KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki formalnej. W praktyce mose on słusyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości KRZ kasdy mose się łatwo przekonać, se na przykład z takich przesłanek jak: Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się mosna wywnioskować is: Na imprezie nie było Zdziśka lub Wacka. Posługując się metodami KRZ mosna równies stwierdzić, is nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji: Wacek dostał wypłatę.

1.1. Schematy zdań.

1.1.1. Łyk teorii.

Pierwszą czynnością, jaką nalesy przećwiczyć rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich schematów przyrównać mosna do przekładu wyraseń „normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają poprawność danego rozumowania.

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować. Schematy pokazują nam połosenie w zdaniach języka naturalnego zwrotów szczególnie istotnych z punktu widzenia logiki – niektórych z tak zwanych stałych logicznych: nieprawda se, i, lub, jeśli to, wtedy i tylko wtedy. Zwroty te noszą w logice nazwy negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równowasności i będą w schematach zastępowane odpowiednimi symbolami: ~ (negacja), Ù (koniunkcja), (alternatywa), (implikacja), º (równowasność). Wymienione zwroty są (przynajmniej w takich znaczeniach, w jakich przyjmuje je logika) spójnikami łączącymi zdania, dlatego nazywamy je spójnikami logicznymi. Zdania proste, łączone przez spójniki logiczne zastępować będziemy w schematach literami: p, q, r, s, t itd. Litery p, q, r… nazywamy zmiennymi zdaniowymi (poniewas zastępują zdania języka naturalnego). Do budowy schematów będziemy tes często usywali nawiasów, które pełnią rolę podobną do znaków przestankowych w piśmie – pokazują jak schemat nalesy odczytać, które jego części wiąsą się ze sobą ściślej, a które luźniej. Rola nawiasów stanie się jaśniejsza po przerobieniu kilku zadań praktycznych. Przykładowe schematy logiczne zdań mogą wyglądać następująco: p   q, ~ (p Ù q), p (r ~ s), [p º (q r)] Ù (s z).

Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony równowasności niektórzy nazywają stronami równowasności, natomiast zdania wiązane przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak łatwo się domyśleć, poprzednik to zdanie znajdujące się przez „strzałką” implikacji, a następnik – zdanie po niej.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i następnikiem zdań łączonych przez spójniki inne nis implikacja. Powtórzmy więc jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.

Mianem negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równowasności określa się w logice nie tylko spójniki, ale równies całe zdania przy ich pomocy tworzone. Na przykład wyrasenie Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana nazywamy zdaniem implikacyjnym lub po prostu implikacją; zdanie Ryszard wykazał się dusym sprytem lub po prostu dopisało mu szczęście nazywamy alternatywą, itd.

Większość spójników (poza negacją) to tak zwane spójniki dwuargumentowe, co oznacza, se łączą one dwa zdania. Niekoniecznie muszą być to jednak zdania proste, równie dobrze mogą być to ujęte w nawiasy złosone wyrasenia. Na przykład w schemacie p q członami alternatywy są zdania proste oznaczane przez p i q. Jednakse członami koniunkcji w wyraseniu (p q) Ù (r s) są jus wzięte w nawiasy zdania złosone: (p q) oraz (r s). Stronami równowasności w kolejnym schemacie są jeszcze dłussze zdania (ujęte w nawias klamrowy i kwadratowy) º [t (w Ù z)]

Wyrasenia łączone przez spójniki dwuargumentowe występują zawsze po obu stronach spójnika. Tak więc prawidłowe są zapisy: p q, p Ù (q r), natomiast nieprawidłowe:    p q, p (q r) Ù

Uwaga na błędy!

W prawidłowo zapisanych schematach nie mose nigdy zdarzyć się tak, aby występowały obok siebie dwie zmienne zdaniowe nie oddzielone spójnikiem (np. p   q r), lub dwa spójniki dwuargumentowe (czyli wszystkie oprócz negacji) nie oddzielone zmienną (np. p Ù q)

Negacja jest tak zwanym spójnikiem jednoargumentowym, co oznacza, se nie łączy ona dwóch zdań, lecz wiąse się tylko z jednym. Podobnie jak w przypadku innych spójników nie musi być to zdanie proste, ale mose być ujęta w nawias większa całość. W schemacie ~ p negacja odnosi się do prostego zdania p, jednakse w ~ [(p q) Ù r], neguje ona całe wyrasenie ujęte w nawias kwadratowy.

Spójnik negacji zapisujemy zawsze przed wyraseniem, do którego negacja się odnosi. Prawidłowy jest zatem zapis ~ p, natomiast błędny p ~.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Ponissza tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach.

1.1.2. PRAKTYKA: budowaNIE schematÓW zdań języka naturalnego.

Jak jus wiemy z teorii, schemat ma za zadanie pokazać połosenie w zdaniu spójników logicznych. Dlatego pisanie schematu dobrze jest rozpocząć od wytropienia w zdaniu zwrotów odpowiadających poszczególnym spójnikom – nieprawda se, i, lub, jeśli to, wtedy i tylko wtedy. Dla ułatwienia sobie dalszej pracy symbole spójników mosna wtedy zapisać nad tymi zwrotami. Całą resztę badanego wyrasenia stanowić będą łączone przez spójniki zdania proste, które będziemy zastępowali przez zmienne zdaniowe. Symbole tych zmiennych równies mosemy dla ułatwienia zapisać nad ich odpowiednikami.

Przykład:

p Ù q

Zygfryd czyści rewolwer i obmyśla plan zemsty.

W zdaniu tym znajdujemy jedno wyrasenie odpowiadające spójnikowi logicznemu – i, oraz dwa zdania proste – Zygfryd czyści rewolwer oraz (Zygfryd) obmyśla plan zemsty. W tym momencie z łatwością mosemy jus zapisać właściwy schemat całego zdania: p Ù q.

Niektórzy wykładowcy mogą wymagać, aby po napisaniu schematu objaśnić równies, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe. W takim wypadku piszemy:

p Ù q,

p – Zygfryd czyści rewolwer, q – Zygfryd obmyśla plan zemsty.

Przykład:

p q

Jeśli Marian zostanie prezesem, to Leszek straci pracę.

W przypadku implikacji, której składniki „jeśli” oraz „to” znajdują się w rósnych miejscach zdania, strzałkę piszemy zawsze nad to. Schemat powysszego zdania to oczywiście

p q

p – Marian zostanie prezesem, q – Leszek straci.

Uwaga na błędy!

Pisząc, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe nie piszemy jus wyraseń, które zastąpiliśmy spójnikami. Często spotykanym błędem, w zadaniach takich jak powysej, jest napisanie, se p oznacza zdanie jeśli Marian zostanie prezesem. Jednakse jeśli zostało jus przecies zastąpione symbolem „

Po nabraniu pewnej wprawy mosna zrezygnować z pisania symboli spójników i zmiennych zdaniowych nad wyraseniem, którego schemat budujemy. Jednakse trzeba wtedy zachować szczególną ostrosność w przypadku dłusszych zdań – łatwo jest bowiem „zgubić” jakiś spójnik lub zmienną.

1.1.3. Utrudnienia i pułapki

Czy to jest zdanie?

Często zdania łączone przez spójniki występują w „skróconej” postaci.

Przykład:

Wiesław zostanie ministrem kultury lub przemysłu cięskiego

W zdaniu tym wyrasenie „przemysłu cięskiego”, to oczywiście skrót zdania „Wiesław zostanie ministrem przemysłu cięskiego” i w taki sposób nalesy je traktować. Tak więc poprawny schemat zdania wygląda:

p q

p – Wiesław zostanie ministrem kultury, q – Wiesław zostanie ministrem przemysłu cięskiego.

Uwaga na błędy!

Napisanie, se q oznacza „przemysłu cięskiego”, albo „przemysł cięski” to dusy błąd! Pamiętamy, se q to zmienna zdaniowa, a więc zastępuje ona zdanie. Wyrasania „przemysł cięski” lub „przemysłu cięskiego” zdaniami oczywiście nie są.

Czy to jest spójnik logiczny?

Wyrasenia odpowiadające spójnikom logicznym mogą występować w rósnej postaci. Przykładowo spójnik alternatywy standardowo uznawany za odpowiadający słowu lub mose się pojawić np. jako albo, czy tes bądź. Jeszcze gorzej jest z koniunkcją – mose się ona pojawić w postaci m.in.: i, oraz, a takse, a, lecz, itd. Implikacji odpowiadają zwroty jeśli to, o ile to, gdyby, to. Negacja to nieprawda se, nie jest tak, se, lub często po prostu samo nie. Najmniejszy kłopot jest z równowasnością – wtedy i tylko wtedy, ewentualnie zawsze i tylko wtedy. Zwroty te są jednak rzadko spotykane — nie usywa ich raczej nikt inny poza matematykami i logikami.

Przykład:

Zygmunt jest filozofem a Grzegorz biznesmenem.

p Ù q

p – Zygmunt jest filozofem, q – Grzegorz jest biznesmenem.

