Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu. Ekonominės sistemos balanso modelis

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu. Ekonominės sistemos balanso modelis

Paskaitos tikslas

išmokti spręsti tiesinių lygčių sistemas Gauso metodu,

išmokti tirti paprasčiausius tiesinius ekonomikos ir verslo utdavinių modelius.

Trijų lygčių sistemos su trimis netinomaisiais

Šiame skirsnyje sudarysime racionaliojo gamybos plano matematinį modelį (tiesinių lygčių sistemą), apibrėšime ekvivalenčiuosius sistemų pertvarkius ir išdėstysime Gauso metodą.

Racionalus gamybos planas

Siuvykloje siuvami trijų stilių marškiniai. Marškiniai turi per­eiti tris gamybos proce­sus: kirpimą, siuvimą ir pakavimą. Procesų trukmė nurodyta 1 len­te­lė­je. Su­kir­­pėjai, siuvėjai ir pa­kuotojai per savaitę gali dirbti atitinkamai 1 160, 1560 ir 480 va­lan­dų. Kiek kurio stiliaus marškinių reikia siūti, kad siuvykla veiktų visu pajėgumu?

lentelė. Siuvyklos ištekliai (procesų trukmė ir taliavos)

Patymėkime

x – A stiliaus marškinių kiekį, pasiuvamų per savaitę,

y – B stiliaus marškinių kiekį, pasiuvamų per savaitę,

z – C stiliaus marškinių kiekį, pasiuvamų per savaitę.

Reiškinys

0,2x + 0,4y + 0,3z

yra kirpimo valandų skaičius per savaitę visų trijų stilių marškiniams, o reiškiniai

0,3x + 0,5y + 0,4z

0,1x + 0,3y + 0,1z

yra siuvimo valandų skaičius per savaitę ir medtiagos poreikis visų trijų stilių marškiniams. Norint išnaudoti visus gamybos pajėgumus, t.y. sudaryti racionalųjį gamybos planą, pagal kurį būtų siuvama tiek marškinių, kad visi gamybos pajėgumai būtų išnaudojami ir neviršijami taliavos ištekliai, gamybos procesų trukmė turi būti lygi didtiausiajai galimai atitinkamo proceso trukmei ir turimoms taliavų atsargoms:

Šios trijų lygčių sistemos sprendinys (x, y, z), jei tik egzistuoja, ir yra tas kiekvieno stiliaus marškinių skaičius, kurį gaminant išnaudojami visi gamybos pajėgumai ir taliavos.

Ekvivalentieji lygčių sistemų pertvarkiai

Trijų tiesinių lygčių sistema su trimis ne­tinomaisiais vadinama tokia lygčių sistema:

Joje x, y ir z yra netinomieji, a_ij ir b_j – tinomi sistemos koeficientai; b_j vadinami lais­vai­siais nariais (i = 1,2,3, j = 1,2,3). Koeficientai a₁₁, a₂₂, a₃₃ sudaro pagrindinę sistemos įstri­tainę.

Jei vieną sistemos lygtį padaugintume ar padalytume iš skaičiaus, nelygaus nuliui, tai gau­tume lygtį su tais pačiais sprendiniais. Jei prie sistemos vienos lygties panariui pridėtume ki­tą sistemos lygtį, tai taip pat gautume lygčių sistemą su tais pačiais sprendiniais.

Taigi su sistemos lygtimis galima atlikti tokius veiksmus, vadinamus ekvivalenčiaisiais arba elementariaisiais pertvarkiais, kurie nekeičia sistemos sprendinių aibės:

1) sistemos lygtį galima dauginti iš skaičiaus, nelygaus nuliui,

2) vieną sistemos lygtį, padaugintą iš kokio nors skaičiaus, panariui pridėti prie kitos lygties,

3) sukeisti dvi sistemos lygtis vietomis.

Atlikus kuriuos nors iš šių pertvarkių, gaunama sistema yra ekvivalenti pradinei.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Ekvivalenčiaisiais pertvarkiais bet kurią sistemą, turinčią vienintelį spren­dinį, galima pertvarkyti į trikampį pavidalą. Trikampe vadinama tokia sistema, kurios pa­grindinės įstri­tai­nės koeficientai yra vienetai, o koeficientai po ja – nuliai:

Ši Gauso metodo dalis – sistemos pertvarkymas į trikampę – vadinama tiesiogine eiga. Iš trikampės sistemos atbuline eiga labai pa­pras­ta apskaičiuoti visus netinomuosius: iš trečiosios lygties z yra tinomas; jo reikšmę įrašius į antrąją lygtį apskaičiuojamas y, o į pirmąją lygtį įrašius apskaičiuotąsias y ir z reikšmes, ran­da­mas x.

Teliko išsiaiškinti, kaip pradinė sistema pertvarkoma į trikampę. Tai padaroma ek­vi­va­len­čiaisiais pertvarkiais su pirmąja lygtimi šalinant netinomuosius x ir y iš antrosios ir trečiosios lygties. Pirmosios lygties pirmasis koeficientas a₁₁ turi būti nelygus nuliui; jei jis lygus nuliui, reikia pirmąją lygtį sukeisti vietomis su ta lygtimi, kurios pirmasis koeficientas nelygus nuliui. Šis koeficientas vadinamas pagrindiniu.

Pirmąją lygtį padalijus iš pagrindinio koeficiento a₁₁ (jis nelygus nuliui!), gaunama tokia lygtis:

x + a'₁₂y + a'₁₃z = b'₁.

Ją padauginę iš –a₁₂ ir pridėję prie antrosios lygties, joje pašalinsime narį su netinomuoju x. Pa­dauginę iš –a₁₃ ir pridėję prie trečiosios lygties, joje taip pat pašalinsime netinomąjį x:

Beliko tuos pačius veiksmus pakartoti su antrąja ir trečiąja lygtimi: antrąją lygtį pa­da­ly­ti iš a'₂₂, padauginti iš –a'₃₂, pridėti prie trečiosios lygties (joje nebeliks netinomojo y) ir padalyti iš koeficiento prie netinomojo z; po šių veiksmų gausime trikampę sistemą.

Pavyzdys. Gauso metodu išspręsime sudarytąją racionaliojo gamybos plano lygčių sistemą

I etapas: pertvarkymas į trikampį pavidalą

II etapas: netinomųjų (sprendinio) apskaičiavimas

Pratimai

Išspręskite Gauso metodu šias sistemas.

a) b) c)

Neapibrėttųjų ir nesuderintųjų lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Neapibrėt­tąja va­di­nama lygčių sistema, turinti be galo daug sprendinių, o nesuderin­­­tąja – sistema, ne­tu­rinti spren­dinių. Gauso metodu sprendtiant nesuderintąją sistemą, kuriame nors per­tvar­ky­mų tings­nyje bent viena lygtis virsta tapatybe 0 = 0. Tai rodo, kad ta lygtis yra kitų lygčių iš­ves­ti­nė, ir iš tikro sistemoje yra bent viena lygtimi matiau. Jei, pavyzdtiui, tapatybe virsta tre­čio­ji lyg­tis, tai sistemos netinomieji x ir y išreiškiami trečiuoju netinomuoju z (nariai su z per­ke­lia­mi į dešinę pusę) ir sprendtiama likusi dviejų lygčių su dviem netinomaisiais x ir y sis­te­ma; laikant z yra tinomu skaičiumi, parametru, įgyjančiu bet kurią reikšmę nuo –¥ iki +¥

Pavyzdys. Gauso metodu išspręsime sistemą

Rašant sistemos pertvarkius, netinomuosius galima praleisti, aišku, to ne­ut­mirš­tant. Taigi lygčių sistemą pa­ra­šy­ki­me be netinomųjų, lentelėmis.

Taigi trečioji lygtis yra pirmųjų dviejų išvestinė, todėl ją atmesime ir pirmųjų dviejų lygčių na­rius su neti­no­muo­ju z perkelsime į dešinę pusę:

Ši sistema yra trikampė, išsprendtiama atbuline Gauso metodo eiga:

y = –7 + 8z, x = 13 – 13z.

Kad būtų patogiau, laisvieji netinomieji tymimi kita raide, z = t, čia t yra bet koks skai­čius (nes ir z yra bet koks skaičius), vadinamas parametru[2]: –¥ < t < +¥. Su šiuo tymėjimu sis­te­mos sprendinys yra (13 – 13t, –7 + 8t, t), –¥ < t < +¥. Tai yra bendrasis sis­temos sprendinys: vietoj t įrašius konkretų skai­čių, gausime atskirąjį sistemos spren­dinį. Pavyzdtiui, su t = 1 sistemos sprendinys yra skaičių trejetas (0, 1, 1). ☺

Jei pertvarkant sistemą, susidaro beprasmė lygtis, pavyzdtiui, 0 = b, o b – koks nors ne­lygus nuliui skaičius, tai ir ta lygtis, ir visa sistema sprendinių neturi.

Gauso metodo algoritmas

Tiesioginė eiga

Jei pirmosios lygties pirmasis koeficientas lygus nuliui, tai ta lygtis sukeičiama vietomis su ta lygtimi, kurios pirmasis koeficientas nelygus nuliui; šis koeficientas vadinamas pagrindiniu.

Pirmoji lygtis padalijama iš pagrindinio koeficiento.

Su pirmąja lygtimi pašalinami visi kitų lygčių pirmieji dėmenys: pirmoji lygtis dauginama iš antrosios lygties pirmojo koeficiento su priešingu tenklu ir pridedama prie jos

Pašalinus pirmojo stulpelio netinomuosius, kartojamas a) tingsnis su sistema, į kurią neįeina pirmoji lygtis; jos eilė yra vienetu matesnė.

Netinomųjų šalinimas baigiamas, kai paskutinėje lygtyje lieka vienas dėmuo – sistema yra trikampio pavidalo.

Atbulinė eiga

Pradedant nuo paskutinės lygties, nuosekliai apskaičiuojamos visų netinomųjų reikšmės.

Pastaba. Jei kuriame nors pertvarkymų tingsnyje gaunama lygtis 0 = 0, tai sistema turi be galo daug sprendinių; jei gaunama beprasmė lygtis 0 = a, o a yra nelygus nuliui skaičius, tai sistema sprendinių neturi.

Pratimai

Gauso metodu išspręskite šias sistemas. Pritaikykite Gauso metodą ir c) pratimo keturių lyg­čių sistemai su keturiais netinomaisiais.

a) b) c)

Klausimai

Kas yra trijų lygčių sistemos su trimis netinomaisiais sprendinys?

Ką geometriškai reiškia viena tiesinė lygtis su trimis netinomaisiais?

Kaip geometriškai išsiaiškinti, kiek trijų lygčių sistema gali turėti sprendinių?

Kokios dvi lygtys vadinamos ekvivalenčiomis?

Kokios dvi lygčių sistemos vadinamos ekvivalenčiomis?

Kas yra vadinama ekvivalenčiaisiais lygčių sistemos pertvarkiais?

Kokie yra trys ekvivalentieji lygčių sistemos pertvarkiai?

Išvardinkite pagrindinius Gauso metodo tingsnius.

Kaip Gauso metodu šalinami netinomieji?

Kokia lygčių sistema vadinama neapibrėttąja?

Kokia lygčių sistema vadinama nesuderintąja?

Bendrųjų lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Iki šiol sprendėme tokias sistemas, kuriose yra lygiai netinomųjų ir lygčių: dvi lygtys ir du ne­tinomieji, trys lygtys ir trys netinomieji. Jei išsprendėte praeito skirsnio paskutinį pratimą, tai, matyt, pastebėjote, kad Gauso metodu lygiai taip pat sprendtiamos ir aukštesnės eilės, su daugeliu netinomųjų, sistemos, kuriose lygčių skaičius sutampa su netinomųjų skai­čiu­mi – tik darbo kiek daugiau.

Valdymo utdaviniams būdinga tai, kad atitinkamos tiesinių lygčių sis­te­mos nėra kvadratinės, t.y. netinomųjų ir lygčių skaičius jose skiriasi. Datniausiai sudaromos to­kios sistemos, kuriose netinomųjų yra daugiau negu lygčių. Nesunku įrodyti, kad šios sis­te­mos turi be galo daug sprendinių (jei turi bent vieną). Bendrosioms sistemoms spręsti taip pat tinka Gauso me­to­das, tik šiuo atveju sistemą pertvarkyti į trikampę pavyksta labai retai, datniausiai gaunama trapecijos pavidalo sistema, pavyzdtiui,

Šioje trapecijos pavidalo sistemoje pasirenkami laisvieji netinomieji ir jais išreiškiami baziniai netinomieji. Kitą paskaitą kalbėdami apie determinantus ir Kramerio formules matysime, kad trikampė lygčių sistema, kurios pagrin­di­nėje įstritainėje esantys skaičiai nelygūs nuliui, turi vienintelį sprendinį. Todėl baziniais kintamaisiais laikomi kintamieji, esantys trikampėje dalyje, o laisvaisiais – stačiakampėje. Grietčiau kalbant, baziniu laikomas pirmasis (kai­riau­siasis) lygties netinomasis, kurio koeficientas nelygus nuliui; mūsų pavyzdtio pirmojoje lyg­tyje tai būtų netinomasis x. Kitoje lygtyje baziniu imamas kitas netinomasis, kurio pirmas ko­eficientas nėra lygus nuliui (mūsų pavyzdyje – y antrojoje lygtyje ir z – trečiojoje). Visi li­ku­sieji netinomieji yra laisvieji – jie gali įgyti bet kokią realiąją reikšmę. Laisvieji neti­no­mie­ji perkeliami į dešinę pusę ir jais išreiškiami baziniai netinomieji. Perkėlus laisvuosius neti­no­muosius, trapecinė sistema virsta trikampe, (kuri turi vienintelį sprendinį su konkrečiomis laisvųjų netinomųjų reikšmėmis), todėl dabar atbuline Gauso metodo eiga lengvai ap­skaičiuojami baziniai netino­mieji.

PAVYZDYS. Racionalusis gamybos planas dar kartą. Liejykla gavo utsakymą išlieti trijų tipų lie­ji­nius. Lieji­mo cechas šiam darbui gali skirti 350 valandų per savaitę, apdailos cechas – 150 va­lan­dų. Darbo trukmė surašyta lentelėje. Kiek ir kokių liejinių reikia išlieti per savaitę, kad lie­jyk­la dirbtų visu pajėgumu?

lentelė. Liejyklos ištekliai (gamybos trukmė, taliavų poreikis ir atsargos)

Kaip ir praeitame racionaliosios gamybos pavyzdyje, šio valdymo ut­da­vi­nio matematinis modelis yra tokia lyg­čių sistema:

čia x, y ir z – atitinkamai A, B ir C liejinių, pagaminamų per savaitę, kiekis.

