.

Kiekvienai teiginių logikos iraikai lygiaverčių pertvarkymų dėka galima suteikti disjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹. Suteiksime disjunktyvi¹ normali¹j¹ form¹ iraikai

Taikome (4):

Sukeičiame konjunkcijos narius vietomis:

Taikome (10):

Gautoji iraika yra disjunktyvi normalioji forma. Ji yra disjunkcija, kurios kiekvienas narys yra konjunktyvus teiginys.

Vienas disjunktyvios normaliosios formos narys yra visuomet klaidingas teiginys.

Jei iraikai suteikiama disjunktyvi normalioji forma, … disjunkcijos nariai yra paprastų teiginių konjunkcijos ir kiekvienoje konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas, tai tokia iraika yra visuomet klaidinga.

Panagrinėkime iraik¹

Remdamiesi (5), paaliname neigim¹:

Implikacij¹ pakeičiame disjunkcija, pritaikź (4):

Remdamiesi (10), pertvarkome lau˛tiniuose skliaustuose esanči¹ iraikos dalį:

Vėl taikome (10), prie tai aikumo dėlei sukeisdami konjunkcijos narius vietomis:

Gautoji iraika yra toji disjunkcijos normalioji forma, kuri yra visuomet klaidinga. Ji yra disjunkcija, kiekvienas disjunkcijos narys yra paprastų teiginių konjunkcija. Be to kiekvienoje konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas. Kadangi yra visuomet klaidingas teiginys, tai prie jo konjunktyviai galima prijungti bet kokius kitus teiginius, vis tiek jų konjunkcija bus klaidinga (konjunkcijos klaidingumui pakanka bent vieno jos nario klaidingumo). T¹ patį galima pasakyti ir apie

Jei iraikai negalima suteikti konjunktyvios normaliosios formos, kuri yra visuomet teisinga, ir negalima suteikti disjunktyviai normaliosios formos, kuri yra visuomet klaidinga, tai tokia iraika yra kartais teisinga (atitinkamai – kartais klaidinga).

Antrasis disjunktyviosios normaliosios formos standartas yra tobula dnf.

Iraikos tobula disjunktyvi normalioji forma (dnf) yra jos disjunktyvi normalioji forma, turinti iuos po˛ymius:

a) joje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;

b) nė viename disjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;

c) nė viename disjunkcijos naryje nėra teiginio ir to teiginio neigimo;

d) kiekviename disjunkcijos naryje yra visi iraikoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigimo ˛enklu arba be jo.

ie reikalavimai panaus į reikalavimus, keliamus tobulai knf. Antai iraikoje viena disjunkcijos narį reikia ibraukti, remiantis suprastinimo dėsniu . Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu . Pvz., iraika yra dnf, bet netobula. Dėl to pirmajame disjunkcijos naryje pasikartojantį teiginį p reikia ibraukti: Reikalavimas c) reikia, kad tobuloje dnf formoje negali būti formos teiginių. Tokios formos teiginiai būtų visuomet klaidingi. Jei tokių teiginių pasitaiko, ibraukiamas visas disjunkcijos narys. Pvz., iraika , taikant jei reikalavim¹ c), suprastinama, ibraukiant pirm¹jį disjunkcijos narį. Lieka Reikalavimas d) įvykdomas panaiai kaip ir tobulos knf atveju: jei kurioms iraikos teiginio X disjunkcijoje naryje trūksta, tai t¹ teiginį ir jo neigim¹, … disjunktyviai , konjunkcijos ˛enklu reikia pajungti prie to disjunkcijos nario. Toks prijungimas teisėtas, remiantis iskaidymo dėsniu

Tobul¹ dnf galima suteikti bet kuriai iraikai, iskyrus visuomet klaidingas. Suteiksime i¹ form¹ iraikai

Remiantis (4):

Paaliname dvigub¹ neigim¹:

Taikome (10) pirm¹jį variant¹:

Gautoji iraika yra disjunktyvi normalioji forma, tačiau ji dar nėra tobula dnf. Ji neatitinka reikalavimo b) nes joje yra disjunkcijos nary Dėl to viena teiginį ibraukiame. Taip pat pagal reikalavim¹ c) reikia ibraukti disjunkcijos narį Gauname:

Vykdydami reikalavim¹ d), prie q prijungiame trūkstam¹ teiginį p:

Lau˛tinuose skliaustuose esančiai iraikos daliai taikome (10):

Pagal reikalavim¹ a), ibraukiame pasikartojančius disjunkcijos narius ir gauname iraik¹, kuri yra tobula dnf:

Tobula dnf parodo įvairias galimybes, kurioms esant, turimoji iraika yra teisinga. Pateiktoji iraika yra teisinga dviem atvejais: kai p klaidingas ir q teisingas kai q teisingas ir p klaidingas Tuo lengva įsitikinti, iraik¹ pakeitus nurodytomis teiginių p ir q teisingumo reikmėmis.

Pirmas atvejis:

Antras atvejis:

Pakartojimui

Kas yra iraikos disjunktyvi normalioji forma?

Kuri dnf visuomet klaidinga?
Kas yra tobula dnf?
K¹ parodo tobula dnf?

Pratimai

Suteikite disjunktyvi¹ normali¹j¹ forma, kuri yra visuomet klaidinga, iraikai .
Suteikite tobul¹ dnf iraikai
Kurioms galimybėms esant, iraika yra teisinga?

20. TEIGINIŲ LOGIKOS TAIKYMAS TECHNIKOJE

Teiginių logika plačiai taikoma iuolaikinėje technikoje, kibernetikoje, kompiuterijoje, informatikoje. Pateiksime tokį pavyzdį. Parodytoji schema įgali valdyti informacij¹: praleisti vienus signalus, sulaikant antruosius, ir prieingai.

“ir”

įvedimas

“arba”

“ir”

ivedimas

įvedimas

valdymas

S₁ S₂

1 brė˛.

Į ivedam¹ eina signalai, patenkantys įvedimo kanalu A arba įvedimo kanalu B priklausomai nuo to, kaip veikia valdymas S₁ir S₂. Kai valdymo signalas S₁ praleid˛ia signal¹, ateinantį kanalu A, tai signalas ties kanalu B sulaikomas. Padavus valdymo signal¹ S₂, gausime atvirkči¹ vaizd¹. Tad ios schemos veikimas apraomas loginėmis iraikomis

P = (AS₁) V (BS₂);

P = (BS₂);

P = (AS₁).

Iraikos nereikia suskliausti, nes skliaustus atstoja neigim¹ ˛ymįs brūknys.

A. de Morganas – XIX a. anglų matematikas, logikas, nustatźs ias taisyklės.

H. M. eferis – amerikiečių logikas, 1913 m. įvedźs į veiksm¹.

Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Vizualizari: 1116
Importanta:

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL
https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/TEIGINI-LOGIKA92516.php

Adauga cod HTML in site
<a href="https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/TEIGINI-LOGIKA92516.php" target="_blank" title=" - https://www.scrigroup.com/limba/lituaniana/265/TEIGINI-LOGIKA92516.php">TEIGINIŲ LOGIKA</a>

TEIGINIŲ LOGIKA

matematika

DOCUMENTE SIMILARE

TEIGINIŲ LOGIKA

Pratimai

Pakartojimui

Pratimai

Pratimai

p q

Pratimai

Pratimai

Pratimai

Pratimai

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comenteaza documentul: