Mintavételes rendszerek.

Mintavételezés

A digitális számítógépek irányítástechnikai felhasználsának két fő területe van:

a. Digitális szimuláció, amikor az irányítási rendszert számítógépen modellezik

b. Digitális irányítás, amikor az irányítás szerves része a számítógép, vagy annak egyes feladatait átveszi.

A digitális adatfeldolgozó rendszerekben a jeleket mintavételezzük, majd digitalizáljuk. Eredményül diszkrét jelet kapunk, amelyek amplitúdóban és időben kvantáltak. Ezt a folyamatot a 4.1. ábra szemlélteti. Az analóg jelektől eltérően, az így előállított jeleknek csak diszkrét időpillanatban vannak értékei, amelyek szintén diszkrétek. A folyamat eredményeképpen amplitúdó modulált impulzus sorozat jött létre, amelyben az állandó t_i szélességű impulzusok amplitúdója, illetve az impulzusok területe arányos a folytonos jel amplitúdójával. A közelítés annál pontosabb, minél kisebb a mintavételi periódus idő.

4.1: ábra: Diszkretizálás időben és amplitúdóban.

Az amplitúdó felfelé vagy lefelé van kerekítve az amplitúdó kvantálás eredményeképpen. A mintavételezés általában állandó T_o mintavételi periódus idővel történik. A digitalizált jel a mikroprocesszor bemeneti adata lesz, amely a kimenő jelet a programozott jelfeldolgozó algoritmusnak megfelelően állítja elő. Ha a beavatkozó szerv analóg jelet igényel, a kimeneti jelet D/A átalakító és tartó eszköz segítségével visszaalakíthatjuk analóg jellé. A bemeneti és kimeneti mintavételezés nem szinkron történik, közöttük T_r időintervallum telik el. A T_r időintervallum egyrészt a konverziós időből, és a jelfeldolgozási időből tevődik össze. A mintavételes jelfeldolgozás folyamatábrája a következő ábrán látható. T_r elhanyagolható, ha sokkal kisebb, mint a beavatkozó szervek, érzékelők, és a folyamat időállandói. Ugyanilyen megfontolásból, 16 bites vagy nagyobb szóhosszúságú processzor és 10 bitesnél nagyobb felbontású A/D konverterek esetén, a diszkrét idejű jel a vizsgálatokhoz első közelítésben folytonos jelszintűnek tekinthető.

4. 2 ábra: Digitális jelfeldolgozás blokkvázlata.

4.3. ábra: fizikai és matematikai mintavételezés

Az impulzusok szélessége a mintavételi lépésközhöz képest kicsi. Ezért nagyobb hiba nélkül helyettesíthetjük a mintavételezett impulzusokat azonos területű Dirac impulzusokkal. Ezáltal az idealizált matematikai mintavételezéshez jutunk, ami a mintavételes rendszerek tárgyalását lényegesen leegyszerűsíti. Figyelembe kell venni, hogy a mintavételezés információvesztést jelent, mivel csak a mintavételi pontokban ismert a jel értéke. Az y(t) és yd (t) jelek közötti kapcsolat nem kölcsönösen egyértelmű. Az információ vesztés csökken a mintavételi frekvencia növelésével.

Tartás

A digitális szabályozók kimenete diszkrét idejű jel, amelyet folytonos idejűvé kell alakítani. Ezt a D/A átalakító végzi. E folyamat két részre osztható: dekódolásra és tartásra. A dekódolás folyamán a diszkrét idejű digitális jelből analóg impulzusok lesznek. Az analóg impulzus sorozatból a tartó áramkör folytonos idejű jelet állít elő. Többféle tartóáramkör lehetséges, attól függően, hogy a megelőző n darab diszkrét idejű értékből milyen extrapolációval történik a kimenő jel előállítása.

Zérusrendű tartó áramkör a legegyszerűbb. Az nT_s és (n+1)T_s időpontok között ekkor y(nTs) állandó érték a kimenet.

