Amplitúdó – fázis függvény

Az amplitúdó – fázis függvény származtatása

Ha lineáris átviteli tag bemenetére szinuszos jelet viszünk, a kimeneten is szinuszos, mégpedig a bemenővel azonos frekvenciájú jelet kapunk. (5.21. ábra).

Lineáris tag jelátvitele harmonikus gerjesztés esetén.

Általában más lesz azonban a kimenőjel amplitúdója és fázishelyzete, s a változás mértéke a frekvenciától is függ. E függvények éppoly jól jellemzik az átviteli tagot, mint az átviteli, átmeneti vagy a súlyfüggvény.

Származtassuk a bemenő szinuszos jelet (a váltakozó áramok leírásában szokásos módszerrel élve) a komplex számsík ω szögsebességgel forgó x_bo abszolút értékű

vektorából, akkor a kimenőjelet az

vektor képviseli [22]. Képezzük – az átviteli függvény analógiájára – a kimenőjel és bemenőjel hányadosát!   Az így nyert

komplex függvény abszolút értéke az átviteli tag (szinuszos bemenőjelre vonatkozó, frekvenciafüggő) erősítését jelenti:

,

argumentuma pedig (az ugyancsak frekvenciafüggő) fázistorzítást szolgáltatja:

arg Y(jω)=φ.

Az Y(jω) tehát egyszerre két (valós) függvényt jelent, neve amplitúdó – fázis függvény.

A szinuszos be- és kimenőjeleket képviselő komplex vektorok (x) idő szerinti differenciálhányadosa:

amely formailag pontosan a LAPLACE-transzformáció differenciálási szabályának felel meg, csak éppen az s változó helyett jω-val kell szorozni. Éppen ezért az amplitúdó – fázis függvény szerkezete is megegyezik az átviteli függvény szerkezetével, csak s helyére jω kerül:

Ezt hangsúlyozza az Y(jω) jelölés is.

Miután az átviteli függvényeket már az előzőkben megismertük, e formai analógia alapján az amplitúdó – fázis függvényeket is ismertnek tekinthetjük.

Megjegyezzük, hogy egyszerű villamos áramkörök amplitúdó – fázis függvényei meghatározhatók a differenciálegyenletek és az átviteli függvény felírása nélkül is, ha komplex impedanciákkal számolunk. Az 5.14.a) ábra szerinti áramkör esetében pl. a feszültségosztás szabálya alapján

ahol: Z_k(jω) a kimeneti impedancia, Z_b(jω) a bemeneti impedancia, az L⁄R=T pedig az időállandó. Sok esetben tehát egyszerűbb az átviteli függvény és abból esetleg a differenciálegyenlet származtatása az

sorrendet követve.

Az amplitúdó – fázis függvény ábrázolása

A jω komplex változójú amplitúdó – fázis függvény ábrázolható komplex számsíkon az

Y(jω)=Re Y(jω) + j Im Y(jω)

koordináták mentén. Minden értékhez körfrekvencia-tartományban egy

vektor rendelhető, melyek végpontjainak a helygörbéje az un. NYQUIST – diagramot (jelleggörbét) jelenti (5.22. a) ábra). Az ω paraméterskála a jelleggörbe mentén nemlineáris, és csak a növekedés irányát jelölik egy nyíllal.

5. 22. ábra: Amplitudó-fázis függvény ábrázolása

A jelleggörbe egy ω_i körfrekvenciának megfelelő pontjához húzott vektor (Y(jω_i) hossza (abszolút értéke) a kimenő- és bemenőjel amplitúdóinak hányadosát (erősítés) adja meg az ω_i körfrekvenciájú jelekre, az argumentuma, azaz a valós tengely pozitív félegyenesével bezárt szöge pedig a kimenőjelnek a bemenőjeléhez viszonyított fáziseltolódását jelenti.

