Tikimybių teorija ir statistika

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

Tikimybių teorija ir statistika

Antrasis Namų darbas

(16 variantas)

Dvimatis atsitiktinis dydis (X, Y) tolygiai pasiskirstźs trikampėje srityje ABC, t.y. jo tankis

Čia S – trikampio ABC plotas. Užrašykite vienmačius tankius p_x(x), p_y(y) ir kovariacinź matric¹. Ar dydžiai X ir Y yra priklausomi, ar koreliuoti? Apskaičiuokite D(3X – 2Y).

Pastaba. Viršūnių A(-3; 0), B( ) ir C( ) koordinatės nurodytos stačiakampėje sistemoje.

Užrašome trikampio kraštinių lygtis:

AB : y = -x-3

BC : y = x -3

AC : y = 0

Trikampio ABC plotas lygus 9, taigi, dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) tankio funkcija yra

Tada vienmačių atsitiktinių dydžių X ir Y tankio funkcijos

Randame viemačių atsitiktinių dydžių X ir Y vidurkius

Tai pat apskaičiuojame jų dispersijas

Kovariacija yra

Tada kovariacinė matrica yra lygi:

Kadangi atsitiktinių dydžių X ir Y kovariacija lygi 0, tai dydžiai nekoreliuoti, tačiau , t.y atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi.

Apskaičiuojame dispersij¹ D(3X-2Y):

Duota seka nepriklausomų atsitiktinių dydžių X₁, X₂,…, X_k,… Dydis X_k su vienodomis tikimybėmis gali įgyti tik dvi reikšmes k^a arba -k^a. Ar galioja šiai sekai didžiųjų skaičių dėsnis, kai parametras a a a ? Jeigu galioja, užrašykite jį. Čia a , a .

Kai k = 1,2 …

Pakankamos s¹lygos, kad galiotų didžiųjų skaičių dėsnis:

A.    

Arba

B.    

Apskaičiuojame atsitiktinių dydžių vidurkius ir dispersijas:

Nagrinėjame kai . Tada dispersijos lygios:

Kaip matome, kad   visiems k =1,2,…

S¹lyga (A) yra tenkinama, t.y. pagal Čebišovo teorem¹ sekai galioja didžiųjų skaičių dėsnis.

Kiekvienam

Kai , tai , t.y.:

, taigi, dispersijos DX_k neapibrėžtos, ir s¹lyga (A) nėra tenkinama. Tikrinsime s¹lyg¹ (B):

kai

S¹lyga (B) yra tenkinama, t.y. pagal Čebišovo teorem¹ sekai galioja didžiųjų skaičių dėsnis.

Kiekvienam

Monte-Karlo metodu apytiksliai apskaičiuokite integral¹ ir įvertinkite absoliutinź paklaid¹. Čia

Pažymime integral¹

čia

O, r₁,r_n – atsitiktiniai dydžiai tolygiai pasiskirstź intervale (0, 1).

Imkime n = 20. tarpiniai rezultatai pateikti lentelėje.

Iš čia gauname integralo I įvertį:

Sukonstruojame integralo I pasikliautin¹jį interval¹. Imame . Turime

Iš čia gauname integralo I pasikliautin¹jį interval¹:

Tai reiškia, kad su tikimybe 0,9 galime, jog integralo I reikšmė yra tarp 2,931 ir 4,065