Ez lépcsős görbét jelent. A zérusrendű tartószerv átviteli függvénye:

Az első rendű tartó áramkör az nT_s és (n+1)T_s időpontok között az y(nT_s) és y((n-1)T_s) értékekből képez egyenest. A másodrendű tartók az extrapolációt parabola segítségével végzi. Gyakorlatban a zérusrendű tartónak a jelentősége a legnagyobb.

A mintavételezett jelek matematikai leírása

Az időtartományban a mintavételezett jeleket Dirac impulzusokból álló sorozatként ihatjuk le:

A mintavételezett jelek leírása a frekvencia tartományban a Laplace transzformáció segítségével lehetséges. A mintavételezett jelsorozat Laplace transzformáltja az eltolási tétel felhasználásával:

A jelölést bevezetve kapjuk a diszkrét idejű jel z transzformáltját, vagy diszkrét Laplace transzformáltját:

A z változót késleltetési, vagy eltolási operátornak is tekinthetjük, ahol a z^-k együtthatóval való szorzás azt jelzi, hányadik a jel a mintavételezett jelsorozatban. Ha egy jelsorozatot z-vel szorzunk, a művelet eredményeképpen a jelsorozat időben negatív irányban tolódik el. Ugyanígy, a z^-1-el történő szorzás időben késleltetést jelent.

E felfogás szerint a transzformáció más megközelítéssel is bevezethető.

Egy x=x[k] diszkrét idejű jelsorozat X(z)=Z diszkrét idejű Laplace transzformáltja, más néven z transzformáltja a következő:

A z változó dimenzió nélküli mennyiség, vagy néha radián mértékegységben adják meg, mint a diszkrét idejű körfrekvenciát.

A jeleket belépő jeleknek tekintjük, azaz ha k < 0.

Az inverz z transzformációelvileg az inverziós integrállal hajtható végre:

k egész szám.

Az inverziós integrál kiértékelése azonban általában nehéz, így más módszereket használunk, hasonlóan az inverz Laplace transzformációhoz.

A z transzformáció tulajdonságai és az inverz z transzformációs módszerek

1.2. Az impulzusok és az egységugrás transzformáltjai.

A DI egységimpulzus z transzformáltja.

A diszkrét idejű egységimpulzus ([0] = 1, [k] = 0 egyébként) z transzformáltja a definicióból következik:

Z = 1. (9.)

Hasonlóan látható be, hogy:

Z = z^-r (10.)

Ebből következik, hogy a véges hosszúságú belépő DI jel z transzformáltja a z^-1 változó polinomja:

(11.)

Ez kifejezhető a z két polinomjának hányadosaként:

(12.)

A DI egységugrás transzformáltja.

A definiciós képletbe helyettesítve:

(13.)

A mértani sor konverges, ha , azaz, ha A mértani sort másképpen felírva:

(14.)

A Laplace transzformáció definiciójából következik, hogy az f[k]=1, vagy a g[k]=2-[k] DI jel transzformáltja megegyezik [k] transzformáltjával, vagyis F(z)=G(z)=z/(z-1).

Linearitás:

Mind a transzformáció, mind az inverz transzformáció lineáris:

(15.)

(16.)

Csillapítási tétel:

Bármely komplex q szám esetén:

(17.)

Ha q valós, és -1<q<+1, akkor az x szorzótényezője az időtartományban exponenciális csillapítást jelent. Innen kapta a tétel a nevét. Az igazolás egyszerű, nem részletezzük.

A tétel alkalmazásaként kapjuk:

(18.)

Gyakori előfordulása miatt érdemes megjegyezni:

Késleltetett belépő jel transzformáltja.

Ha X(z)=Z, akkor

(20.)

A tételt eltolási vagy késleltetési tételnek is nevezik.

Nem belépő jel késleltetése.

Ha X(z)=Z, akkor a késleltetett jel z transzformáltja:

(21.)

A késleltetett jel z transzformáltját X(z) nem határozza meg, mert annak számításakor az

x[-1], x[-2], értékeket nullának tekintettük, tehát ezeket külön-külön figyelembe kell vennünk. Ha ezek értéke nulla, akkor az egyenlet a (20.) formára egyszerűsödik.

Speciálisan r=1 és r=2 esetén:

(22.)