Az amplitúdó – fázis függvény két valós függvényt tartalmaz nevezetesen az erősítés frekvenciafüggését leíró amplitúdó – körfrekvencia függvényt:

valamint a fázistorzítás frekvenciafüggését leíró fázis – körfrekvencia függvényt:

Másik ábrázolásmódként kínálkozik tehát, hogy külön ábrázoljuk ezeket a frekvenciafüggvényeket. Azért, hogy mindkét diagram esetében minél nagyobb frekvenciatartományban lehessen ábrázolni, logaritmikus körfrekvencia-léptéket használnak

a vízszintes (ω) tengelyen. Ezenkívül a könnyű áttekinthetőség és szerkeszthetőség céljából az erősítést decibelben (dB) mérik fel a függőleges tengely mentén, azaz

a^*(ω)=20lg |Y(jω)| dB

értéket ábrázolnak a lgω függvényében. Ennek előnye, hogy a logaritmikus léptékek miatt a

függvények megfelelő pontossággal közelíthetők az aszimptotáikkal. Az így nyert logaritmikus amplitúdó – körfrekvencia, valamint fázis-körfrekvencia diagramokat együtt ábrázolják, ennek az elnevezése BODE-diagram (5.22. b) ábra).

A BODE-diagramok alkalmazási előnye sorba kapcsolt átviteli tagok eredő BODE-diagramjának szerkesztésekor tűnik ki. Ilyenkor ui. az eredő amplitúdó-fázis függvény

Y(jω)=Y₁(jω)Y₂(jω), azaz

a^*(ω)=20 lg |Y(jω)|= 20 lg |Y₁(jω)|+20 lg|Y₂(jω)|=a₁^*(ω)+a₂^*(ω) és

φ(ω)=arg Y(jω)=arg Y₁(jω)+argY₂(jω)=φ₁(ω)+φ₂(ω).

Tehát az eredő erősítés dB-ben a sorba kapcsolt tagok dB-ben mért erősítéseinek az összege, és az eredő fázistorzítás is a tagok fázistorzításainak az összege lesz. Az eredő BODE diagram így a tagok BODE diagramjainak az összegzésével szerkeszthető. Párhuzamos kapcsolásra vagy visszacsatolásra sajnos nincs ilyen egyszerű szerkesztési szabály.

5.2.6. A legfontosabb átviteli tagok szűrő tulajdonságai

Az ideális átviteli tagok amplitúdó-fázis függvényeit, NYQUIST-, ill. BODE- diagramjait az 5.2. táblázat foglalja össze.

5.2. táblázat: ideális tagok amplitudó-fázis függvényei.

Az ideális arányos átviteli tag amplitúdó – fázis függvényének a komplex számsíkon az origóból a valós tengely A_p pontjába húzott vektor felel meg, NYQUIST- diagramja így az A_p pont, aminek megfelelően az ilyen tag minden körfrekvenciájú jelet egyformán erősít és kimenőjele fázisban van a bemenőjelével (a fázistorzítása a frekvenciától függetlenül 0⁰).Ugyanezt fejezi ki a BODE- diagramja dB-ben kifejezett erősítést ábrázolva.

Az ideális integráló átviteli tag NYQUIST –diagramja az imaginárius tengely negatív félegyenesét futja be, miközben a körfrekvencia 0-tól ∞-ig változik. Ennek megfelelően az erősítés az ω növekedésével csökken, a fázistorzítás pedig a körfrekvenciától függetlenül állandó (-90°). BODE- diagramján a logaritmikus amplitúdó-körfrekvencia diagram

értelmében a lgω függvényében egy egyenes egyenletét jelenti, amelynek értéke egy dekádnyi (10-szeres) körfrekvencia értékváltozásnál – 20 lg 10ω = - 20 lg 10 – 20 lgω, az eredetihez képest – 20 dB-lel változik. Ezek szerint az egyenes meredeksége – 20dB/dekád.