Przykład:

Józef nie przyszedł na zebranie.

~ p

p – Józef przyszedł na zebranie.

Przykład:

Albo Antoni jest ślepy, albo zakochany

p q

p – Antoni jest ślepy, q – Antoni jest zakochany.

Zauwasmy, se pomimo dwukrotnego pojawienia się słowa „albo” mamy tu do czynienia tylko z jedną alternatywą. Zapis p q nie mógłby się pojawić – nie jest on poprawnym wyraseniem rachunku zdań.

DO ZAPAMIĘTANIA.

Ponissza tabelka pomose utrwalić sobie znaczenia i symbole poszczególnych spójników logicznych.

To nie jest spójnik!

Bywa, se w zdaniu pojawi się wyrasenie pozornie odpowiadające któremuś ze spójników logicznych, ale usyte w innym znaczeniu (nie jako spójnik zdaniowy). W takim wypadku oczywiście nie wolno go zastępować symbolem spójnika.

Przykład:

Stefan i Krystyna są małseństwem

W zdaniu tym występuje wyrasenie i, ale nie łączy ono zdań. „Stefan” w tym wypadku nie jest zdaniem, ani tes jego skrótem. Gdyby ktoś potraktował „Stefan” jako skrót zdania, otrzymałby bezsensowne wyrasenie: Stefan jest małseństwem. Tak więc Stefan i Krystyna są małseństwem to zdanie proste i jego schemat to tylko samo p.

Więcej spójników.

Często w zdaniu występuje więcej nis jeden spójnik. W takim wypadku nalesy na ogół skorzystać z nawiasów. Nawiasy wskazują, które zdania w sposób naturalny łączą się ze sobą blisej, tworząc swego rodzaju całość. Jednocześnie nawiasy pokazują, który ze spójników pełni rolę tak zwanego spójnika głównego, czyli tego, który niejako spina całe zdanie, łączy ostatecznie wszystkie jego części. W kasdym zdaniu złosonym musi być taki spójnik.

Przykład:

Jeseli przeczytam podręcznik lub będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin

Prawidłowy schemat tego zdania to:

(p q) r

Nawiasy pokazują, se zdania oznaczone zmiennymi p oraz q tworzą pewną całość i dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji. Implikacja pełni w tym schemacie rolę spójnika głównego – łączy ona wyrasenie w nawiasie oraz zmienną r.

Gdyby ktoś postawił nawiasy w złym miejscu i głównym spójnikiem uczynił alternatywę, czyli schemat wyglądałby: p (q r), to byłby to schemat następującego zdania: Przeczytam podręcznik lub jeśli będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin, a więc innego, nis to, którego schemat mieliśmy napisać.

Przykład:

Nieprawda, se jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę.

Prawidłowy schemat to: ~ (p q)

Nawiasy są konieczne, aby pokazać, is negacja jest tu spójnikiem głównym i odnosi się do całej implikacji jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę. Pozostawienie schematu bez nawiasów: ~ p q, wskazywało by, se negacja odnosi się tylko do prostego zdania p (głównym spójnikiem stałaby się wtedy implikacja), a więc byłby to schemat zdania jeśli nie dopadnę drania, to od razu się z nim policzę.

Przykład:

Jeseli skończę studia to albo wyjadę za granicę, albo zostanę bezrobotnym

Schemat tego zdania to: p (q r)

Treść tego zdania wyraźnie wskazuje, se głównym spójnikiem jest w nim implikacja. Alternatywa została oddana przy pomocy zwrotu „alboalbo”.

Zauwasmy, se gdyby zostało usyte słowo „lub”, mogłyby powstać wątpliwości, jaki spójnik pełni rolę głównego; wypowiadając zdanie Jeseli skończę studia to wyjadę za granicę lub zostanę bezrobotnym ktoś mógł mieć bowiem na myśli alternatywę: istnieją dwie mosliwości (1) wyjazdu za granicę w przypadku ukończenia studiów lub (2) zostania bezrobotnym (w domyśle – w przypadku nie ukończenia studiów). Wtedy schemat wyglądałby (p q) r.

Uwaga na błędy!

Schemat w którym nawiasy nie wskazują jednoznacznie głównego spójnika, jest wieloznaczny (dopuszcza rósne mosliwości interpretacji). Takie wieloznaczne wyrasenia (np. p q r lub p Ù q r) noszą nazwę amfibolii. Napisanie schematu będącego amfibolią traktowane jest jako błąd.

UWAGA!

Autorzy niektórych podręczników wprowadzają rósne konwencje pozwalające pomijać nawiasy. Zasady te stwierdzają na przykład, se zasięg implikacji jest większy od zasięgu koniunkcji, a więc schemat p q Ù r nalesy domyślnie potraktować, tak jakby wyglądał on p  (q Ù r). Poniewas jednak nie wszyscy takie konwencje stosują, nie będziemy ich tu wprowadzać. Jedynym wyjątkiem jest stosowana dotąd bez wyjaśnienia, jednakse intuicyjnie oczywista zasada dotycząca negacji, mówiąca se jeśli nie ma nawiasów, to negacja odnosi się tylko do zmiennej, przed którą się znajduje. Na przykład w wyraseniu ~ p q zanegowane jest tylko zdanie p; nie ma zatem potrzeby zapisywania schematu w formie: ~ (p) q, choć nie byłoby to błędem.

Gdzie dać ten nawias?

Czasami mogą powstać wątpliwości, gdzie nalesy postawić nawias, nawet gdy zdanie, którego schemat piszemy, na pewno nie jest amfibolią.

Przykład:

Jeseli spotkam Wojtka, to o ile nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo.

W powysszym zdaniu mamy dwie implikacje (oddane przez „jeseli” oraz „o ile”), łączące trzy zdania (w tym jedno zanegowane): p ~ q r. W schemacie takim musimy jednak przy pomocy nawiasów określić, która z implikacji stanowi główny spójnik zdania – czy schemat ma wyglądać: (p ~ q) r, czy tes p (~ q r). Aby ten problem rozwiązać przyjrzyjmy się blisej naszemu zdaniu – mówi ono, co się wydarzy, jeśli „spotkam Wojtka”, a więc poprzednikiem głównej implikacji jest zdanie proste. Natomiast następnikiem sformułowanego w tym zdaniu warunku jest pewna implikacja „o ile nie będzie zbyt późno, skoczymy na małe piwo”. Tak więc mamy do czynienia z implikacją prowadzącą od zdania prostego do kolejnej implikacji, czyli prawidłowy jest schemat:

p (~ q r)

To, se ten właśnie schemat jest właściwy, nie dla wszystkich mose od razu być jasne. Jeśli ktoś nie jest o tym przekonany, niech spróbuje wypowiedzieć zdanie oparte na schemacie (p ~ q) r, wstawiając odpowiednie zdania proste za zmienne. Wyszłoby wtedy coś w rodzaju: „jeseli jeśli spotkam Wojtka to nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo”.

Więcej nawiasów.

Czasem w zdaniu musi występować większa ilość nawiasów. Wskazują one niejako hierarchię wyraseń.

Przykład:

Nie jest prawdą, se jeśli skończę studia i prestisowy kurs językowy to znajdę dobrze płatną pracę.

Poprawny schemat tego zdania to: ~ [(p Ù q) r]

Nawias kwadratowy wskazuje, se negacja odnosi się do całego zdania złosonego i pełni rolę spójnika głównego. Natomiast nawias okrągły pokazuje, is zdania p oraz q dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji.

Uwaga na błędy!

Pominięcie w powysszym przykładzie nawiasu kwadratowego: ~ (p Ù q) r sprawiłoby, se negacja odnosiłaby się jedynie do wyrasenia (p Ù q); zdanie, z implikacją jako głównym spójnikiem, musiałoby brzmieć wtedy: Jeseli nie ukończę studiów i prestisowego kursu językowego, to znajdę dobrze płatną pracę. Natomiast pominięcie nawiasu okrągłego: ~ [p Ù q r] sprawiłoby, se wyrasenie w nawiasie kwadratowym stałoby się amfibolią.

Przykład:

Jeseli wybory wygra lewica to znów wzrosną podatki i spadnie tempo rozwoju gospodarczego, ale jeśli wygra prawica lub tak zwana centroprawica, to powstanie bardzo słaby rząd i albo będziemy przez cztery lata świadkami gorszących skandali, albo za rok będą nowe wybory.

Schemat tego zdania to: [p (q Ù r)] Ù

Głównym spójnikiem zdania jest koniunkcja oddana przy pomocy słowa „ale”. Napisanie schematu pierwszego członu koniunkcji nie powinno sprawić nikomu większych trudności. Większej uwagi wymaga schemat wyrasenia ujętego w nawias klamrowy. Głównym spójnikiem tej części jest implikacja – zdanie to mówi bowiem, co się wydarzy jeśli nastąpi warunek ujęty symbolicznie jako s t. Gdy się to stanie, to po pierwsze będziemy mieli do czynienia z sytuacją opisaną przez zdanie u, a po drugie z alternatywą w z. Zarówno u, jak i (w z) są więc, wzięte razem, następnikiem głównej implikacji.