Siettetett DI jel

Ha X(z)=Z, akkor az egy ütemmel siettetett (hátratolt) jel transzformáltja:

(23.)

Az általánosítás több ütemre nem okoz nehézséget, itt nem foglalkozunk vele.

Belépő jelek konvolúciója:

A két belépő jel konvolúciójának z transzformáltja transzformáltjuk szorzata.

(24.)

Inverz z transzformáció

Az X(z) z transzformáltnak megfelelő diszkrét x[k] jelet az X(z) inverz z transzformáltjának nevezzük. Az inverz z transzformáltat különféle módszerekkel határozhatjuk meg:

Résztörtekre bontással és z transzformációs táblázat segítségével

Polinom osztással

Differencia egyenlet megoldásra visszavezetve

Komplex inverziós integrállal.

A módszerekre a következőkben mutatunk példákat.

Résztörtekre bontás módszere

A jel z tartománybeli alakját parciális törtek összegére bontjuk, és az így nyert résztörteket táblázatból kikeressük. Az eredmény az egyes tagok összege lesz.

A törtet

, , alakú résztörtekre bontjuk, és azokat táblázat

segítségével transzformáljuk az időtartományba.

Legyen

A parciális törtekre bontott alak:

az A és B együtthatókat meg kell határozni.

z=1 esetén B=5,

Z=0.4 értékkel pedig A=-2 adódik.

Táblázatból visszakeresve a diszkrét jelet:

Polinom osztás

A módszer akor használható, ha a jelek egyoldalúak, vagyis csak pozitív vagy csak negatív időpontokban fellépő jelek. Ha a z transzformáltat polinomok hányadosaként írjuk fel, csökkenő kitevőkkel. A két polinomot elosztva az eredményt z végtelen soraként kapjuk, és a z együtthatói adják a diszkrét x k impulzussorozat elemeit.

Példa:

Ezt át kell alakítani z ^-1 hatványai szerinti polinomok hányadosává:

Az osztás eredménye:

Az osztás eredménye:

Az

egyenlet alapján a diszkrét jelsorozat a következő:

x(0)=0

x(1)=10

x(2)=17

x(3)=18.4

x(4)=18.68

A módszerrel általában nem kapunk zárt formát az időfüggvényre. De a számítás tetszőleges pontosságig folytatható.

Osztással határozzuk meg a mintavételezett jelsorozatot:

Ez átírható a következő formába:

Az osztás eredménye:

Ay eredmény zárt formában is felírható:

Inverz transzformáció differenciaegyenlet megoldással

A módszer előnye, hogy algoritmizálható. Legyen a z tartományban adott jel belépő függvény, és a következő egyenlettel adott:

Írjuk fel az alábbi alakban:

;

Ahol az u(z) gerjesztés a Dirac delta z transzformáltja, mivel .

Rendezzük át az egyenletet:

,

Majd alakítsuk át a kifejezést differencia egyenletté:

Mivel u[k] a diszkrét egység impulzus, u[k]=1, ha k=0, és u[k]=0, ka k?0.

Legyen k=-2. Ekkor az egyenlet:

A kezdeti értékek: x[-1]=x[-2]=0, mivel belépő jel, u[-1]=u[-2]=0, mivel egység impulzus.

Így a megoldás elsőtagja:

x[0]=0

Helyettesítsünk be k=-1-et.

A kezdeti értékek: x[0]=0, az előbb már ezt meghatároztuk, x[-1]=0, u[0]=1, u[-1]=0,

A második tag:

X[1]=10

Helyettesítsünk be k=0-t. A következő megoldandó differencia egyenlet:

A kezdeti feltételek: x[0]=0, x[1]=10, u[0]=1, u[1]=0.

A harmadik tag:

X[2]=17

Helyettesítsünk be k=1-t. A következő megoldandó differencia egyenlet:

A kezdeti feltételek: x[0]=0, x[1]=10,x[2]= 17, u[0]=1, u[1]=0.