Metszéspontja a 0 dB tengellyel

0 = 20lgA_i – 20lgω

teljesüléséből ω_c = A_i körfrekvenciára adódik, vagyis az ismétlési idővel kifejezve (T_i = 1/A_i),

a metszéspont körfrekvenciája ω_c = 1/T_i. A BODE- diagram szemléletesen mutatja, hogy az ilyen tagnak „aluláteresztő szűrő” tulajdonsága van, mivel a kis körfrekvenciás jeleket (ω<ω_c=A_i) gyengíti (a hozzájuk tartozó erősítés 1-nél kisebb, tehát negatív dB érték), más szóval levágja. Innen ered az ω_c „vágási körfrekvencia” elnevezése.

A fenti tulajdonság arra utal, hogy a hasonló átviteli tagok a bemenetükre érkező ω>ω_c körfrekvenciájú, pl. zavaró jeleket jelátviteli tulajdonságuknál fogva is képesek kiszűrni, vagy legalábbis hatásukat csökkenteni.

Az ideális differenciáló tag NYQUIST- diagramja az imaginárius tengely pozitív félegyenesét futja be, ami szerint az erősítés ω függvényében folyamatosan nő, de a fázistorzítás itt is független ω-tól (+90°). BODE- diagramján a logaritmikus amplitúdó-körfrekvencia diagram „felüláteresztő szűrő” tulajdonságot mutat és a 0 dB tengellyel való metszéspontra a fenti gondolatmenetet követve ω=1/A_d=T_d adódik. Az egyenes meredeksége + 20dB/dekád.

Az egytárolós arányos átviteli tag amplitúdó – fázis függvénye

aminek megfelelően az ω változási tartományának két szélsőértékére Y(j0)=A_p és Y(j∞)=0 adódik, azaz a jelleggörbe a komplex számsíkon az A_p pontból indul és az origóba fut be. Egy

közbenső ω_s=1/T körfrekvencián Re Y(jω_s)=A_p/2 és Im Y(jω_s)=-A_p/2. E három pont alapján a NYQUIST-diagram megrajzolható, ui. alakja félkör. Általában is ismert a komplex függvénytanból, hogy a jω változó lineáris törtfüggvénye konform (körtartó) transzformációt valósít meg, így a jω egyenest körré transzformálja.[22].

Az 5.23. a) ábrán feltüntetett NYQUIST- diagram szerint a tag erősítése ω növelésével A_p értéktől zérushoz tart úgy, hogy az ω_s=1/T körfrekvenciáig viszonylag kis mértékben csökken, de az ω>ω_s tartományban rohamos a csökkenés. A fázistorzítás a helyvektorok helyzeteinek az alakulásából ítélve 0-tól -90°-ig terjed.

5.23. ábra: Egytárolós arányos tag Nyquist és Bode diagramja.

Az amplitúdó-körfrekvencia függvény, azaz a vektorok hosszának az alakulása az ω függvényében

a fázis-körfrekvencia függvény pedig

Tehát az ω_s= 1/T körfrekvencián a fázistorzítás -45°. A BODE- diagramon (5.23. b) ábra) a logaritmikus amplitúdó- körfrekvencia jelleggörbe

szerint alakul, ami 0<ω<<1/T körfrekvencia-tartományban

vízszintes egyenessel közelíthető, az 1/T<<ω<∞ nagy körfrekvenciás tartományban pedig (5.41.)-ben a gyökjel alatt T²ω²-hez képest az egységtől eltekintve az aszimptota egyenlete

amelynek meredeksége – 20dB/dekád. A két aszimptota metszéspontja

20 lg A_p = 20 lg A_p – 20 lg T – 20 lg ω

értelmében ω = 1/T = ω_s körfrekvenciára adódik és ezért ω_s-t sarok-körfrekvenciának nevezik. A tényleges, valamint a csak az aszimptotákkal közelített jelleggörbe közötti legnagyobb eltérés a sarok.- körfrekvenciánál van és értéke

