Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságait jellemző függvények

Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságait jellemző függvények

Az irányítási rendszer analízisében és szintézisében az állapotegyenleteken kívül nagy jelentőségük van azoknak a függvényeknek, amelyek az állapotváltozók mellőzésével különböző módon a ki- és a bemenő jelek közötti kapcsolatot írják le az idő ill. a frekvencia tartományban.

Az időtartományban egy tagot – differenciál- vagy differenciaegyenletén kívül – meghatározott bemenő jelekkel előidézett kimenő jelével is lehet jellemezni.

Különleges jelentősége van a Dirac delta (d(t)) bemenetre adott válasznak, az un. súlyfüggvénynek (y(t)), amelynek ismeretében a konvolúciós integrállal tetszőleges bemenő jellel gerjesztett kimenő jel is kiszámítható, másrészt a magára hagyott rendszer mozgásjellemzőit is tisztán mutatja, tehát a stabilitási viszonyok vizsgálhatók.

A vizsgálatokra a súlyfüggvény mellett nagy jelentősége van az egységugrás bemenetre adott válasznak, a h(t) átmeneti függvénynek. A h(t) átmeneti függvény segítségével specifikálhatók a szabályozórendszer paraméterei.

Átviteli függvény

A frekvencia tartományban az x_k kimenő és az x_b bemenő jel Laplace ill. z transzformáltjának a hányadosa az átviteli függvény, ill. az impulzus átviteli függvény, amely a folytonos idejű y ill. diszkrét idejű y_d súlyfüggvény Y(s) ill. Y_d(z) Laplace, ill. z transzformáltja.

Folytonos idejű n - tárolós tagra az átviteli függvény felírásához a differenciál egyenletből kell kiindulnunk:

.

A differenciálegyenlet L transzformált alakja:

.

A kimenő jel és a bemenő jel Laplace transzformáltjainak a hányadosa az s változó valós együtthatójú racionális törtfüggvénye:

,

amelyet a jelátviteli tag átviteli függvényének nevezünk.

Fizikailag realizálható rendszerre: m≤n.

Az átviteli függvény segítségével tetszőleges bemenő jel esetén felírható a kimenőjel Laplace transzformáltja:

.

Az időfüggvényt ennek inverz Laplace transzformáltjaként kapjuk:

A számlálónak és a nevezőnek valós vagy konjugált komplex gyökei vannak. Jelölje a számláló gyökeit – a függvény zérusait – s_z1……s_zm, a nevező gyökeit – a függvény pólusait – s₁…….s_n.. Az Y(s) átviteli függvény gyöktényezős formája:

Sokszor előnyösebb a gyökök negatív reciprokát – az időállandókat használni.

, jelölésekkel:

.

Ez az átalakítás az s_zi=0 zérusok és az s_i=0 pólusok gyöktényezőiben nem hajtható végre, azokat eredeti alakjukban kell megőrizni. Ha a gyöktényezős alakban is csak valós együtthatókat kívánunk szerepeltetni, a konjugált komplex gyök párokat egy másodfokú valós együtthatójú tényezővé kell összevonni.

Legyen pl. s_i   konjugáltja_, és Ti konjugáltja _,

;

;

t a négyzetes tag sajátfrekvenciájának (natural frequency), ξ-t a csillapítási tényezőjének (damping factor) nevezik. A számláló konjugált komplex gyökeit hasonló módon másodrendű tényezőkben összevonva és megkülönböztetésül a τ₀ ill. ζ jelöléseket használva az egyenlet az alábbi alakba írható:

=

r+c+d=m és p+e+f=n;

Itt az összes időállandó és csillapítási tényező valós érték

Az r és p értékek viszonya szerint különböztetjük meg az Y(s) átviteli függvény ill. tag típusát. Az i=r-p jelöléssel:

r > p; Y(s) = sⁱ Y_p(s), differenciáló típusú átviteli tag,

r = p Y(s) = Y_p(s) arányos tag,

r < p Y(s) = s^-iY_p(s) integráló tag.

A kimenő jelben ezek a műveletek akkor jelennek meg tisztán, amikor a bemenő jel által kiváltott tranziensek már lecsillapodnak.

A tranzienseket az Y_P(s) függvény írja le. Ennek a szétválasztásnak az alapján úgy tekinthetjük, hogy egy tag tartós karakterének az érvényre jutását a tárolók feltöltődésével összefüggő hatások késleltetik. Y_P(s) az arányos időkéséses tag átviteli függvénye.

A tárolók feltöltődésén kívül a késleltetésnek egy másik forrása a jelhordozó véges terjedési sebessége, amely a ki és a bemenő jel közé egy T_h idejű késleltetést – holtidős késleltetést – iktat.