A negyedik tag:

X[3]=18.4

A következő differencia egyenletekben az u[k] értékeire mindig 0-t kapunk. A számítások részletezésének mellőzésével az eredmények:

x[4]=18.68

x[5]=18.736

x[6]=18.742

x[7]=18. 7495

x[8]=18.7499…

Számításunk eredmény megegyezik a résztörtekre bontás és a polinomosztás módszerével kapott eredményekkel.

De ellenőrizhetjük számításainkat a kezdeti és a végérték tételekkel is:

Oldjuk meg differencia egyenletté alakítással a következő visszatranszformálási feladatot is, amelynek végeredményét polinom osztással már közöltük. X(z) belépő függvény:

Alakítsuk át differencia egyenletté:

Legyen n=-2,

x[0]=0

Legyen n=-1,

x[1]=0

Legyen n=0,

Legyen n=1

Legyen n=2

…

A mintavételezett jelsorozat:

, , , …, megegyezik az előbbi jelsorozattal, és zárt formában megadható eredmény adódik.

A folytonos idejű rendszerek diszkrét modellje

Digitális szabályozókban folytonos és diszkrét idejű szakaszok vannak egymással összekötve. A szabályozó diszkrét, a folyamat folytonos jelekkel jellemezhető. A kétféle szakasz között A/D átalakítók végzik el a jelek illesztését. A szabályozórendszer vizsgálatához egységes modellt kell elkészíteni, ahol a teljes rendszert azonos típusú jelekkel működőnek tekintjük.

A modellalkotáshoz lehetőségei:

diszkrét idejű a szabályozó, folytonos idejű a szabályozott folyamat

a diszkrét idejű szabályozót folytonos modellel helyettesítjük és folytonos idejű a szabályozott folyamat,

a diszkrét idejű szabályozóhoz diszkrét idejű folyamat modellt állítunk elő

A szabályozók tervezésekor a diszkrét modell előnyösebb, mert a ténylegesen megvalósított szabályozó diszkrét lesz.

A szabályozási kör vizsgálatakor célszerű a folytonos modell célszerűbb, mivel így a rendszer mintavételi pontok közötti viselkedése is megismerhető.

A folytonos és diszkrét idejű rendszerek közti összefüggést az s és a z tartomány között a összefüggés írja le. Az összefüggés az s sík képzetes tengelyét, (s=0) a z síkon egységsugarú körré képezi le, az alábbi ábra szerint.

A konvertálásra számos módszer létezik, közülük néhányat a következő rész ismertet. A módszerek egy része az azonos bemenő jelek hatására adott azonos válaszon alapul. Mind a folytonos, mind a diszkrét rendszer kimenő jeleinek azonosaknak kell lenni a mintavételi pillanatokban. Ide tartoznak az egység ugrás és egység sebesség invariáns módszerek. A módszerek egy másik csoportja pedig a szimulációs módszerekből származik. Ilyen például a bilineáris közelítés, mely a trapéz módszerből származik, vagy a differencia egyenlet módszer.

Egység ugrás invariáns módszer, vagy zérusrendű tartó módszer. A módszer által eredményezett diszkrét és az eredeti folytonos rendszer egység ugrásra adott válasza megegyezik a mintavételi pillanatokban. A szabályozott szakasz elé zérusrendű tartó áramkört mögé, pedig egy mintavételező áramkört tételezünk fel, így az eredményül kapott rendszer bemenete és kimenete egyaránt digitális lesz. A zérusrendű tartót és a mintavételezőt is bevonjuk a konverzióba. A konverziós egyenlet:

az egyenletben a Z operátor a z transzformációt, L^-1 pedig az inverz Laplace transzformációt jelenti. A módszert a szabályozott szakasz konvertálására használják. Nem megfelelő azonban a módszer a szabályozó diszkretizálására, mivel a zérusrendű tartó áramkör fázis késleltetést, valamint a frekvencia átvitelben torzítást okoz.

Egység sebesség invariáns módszer. Ha a bemeneti egységugrás jel helyett egység sebesség jelet használunk, az egység sebesség invariáns, vagy elsőrendű tartó módszerhez jutunk. A folytonos és a kapott diszkrét rendszer válasza ez esetben az egység sebesség jel esetén egyezik meg. A konverziós egyenlet a következő:

A módszer elfogadható eredményt ad folytonos idejű szabályozók konvertálása esetén is.