Kéttárolós arányos tag amplitúdó-fázis függvénye aperiodikus esetben

felfogható két, sorba kapcsolt egytárolós tag eredőjeként, így azok ismeretében egyszerű szerkesztéssel megrajzolható mind a NYQUIST-, mind pedig a BODE- diagramjuk (5.24. ábra). A NYQUIST- diagram származtatásakor (a) ábra) azt kell figyelembe vennünk, hogy egy adott ω₁ körfrekvenciához tartozó Y(jω₁) vektor hossza az Y₁(jω₁) abszolút értékének és Y₂(jω₁) abszolút értékének a szorzata lesz, az argumentumaik pedig összeadódnak. Ezáltal a helygörbe már két síknegyedet fut be, így a fázistorzítás 0°-tól - 180°-ig terjed. A BODE- diagram szerkesztése a b) ábrán könnyen nyomon követhető. Ebben az esetben már két sarok-körfrekvenciát jelölhetünk ki és megállapítható, hogy minden sarok-körfrekvenciát követően a logaritmikus amplitúdó – körfrekvencia diagram menete – 20dB/dekád meredekséggel változik.

5.24. ábra: Kéttárolós tag frekvencia függvényei.

A csillapítási tényező (5.33.-ban) értékének a hatása a NYQUIST – diagramon úgy jut kifejezésre, hogy a helyvektorok hossza (az erősítés) az

amplitúdó – körfrekvencia függvény értelmében ζ<1 feltételnél az ω kezdeti növekvő szakaszában növekvő jelleget mutat, sőt ζ=0 határesetben az ω=1/T körfrekvencián a végtelenhez tart (5.25. a) ábra). A BODE-diagram alakulását ζ függvényében az 5.25. b) ábra szemlélteti. A fázis-körfrekvencia diagram menete

értelmében szintén függvénye a csillapítási tényező értékének.

5.25. ábra: A csillapítási tényező hatása.

Egytárolós integráló tag NYQUIST – diagramjának az ábrázolását megkönnyíti, hogy az

amplitúdó – fázis függvény valós részének a

határértéknek megfelelően aszimptotája van(5.26. a) ábra), az ω→∞ határesetben pedig a valós tengely negatív félegyenese lesz az érintő. BODE- diagramján az a^*(ω) jelleggörbe egy tároló nélküli integráló tag és egy egységnyi erősítésű egytárolós arányos tag logaritmikus amplitúdó – körfrekvencia diagramjainak eredőjeként szerkeszthető (5.26.b) ábra). A fázistorzítás szintén a komponensek fázis – körfrekvencia jelleggörbéinek összegeként

tartományba esik. Kéttárolós esetben a NYQUIST-diagram újabb síknegyedet

fut be és a ζ csillapítási tényező hatása az arányos tagoknál tárgyaltakhoz hasonlóan érvényesül.

5.26. ábra: Egytárolós integráló tag frekvencia függvénye.

Egytárolós differenciáló tag amplitúdó – fázis függvénye

amely lineáris törtfüggvény, tehát a komplex számsíkon a helyvektorok végpontjai egy félkörön helyezkednek el. NYQUIST-diagramja így az ω növekedésének a mértékében az origóból induló és az A_d|T pontba befutó félkör (5.27. a) ábra). Ennek megfelelően az erősítés az ω növelésével nem nő végtelen nagy értékre (mint az ideális differenciáló tagnál), hanem véges (A_d/T) értékhez tart, miközben a fázistorzítás +90°-tól 0°-ig változik szerint.

5.27. ábra: egytárolós differenciáló tag frekvencia függvénye.

BODE- diagramja legegyszerűbben szerkesztéssel állítható elő (5.27. b) ábra), miszerint továbbra is érvényes a felüláteresztő szűrő tulajdonság.

Újabb energiatároló a kéttárolós, aperiodikus esetre megrajzolt és az 5.28. ábrán látható NYQUIST-, ill. BODE- diagramot eredményez. Ez sávszűrő tulajdonságra utal, ui. az ω_c1<ω<ω_c2 tartományba eső körfrekvenciájú jeleket erősítve engedi át, az e sávon kívül eső harmonikusokat viszont gyengíti (levágja).

5.28. ábra: Kéttárolós differenciáló tag amplitudó-fázis függvénye.