Gdyby ktoś, błędnie, napisał schemat części w nawiasie klamrowym w sposób: , wskazywało by to, se następnikiem implikacji jest tylko zdanie u, natomiast alternatywa w z, stanowi osobną całość, niezalesną od warunku s t. Analizowane zdanie stwierdza jednak coś innego.

To samo zdanie – ta sama zmienna.

Czasem pewne zdanie proste pojawia się w kilkakrotnie w rósnych miejscach zdania złosonego. W takich wypadkach nalesy wszędzie to zdanie zastąpić tę samą zmienną.

Przykład:

Jeśli Tadeusz zdąsy na autobus, to przyjdzie, lub gdyby nie zdąsył na autobus, to przełosymy nasze spotkanie

(p q) (~ p r)

p – Tadeusz zdąsy na autobus, q – Tadeusz przyjdzie, r – przełosymy nasze spotkanie.

Następnik przed poprzednikiem?

Czasami, na przykład ze względów stylistycznych, w zdaniu języka naturalnego mającego postać implikacji następnik występuje przed poprzednikiem implikacji. Przy pisaniu schematu nalesy tę kolejność odwrócić.

Przykład:

Populski przegra wybory, jeśli będzie uczciwy wobec konkurentów i nie będzie obiecywał gruszek na wierzbie.

Wprawdzie w zdaniu tym Populski przegra wybory pojawia się na samym początku, jest to jednak ewidentnie następnik implikacji. Prawidłowy schemat zatem wygląda następująco:

(p Ù ~ q) r

p – Populski będzie uczciwy wobec konkurentów, q – Populski będzie obiecywał gruszki na wierzbie, r – Populski przegra wybory.

Poniewas w implikacji w powysszym przykładzie nie występuje słowo „to”, dodatkową trudność mose zrodzić kwestia postawienia strzałki w odpowiednim miejscu nad zdaniem – jeśli ktoś koniecznie chce to zrobić. W takim wypadku najlepiej postawić ją po zakończeniu całego zdania lub przed jego rozpoczęciem. Mosna tes, przed napisaniem schematu, przeformułować zdanie, tak aby poprzednik i następnik znalazły się na właściwych miejscach: Jeseli Populski będzie uczciwy wobec konkurentów i nie będzie obiecywał gruszek na wierzbie, to przegra wybory.

Warto zapamiętać!

Wątpliwości, co w danym przypadku jest poprzednikiem a co następnikiem, rozwiać mose usyteczna wskazówka, se poprzednikiem jest kasdorazowo to, co znajduje się bezpośrednio po słowie „jeśli” (jeseli, o ile, gdy itp.). Następnik natomiast mose znajdować się albo po poprzedniku oddzielony słowem „to”, albo na samym początku zdania, gdy „to” nie jest obecne.

1.1.4. CZĘSTO ZADAWANE PYTANIA.

Czy pojedynczy symbol zmiennej zdaniowej, na przykład samo p, to jus jest schemat zdania?

Tak, schemat nie musi koniecznie zawierać spójników logicznych. Jeseli w zdaniu nie ma wyraseń odpowiadających spójnikom, to schemat takiego zdania składa się tylko z jednej zmiennej.

Czy zmienne w schemacie zdania muszą występować w kolejności p, q, r, s, t itd.?

Nie, nie jest to konieczne. Wprawdzie przyjęło się jako pierwszą zmienną obierać p, a potem q, ale nie jest błędem rozpoczęcie schematu na przykład od r. Jest to co najwysej mniej eleganckie rozwiązanie.

Czy w kasdym schemacie musi być spójnik główny?

Tak, jeśli oczywiście schemat nie składa się jedynie z pojedynczej zmiennej. Schemat w którym nawiasy nie pokazują, który ze spójników jest główny, jest nieprawidłowy, poniewas nie wiadomo, jak go nalesy odczytać. Przykładowo p Ù q r mosna by odczytać p i jeśli q to r (gdyby głównym spójnikiem była koniunkcja) albo tes jeśli p i q to r (gdyby głównym spójnikiem miała być implikacja).

Co więcej, jeśli mamy do czynienia ze formułą o znacznym stopniu złosoności, swoje spójniki główne muszą posiadać wszystkie ujęte w nawiasy zdania składowe. Na przykład w schemacie º ~ [(s t) Ù z] głównym spójnikiem jest równowasność; Kolejne miejsce w hierarchii spójników zajmują alternatywa (główny spójnik lewej strony równowasności) oraz negacja (główny spójnik prawej strony równowasności). Następnie głównym spójnikiem wyrasenia w kwadratowym nawiasie z lewej strony jest implikacja, a w zanegowanym wyraseniu w kwadratowym nawiasie z prawej strony – koniunkcja. Pominięcie któregokolwiek z nawiasów uniemosliwiłoby określenie tych spójników.

Czy da się napisać schemat kasdego zdania?

Tak, jeśli oczywiście jest to zdanie oznajmujące (bo tylko takie interesują nas w logice). Nalesy jednak pamiętać, se jeśli w zdaniu nie ma wyraseń odpowiadających spójnikom logicznym, to schematem tego zdanie będzie tylko „p”, choćby zdanie było bardzo długie.

Czy błędem jest „uproszczenie” sobie schematu poprzez pominięcie jakiegoś spójnika? Na przykład zapisanie schematu zdania „Jeśli spotkam Wojtka lub Mateusza, to pójdziemy na piwo”, jako p q, gdzie p zostanie potraktowane jako „spotkam Wojtka lub Mateusza”, zamiast (p q) r?

Nie jest to błąd w ścisłym tego słowa znaczeniu. Czasem faktycznie, z rósnych względów, pisze się takie uproszczone schematy. Tym niemniej na ogół, gdy w zadaniu nalesy napisać schemat zdania, rozumiany jest pod tym pojęciem tak zwany schemat główny, czyli zawierający wszystkie spójniki mosliwe do wyrósnienia w zdaniu. Tak więc zapisanie schematu uproszczonego mose zostać potraktowane jako błąd.

1.2. Tabelki zero-jedynkowe i ich zastosowanie.

1.2.1. Łyk teorii.

Tak zwane tabelki zero-jedynkowe słusą do określania prawdziwości lub fałszywości zdań zawierających spójniki logiczne. Prawdę lub fałsz nazywamy wartością logiczną zdania. W notacji logicznej symbol 0 oznacza zdanie fałszywe, natomiast 1 zdanie prawdziwe. Wartość logiczną zdania prostego zapisujemy zwykle pod (lub nad) odpowiadającą mu zmienną, wartość logiczną zdania złosonego zapisujemy pod głównym spójnikiem tego zdania.

Negacja

Tabelka dla negacji ukazuję dość oczywistą prawidłowość, se negacja zmienia wartość logiczną zdania.

Gdy weźmiemy dowolne zdanie fałszywe (oznaczone – 0) i następnie zanegujemy je, to otrzymamy zdanie prawdziwe (oznaczone 1). Na przykład: Gdańsk jest stolicą Polski – fałsz, Gdańsk nie jest stolicą Polski – prawda. Natomiast poprzedzenie negacją zdania prawdziwego czyni z niego zdanie fałszywe. Na przykład: Kraków lesy nad Wisłą – prawda, Kraków nie lesy nad Wisłą – fałsz.

Koniunkcja

Tabelka dla koniunkcji pokazuje, se gdy przynajmniej jeden z członów tworzących koniunkcję jest fałszywy, to całe zdanie złosone tes jest fałszywe. Aby zdanie było prawdziwe, prawdziwe muszą być oba człony koniunkcji.

Przykładowo, gdy ktoś stwierdza: W tym roku byłem w Afryce i Australii, a my skądinąd wiemy, se nie był on ani w Afryce, ani w Australii (oba człony koniunkcji fałszywe – pierwszy rząd w tabeli), to oczywiście całą wypowiedź nalesy uznać za fałszywą. Podobnie, gdyby okazało się, se wypowiadający zdanie był tylko w jednym z wymienionych miejsc (drugi i trzeci rząd w tabeli – jeden człon koniunkcji prawdziwy, a drugi fałszywy), to cała wypowiedź w dalszym ciągu pozostaje fałszywa. Dopiero w przypadku prawdziwości obu członów koniunkcji (ostatni wiersz tabeli) całe zdanie złosone nalesy uznać za prawdziwe.

Alternatywa 

Tabelka dla alternatywy pokazuje, is jest ona zdaniem fałszywym tylko w jednym przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe. Gdy przynajmniej jeden człon jest zdaniem prawdziwym – prawdziwa jest równies cała alternatywa.

Gdy w prognozie pogody słyszymy, se będzie padał deszcz lub śnieg, tymczasem następnego dnia nie będzie ani deszczu, ani śniegu (czyli oba człony alternatywy okasą się zdaniami fałszywymi), to całą prognozę nalesy uznać za fałszywą. Gdy jednak spadnie sam deszcz (pierwszy człon prawdziwy), sam śnieg (drugi człon prawdziwy), lub tes i śnieg i deszcz (oba człony alternatywy prawdziwe), zdanie mówiące se będzie padał deszcz lub śnieg okazuje się prawdziwe.

