Eloszlásjellemzők

1 Helyzeti középértékek

Ismérvértékek közötti elhelyezkedésüknél fogva jellemzik az adott sokaságot.

1.1. Módusz

a leggyakrabban előforduló elem; jele: Mo

nem csak mennyiségi, hanem minőségi jellemzőkből is meghatározható!!!

egyedi adatoknál: megnézem, melyik fordul elő a leggyakrabban

ha minden érték csak egyszer fordul elő, akkor nincs módusz

ha több különböző érték azonos gyakorisággal található meg, akkor többmóduszú eloszlásúnak nevezzük a sokaságot.

1.2. Medián

a nagyságsorrendbe rendezett tagok közül a középső elem, Jele: Me

egyedi értékeknél:

1.      az ismérvértékeket növekvő sorrendbe állítom

2.     

3.      meghatározom a mediánt

2 Számított középértékek, átlagok

3.2.1. Számtani átlag

az a szám, amellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok összege változatlan marad

Egyszerű számtani átlag

akkor használjuk, ha az átlagolandó értékek mindegyike csak egyszer fordul elő

számítása: az átlagolandó értékeket összeadjuk és az összeget elosztjuk az átlagolandó értékek számával, azaz

Súlyozott számtani átlag

az átlagolandó értékek különböző gyakorisággal fordulnak elő

számítása: mindegyik átlagolandó értéket szorozzuk a saját súlyával / gyakoriságával, majd a szorzatok összegét elosztjuk a súlyok összegével

2.2. Harmonikus átlag

az a szám, mellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad

akkor számítjuk, ha az adatpárok hányadosa értelmes eredményt ad

Egyszerű harmonikus átlag

Súlyozott harmonikus átlag

2.3. Geometriai / mértani átlag

az a szám, mellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad

elsősorban az átlagos növekedési ütem számítására alkalmazzuk

számítása: láncviszonyszámokból számítjuk; az átlagolandó értékek szorzatából a szorzások számának megfelelő gyököt vonunk

_ n

x_g = n ∏ x_i

i=1

2.4. Kronologikus átlag

akkor alkalmazzuk, ha egy időszakot akarunk jellemezni, de adataink időpontra vonatkoznak

számítás: az első és utolsó időpont adatának feléhez hozzáadjuk a többi időpont adatát és az összeget eggyel kisebb számmal osztjuk, mint ahány adatunk volt

3 Szóródási mérőszámok

3.1. Szórás

az egyedi értékek átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga, átlagtól mért átlagos négyzetes eltérés , jele: σ – teljes sokaságra nézve

s – mintából meghatározva

_ ₂

∑ f_i (x_i – x )

σ =

∑ f_i

_ ₂

∑ f_i (x_i – x )

s =

∑ f_i - 1

3.2. szóródás terjedelme

az előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége , jele: R

R = x _max – x _min

4 Mintafeladatok

1./ Az alábbi táblázat egy cég dolgozóinak adatait tartalmazza:

E – egyetem F – főiskola K – középiskola

1 – Budapest 2 – vidék

A/ Határozd meg az összes lehetséges móduszt a teljes létszámra! Értelmezd a kapott eredményeket!

B/ Számítsd ki a cég dolgozóinak átlagkeresetét!

C/ Számítsd ki a cég női alkalmazottainak átlagos magasságát!

D/ Számítsd ki a cég férfi dolgozóinak átlagéletkorát!

E/ Számítsd ki a cég budapesti alkalmazottainak átlagkeresetét!

2./ Határozd meg az alábbi számsorok mediánjait! A kapott eredményt értelmezd!

A/ 16, 15, 8, 54, 25, 39, 7, 64, 18, 89

B/ 48, 58, 12, 16, 5, 40, 3, 11, 15

3./ Egy cipőgyár termelési adatai a következők:

Számítsd ki a temelésváltozás negyedévenkénti átlagos ütemét!

4./ A következő táblázat egy vállalat létszámadatait tartalmazza .

Számítsd ki a II. negyedév átlagos létszámát!

5./ Egy áruház adatai a következők:

Számítsd ki a dolgozók átlagos keresetét!

6./ Egy személygépkocsi fogyasztásának ellenőrzésére 150 db-ból álló mintát vizsgáltak. A mérési eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza:

a./ Mennyit fogyaszt átlagosan egy gépkocsi?

b./ Mennyi a tipikus fogyasztás?

c./ Számítsa ki a fogyasztás szórását!

6 Megoldások

1./

A./ nemek alapján : férfi dolgozóból van a legtöbb

életkor alapján: a legtöbb dolgozó 24 éves

iskolai végzettség alapján: a legtöbb dolgozó egyetemi végzettségű

lakhely alapján: a legtöbb dolgozó budapesti

kereset alapján: a legtöbb dolgozó 100 e Ft-ot keres

magasság alapján: a legtöbb dolgozó 176 cm magas

B./

C./

D./ 31,14 év / fő

E./ 96,428 Ft / fő

2./ Határozd meg az alábbi számsorok mediánjait! A kapott eredményt értelmezd!

A/

i. 7, 8, 15, 16, 18, 25, 39, 54, 64, 89     

ii.

iii.

B/

i. 3, 5, 11, 12, 15, 16, 40, 48, 58

ii.

3./

először kiszámítjuk a negyedév láncviszonyszámait, melyek :

_ _n

x_g = n ∏ x = 4 1,05 · 1,0476 · 1,0061 · 1,0843

i=1

= 1,0466

4./

5./

= 98.909,1 Ft / fő

6./

A./ 4,933 liter

B./ 5,3 liter

C./ 0,6039