Holtidős tagok amplitúdó – körfrekvencia függvényének a menetét a holtidő nélküli átviteli tag jellege fogja meghatározni, fázis – körfrekvencia függvénye azonban azokhoz képest jelentősen módosul. Pl. energiatároló nélküli holtidős arányos átviteli tag amplitúdó – fázis függvénye

Y_HP(jω) = A_p e^-Thjω

tehát argumentuma, azaz a fázis – körfrekvencia diagramja

φ(ω) = -T_hω = -T_h ·10^lgω

értelmében a körfrekvencia lineáris függvénye, de a BODE- diagramon a lg ω lépték miatt exponenciális jellegű. A NYQUIST-, illetve a BODE- diagram az 5.29. ábrán látható.

5.29. ábra: Holtidős tag frekvencia függvénye.

Adott esetben a NYQUIST- diagram A_p sugarú kör, amelynek egyszeri körbejárásakor ω értéke 2π/T_h-val változik. A holtidő tehát a végtelen sokszor körbefutó ω paraméterskálát befolyásolja. Minden ω=k2π/T_h   körfrekvenciához Re Y(jω) = A_p, Im Y(jω) = 0 tartozik. A fázistorzítás 0°-tól (-∞)-ig terjed, ami úgy magyarázható, hogy a bemenőjel frekvenciájának növelésével (azaz periódusidejének csökkentésével) adott T_h alatt egyre több periódus futhat le a kimenőjel megjelenésének időpontjáig. ω = 1/T_h körfrekvencián φ = -1 rad = -57,3°.

A különböző jellegű tiszta holtidős átviteli tagok BODE – diagramjai legegyszerűbben szerkesztéssel határozhatók meg.

Összefoglalva az energiatárolók hatását, úgy módosítják az a^*(ω) függvényt, hogy számuktól függően a nagy körfrekvenciás szakasz meredekségét az eredeti (tároló nélküli) jelleghez képest n(-20)dB/dekáddal változtatják meg, a fázistorzítási tartomány pedig

0≤φ(ω)≤n(-90°),

amihez még hozzáadódik integráló tagoknál a fáziskésleltető, differenciáló tagoknál pedig a fázissiettető jelleg. NYQUIST- diagramon mindez annyit jelent, hogy a helygörbe annyi síknegyedet fut be, ahány tárolója van az átviteli tagnak.

Diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvénye

Diszkrét idejű tag W_d(jω) frekvencia átviteli függvénye a W_d(z) impulzusátviteli függvényből

helyettesítéssel származtatható.

W_d (jω) az ω változónak transzcendens függvénye, ezért a frekvencia diagram menetéről gyors áttekintést adó aszimptotikus közelítés közvetlenül nem alkalmazható.

Így bár a z transzformáltból a tag diszkrét idejű Fourier spektruma zárt kifejezésben rendelkezésre áll, az nem tükrözi eléggé szemléletesen sem a frekvencia görbe menetét, sem a folytonos és a diszkrét idejű jelek frekvencia spektrumai közötti összefüggést.

6.6.1 A mintavételezett jel frekvencia spektruma

Jelölje y(jω) egy folytonos idejű y jel frekvencia spektrumát (6.20a ábra). A T_s időközönkénti mintavételezéssel előállított y_d jel y_d(jω) frekvencia spektruma a 6.11 példában bemutatott eljárással az alábbi alakban fejezhető ki:

ahol a mintavételezési körfrekvencia, y(0) pedig az y jelnek a t=0 pontban az esetleges ugrása.

6. 20 ábra: a mintavételezett jel spektruma.

A mintavételezés hatására az y függvény ω=0 körüli y(jω) frekvencia spektruma (az un. főeloszlás) 1/T_s-szeresére változik és ezen kívül a ±Ω; ±2Ω stb. frekvenciák körül – az un. oldalsávokban – a főeloszlással azonos járulékos eloszlások jelennek meg. A fő és a járulékos eloszlások összege -vel növelve adja a diszkrét idejű amplitúdó spektrumot – a diszkrét frekvencia függvényt – (b ábra). Az ábrán feltételeztük, hogy y(0)=0; T_s=1 és y_d(jω) valós függvény. (Valójában y_d(jω) általában komplex, ekkor az ábra a mindig valós 0,5y_d(jω)y_d(-jω) un. energia spektrumot tünteti fel.)A diszkrét spektrumban a -Ω/2≤ω≤Ω/2 fősáv eloszlása – amely ω=0-ra szimmetrikus – mindkét irányban periódikusan ismétlődik. Ezért az y_d(jω) függvényt – a szimmetriát is figyelembe véve – elegendő az ω=0 és ω=Ω/2=П/T_s közötti frekvencia értékekre meghatározni.