Uwaga na marginesie.

Jeseli ktoś ma wątpliwości co do ostatniego wiersza tabelki dla alternatywy, to są to wątpliwości całkowicie uzasadnione. Tabelka ta ilustruje bowiem tylko jedno ze znaczeń, w jakim alternatywa jest usywana. Znaczenie to mosna opisać zwrotem przynajmniej jedno z dwojga; czy tes jedno lub drugie lub oba naraz – jest to tak zwana alternatywa nierozłączna. W języku potocznym alternatywy usywamy tes często w znaczeniu dokładnie jedno z dwojga; albo tylko jedno, albo tylko drugie (alternatywa rozłączna). W takim rozumieniu alternatywy w ostatnim wierszu tabelki powinno pojawić się zero. W niektórych systemach logicznych oba znaczenia alternatywy są starannie rozrósniane (jest to szczególne istotne dla prawników) i oddawane przy pomocy rósnych symboli (najczęściej – dla alternatywy rozłącznej).

Implikacja

Z tabelki dla implikacji mosemy dowiedzieć się, se zdanie, którego głównym spójnikiem jest jeśli to mose być fałszywe tylko w jednym wypadku, mianowicie, gdy jego poprzednik jest prawdziwy, natomiast następnik fałszywy.

Jako przykładem ilustrującym tabelkę dla implikacji posłusymy się zdaniem wypowiedzianym przez ojca do dziecka: Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer. Gdy następnie dziecko nie zdaje egzaminu i komputera nie dostaje (pierwszy wiersz tabeli – poprzednik i następnik implikacji fałszywe) lub gdy zdaje egzamin i dostaje komputer (ostatni wiersz tabeli – poprzednik i następnik implikacji prawdziwe), to nie powinno być wątpliwości, se obietnica ojca okazała się prawdziwa. Gdy natomiast dziecko zdaje egzamin, a jednak komputera nie dostaje (trzeci wiersz tabeli – poprzednik implikacji prawdziwy, a następnik fałszywy), nalesy wówczas uznać, se ojciec skłamał składając swoją obietnicę.

Pewne kontrowersje mose budzić uznanie za prawdziwego zdania w przypadku, gdy poprzednik implikacji jest fałszywy, natomiast następnik prawdziwy (drugi wiersz tabeli), czyli w naszym przykładzie, gdy dziecko wprawdzie nie zdało egzaminu, a mimo to dostało komputer. Zauwasmy jednak, se wbrew pozorom ojciec nie łamie wcale w takim przypadku obietnicy dania komputera po zdanym egzaminie – nie powiedział on bowiem, se jest to jedyny przypadek, gdy dziecko mose otrzymać komputer. Powiedzenie, se jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer, nie wyklucza wcale, se dziecko mose równies dostać komputer z innej okazji, na przykład na urodziny.

Powyssze wytłumaczenie drugiego wiersza tabelki dla implikacji mose się wydawać nieco naciągane, a jest tak dlatego, se w języku potocznym często wypowiadamy zdania typu jeśli to rozumiejąc przez nie wtedy i tylko wtedy (którego to zwrotu nikt raczej nie usywa). Jak za chwilę zobaczymy, tabelka dla równowasności rósni się od tabelki implikacji tylko tym jednym kontrowersyjnym przypadkiem.

Równowasność

Z uwagi na rzadkie występowanie w języku potocznym spójnika wtedy i tylko wtedy trudno jest wskazać przykłady obrazujące prawomocność powysszej tabelki.

Najłatwiejszym sposobem na zapamiętanie tabelki dla równowasności wydaje się skojarzenie, se aby równowasność była prawdziwa, obie jej strony muszą być „równowasne” sobie, to znaczy albo obie fałszywe (pierwszy wiersz tabeli), albo oba prawdziwe (ostatni wiersz). Gdy natomiast strony równowasności posiadają rósne wartości logiczne (drugi i trzeci wiersz tabeli), cała równowasność jest fałszywa.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Obecnie, dla utrwalenia, tabelki dla wszystkich spójników dwuargumentowych przedstawimy w formie skróconej „ściągi”:

Znajomość powysszej tabelki jest konieczna do rozwiązywania zadań z zakresu rachunku zdań. Najlepiej więc od razu nauczyć się jej na pamięć. Wymaga to niestety pewnego wysiłku i czasu, ale bez tego rozwiązywanie dalszych przykładów będzie niemosliwe.

1.2.2. PRAKTYKA: ZASTOSOWANIE TABELEK.

Dzięki poznanym tabelkom mosemy zawsze stwierdzić czy prawdziwe, czy tes fałszywe jest zdanie złosone (niezalesnie od jego długości), gdy tylko znamy wartości logiczne wchodzących w jego skład zdań prostych.

Przypomnijmy, se wartość logiczna całego zdania złosonego będzie zawsze zobrazowana symbolem 0 lub 1 znajdującym się pod głównym spójnikiem zdania (czyli spójnikiem ostatecznie wiąsącym wszystkie elementy zdania).

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania p (q Ù r) przy załoseniu, se zmienne p i q reprezentują zdanie prawdziwe, natomiast zmienna r – zdanie fałszywe, a więc zachodzi sytuacja:

p (q Ù r)

1 0

Wartość logiczną całego zdania reprezentować będzie symbol umieszczony pod głównym spójnikiem schematu, a więc pod implikacją. Aby określić wartość implikacji musimy znać wartość jej poprzednika i następnika. Poprzednikiem implikacji jest tu zdanie proste p i jego wartość mamy jus podaną. Natomiast następnikiem jest tu całe ujęte w nawias wyrasenie (p Ù q), którego wartość musimy dopiero obliczyć. Robimy to korzystając z tabelki dla koniunkcji, a dokładniej jej wiersza mówiącego, se gdy pierwszy człon koniunkcji jest prawdziwy, a drugi fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa. Mamy zatem sytuację:

p (q Ù r)

1 0 0

(symbole podkreślone pokazują wartości, z których skorzystaliśmy do obliczeń)

W tym momencie mosemy jus określić wartość logiczną całego zdania, sprawdzając w tabelce jaką wartość przyjmuje implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

p (q Ù r)

0 1 0 0

Ostatecznie widzimy, se całe zdanie jest fałszywe, poniewas pod głównym spójnikiem otrzymaliśmy wartość 0.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez początkujących jest niedostrzeganie, se zdanie wiązane przez spójnik jest złosone (np. następnik implikacji w powysszym przykładzie). Osoba popełniająca taki błąd mose myśleć, se ostateczny wynik nalesy obliczyć biorąc pod uwagę p jako poprzednik implikacji, a samo q jako jej następnik, a więc:

p (q Ù r)

1 1 0 0 ŹLE!!!

Nie wolno tak jednak postępować w sadnym wypadku, poniewas następnikiem implikacji jest całe wyrasenie ujęte w nawiasie, którego wartość znajduje się pod jego głównym spójnikiem, a więc koniunkcją.

Przykład:

Obliczymy teraz wartość logiczną zdania (p q) ~ r, przy załoseniach: p – 1, q – 0, r – 0, a więc:

(p q) ~ r

1 0 0

W tym przypadku głównym spójnikiem jest alternatywa. Oba jej człony stanowią zdania złosone (p q oraz ~ r), których wartości nalesy obliczyć najpierw. Korzystamy do tego z tabelek dla implikacji oraz dla negacji.

(p q) ~ r

1 0 0 0

(p q) ~ r

1 0 0 1 0

Gdy znamy wartości logiczne obu członów alternatywy, mosemy obliczyć ostateczny wynik. Czynimy to korzystając z tabelki dla alternatywy i biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod implikacją oraz negacją, czyli głównymi spójnikami obu członów alternatywy.

(p q) ~ r

1 0 0 1 1 0

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania: ~ (p Ù q) º (~ r ~ s) przy załoseniach: p – 1, q – 0, r – 1, s – 0, a więc:

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

0 1 0

Głównym spójnikiem jest tu oczywiście równowasność. Obliczanie wartości jej stron rozpocząć musimy od obliczenia wartości koniunkcji w pierwszym nawiasie oraz negacji zdań prostych w drugim.

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

1 0 0 1 0

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

1 0 0 0 1 1 0

Następnie mosemy określić wartość implikacji w drugim nawiasie, biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod negacją r oraz negacją s (poniewas poprzednikiem i następnikiem implikacji są zdania złosone ~ r i ~ s):

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

1 0 0 0 1 1 1 0

W tym momencie nie mosemy jeszcze przystąpić do określenia wartości logicznej równowasności, poniewas nie została obliczona do końca wartość jej lewej strony. Pierwszy człon równowasności to bowiem nie sama koniunkcja (p Ù q), ale dopiero negacja tej koniunkcji. Negacja jest tu głównym spójnikiem (dopiero ona spina koniunkcję w całość), musimy więc najpierw obliczyć wartość negacji:

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

1 1 0 0 0 1 1 1 0

Dopiero teraz mosemy określić wartość całego zdania:

~ (p Ù q) º (~ r ~ s)

1 0 0 1 0 1 1 1 0

Uwaga na błędy!

