Állóhullámok - FELADATOK

Állóhullámok

FELADATOK

. Egy egydimenziós 'doboz' 10^{-10 m hosszú. Mekkora a három lehető legkisebb impulzusú elektron-állóhullám hullámhossza?}

Megoldás

A legkisebb impulzusú állóhullám esetében a hullámhossz fele a húr hossza, vagyis

2 10^-10 m.

A következő állapotban éppen egyszer fér el a hullám a húron, vagyis

10^-10 m.

Az ezt követő állapotban másfélszer fér el a hullám, vagyis a hullámhossz-ad része a húr hosszának, vagyis

6,66 10^{-11 m}

. Egy m tömegű részecske szabadon mozoghat egy d hosszúságú 'egydimenziós' dobozban.

a./ d = 12 mm

1./ Ha alapállapotban van a részecske, n = 1, a doboz bal oldali végétől milyen távolságra a legnagyobb a részecske megtalálási valószínűsége?

2./ Ha n = 2 ?

b./ A részecske legyen elektron. Számolja ki a két legalacsonyabb energiájú állapot energiakülönbségét a d = 0,3 m, 0,3 mm, 30 nm, 0,3 nm , esetekben! Mely hosszúságértéknél látszik legjobban az, hogy az elektron energiaszintjei diszkrétek?

Megoldás

a./ 1. 6 mm

2. 3 mm és 9 mm

b./ Adataink: d₁ = 3 10^{-1 m}

d ₂ = 3 10^{-4 m}

d₃ = 3 10^{-8 m}

d₄ = 3 10^{-10 m}

A húrmodell szerint:

Kapott összefüggésünkbe behelyettesítve:

2 10^-36 J,

2 10^-30 J,

2 10^-22 J,

2 10^-18 J = 2 aJ,

A E₄-re kapott érték az UV sugárzás energiájának nagyságrendjébe esik már, hiszen az atomi mérettartományra szorítottuk be az elektront példánkban.

. A véges tartományba bezárt elektront állóhullámmal modellezhetjük. Fejezzük ki az a hosszúságú húrállapotban lévő elektron öt legalacsonyabb energiáját a Planck-állandó, az elektron tömege és a húr hosszának felhasználásával! Rajzoljuk le az elektronállapotok hullámfüggvényét és a -et is !

Megoldás

Az a hosszúságú húron csak hullámhosszúságú állóhullámok alakulhatnak ki, ahol k a csomók száma, amely nem negatív egész szám lehet csak.

k + 1 = n ,

amelyet kvantumszámnak is neveznek.

A mozgási energia a Broglie-törvény felhasználásával:

Az alapállapot:

n = 1

gerjesztett állapotok egyetlen elektron esetében:

E₂ = 4 E n = 2

E₃ = 9 E n = 3

E₄ = 16 E n = 4

E E n = 5

Az energiaszintek fölfelé távolodnak egymástól, ritkulnak, úgy követik egymást energia szerint, mint a négyzetszámok.

. Számítsuk ki az elektronenergiákat, ha az elektront bezáró környezet két dimenziósnak, a oldalú négyzetnek tekinthető!

Megoldás

Ekkor a mozgási energia a 21. feladat megoldását felhasználva alakban írható.

A legalacsonyabb energiájú állapotban:

n_x = 1 és n_y = 1

.

A magasabb energiájú állapotokban, indexben a csomók számát (k = n - 1) jelölve:

n_x = 2 és n_y = 1 ,

vagy

n_x = 1 és n_y = 2,

mindkét esetben

.

Ha

n_x = 2 és n_y = 2 ,

akkor

.

Ha

n_x = 3 és n_y =1,

vagy

n_x = 1 és n_y = 3,

akkor mindkét esetben

.

Ha

n_x = 3 és n_y = 2,

vagy fordítva, akkor

.

Ha

n_x = 3 és n_y = 3,

akkor

.

Nézzünk magasabb energiájú állapotokat is, pl.:

n_x = 7 és n_y = 1,

akkor

vagy

n_x = 5 és n_y = 5,

akkor

Példánkból az is látható, hogy több lényegesen különböző állapot is rendelkezhet azonos energiával. Ezeket elfajult, idegen szóval degenerált, állapotoknak nevezzük.

. Egy elektron olyan kétdimenziós 'dobozban' helyezkedik el, amely kétszer olyan hosszú, mint széles. Keressük meg a két legalacsonyabb energiájú degenerált (azonos energiájú) állapotokat!

Megoldás

Az előző feladat megoldását felhasználva a mozgási energia ilyen esetben:

,

ahol k_a és k_b a csomók száma, továbbá 2 a = b.

A szögletes zárójelben lévő kifejezés értékeit kell csak vizsgálni, mivel az előtte lévő állandó ebben a feladatban.

Az egyik degenerált állapotpár esetében:

k_a = 1; k_b = 1 és k_a = 0 ; k_b = 3

A következő degenerált állapotpár:

k_a = 2; k_b = 1 és k_a = 0; k_b = 5

.

. Egy részecske egy L oldalhosszúságú kockába van bezárva. Adjuk meg az energiákat és a degenerált állapotokat a 10 legalacsonyabb energiaállapotokra vonatkozóan!

Megoldás

Az előző feladatok megoldásainak felhasználásával általánosságban az energia a következ módon írható fel:

,

ahol a k_x , k_y és k_z a csomók számát jelenti.

. Tegyünk három elektront gondolatban egy 10 nm oldalélű kockába. Mekkora lesz az összes mozgási energiájuk alapállapotban?

Megoldás

Adatunk: a = 10^{-10 m}

Használjuk fel a 24. feladat eredményeit! A Pauli-elv szerint két elektron kerül a csomómentes E₀₀₀ állapotba, a harmadik pedig valamelyik egycsomós állapotot foglalja el, vagyis:

7,18 10^-21 J.

. Mekkora legkisebb energiával lehet gerjeszteni az előző feladatban szereplő rendszert?

Megoldás

Gerjesztett állapotról beszélünk már abban az esetben is, ha az egyik E₀₀₀ , csomómentes állapotban lévő elektron valamelyik egycsomós állapotba kerül. Az ehhez szükséges energia:

1,8 10^-21 J.

Még annyit kell megjegyeznünk a megoldáshoz, hogy az elektron biztos, hogy nem abba az állapotba kerül, amelyikben az előző példában szereplő harmadik elektron van, hanem egy másik egycsomós állapotba. Kocka esetében három lényegesen különböző, de azonos energiájú egycsomós állapot van a szimmetria miatt. Ilyen esetben az elektronok a kémiában tanult Hund-szabály értelmében különböző pályákra kerülnek. Az elektronok elektromosan taszítják egymást. Ezért az egyenl energiájú pályák alapállapotban úgy népesülnek be, hogy az egymást taszító elektronok lehet ség szerint különböz pályákra kerülnek. Jelen példánkban három azonos energiájú egy csomósíkos állapot van, három elektron lehet azonos energiával a különböző állapotokban. Azonban ha van egy negyedik is, akkor az már valamelyik elektronnal párt alkot az energiaminimum elv miatt.

. Helyezzünk a 2 nm oldalélű kockába 5 elektront. Milyen állapotba kerülnek? Mekkora a rendszer teljes mozgási energiája alapállapotban?

Megoldás:

Adatunk: a = 2 10^{-9 m}

Két elektron kerül a csomómentes állapotba és három pedig a három lényegesen különböző egycsomós állapotba, mégpedig a Hund-szabály szerint mindegyik másikba, elfajult állapotokról lévén szó.

azonos energiájúak

0,362 aJ.