A mintavételes jel frekvencia spektrumának meghatározása

A mintavételezés olyan amplitúdó modulációból származtatható, amikor az y(t) folytonos idejű jelet egységnyi területű, τ szélességű egymást T_s időközökkel követő impulzusokból álló I impulzus sorozattal szorozzuk (6.21 a-b ábra). Az y(t) jelnek a c ábra szerint a t=0 pontban y(0) ugrása is lehet.

6.21. ábra: mintavételezett folytonos jel.

A szorzás eredménye olyan impulzus sorozat, amelyben az nT_s pillanatban az eredetileg egységnyi impulzus területe y(nT_s)-re változik A t=0 pontbeli impulzus területe azonban – mivel eredeti területének a fele esett a pozitívidő tartományba – a d ábra szerint y(0)/2-re módosul. Ezért a véges szélességű impulzusoknak Dirac impulzusokkal való helyettesítéséből előálló y_Md modulált sorozat (e ábra) nem egyezik meg teljesen az u_d mintavételes sorozattal, hanem

, illetve

Helyettesítsük I-ben is az impulzusokat Dirac függvényekkel és képezzük az így előálló T_s periódusidejű periodikus függvény Fourier sorát.

ahol Ω az ismétlődési (mintavételezési) körfrekvencia: Ω=2π/T_s.

A c_n komplex amplitúdó minden n-re:

Az integrálási tartományban ugyanis I-nek egyetlen Dirac impulzusa van, amely a t=0 pontot kivéve mindenütt zérus, ott viszont egységnyi területű. Az integrandus második tagja pedig ugyanitt . Ezzel a (6.70b)-ből:

Jelöljük y(jω)-val a folytonos idejű frekvencia spektrumot (6.20a ábra) és képezzük a (6.71) egyenlet Fourier integrálját (y_d(jω)).

A műveletet tagonként elvégezzük.

y(jω±jnΩ) az y(jω) folytonos jelű frekvencia spektrum ±nΩ-val való eltolásával jön létre.

A mintavételezett jel frekvencia spektruma az egyes tagok összege, amely megegyezik a (6.69) egyenlettel.

A visszaállított jel spektruma

Jelvisszaállításkor a mintavételezett jel y_d(jω) spektrumából igyekszünk valamilyen szűrési eljárással kiválasztani a folytonos idejű jel y(jω) spektrumát. A 6.20c ábra tanulsága szerint ez általában nem oldható meg tökéletesen, mert az y(jω)-val arányos főeloszlásból származó összetevő – amelynek különválasztása lenne az ideális megoldás – a járulékos eloszlásokból származó részekkel együtt jelentkezik (y_H görbe).

Egyes frekvenciatartományok kiszűrése az ábrán egy ideális szűrővel a főeloszlást is csonkítja. A megmaradó spektrum még y(0)=0 esetén is különbözik y(jω)-tól, mivel abban az oldalsávok hatása is jelen van. A frekvenciatartományban így tükröződik az időtartományban triviális jelenség, hogy a mintavételezett jel információtartalmából általában nem lehet a mintavételi pontok közötti jelenségekre következtetni. A feladat közelítő megoldására használt szűrő – a tartószerv – frekvencia karakterisztikájának az ω=0 és Ω/2 közötti sávban nagyjából alakhű átvitelt és T_s-szeres erősítést, nagyobb frekvenciákon viszont erőteljes szűrést kell biztosítania.

A szűrési karakterisztika pontos alakja attól függ, hogy a visszaállított jel y_H(jω) spektruma milyen módon közelíti y(jω)-t. A különböző rendszámú tartószervek ebben különböznek egymástól.