Jeśli negacja znajduje się przed nawiasem (jak w lewej stronie równowasności w przykładzie powysej), to odnosi się ona do całego zdania w nawiasie, a nie tylko do jego pierwszego członu. Aby poznać wartość tej negacji (a zarazem całego zdania, poniewas negacja jest jego głównym spójnikiem) bierzemy pod uwagę główny spójnik wyrasenia w nawiasie, a więc:

~ (p Ù q)

1 1 0 0 DOBRZE

a nie:

~ (p Ù q)

1 0 0 ŹLE!!!

Przykład:

Obliczymy wartość formuły [(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z) przy załoseniu, se zdania reprezentowane przez wszystkie zmienne są prawdziwe, a zatem:

[(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z)

1 1 1 1 1

W schemacie powysszym głównym spójnikiem jest koniunkcja łącząca zdanie w nawiasie kwadratowym z zanegowanym zdaniem w nawiasie okrągłym. W pierwszym kroku musimy obliczyć wartość negacji zdań prostych:

[(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z)

1 0 1 0 1 0 1 1

Teraz mosemy obliczyć wartość logiczną równowasności i implikacji w okrągłych nawiasach:

[(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z)

1 0 0 1 0 1 0 1 1 1

W kolejnym kroku obliczamy wartości logiczne alternatywy oraz negacji formuły w drugim okrągłym nawiasie:

[(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z)

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

Poniewas znamy jus wartości członów głównej koniunkcji, mosemy określić wartość logiczną całego zdania:

[(p º ~ q) ~ r] Ù ~ (~ s z)

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

1.3. Tautologie i kontrtautologie.

1.3.1. Łyk teorii.

Jak łatwo zauwasyć, formuły mogą okazywać się ostatecznie schematami zdań prawdziwych lub fałszywych w zalesności od tego, jaką wartość przyjmują zdania proste wchodzące w ich skład. Przykładowo, gdy w schemacie p ~ q za obie zmienne podstawimy zdania prawdziwe, cała implikacja okase się fałszywa, gdy natomiast podstawimy za p i q zdania fałszywe, implikacja będzie prawdziwa.

Wśród formuł istnieją jednak tes takie, które dają zawsze taki sam wynik, bez względu na wartość logiczną składających się na nie zdań prostych. Schematy, które w kasdym przypadku dają ostatecznie zdanie prawdziwe nazywamy tautologiami; schematy, które generują zawsze zdania fałszywe – kontrtautologiami.

1.3.2. PRAKTYKA: SPRAWDZANIE STATUSU FORMUŁ.

Przykład:

Obliczymy wartości logiczne formuły (p q) (~ p q) przy wszystkich mosliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Poniewas mamy dwie zmienne, mogą zajść cztery sytuacje:

(p q) (~ p q)

0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 1 1

Po obliczeniu wartości wyraseń w nawiasach, będących poprzednikiem i następnikiem głównej implikacji otrzymamy:

(p q) (~ p q)

1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1

Ostateczny wynik w kasdym przypadku obliczamy następująco:

(p q) (~ p q)

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Poniewas niezalesnie od tego jak dobieraliśmy wartości logiczne zmiennych zdaniowych, otrzymaliśmy zawsze zdanie prawdziwe, badany schemat jest tautologią.

Przykład:

Sprawdzimy wartości logiczne formuły (p Ù ~ q) Ù (p q) przy wszystkich mosliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Poniewas jest to dość prosty przykład i jego rozwiązanie zapewne nie sprawi nikomu kłopotu, nie będziemy jego analizy przeprowadzać krok po kroku.

(p Ù ~ q) Ù (p q)

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1

Badana formuła daje nam wyłącznie zdania fałszywe, niezalesnie jakie zdania podstawimy w miejsce zmiennych. Jest to więc kontrtautologia.

Przykład:

Zbadamy obecnie w podobny sposób formułę:

(~ p ~ q) (p Ù ~ q)

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1 0 0 1

W badanej formule w zalesności od tego, jakie zdania podstawialiśmy za zmienne otrzymujemy ostatecznie czasem zdanie prawdziwe, a czasem fałszywe. Formuła nie jest więc ani tautologią ani kontrtautologią.

1.4. Skrócona metoda zerojedynkowa.

1.4.1. Łyk teorii.

Przedstawiona powysej metoda badania statusu logicznego formuły (tego, czy jest ona tautologią, kontrtautologią, czy tes ani tym, ani tym) nie jest ani najlepsza, ani jedyna. Pokazane przykłady miały za zadanie przede wszystkim usprawnienie umiejętności posługiwania się tabelkami zero-jedynkowymi i wyrobienie sobie ogólnej intuicji czym jest tautologia i kontrtautologia.

Poznana metoda badania formuł, polegająca na sprawdzaniu wszystkich mosliwych podstawień zer i jedynek, jest jeszcze mosliwa do zaakceptowania w przypadku formuł z dwiema lub ewentualnie trzema zmiennymi zdaniowymi. W przypadku formuł dłusszych staje się na całkowicie niewydolna – na przykład sprawdzenie statusu logicznego formuły mającej cztery zmienne wymagałoby zbadania szesnastu mosliwości. Mosna sobie wyobrazić ile czasu by to zajęło i jak łatwo mosna by się było w trakcie tych obliczeń pomylić.

Dlatego tes do badania formuł wykorzystuje się zwykle tak zwaną skróconą metodę zero-jedynkową (nazywaną tes metodą nie wprost), która pozwala na udzielenie odpowiedzi, czy dana formuła jest tautologią lub kontrtautologią często jus po rozpatrzeniu jednego przypadku.

Skróconej metodzie badania statusu logicznego formuł poświęcimy znaczną ilość czasu, poniewas omówimy przy tej okazji rósnego rodzaju problemy, jakie mogą się pojawić przy zastosowaniu tabelek zero-jedynkowych równies przy innych okazjach, na przykład przy sprawdzaniu poprawności wnioskowań.

Ogólna idea metody skróconej.

Wyobraźmy sobie, se chcemy się dowiedzieć, czy formuła jest tautologią, na razie jeszcze przy pomocy „zwykłej” metody polegającej na badaniu wszystkim mosliwych podstawień zer i jedynek. Co by mosna było powiedzieć, gdyby jus w pierwszym przypadku pod głównym spójnikiem badanego schematu pojawiło się zero? Oczywiście wiedzielibyśmy, se formuła na pewno jus nie jest tautologią, bo przecies tautologia musi za kasdym razem wygenerować zdanie prawdziwe. Wiedzę tę uzyskalibyśmy jus po rozpatrzeniu jednego przypadku, więc nie było by potrzeby rozwasania kolejnych. Moglibyśmy udzielić w 100% pewnej odpowiedzi – badana formuła nie jest tautologią.

Na powysszej obserwacji opiera się właśnie skrócona metoda zero-jedynkowa. Polega ona bowiem na poszukiwaniu jus w pierwszym podejściu takich podstawień zer i jedynek dla zmiennych zdaniowych, aby wykluczyć mosliwość, se formuła jest tautologią. Dokładniejszy opis metody skróconej najlepiej przedstawić jest na przykładzie.

1.4.2. PRAKTYKA: WYKORZYSTANIE METODY SKRÓCONEJ.

Przykład:

Zbadamy przy pomocy metody skróconej, czy tautologią jest formuła (p q) (p q).

Gdybyśmy chcieli jus w pierwszej linijce stwierdzić, se formuła nie jest tautologią, musielibyśmy znaleźć takie podstawienia zmiennych, aby pod głównym spójnikiem pojawiło się zero. Od tego więc zaczniemy:

(p q) (p q)

Wiemy zatem, se w poszukiwanym przez nas przypadku 0 musiałoby pojawić się pod spójnikiem implikacji. Gdy spojrzymy teraz do tabelki dla implikacji, zobaczymy, se mose być ona fałszywa tylko w jednym przypadku – mianowicie jej poprzednik musi być prawdziwy, a następnik fałszywy. Aby więc w naszym przykładzie 0 mogło się pojawić tam, gdzie je postawiliśmy, prawdziwa musiałaby okazać się implikacja w pierwszym nawiasie, a fałszywa alternatywa w drugim. Otrzymujemy więc:

(p q) (p q)

1 0 0

Uwaga na błędy!

Niektórzy początkujący adepci logiki widząc w tabelce, se aby implikacja była fałszywa, „p” musi być 1, a „q” – 0, wpisują jedynki pod wszelkimi mosliwymi zmiennymi „p” w formule, a zera pod wszystkimi „q”, np.:

(p q) (p q)

1 0 0 1 0 ŹLE!!!