I etapas: pertvarkymas į trapecinį pavidalą

Tačiau tai yra formalus, matematinis, sprendinys: jį reikia suderinti su utdavinio re­a­ly­be, t.y. atsakyti į klau­simą: ar tenkina šitas sprendinys liejyklos vadybininkus? Tokiu pavi­da­lu, kokius jis čia yra pateiktas, aišku – ne­ten­kina. Mes turime išsiaiškinti, ar visi šie sistemos spren­diniai yra ir ekonominio utdavinio (prisiminkime: kiek ir kokių liejinių reikia pagaminti per savaitę, kad liejykla dirbtų visu pajėgumu?) sprendiniai. Be abejonės, rei­kia atmesti visas nei­giamąsias ir trupmenines netinomųjų reikšmes: juk negalima nulieti neigiamą liejinių skai­­čių arba pusę liejinio.

Taigi z = t 0, t ir z – sveikieji skaičiai. Kadangi y = 5 – 4t 0, t 5/4 = 1,25, todėl parametras t tegali įgy­ti dvi reikšmes, nulį arba vienetą: t = 0 arba t = 1. Su šiomis reikšmėmis gauname tokius du atskiruosius spren­dinius, turinčius ne tik matematinę, bet ir ekonominę prasmę: (10, 5, 0) ir (11, 1,1). Tai yra vieninteliai du ra­cionalios gamybos variantai. ☺

PAVYZDYS. Gauso metodu išspręsime lygčių sistemą

Sudarykime Gauso metodo lentelę ir pertvarkykime sistemą į trapecinę.

Pratimai

Raskite racionalųjį gamybos planą pagal šiuos duomenis

Atsakymas: Bendrasis sprendinys (15 –2t, 50 – 2t, 10, t) , –¥ < t < ¥; racionalieji planai gaunami parametrui t kintant nuo 0 iki 7,5.

Atsakymas: Bendrasis sprendinys (15 – 0,5k – 4l; 15 + k – 1,5l; k; 0,5l; l), –¥ < k, l < ¥; racionalieji planai gaunami parametrų k ir l reikšmėms kintant taip, kad visi netinomieji būtų teigiami ir sveiki skaičiai, pavyzdtiui, jei k = l = 2, tai gaunamas toks racionalusis planas:
(6, 10, 2, 1, 2).

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso ir Tordano metodu

Gauso metodu spręsdami lygčių sistemą, ją pertvarkėme į trikampį arba trapecinį pa­vi­da­lą, o per­kėlę laisvuosius netinomuosius į dešinę pusę, abiem atvejais gaudavome trikampę lyg­čių sis­temą. Jei šios trikampės sistemos pertvarkymą pratęstume taip, kad ir virš pa­grin­di­nės įstri­tai­nės esantys lygčių dėmenys virstų nuliais, o pagrindinės įstritainės koeficientai bū­tų vie­ne­tai, tai dešinėje sistemos pusėje gautume sprendinį. Šis metodas ir yra va­di­na­mas Gau­so ir Tordano[3] metodu. Juo išspręsime pavyzdtio sistemą.

PAVYZDYS. Spręsdami pavyzdį, gavome tokią trikampę sistemą:

Pabaigsime ją spręsti Gauso ir Tordano metodu.

Taigi dar kartą, kitu metodu, gavome tą patį sprendinį: racionalusis gamybos planas yra (800, 400, 2800) marš­ki­nių.  ☺

Pratimai

Gauso ir Tordano metodu išspręskite 2.1 ir skirsnio pratimus.

Ekonominės sistemos balanso modelis.

Vienas įdomiausių ir rezultatyviausių tiesinių valdymo modelių yra ekonominės sistemos balanso modelis, kurį dvidešimtojo amtiaus viduryje sukūrė Vasilijus Leontjevas , ame­ri­kie­čių ekonomistas. Remdamasis šiuo modeliu, jis ištyrė 500 Amerikos ekonomikos sektorių sąveiką. Ekonominės sistemos balanso utdaviniu siekiama nustatyti pusiausvyros ap­im­tis, t.y. tokias įvairių pramonės šakų gamybos apimtis, kurių pakanka vidinėms ir išorinėms reikmėms tenkinti. Pradiniai šio utdavinio duomenys – tai vidiniai ir išoriniai produkcijos poreikiai; vidiniai poreikiai – tai produkcijos kiekiai, kuriuos suvartoja pramonės šakos, o išoriniai – kitiems vartotojams parduodama produkcija (vartotojų poreikis). Šie duomenys surašomi į Leontjevo, arba technologinę, matricą; jos elementai rodo, kiek pramonės šaka suvartoja savo pačios ir kitų pramonės šakų produkcijos.