Impulzus válasz invariancián alapuló átalakítás

E módszer esetén az ismert analóg szűrő súlyfüggvényéből - impulzus válasz, h_a(t) - és ennek frekvencia függvényéből – H_a(w - indulunk ki. Az IIR szűrő h_d[n] impulzus válasza a mintavételi pontokban meg kell, hogy egyezzen a folytonos szűrő impulzus válasz függvényével:

T a diszkrét rendszer mintavételi periódusideje.

Az előzőek alapján felírható a diszkrét rendszer amplitúdó-frekvencia függvénye:

Ahol

11. ábra: Impulzus válasz invariancián alapuló módszer

A módszer problémája, hogy alkalmazhatósága a T mintavételi idő nagyságától függ, a frekvencia függvénynél előforduló átlapolás miatt (aliasing jelenség). Azaz, az időtartományban meglévő hasonlóság a frekvencia tartományban nem áll fenn kis mintavételi frekvenciák esetén.

Példa: Legyen az analóg szűrő átviteli függvénye:

A Laplace transzformált:

A súlyfüggvény táblázatból meghatározható:

A diszkrét impulzus válasz:

A z transzformált pedig:

A rendszer blokkvázlata az alábbi:

12. ábra: a szűrő blokkvázlata.

Hasonlítsuk össze az analóg és a diszkrét átviteli függvényt:

A H_a(s) függvénynek pólusa van az s =B helyen, amíg a H_d(z) diszkrét rendszer pólusa a helyen található.

Ez alapján megfogalmazható a tervezési módszer általános szabálya:

Az analóg szűrő minden p=p_k pólusát át kell konvertálni a pólusokká.

Általában az analóg szűrő az alábbi formában adott:

A tervezés során a diszkrét szűrőt az alábbi formában kapjuk:

A stabil analóg szűrőből így konvertált diszkrét szűrő is stabil lesz minden esetben.

A differenciál egyenlet helyettesítése differencia egyenlettel

Az analóg szűrő az átviteli függvényével adott:

Ebből felírható a rendszer differenciál egyenlete:

Ezután közelítjük a rendszert a differencia egyenletével:

Az y_d[n] a diszkrét szűrő kimeneti jele.

A módszert általánosíthatjuk is:

Így a diszkrét IIR szűrő átviteli függvénye az alábbi lesz:

A módszer az s síkot a z síkra képezi le a 13. ábrának megfelelően. Az s sík origója ( s=0) megfelel a z sík 1 pontjának. Az s=j és s=-j pontok a z=0 pontba kerülnek. A7 s sík képzetes tengelye pedig megfelel a z síkon a 0.5 sugarú kör kerületének. Az s sík stabil régiója ( vonalkázott) a z síkon szintén stabil tartományba kerül, a kör belsejébe, tehát a diszkrét szűrő is stabil lesz, ha az analóg rendszer stabil volt.

A frekvencia tartománybeli viselkedés azonban nem lesz azonos. Ez akkor lenne azonos, ha a vonalkázott s tartomány leképezése az egységsugarú kör belsejére történne. Ehhez közel csak a kis frekvenciákhoz tartozó területekre igaz, ahol . Tehát a közelítés csak a mintavételi frekvenciánál jóval kisebb frekvenciákra lesz megfelelő.

13. ábra: s z leképezés.

A derivált közelítésének bemutatott módszerét ”backward difference” módszernek nevezik:

Egy másik lehetőség a „”forward difference” módszer:

Ez alapján az s és z változók közötti összefüggés:

és

Ez esetben az s tartomány képzetes tengelye függőleges egyenesbe képződik le a z síkon, amint a 14. ábra mutatja. Ezért a frekvencia tartománybeli viselkedés ezúttal is csak kis frekvenciákon lesz hasonló.

E tulajdonsága miatt a módszert csak néhány speciális alkalmazás esetén használják, melyekre nem térünk ki ( pl. kapcsolt kapacitású szűrők).

14. ábra: s-z leképezés z= 1+sT esetén.