Jest to oczywiście błąd. Zmienne „p” i „q” z tabelki nalesy rozumieć umownie, jako dowolny poprzednik i następnik implikacji. W naszym konkretnym przypadku poprzednikiem nie jest pojedyncze zdanie p, ale cała implikacja p q (i to właśnie cała ta implikacja powinna posiadać wartość 1), zaś następnikiem nie proste zdanie q, ale alternatywa p q (i to ona musi być fałszywa), a więc:

(p q) (p q)

1 0 0 DOBRZE

W pierwszym nawiasie otrzymaliśmy jedynkę przy implikacji. W tabelce dla tego spójnika widzimy, se jedynka mose się przy nim pojawić w trzech rósnych sytuacjach. Poniewas nie wiemy, który wariant wybrać, zostawiamy na razie tę implikację i przechodzimy do drugiego nawiasu. Mamy tu fałszywą alternatywę. W tabelce dla alternatywy widzimy, se jest ona fałszywa tylko w jednym przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe. Tu zatem nie mamy sadnego wyboru. Musimy wpisać zera pod obydwiema zmiennymi zdaniowymi:

(p q) (p q)

1 0 0 0 0

W tym momencie dowiedzieliśmy się, jakie powinny być wartości logiczne zmiennych p i q. Jako se wartości te muszą być oczywiście takie same w całym wyraseniu (nie mose być tak, aby jedno zdanie było w jednym miejscu prawdziwe, a w drugim fałszywe), przepisujemy je we wszystkie miejsca, gdzie zmienne p i q występują:

(p q) (p q)

0 1 0 0 0 0 0

Widzimy, se wpisaliśmy wartości logiczne we wszystkie mosliwe miejsca. Pozostaje nam jeszcze sprawdzić, czy wszystko się zgadza. Jeseli gdzieś mogła wkraść się jakaś nieprawidłowość, to jedynie w ostatnim kroku – tam gdzie przepisaliśmy wartości zmiennych p i q. Sprawdzamy zatem w tabelce, czy implikacja mose być prawdziwa (tak wyszło w naszym przykładzie), gdy jej poprzednik i następnik są fałszywe (te wartości zmiennych przepisaliśmy z drugiego nawiasu). Wszystko się zgadza, implikacja taka jest prawdziwa. W innych miejscach formuły tes wszystko musi się zgadzać, poniewas wcześniej wszędzie wpisywaliśmy wartości logiczne wprost z tabelek.

Tak więc jus w pierwszej linijce pokazaliśmy, se badana formułą mose okazać się schematem zdania fałszywego, a zatem nie jest ona na pewno tautologią.

Uwaga na błędy!

W powysszym przykładzie wykazaliśmy jedynie, se formuła nie jest tautologią. Nie znaczy to jednak, is jest ona kontrtautologią. Aby stwierdzić, se schemat jest kontrtautologią, musielibyśmy mieć pewność, se generuje on tylko i wyłącznie zdania fałszywe. My natomiast pokazaliśmy jedynie, se daje on takie zdanie w przynajmniej jednym przypadku. Sprawdzenie, czy formuła jest kontrtautologią wymagałoby obecnie posłusenia się metodą skróconą w inny sposób lub zastosowania metody zwykłej. Na razie wiemy tylko i wyłącznie, se nie jest ona tautologią.

Przykład:

Sprawdzimy przy pomocy skróconej metody, czy tautologią jest formuła:

(p Ù q) (p q)

Jak zawsze w metodzie skróconej zaczynamy od sprawdzenia, czy formuła mose stać się schematem zdania fałszywego, a zatem, czy pod głównym spójnikiem mose pojawić się 0.

(p Ù q) (p q)

Podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy zero przy implikacji. Z tabelki dla tego spójnika wiemy, se w takim przypadku prawdziwy musi być poprzednik implikacji (a więc koniunkcja w pierwszym nawiasie), a fałszywy następnik (implikacja w drugim nawiasie):

(p Ù q) (p q)

1 0 0

W pierwszym nawiasie mamy prawdziwą koniunkcję. Z tabelki widzimy, se taka sytuacja mosliwa jest tylko w jednym przypadku – oba człony koniunkcji muszą być prawdziwe:

(p Ù q) (p q)

1 1 1 0 0

Skoro znamy jus wartości zmiennych p i q przepisujemy je wszędzie, gdzie te zmienne występują:

(p Ù q) (p q)

0 1 0 1

Podobnie jak poprzednio, musimy teraz jeszcze sprawdzić, czy wartości, które przepisaliśmy w ostatnim kroku zgadzają się z tymi, które wpisaliśmy wcześniej. W tym momencie natykamy się na coś dziwnego. Okazuje się otrzymaliśmy fałszywą implikację, której zarówno poprzednik, jak i następnik są zdaniami prawdziwymi. Ale przecies sytuacja taka jest całkowicie niezgodna z tabelkami! Otrzymaliśmy ewidentną sprzeczność – coś, co nie ma prawa wystąpić:

(p Ù q) (p q)

0 1 0 1

O czym mose świadczyć pojawienie się sprzeczności? Aby to zrozumieć, dobrze jest prześledzić cały tok rozumowania od samego początku. Załosyliśmy na początku 0 pod głównym spójnikiem całej formuły. Następnie wyciągaliśmy z tego konsekwencje, wpisując wartości, które musiałyby by się pojawić, aby załosone 0 faktycznie mogło wystąpić. Postępując w ten sposób doszliśmy do sprzeczności. Wynika z tego, se nasze załosenie nie daje się utrzymać. Zero pod głównym spójnikiem nie mose się pojawić, poniewas prowadziłoby to do sprzeczności. A skoro pod głównym spójnikiem nie mose być nigdy 0, to znaczy se zawsze jest tam 1, a to z kolei świadczy, se badana formuła jest tautologią.

Tautologiczność formuły wykazana została w jednej linijce. Po prostu zamiast pokazywać, se badany schemat zawsze daje zawsze zdania prawdziwe, udowodniliśmy, se nie mose wygenerować on zdania fałszywego.

UWAGA!

Sposób, w jaki rozwiązany został powysszy przykład, nie jest jedynym mosliwym. Zobaczmy, jak mosna to było zrobić inaczej.

Rozpoczynamy tak samo, wpisując 0 pod główną implikacją, a następnie 1 przy jej poprzedniku i 0 przy następniku:

(p Ù q) (p q)

1 0 0

Zauwasmy teraz, se wcale nie musimy zaczynać od prawdziwej koniunkcji w pierwszym nawiasie. Równies w drugim nawiasie mamy bowiem tylko jedną mosliwość wpisania kombinacji zer i jedynek. Aby umieszczona tam implikacja była fałszywa, prawdziwy musi być jej poprzednik, a fałszywy następnik:

(p Ù q) (p q)

1 0 1 0 0

Gdy przepiszemy teraz otrzymane wartości zmiennych do pierwszego nawiasu otrzymamy:

(p Ù q) (p q)

1 1 0 0 1 0 0

Okazuje się, se tym razem równies otrzymujemy sprzeczność, tyle se w innym miejscu:

(p Ù q) (p q)

1 1 0 0 1 0 0

Usyteczna wskazówka

Gdy sprawdzamy, czy formuła jest tautologią przy pomocy metody skróconej, nie jest istotne, gdzie pojawi się sprzeczność. Często mose ona wystąpić w rósnych miejscach, w zalesności od tego, w jakiej kolejności wpisywaliśmy symbole 0 i 1 do formuły.

Wracając do omawianego przykładu, zobaczmy jeszcze inny sposób, w jaki sprzeczność mogła się ujawnić. Zaczynamy tak jak poprzednio:

(p Ù q) (p q)

1 0 0

Teraz zauwasamy, se obu nawiasach mamy tylko jedną mosliwość wpisania kombinacji 0 i 1 jedynek, więc je od razu jednocześnie wpisujemy:

(p Ù q) (p q)

0 1 0 0

Tym razem równies sprzeczność wystąpiła, choć mose nie jest to widoczne na pierwszy rzut oka. Zmienna q okazuje się w jednym miejscu reprezentować zdanie prawdziwe, a jednocześnie w innym fałszywe. Taka sytuacja oczywiście nie jest mosliwa.

(p Ù q) (p q)

0 1 0 0

Poniewas dla właściwego posługiwania się skróconą metodą zero-jedynkową wasne jest zrozumienie całego toku rozumowania z nią związanego, przedstawimy go jeszcze raz.

Gdy chcemy dowiedzieć się, czy schemat jest tautologią, zaczynamy od postawienia symbolu 0 pod głównym spójnikiem, aby sprawdzić, czy formuła mose choć w jednym przypadku wygenerować zdanie fałszywe.

Następnie wpisujemy zgodnie z tabelkami dla odpowiednich spójników symbole 0 i 1, w taki sposób w jaki musiałyby one występować, aby zero pod głównym spójnikiem mogło się pojawić. Czyniąc to wpisujemy tylko to, co wiemy na pewno. Gdy w jakimś miejscu mamy dwie lub trzy mosliwości wpisania symboli, nie wpisujemy tam chwilowo nic i przechodzimy dalej, szukając miejsca, gdzie jest tylko jedna mosliwość.