Sudarysime trijų pramonės šakų – temės ūkio, lengvosios pramonės ir kuro gamy­bos – balanso modelį. Temiau pateikiama technologinė šių šakų matrica, kuri rodo, pa­vyz­dtiui, kad gaminant vieną temės ūkio produkcijos vienetą, suvartojama 0,6 temės ūkio pro­duk­cijos vieneto, 0,1 lengvosios pramonės produkcijos vieneto ir 0,1 kuro pramonės vieneto.

lentelė. Leontjevo matrica

Kokia turi būti šių pramonės šakų bendroji produkcija (gamybos planas), jei vartotojų poreikiui patenkinti reikia 5 vienetų temės ūkio produkcijos, 2 vienetų lengvosios pramonės ir 9 vienetų kuro pramonės produkcijos?

Netinomus bendrosios produkcijos dydtius (gamybos planą) patymėkime x₁, x₂ ir x₃. Su šiais patymėjimais suma

0,6x₁ + 0,1x₂ + 0,1x₃

reiškia vidinius temės ūkio pramonės poreikius (sąnaudas), o skirtumas

x – (0,6x₁ + 0,1x₂ + 0,1x₃)

rodo temės ūkio produkcijos kiekį, skiriamą išorinių vartotojų poreikiams tenkinti (grynąją produkciją). Lygiai taip pat skirtumas

x₂ – (0,2x₁ + 0,2x₂ + 0,4x₃)

reiškia lengvosios pramonės grynąją produkciją, o

x₃ – (0,1x₁ + 0,4x₂ + 0,4x₃)

tymi kuro pramonės grynąją produkciją.

Subalansuotos ekonominės sistemos atveju, grynoji produkcija turi būti lygi vartotojų paklausai:

x – (0,6x₁ + 0,1x₂ + 0,1x₃) = 5,

x₂ – (0,2x₁ + 0,2x₂ + 0,4x₃) = 2,

x₃ – (0,1x₁ + 0,4x₂ + 0,4x₃) = 9,

arba

0,4x₁ – 0,1x₂ – 0,1x₃ = 5,

–0,2x₁ + 0,8x₂ – 0,4x₃ = 2,

–0,1x₁ – 0,4x₂ + 0,6x₃ = 9,

Išspręskite šią sistemą Gauso metodu; sprendinys parodys, kiek ir kokios pramonės šakos viene­tų turi būti gaminama, kad ekonominė sistema būtų subalansuota – tenkinami ir neviršijami visi tiriamų ūkio subjektų poreikiai.

Pratimai

Gauso metodu išspręskite tą pačią ekonominio balanso sistemą ir tuo atveju, jei vartotojų paklausa yra 7, 9 ir 24 produkcijos vienetai.

Klausimai

Kokio pavidalo sistema gaunama Gauso metodu sprendtiant bendrąją tiesinių lygčių sistemą?

Kurie sistemos netinomieji laikomi baziniais? Laisvaisiais?

Papildykite Gauso metodo algoritmą (tr. skirsnį) taip, kad jis tiktų ir bendrosioms sistemoms spręsti.

Kuo skiriasi Gauso ir Tordano metodas nuo Gauso metodo? Papildykite Gauso metodo algoritmą, kad jis atitiktų Gauso ir Tordano metodą.

Kas yra vidiniai ekonominės sistemos poreikiai?

Kas yra išoriniai ekonominės sistemos poreikiai?

Kas yra subalansuota ekonominė sistema?