A magasabb rendű tartószervek a nagyobb frekvenciákat erőteljesen elnyomják, ezért a visszaállított jel nem követi y(t) hirtelen változásait.

A zérusrendű tartószerv a nagyobb frekvenciákat mérsékeltebben szűri, de nagyobb torzítást ad a kisebb frekvenciájú összetevőkben is.

Minél kisebbek y(jω) függvényében a nagyfrekvenciás összetevők és minél nagyobb Ω, annál kevésbé fedik át egymást a fő és a járulékos eloszlások, és y(0)=0 esetén az ω<Ω/2 tartományban annál inkább helytálló az közelítés. Ha y(jω) spektrum csak a ±ω_h közé eső véges tartományra terjedne (6.22a ábra), elegendően nagy Ω esetén az oldalsávok teljesen elkülönülnének és nem befolyásolnák a fősáv eloszlását, amely így arányos lenne y(jω)-val. Ekkor mód nyílna y(jω) ill. y teljes – információveszteség nélküli – rekonstrukciójára. A diszkrét és a folytonos idejű jel között kölcsönösen egyértelmű lenne a kapcsolat.

6.22. ábra: A visszaállított jel spektruma ideális esetben.

Ebben az ideális esetben a teljes rekonstruálhatóságnak a feltételeit a Shannon féle mintavételezési tételek rögzítik.

Olyan mintavételezési frekvenciát kell választani, amely az ω_h határfrekvencia kétszeresénél nagyobb (Ω>2ω_h), tehát még a határfrekvenciás összetevőből is periódusként kettőnél több mintát kell venni (b ábra).

A visszaállítást olyan ideális aluláteresztő szűrő végzi, amely az ω<ω_h sávot T_s-szeres erősítéssel torzítatlanul viszi át, az Ω/2 feletti tartományt pedig tökéletesen szűri (c ábra). Ekkor az y_d(jω)-ból kivágott spektrum (y(0)=0) éppen y(jω)-val egyezne.

A Shannon tételek a valóságban elő nem állítható elméleti határeset megfogalmazásai. Egyrészt határfrekvencája csak állandósult véges számú harmonikus tagból álló jelnek van. Egyoldalas (valamikor bekapcsolt) jel frekvencia spektruma sohasem korlátozódik a véges frekvencia tartományra. Másrészt az ideális aluláteresztő szűrő karakterisztika is csak megközelíthető. Ezért a mintavételezett jel teljes hűséggel nem rekonstruálható, az elszenvedett információveszteség annál kisebb, minél jelentéktelenebb része esik az y(jω) spektrumnak az ω>Ω/2 tartományba.

6.6.3 Diszkrét frekvencia átviteli függvény

A 6.6.2 pont eredményeiből a diszkrét frekvencia átviteli függvényre az alábbi következtetések vonhatók le.

A w_d(jω) frekvencia átviteli függvény egy mintavételezett jel – a diszkrét súlyfüggvény – frekvencia spektruma, ezért a frekvencia tartomány Ω szélességű sávjaiban periodikusan ismétlődik. A frekvencia diagramot elegendő a fősávban meghatározni.

A diszkrét súlyfüggvény a tag diszkrét idejű modelljének válasza egyetlen egységnyi területű Dirac függvényből álló bemenő impulzussorozatra. Ha a tag folytonos idejű, diszkrét idejű modellje a tartószervet is magában foglalja.

Példaképpen egy folytonos idejű átviteli függvényű tag w folytonos idejű és w_d diszkrét idejű súlyfüggvényeit a 6.23 ábrán hasonlítjuk össze. Dirac delta bemenetre a folytonos idejű modell (a ábra) kimenő jele – a folytonos idejű súlyfüggvény – w(0)=1/T₁ kezdeti értékből induló, T₁ időállandóval exponenciálisan lecsengő görbe. Ennek mintavételezése exponenciálisan lecsengő görbe. Ennek mintavételezése exponenciálisan csökkenő területű impulzusok sorozata lenne.