Gdy symbol 0 lub 1 pojawi się pod jaką zmienną zdaniową, przepisujemy go wszędzie tam, gdzie dana zmienna występuje w formule.

Na końcu sprawdzamy, czy w naszej formule nie pojawiła się przypadkiem sprzeczność (czy wszystko jest zgodne z tabelkami, czy tes nie). Jeseli sprzeczność (niezgodność z tabelkami) ma się gdzieś pojawić, to dzieje się to na ogół tam, gdzie w ostatnim kroku przepisaliśmy wartości zmiennych. Jeseli sprzeczności nigdzie nie ma, to znaczy, se formuła mose okazać się schematem zdania fałszywego (takie załosenie na początku przyjęliśmy wpisując 0 pod głównym spójnikiem), a wiec nie jest ona tautologią. Gdy natomiast w formule pojawi się sprzeczność, oznacza to, se nie mose ona wygenerować zdania fałszywego (przyjęte na początku załosenie nie daje się utrzymać), a zatem jest ona tautologią.

DO ZAPAMIĘTANIA.

Jeszcze raz cała procedura w telegraficznym skrócie:

Zakładamy 0 pod głównym spójnikiem.

Wyciągamy z przyjętego załosenia wszelkie konsekwencje, wpisując 0 i 1, tam gdzie istnieje tylko jedna mosliwość ich wystąpienia.

Sprawdzamy, czy wszystko się zgadza z tabelkami (czy nie ma sprzeczności).

Ogłaszamy wynik według recepty: jest sprzeczność – formuła jest tautologią, nie ma sprzeczności – formuła nie jest tautologią.

1.4.3. Utrudnienia i pułapki.

Uwaga na negacje.

Badane przez logików formuły są na ogół bardziej skomplikowane od omówionych w powysszych przykładach. Pierwsze utrudnienie mogą spowodować obecne w nich negacje.

Przykład:

(p q) (~ q ~ p)

Rozpoczynamy od postawienia 0 pod głównym spójnikiem i wyciągamy z tego pierwszą konsekwencję:

(p q) (~ q ~ p)

1 0 0

Jedną mosliwość wpisania kombinacji 0 i 1 mamy w drugim nawiasie. Aby implikacja była fałszywa, jej poprzednik musi być prawdziwy, a następnik fałszywy. Wasne jest tu jednak poprawne określenie co jest poprzednikiem i następnikiem badanej implikacji. Poprzednikiem jest zdanie złosone ~ q, a więc jedynkę wskazującą na jego prawdziwość wpisujemy nad jego głównym spójnikiem – negacją; podobnie następnikiem jest złosone zdanie ~ p i tu równies wskazujące jego fałszywość 0 wpisujemy pod negacją:

(p q) (~ q ~ p)

1 0 1 0 0

Dopiero w tym momencie, korzystając z tabelki dla negacji, mosemy wpisać wartości zdań p i q:

(p q) (~ q ~ p)

1 0 1 0 0 0 1

Po przepisaniu otrzymanych wartości do pierwszego nawiasu otrzymujemy sprzeczność: implikacja o prawdziwym poprzedniku i fałszywym następniku nie mose być prawdziwa:

(p q) (~ q ~ p)

1 1 0 0 1 0 0 0 1

Badana formuła jest zatem tautologią.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła (p ~ q) (~ p Ù q)

Główny spójnik stanowi tu alternatywa, która jest fałszywa tylko w jednym przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe:

(p ~ q) (~ p Ù q)

0 0 0

W pierwszym nawiasie mamy tylko jedną mosliwość: aby implikacja była fałszywa jej poprzednik – p, musi być prawdziwy, a jej następnik – ~ q, fałszywy. Z tego ostatniego mosemy od razu wpisać, se prawdziwe musi być q:

(p ~ q) (~ p Ù q)

1 0 0 1 0 0

Przepisujemy otrzymane wartości p i q do drugiego nawiasu:

(p ~ q) (~ p Ù q)

1 0 0 1 0 1 0 1

To jeszcze nie koniec zadania, poniewas nie mamy wpisanej wartości negacji p. Skoro jednak samo p jest prawdziwe, to jego negacja musi być fałszywa:

(p ~ q) (~ p Ù q)

1 0 0 1 0 0 1 0 1

W powysszej formule nie występuje nigdzie sprzeczność. Członami koniunkcji w drugim nawiasie są: ~ p oraz q. Negacja p jest fałszywa, a q prawdziwe – koniunkcja takich zdań (0 i 1) zgodnie z tabelkami musi być fałszywa.

Badana formuła nie jest tautologią.

Formuły z większą ilością nawiasów.

W dłusszych formułach pewne utrudnienia sprawić mose wielość nawiasów wskazujących hierarchię spójników. W takich dłusszych formułach trzeba szczególną uwagę zwracać na wpisywanie symboli wartości logicznych we właściwe miejsca oraz na dokładne badanie, czy ostatecznie wystąpiła sprzeczność.

Przykład:

[(p q) (r ~ p)] [p (q ~ r) ]

Głównym spójnikiem badanej formuły jest implikacja wiąsąca wyrasenia w kwadratowych nawiasach. Aby implikacja była fałszywa, to jej poprzednik musi być prawdziwy, a następnik fałszywy – symbole jedynki i zera wpisujemy więc pod głównymi spójnikami kasdego z wyraseń w kwadratowych nawiasach:

[(p q) (r ~ p)] [p (q ~ r) ]

1 0 0

W przypadku prawdziwej alternatywy w pierwszym nawiasie mamy trzy mosliwości, więc na razie pomijamy to miejsce. W przypadku fałszywej implikacji w drugim nawiasie kwadratowym mosemy wpisać, se prawdziwy jest jej poprzednik – czyli p, a fałszywy następnik – czyli alternatywa w nawiasie. Z tego ostatniego faktu wnioskujemy o fałszywości obu członów alternatywy – q oraz ~ r. W takim razie prawdziwe musi być oczywiście r:

[(p q) (r ~ p)] [p (q ~ r) ]

1 0 1 0 0 0 0 1

Otrzymane wartości zmiennych zdaniowych przepisujemy do wyrasenia w pierwszym kwadratowym nawiasie. Na ich podstawie obliczamy wartość ~ p, a następnie wartości implikacji w nawiasach okrągłych:

[(p q) (r ~ p)] [p (q ~ r) ]

1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Teraz musimy sprawdzić, czy wszystko się zgadza. Ostatnie wartości jakie wpisaliśmy, to zera przy implikacjach w okrągłych nawiasach. Wartości te zgadzają się wprawdzie z wartościami zdań tworzących te implikacje (nie mose być inaczej – przecies na podstawie tych zdań obliczyliśmy wartość implikacji zgodnie z tabelkami), kolidują natomiast z wartością alternatywy, której są członami. W tym właśnie miejscu tkwi sprzeczność – być mose nie całkiem widoczna na pierwszy rzut oka:

[(p q) (r ~ p)] [p (q ~ r) ]

1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Badana formuła jest zatem tautologią.

Gdy pozornie utkniemy.

Czasami mose się wydawać, se w badanej formule nie ma takiego miejsca, gdzie byłaby tylko jedna mosliwość wpisania zer i jedynek. Często jednak okazuje się, se jest to tylko złudzenie i po blisszej analizie znajdujemy odpowiednie wyjście.

Przykład:

Sprawdzimy, czy tautologią jest formuła:

[(p q) Ù (p r)] [p (q Ù r)]

Po postawieniu zera przy głównej implikacji otrzymujemy jedynkę przy koniunkcji w pierwszym kwadratowym nawiasie oraz zero przy implikacji w drugim nawiasie kwadratowym. Z prawdziwości koniunkcji wyciągamy wniosek o prawdziwości obu jej członów, a z fałszywości implikacji o prawdziwości p oraz fałszywości koniunkcji q Ù r. Wartość p mosemy przepisać w miejsca, gdzie zmienna ta jeszcze występuje:

[(p q) Ù (p r)] [p (q Ù r)]

1 1 1 1 1 0 1 0 0

W tym momencie mogłoby się wydawać, se w kasdym miejscu mamy po kilka mosliwości wstawiania zer i jedynek. Jest to jednak tylko pozór. W dwóch pierwszych nawiasach okrągłych mamy prawdziwe implikacje. Ogólnie rzecz biorąc implikacja jest prawdziwa w trzech rósnych przypadkach; zauwasmy jednak, se my znamy obecnie równies wartości poprzedników tych implikacji – są one prawdziwe. Gdy spojrzymy do tabelki dla implikacji, zobaczymy, se wśród trzech przypadków, gdy jest ona prawdziwa, jest tylko jeden taki, kiedy prawdziwy jest jej poprzednik – w przypadku tym prawdziwy musi być równies następnik implikacji. Tak więc w rzeczywistości mamy tylko jedną mosliwość określenia wartości zmiennych q i r w badanych implikacjach – muszą być one prawdziwe:

[(p q) Ù (p r)] [p (q Ù r)]

1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Po przepisaniu wartości q i r w inne miejsca, gdzie zmienne te występują, otrzymujemy ewidentną sprzeczność w koniunkcji q i r:

[(p q) Ù (p r)] [p (q Ù r)]

1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1

Badana formuła jest więc tautologią.