Transzformáció bilineáris transzformációval

A leggyakrabban alkalmazott a folytonos szűrőt kiindulásként használó módszerek közül.

Az s-z leképezés az alábbi képlet szerint történik:

, illetve

A leképezés a 15. ábra szerint történik.

A módszer az s sík képzetes tengelyét az egység sugarú kör kerületére képezi le, az s=0 pont a z=1 pontba kerül. Az s=+j és s=-j pontok egyaránt a z=-1 pontba képződnek le. Az s tartomány negatív valós része az egység sugarú kör belsejének felel meg. Ily módon mindig stabil diszkrét rendszert kapunk, ha a kiindulási analóg rendszer stabil.

15. ábra: s-z leképezés bilineáris transzformáció esetén.

Példa:

Legyen a folytonos rendszer átviteli függvénye:

Írjuk fel a diszkrét rendszert a bilineáris transzformációval:

A frekvencia függvények A=1000 és T=0.001esetén a 16. ábrán láthatók.

16. ábra: a bilineáris transzformációval kapott frekvencia függvények.

Az ábrán látható, hogy kétféle frekvencia szerepel: a, az analóg rendszer és d, a diszkrét rendszer frekvenciája.

, illetve

Egyik fő tulajdonsága a bilineáris leképezésnek, hogy az analóg rendszer teljes frekvenciáját leképezi a diszkrét rendszer alap intervallumára .

Az _a=0 pont megfelel a q pontnak, az _a=+ pontot áttranszformálja a q p pontba, míg az _a=- pontot a q p pontba képezi le.

Az analóg és diszkrétfrekvenciák között az alábbi összefüggés vezethető le:

s=j és , összefüggések figyelembe vételével:

Azaz, a két frekvencia között az összefüggés nem lineáris, amint az a 17. ábrán látható. A jelenség a frekvencia „warping”, eltérés. Pozitív következménye, hogy a transzformáció sohasem okoz frekvencia átlapolást, az aliazing jelenség nem fordul elő. Viszont a tervezés folyamán a frekvencia karakterisztika specifikációjánál ezt figyelembe kell venni és a diszkrét szűrő frekvenciamenetét módosítani kell. E folyamatot ábrázolja a 18. ábra.

17. ábra: Az analóg és diszkrét frekvenciák közötti összefüggés bilineáris transzformáció esetén.

18. ábra: a frekvancia torzulás „warping” bilineáris transzformáció esetén.

19. ábra: A diszkrét szűrő frekvencia karakterisztikája bilineáris transzformáció esetén.

Diszkrét idejű rendszerek átviteli függvénye

A diszkrét idejű átviteli függvény felírásához iduljunk ki egy egyszerű átviteli tagból, amely az n-ik kimeneti jelet két egymás utáni bemenő jelből, az n-ik és n-1-ik mitavételi értékből átlagolással állítja elő:

.

Írjuk fel a z transzformáltat:

.

A diszkrét idejű processzor átviteli függvényét kapjuk, ha a kimenő jel és a bemenő jel hányadosát képezzük:

Az átviteli függvényt átírva z pozitív hatványaival, a következő kifejezést kapjuk:

A W (z) átviteli függvény rendszerjellemző, megadja, hogyan állítja elő a diszkrét processzor a kimenő jelsorozatot a bemenő jelsorozatból. Ha adott az átviteli függvény, a bemenő jelsorozatból előállítható a kimenő jelsorozat:

Ha a bemenő jel a mintavételezett egység impulzus, d[n], a kimenet az egység impulzus válasz függvény, h[n] lesz. A z transzformáltakkal:

Egy lineáris diszkrét idejű processzor átviteli függvénye egyenlő a mintavételezett egység impulzusra adott válasz függvénnyel.

Az átviteli függvényről anyag a CD mellékletben található.

Diszkrét idejű tagok frekvencia átviteli függvénye

A diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvényét az impulzus átviteli függvényből helyettesítés útján kapjuk. Sajnos, w_d(j) transzcendes függvény, ezért a frekvencia diagram komplikált, az aszimptotikus közelítés nem alkalmazható. Felírható a mintavételezett jel spektruma.