A H zérusrendű tartószervvel kiegészített diszkrét idejű modellben (b ábra) a tartószerv a bemenő Dirac impulzust egy T_s szélességű egységnyi amplitúdójú négyszög impulzussá alakítja, amelynek hatására a tag kimenetén w_H folytonos idejű jel jön létre. Ez 0-ból indul (w_H(0)=0), a t=T_s időpontig az értékig növekszik, majd a bemenő jel megszüntével T₁ időállandójú exponenciális görbe szerint csillapodik.

w_H mintavételezett alakja a w_Hd=w_d diszkrét idejű súlyfüggvény, ami nem azonos a folytonos idejű súlyfüggvény mintavételezett formájával (Pl. w_d(0)=0; ).

6.23. ábra: Folytonos idejű és diszkrét idejű súlyfüggvények.

A 3.-ból következik, hogy a folytonos idejű tag w_d(jω) diszkrét frekvencia átviteli függvénye, ha a fősávon belül az oldalsávok hatása elhanyagolható, nem a tag w(jω) folytonos frekvencia átviteli függvényével, hanem a w_H(jω)·w(jω) függvénnyel arányos, ahol w_H(jω) a tartószerv frekvencia átviteli függvénye.

A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás helyettesítése

Ha feltételezzük, hogy a diszkrét spektrumban az oldalsávok hatása a fősávban elhanyagolható – ami helyesen kiválasztott mintavételezési lépésköznél csaknem mindig megtehető – a diszkrét frekvencia átviteli függvény az |ω|<1/T_s un. kisfrekvenciás tartományban a w_d(jω) ~ w_f(jω) folytonos átviteli függvénnyel helyettesíthető, amelynek könnyen áttekinthető a frekvencia menete, mert alkalmazhatók rá az aszimptotikus közelítések.

Ha ismerjük annak a folytonos idejű tagnak a w(s) átviteli függvényét, amelyből a w_d(z) impulzusátviteli függvény származtatható, akkor a 6.6.3/4 pont szerint a helyettesítő függvény a w_H(s)w(s) kisfrekvenciás közelítése. Figyelembevéve a zérusrendű tartó egyenletét, és az összefüggést esetén, s=jω rövidítéssel:

Az exponális függvényt Taylor sorának első három tagjával helyettesítve:

A kisfrekvenciás tartományban a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modelltől egy T_s/2 holtidejű holtidős taggal különbözik. Ha w(s) nem ismert, vagy w_d(z) nem egy folytonos idejű tag diszkrét modelljéből, hanem diszkrét műveletből – pl. a szabályozási algoritmusból – származik, a w_d(z) (6.24b) szerinti alakjában a gyöktényezőket egyenként lehet kisfrekvenciás közelítésükkel helyettesíteni. A (6.75b) kapcsán kézenfekvő az a feltételezés, hogy a helyettesítés egy folytonos gyöktényezőből, egy holtidő jellegű időeltolásból (fáziseltolásból) valamint egy olyan arányossági tényezőből áll, amely ω=0 (z=1) frekvencián az eredeti és a közelítő formulát azonossá teszi. Pontosabban úgy fogalmazhatunk, hogy w_d(z) egy-egy gyöktényezőjét az s=0 pont körüli Taylor sorával helyettesítjük. A Taylor sor a helyettesítés pontosságától függő számú s változós gyöktényező szorzataként is előállítható. A legnagyobb időállandójú tényezőt kiemelve a többit egyetlen holtidő jellegű fáziseltolásba vonjuk össze (a holtidő itt általános értelemben pozitív vagy negatív irányú időeltolást is jelenthet). Legyen w_d(z) valamelyik pólusa vagy zérusa q, a megfelelő gyöktényező frekvencia átviteli függvénye s=jω ill. rövidítéssel

A w_q(s) kisfrekvenciás közelítés az s=0 pont környezetében meg kell hogy egyezzék a z=1 helyettesítéssel (vagy határátmenettel) kapott értékkel.

6.24. ábra: Kisfrekvenciás közelítés.