A holtidős tag kimenő és bemenő jele közötti összefüggés az 1. ábra alapján

1. ábra: holtidős tag bemeneti és kimeneti jele.

A Laplace transzformáció eltolási szabályával:

Az átviteli függvény nem racionális tört, hanem transzcendens függvény. A racionális törtfüggvényeknek megfelelő differenciálegyenletek végtelen jelterjedési sebességet tételeznek fel (a véges terjedési sebesség parciális differenciálegyenletre vezet). Ezért folytonos idejű rendszerek állapotegyenletébe a holtidő csak közelítéssel iktatható be, vagy úgy, hogy a késleltetés hatását racionális törtfüggvénnyel – tárolós tagokkal – helyettesítjük, vagy a ki- ill. a bemenő jel késleltetéseként vesszük figyelembe, amelyhez azonban állapotváltozó nem rendelhető.

A holtidő minden reális rendszerben jelen van, hatása azonban csak akkor jelentős, ha a rendszerben végbemenő változások ideje a holtidővel összemérhető. Villamos jelek véges terjedési sebességéből eredő hatásokat csak kivételes esetekben (ultra nagyfrekvenciás jelenségek igen nagy távolságú – pl. bolygóközi – jeltovábbítása) kell figyelembe venni.

Egyéb anyag- ill. energiaáramlási jelenségek leírásakor a holtidő nem hanyagolható el (szállítószalagon, vagy csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás, stb.)

Diszkrét idejű rendszerekben az állapotváltozók egy lépésköznyi holtidős késleltetést okozó tagokhoz vannak rendelve. Amennyiben a holtidő a mintavételezési idő egész számú többszöröse, véges számú állapotváltozóval leírható, így szervesen beilleszthető akár az állapotegyenletbe, akár az impulzus átviteli függvénybe. A holtidős tag impulzus átviteli függvénye:

Y_hd (z)=z^-h

h=T_h/T_s=egész.

Az átmeneti függvény

Az időtartományban a tag tranziens tulajdonságai a legtisztábban a súlyfüggvényben és az átmeneti függvényben mutatkoznak. (Ez utóbbi a bemenő jelnek könnyebb kísérleti realizálhatósága miatt egyes esetekben előnyösebb).

Az átmeneti függvény Laplace transzformáltjából látható, hogy az a súlyfüggvényből integrálással képezhető.

;

h(t) egyes tulajdonságai Y(s) – ből inverz transzformáció nélkül közvetlenül is láthatók.

1. Az átmeneti függvény és differenciálhányadosának kezdeti értékei az átviteli függvény

számlálója és nevezője közötti fokszám különbségtől függnek.

A végérték tétellel:

és hasonlóan az r-edik differenciálhányadosra

Ha s minden határon túl növekszik, Y(s) számlálójában és nevezőjében a legnagyobb hatványok dominálnak. (6.1) jelölésével

Ha Y(s) számlálójának és nevezőjének (n-m) fokszám különbsége r, a h(t) függvény első (r-1) deriváltjának – magát a függvényt, mint 0-ik deriváltat is beleértve – a kezdeti értéke zérus.

Ha fokszám különbség 1, a t=0 pontban h(t) véges meredekséggel indul, ha 2, akkor a kezdeti érintő zérus hajlásszögű, ha több, a görbe egyre magasabb fokúan simul az időtengelyhez.

Azonos fokszámnál – ami annak a jele, hogy a bemenő jel közvetlenül hat a kimenetre – a h(t) függvénynek ugrása van a kezdőpontban.

a.)    Az átmeneti függvény állandósult értéke, feltételezve, hogy Y_P(s) összes pólusának negatív valós része van.

Differenciáló tagra h(∞)=0, integrálóra h(∞)=∞, míg az arányos típusúra v(∞)=k_T. Ez utóbbit ezért önbeálló tagnak is szokás nevezni.

Diszkrét idejű rendszerek átviteli függvénye

Az előzőekben láttuk, hogy a folytonos idejű jelátviteli tag n-ed rendű differenciál egyenlettel adható meg:

.

A differenciálegyenlet Laplace transzformáltja segítségével definiáltuk az átviteli függvényt, mint a kimenő és a bemenő jel Laplace transzformáltjainak hányadosát:

,

A diszkrét idejű jelátviteli tag differencia egyenletével írható le. Mivel a mintavételezés állandó T₀ mintavételezési idővel történik, helyett egyszerűen k jelölést használhatunk, amely a k-ik mintavett értéket jelöli. Az egyszerűsített jelöléssel az m-ed rendű differencia egyenlet általános alakban a következő formában írható:

Az aktuális kimenet a k-ik időpillanatban a következő képlettel határozható meg:

A differencia egyenlet z transzformáltját írjuk fel:

Írjuk fel a kimenő jel és a bemenőjel hányadosát:

Az Y_d(z) diszkrét idejű átviteli függvény a folytonos idejű jelátviteli tag átviteli függvényéhez hasonlóan leírja, hogy a diszkrét idejű tag a bemeneti jelsorozatból hogyan állítja elő a kimeneti jelsorozatot. 