A spektrum meghatározásához a mintavételezett jelet az alábbi formában írjuk fel:

Az y_d(jw) frekvencia spektrum ebből a következő alakú lesz:

A képletben a mintavételi körfrekvencia, y(0) a jel értéke a t=0 időpontban. Az eredeti spektrum szeresére változik, és a frekvenciák körül periodikusan ismétlődik.

4. ábra: a mintavételezett jel spektruma.

A visszaállított jel spektruma ( Shannon tétel).

A diszkrét idejű lel feldolgozása végén y_d(jw)-ból ki kell szűrni a folytonos y(jw) spektrumot. Ez kimeneti aluláteresztő szűrővel, az úgynevezett rekonstrukcós szűrővel történik. A valóságban ez általában nem oldható meg tökéletesen, mert a 0 tengely körüli főeloszlás és a járulékos eloszlások eredője jelenik meg a spektrumban.

Minél kisebbek a jel nagyfrekvenciás összetevői és nagyobb a mintavételi frekvencia, a jel helyreállítása annál jobb lesz. Ha y(jw) spektruma a határok közé esne, megfelelően nagy mintavételi frekvencia esetén a jel tökéletesen helyreállítható lenne. A szükséges mintavételi frekvenciára vonatkoznak a Shannon féle mintavételezési tételek.

A mintavételi frekvenciának a jel wh határfrekvenciájának kétszeresénél nagyobbra kell választani.

A jelet olyan aluláteresztő szűrővel lehet helyreállítani, amely az w<w_h tartományban T_s szeres erősítéssel viszi át a jelet, e frekvenciák felett pedig vág.

A Shannon tételek tájékoztatást adnak a mintavételi frekvencia minimális értékére, de csak elméleti határeseteket fogalmaznak meg. A valóságban a jelek végtelen sok felharmonikust tartalmaznak. Emellett a kimeneti aluláteresztő szűrők karakterisztikája sem ideális. Ezen okok miatt mintavételezés miatt mindig keletkezik hiba. A digitális jelfeldolgozó rendszerek ára nagymértékben függ a megvalósítandó mintavételi frekvenciától, az mindig az ár és a megengedett információ vesztés közötti kompromisszum eredménye. A mintavételi frekvencia csökkenthető, ha a bemenő jel frekvenciáját korlátozzuk. Ezért a bemeneten is alkalmaznak aluláteresztő szűrőt, amely a feldolgozás szempontjából érdektelen frekvenciákat kiszűri.

Diszkrét idejű rendszerek stabilitása

A folytonos rendszerek stabilitásának a feltétele volt, hogy a zárt rendszer pólusai a komplex síkon a jw tengelytől balra helyezkedjenek el. A folytonos rendszerek stabilitására vonatkozó, a rendszer pólusaira vonatkozó definíciók diszkrét rendszerekre is érvényesek. Ezt a feltételt kell átalakítani a z tartománynak megfelelően. Ehhez a összefüggés szerint kell az s sík pontjait a z síkra leképezni. Ha az s síkon kiindulunk a képzetes tengely mentén a jw=0 pontból a pontba pontba, a z síkon egy teljes egységsugarú kört írunk le, az óramutató járásával ellentétesen. A jw tengelytől balra eső pontok az egység sugarú kör belsejébe kerülnek. Vagyis, a diszkrét idejű rendszerek stabilak, ha összes pólusuk az egységsugarú körön belül fekszik.

Általános esetben a diszkrét rendszer átviteli függvénye tört, melynek számlálója m-ed fokú, nevezője pedig n-ed fokú polinom:

.

A karakterisztikus egyenlet, D(z) gyökei meghatározzák a rendszer tranziens viselkedését.

Ha a bemenő jel egységimpulzus, és a kezdeti értékek zérussal egyenlők, a kimenő jel, azaz a rendszer egység impulzusra adott válasz függvénye megegyezik az átmeneti függvénnyel, amint ezt már korábban leírtuk:

A diszkrét idejű rendszer stabil, ha az impulzus válasz aszimptotikusan zérushoz tart. Az alábbi ábra a különböző gyökökhöz tartozó válaszfüggvényeket foglalja össze.