Algebrai struktúrák, mátrixok

Def.: Algebrai struktúrán olyan nemüres halmazt értünk amelyen legalább egy művelet van definiálva.

Def.: A H nemüres halmazon értelmezett kétváltozós műveleten egy H H H függvényt értünk. (olyan leképezést, amely bármely (a,b) IH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Ezért a műveletre vonatkozó „zártságot” szükségtelen kikötni.) Az n változós művelet ehhez hasonlóan olyan függvény, melynek értelmezési tartománya H H…. H=Hⁿ, értékkészlete pedig H.

Jelölés: Sokféle lehet. Kétváltozós művelet esetében célszerű az ún. infix jelölés, amikor a műveleti jelet az elempár elemei közé tesszük, ahogyan eddig is pl. a valós számok, vektorok esetében. Tehát az f(a, b)=c prefix jelölés helyett az a f b=c infix jelölést használjuk. Megjegyezzük, hogy az ún. postfix jelölés; (a,b)f nagyon ritkán használatos. Többváltozós műveletnél a prefix jelölés a célszerűbb.

Feladat: Mondjunk példát műveletekre!

Def.:

A H-n értelmezett * művelet asszociatív(csoportosítható), ha bármely a,b,cIH-ra a*(b*c)=(a*b)*c teljesül.

A H-n értelmezett * művelet kommutatív (felcserélhető), ha bármely a,bIH-ra a*b=b*a teljesül.

Bal oldali egységelemnek olyan e_bIH elemet nevezünk, amelyre minden aIH-val e_ba=a teljesül.

Jobb oldali egységelemnek egy olyan e_jIH elemet nevezünk, amelyre minden aIH-val e_ja=a teljesül.

Az eIH elem egységelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aIH-ra ea=ae=a.

Tétel: Minden, bal, -illetve jobboldali egységelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrában a baloldali és a jobboldali egyégelem egyenlő: e_b= e_j. Más szavakkal: A baloldali és a jobboldali egyégelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrákban van (kétoldali) egységelem, ez megegyezik mind a bal-, mind a jobboldali egységelemmel, tehát az egységelem egyértelmű.

Bizonyítás: e_b= e_b * e_j (a jobboldali egségelem def. miatt)= e_j (a baloldali egységelem def. miatt)

Összeadásnak nevezett művelet esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük.

Az aIH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan a_bIH elemet értünk, amelyre a_ba=e.

Az aIH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan a_jIH elemet értünk, amelyre a_ja=e.

Az aIH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a^-1IH elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a^-1a= aa^-1=e.

Tétel: Minden, asszociatív művelettel rendelkező algebrai struktúrában, amennyiben léteznek, a bal- (a_b) és jobboldali (a_j) inverzek megegyeznek: a_b = a_j:=a^-1

Biz.: a_b(aa_j)= a_be = a_b = (a_ba)a_j=ea_j=a_j

Def.: A T, legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha:

Értelmezve van a T-n két művelet – egyiket összeadásnak (+), másikat szorzásnak (*) hívjuk.

T mindkét műveletre nézve kommutatív csoport, de az összeadás egységelemének, az ún. nullelemnek nincsen inverz eleme a szorzásra nézve.

bármely a, b, c IT-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül.

Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről beszélünk.

Feladatok:

Ellenőrizzük, hogy az alábbi halmazok közül melyek alkotnak testet. Ahol nem adjuk meg, ott az eddig ismert szokásos műveletekre vizsgáljuk.

- természetes számok halmaza

- racionális számok halmaza

- valós számok halmaza

- modulo 3 szerinti maradékosztályok (általában modulo p szerinti maradékosztályok, ahol p prímszám). Ez példa véges elemszámú testre.

Műveletek:

3 diszjunkt maradék oszály van, O₀, O₁, O₂, aszerint, hogy 3-mal osztva mennyi a maradék.

Összeadás: O_i+O_j= i+j, ha i+j<3, s i+j-3, ha i+j>=3

Szorzás: O_i*O_j= or , ahol i*j= x.3+r

Def.: Legyen T kommutatív test, k, n természetes számok. Ekkor a T test feletti k n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van, elemei pedig a T-ből valók.

A mátrix típusa k n. A T – beli elemekkel rendelkező, k n típusú mátrixok halmazát T ^{k n}-nel is jelöljük.

A továbbiakban T =R (valós számok).

További jelölések:

I Tk n

Speciális mátrixok:

Sorvektor : [a₁, a₂, a_{3, …..} a_n]

Oszlopvektor:

Nullmátrix (összeadás egységeleme):

jele:  = 0, =

Diagonál mátrix :

Egységmátrix (szorzás egységeleme),

kvadratikus= n x n :

En=

Mátrixok számmal való szorzása (nem művelet!)

l·A=C lIR, c_ik=l·a_ik   Megállapodás szerint l·A=A·l

Műveletek mátrixokkal:

Mivel a már tanult vektorok speciális mátrixok, ezért a műveleteket célszerű a már ismert (koordinátás alakban tanult) vektorösszeadással és (skalár)szorzattal összhangban megadni.

Mátrixok összeadása:

Ebben a részben A, B, C, azonos típusú mátrixok.

C=A+B

c_ik=a_ik+b_ik   (számok) (c_ik ,a_ik, b_ik jelenti rendre a C (eredménymátrix), A, B mátrixok i.sorának k.elemét)

Példa:

A mátrix összeadás tulajdonságai:

Valóban művelet, hiszen két (n m) típusú mátrixhoz ugyanolyan típusú mátrixot rendel. (zártság)

Abel-csoport

Kommutatív : A+B=B+A

3. Asszociatív : (A+B)+C=A+(B+C)

Minden A-hoz létezik (egyetlen) egység, a (nullmátrix), amelyre A + = A

5. Minden A-hoz létezik inverz (ellentett) elem A’,

amelyre A+A’=

Mátrixok szorzása

Vektorok skalárszorzatának kiszámítására vonatkozó tételen alapul:

A C= A·B mátrixot úgy kapjuk, hogy A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B minden oszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n m), akkor B típusa (m k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n k).

Példák:

Speciális eset: egységmátrixszal való szorzás:

Feladat: Végezze el az alábbi szorzást:

Mátrixok szorzásának tulajdonságai:

1. Csak tágabb értelemben művelet, ha az összes mátrixok halmazát nézzük. Ha az alaphalmaz T ^{k n} , akkor a szorzás nem művelet, hiszen különböző típusú mátrixokon van értelmezve, és különböző típust hoz létre.

2. nem kommutatív

3. asszociatív: A·(B·C)=(A·B)·C

4. disztributív: A·(B+C)=(A·B)+(A·C)

(B+C)·A=(B·A)+(C·A ) (mivel a szorzás nem kommutatív)

l·A)·B=A·(l·B)= l·(A·B)

6. A négyzetes, det (A)¹0 mátrixoknak van inverz eleme, A^-1 (def. ld. alább).

Def.: Azt az algebrai struktúrát, amelyben két művelet, ősszeadás (+) és szorzás (*) van megadva a következő tulajdonságokkal, gyűrűnek nevezzük.

Tulajdonságok:

az összeadás Abel-csoport

a szorzás asszociatív

a két műveletet a disztributív szabályok kapcsolják össze:

a*(b+c)=a*b+a*c

(b+c)*a=b*a+c*a

Feladatok:

1. Bizonyítsuk be, hogy T^{n n} az előzőekben definiált összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkot.

2. Ellenőrizzük, hogy a háromdimenziós vektorok a szokásos vektor (mátrix!) összeadásra és a vektoriális szorzásra nézve gyűrűt alkotnak-e.