Példa:

Tekintsük az átlagoló egyenletét:

Helyettesítsük a tagokkal a z transzformáltjukkal:

A processzor blokkvázlata:

a.

b.

A processzor diszkrét átviteli függvényét kapjuk, ha a kimenő jel és a bemenő jel hányadosát képezzük:

A processzor átviteli függvénye. Általában z pozitív hatványaival fejezzük ki:

Az Y_d(z) átviteli függvény rendszerjellemző, megadja, hogyan állítja elő a processzor a kimenő jelsorozatot a bemenő jelsorozatból. Ha adott az átviteli függvény, a bemenő jelsorozatból előállítható a kimenő jelsorozat, hasonlóan, mint folytonos idejű tagok esetén:

Ha a bemenő jel a mintavételezett egység impulzus, d[n], a kimenet az egység impulzus válasz függvény, y[n] lesz. A z transzformáltakkal:

Egy lineáris diszkrét idejű processzor átviteli függvénye egyenlő a mintavételezett egység impulzusra adott válasz függvénnyel:

Példa:

ha , akkor

Példa:

A processzor az alábbi lineáris differencia egyenlettel adott:

Határozzuk meg az átviteli függvényét és írjuk le a mintavételezett egység impulzusra adott választ.

példa:

Írjuk fel az átviteli függvényt, ha a lineáris differencia egyenlet:

Megoldás:

Példa:

A mintavételezett egységimpulzusra adott válasz:

Az átviteli függvény ebből felírható:

Rendszer válasz.

Ha ismert az Y(z) átviteli függvény és az x_be(z) bemeneti jelsorozat, az X_ki(z) kimeneti jelsorozat előállítható X_ki(z)=Y(z)X_be(z) formában.

Példa:

legyen

és

Határozzuk meg a kimeneti impulzussorozatot!

A kimeneti jelsorozat pedig:

A szorzás részeredményei:

A módszer láthatóan nagy előnye, hogy konvolúció helyett szorzással kaphatjuk meg a kimenő jelet.

Példa:

Legyen a bemeneti jelsorozat:

Az egység impulzusra adott válasz:

Határozzuk meg a kimenő jelsorozatot!

Példa.

Végtelen jelsorozatok

A gyakorlati esetek egy részében a jelek végtelen sorozatot alkotnak. Tekintsünk egy rekurzív processzort, amely az alábbi differencia egyenlettel adott:

A z transzformált:

Az eredmény eltér az eddigiektől, és nem látható nyilvánvalóan, hogyan van kapcsolatban a mintavételezéssel és az y[n] függvénnyel. Egy módszer ehhez, ha kifejezzük Y(z)-t hatványsorozat formában:

Ebből már látható, hogy:

végtelen mintavételezett sor. Igy:

Ily módon egy végtelen sorozat z transzformáltját kifejeztük, mint z tört függvényét. Bizonyos feltételek esetén minden végtelen sorozat kifejezhető így, különösen, ha ismerjük a mintavételezett jel matematikai alakját.

Példa

vegyük az függvényt. Mi lesz a z transzformáltja?

Helyettesítsük a mintavételezett jelekkel:

Helyettesítsünk: 

A mintavételezett jel transzformáltja tartalmazza T-t exlplicit formában, ez azt mutatja, hogy T befolyásolja a mintavételezett értéket.

Példa:

egy egységugrás függvényt T s-al mintavételezünk. Írjuk fel a z transzformáltat, ha t=0 esetén a függvény értéke1!

, ha

, ha < 0

Ha az egységugrás t 1 mintavételezéssel késleltetjük:

A gyakorlatban sok függvénynek megvan a z transzformáltja táblázatban, ezért csak vissza kell keresni.

Pl táblázatból:

A táblázat, hasonlóan a Laplace transzformációhoz, csak az alap transzformációkat tartalmazza. Ez esetben is a Laplace transzformációhoz hasonló módon lehet a visszatranszformálthoz hozzájutni.

Példa:

Mi az egységugrásra adott válasz?

Az egységugrás z transzformáltja táblázatból:

Parciális törtekre bontással végezzük e a visszatranszformálást:

A megoldás részletezésének a mellőzésével:

A= -2, B=5

Az impulzusok 5-höz tartanak.