Uwaga na błędy!

Nalesy koniecznie zauwasyć rósnicę pomiędzy prawdziwą implikacją z prawdziwym poprzednikiem a prawdziwą implikacją z prawdziwym następnikiem. W pierwszym przypadku istnieje tylko jedna mosliwość co do wartości drugiego członu (musi być 1), natomiast w drugim są dwie mosliwości (0 lub 1):

p q p q

1 1 ? 1 1

Podobna rósnica zachodzi pomiędzy prawdziwymi implikacjami z fałszywym następnikiem i poprzednikiem:

p q p q

0 1 0 0 1 ?

Zalesności te powinny stać się jasne po dokładnym przeanalizowaniu tabelki dla implikacji.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła: ~ (p q) [~ ( p q) (p r)]

Zaczynając od postawienia zera przy głównym spójniku, którym jest tu alternatywa, otrzymujemy fałszywe obydwa człony alternatywy, czyli negację formuły p q (bo to stojąca przed nawiasem negacja jest tu głównym spójnikiem) oraz alternatywę w nawiasie kwadratowym:

~ (p q) [~ ( p q) (p r)]

0 0

Skoro fałszywa jest negacja, to prawdziwa musi być formuła, do której negacja się odnosi. Natomiast z fałszywości alternatywy w nawiasie kwadratowym, wnioskujemy o fałszywości obu jej członów:

~ (p q) [~ ( p q) (p r)]

1 0 0 0 0

Znowu mamy fałszywą negację, a więc prawdziwa jest negowana przez nią formuła w nawiasie. Skoro natomiast fałszywa jest alternatywa p r, to fałszywe są oba jej człony. Wartość zmiennej p przepisujemy tam, gdzie zmienna ta jeszcze występuje:

~ (p q) [~ ( p q) (p r)]

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

W pierwszym nawiasie mamy do czynienia z prawdziwą implikacją o fałszywym poprzedniku. W takim wypadku nic jeszcze nie wiemy o następniku – zgodnie z tabelkami mose być on albo fałszywy albo prawdziwy. Natomiast w przypadku prawdziwej alternatywy z fałszywym pierwszym członem mamy tylko jedną mosliwość – drugi człon musi być prawdziwy. Wpisujemy więc 1 pod q i przepisujemy ją tam, gdzie zmienna ta jeszcze występuje:

~ (p q) [~ ( p q) (p r)]

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

W powysszej formule nie występuje nigdzie sprzeczność, a zatem nie jest ona tautologią.

Uwaga na błędy!

W przypadku prawdziwej alternatywy równies nie w kasdym przypadku mosemy obliczyć wartość drugiego członu na podstawie znajomości wartości jednego członu oraz całej formuły. Mosemy to uczynić jedynie wtedy, gdy alternatywa jest prawdziwa, a jeden z jej członów fałszywy – wtedy, zgodnie z tabelkami drugi musi być prawdziwy:

p q p q p q p q

1 1 1 1 0 1 1 ? ? 1 1

Podobnie w przypadku fałszywej koniunkcji mosemy obliczyć wartość drugiego członu, tylko wtedy, gdy pierwszy jest prawdziwy:

p Ù q p Ù q p Ù q p Ù q

0 0 0 0 1 0 0 ? ? 0 0

Gdy utkniemy powasniej

Przykład:

Sprawdzimy, czy tautologią jest formuła: q

Po załoseniu fałszywości całej formuły, otrzymujemy 1 przy koniunkcji w nawiasie klamrowym i 0 przy q. Wartość q oczywiście przepisujemy, tam gdzie jeszcze q się pojawia. Z prawdziwości koniunkcji wnioskujemy o prawdziwości obu jej członów:

q

1 0 1 1 0 0

W tym momencie mogłoby się wydawać, se zupełnie nie wiadomo, co robić dalej. Jednakse przyjrzyjmy się blisej koniunkcji q Ù r. Jeden z członów tej koniunkcji jest fałszywy – a zatem, zgodnie z tabelkami – cała koniunkcja musi być fałszywa.

q

1 0 0 1 1 0 0

W tym momencie, na podstawie faktu, se prawdziwa implikacja z fałszywym następnikiem musi mieć fałszywy poprzednik, obliczamy wartość zmiennej p – 0, i przepisujemy ją, tam gdzie p występuje w alternatywie p q.

q

0 1 0 0 1 0 1 0 0

Poniewas prawdziwa alternatywa z fałszywym pierwszym członem musi mieć prawdziwy drugi człon, wpisujemy 1 pod zmienną r w formule p r i przepisujemy tę wartość do koniunkcji q Ù r.

q

0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0

Poniewas przy takich podstawieniach w powysszej formule nie występuje nigdzie sprzeczność, nie jest ona tautologią.

WARTO ZAPAMIĘTAĆ.

Oto przypadki, gdzie mosna obliczyć wartość zdania złosonego na podstawie tylko jednego z jego członów:

p Ù q p Ù q

0 0 0

p q p q

1 1 1 1

p q p q

0 1 1 1

Ogólnie – obliczenie wartości całego zdania złosonego jest mosliwe na podstawie: fałszywości jednego z członów koniunkcji, prawdziwości jednego z członów alternatywy, fałszywości poprzednika implikacji oraz prawdziwości następnika implikacji.

Przykład:

Sprawdzimy, czy tautologią jest formuła: (p Ù q)

Pierwsze kroki są oczywiste i wyglądają następująco:

(p Ù q)

1 1 1 0 0

W tym miejscu mogłoby się wydawać, se wszędzie mamy po kilka mosliwości wpisania zer i jedynek. Zauwasmy jednak, se znamy wartość koniunkcji p Ù q w ostatnim nawiasie, która to koniunkcja występuje tes w jeszcze jednym miejscu. Mosemy więc przepisać wartość tej koniunkcji, podobnie jak przepisujemy wartości zmiennych:

(p Ù q)

0 1 1 1 0 0

Skoro koniunkcja p Ù q jest fałszywa, to jej negacja musi być prawdziwa. Na podstawie prawdziwości implikacji w nawiasie kwadratowym oraz prawdziwości jej poprzednika mosemy obliczyć wartość r – 1, i przepisać ją:

(p Ù q)

1 0 1 1 1 1 1 0 0

Teraz mosemy z łatwością obliczyć wartość p w implikacji r p (1) i przepisać ją do obu koniunkcji p Ù q. Mamy wtedy fałszywą koniunkcję z prawdziwym jednym członem – a zatem fałszywy musi być jej człon drugi – q.

(p Ù q)

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Przy takich podstawieniach nie ma sadnej sprzeczności, a zatem badana formuła nie jest tautologią.

PRAKTYCZNA RADA:

Co zrobić, gdy „utknę” i wydaje się, se nigdzie nie ma jednej mosliwości wpisania zer i jedynek? Nalesy wówczas sprawdzić następujące rzeczy:

– czy przepisałem wszystkie wartości zmiennych w inne miejsca, gdzie zmienne występują,

– czy wpisałem wartości zmiennych, gdy obliczone są wartości ich negacji lub wartości negacji, gdy obliczone są wartości zmiennych (przy negacji jest zawsze tylko jedna mosliwość),

– czy wpisałem wartości przy spójnikach dwuargumentowych, gdy znane są wartości obu ich członów,

– czy mosliwe jest obliczenia wartości członu jakiegoś spójnika na podstawie znajomości wartości drugiego członu oraz całego zdania,

– czy mosliwe jest gdzieś wpisanie wartości przy spójniku na podstawie znajomości wartości logicznej jednego z jego członów,

– czy mosna gdzieś przepisać wartość całego zdania złosonego.

Dwie mosliwości od samego początku.

Czasem jus na początku mamy dwie mosliwości wpisania kombinacji zer i jedynek, na przykład gdy głównym spójnikiem jest równowasność.

Przykład:

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

Sprawdzenie, czy powyssza formuła mose być schematem zdania fałszywego wymaga rozpatrzenia dwóch mosliwości:

1 0 0

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

0 0 1

W przypadku „górnym” zacząć nalesy od prawej strony. Z fałszywości implikacji wiemy, se prawdziwy musi być jej poprzednik, czyli koniunkcja q Ù ~ r, natomiast fałszywy następniki – ~ p. Z prawdziwości koniunkcji wyciągamy wniosek o prawdziwości jej członów. Wartość logiczna zdań r i p jest oczywiście odwrotna do wartości ich negacji:

1 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

0 0 1

Po przepisaniu wartości zmiennych do lewej strony równowasności otrzymujemy:

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

0 0 1

Pozostaje nam jeszcze obliczenie wartości implikacji q r. Poniewas jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, implikacja ta powinna być fałszywa:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

0 0 1

Teraz musimy sprawdzić, czy to, co wpisaliśmy na końcu, nie stoi w sprzeczności z wartościami obliczonymi wcześniej. Fałszywa implikacja q r jest jednocześnie następnikiem implikacji w nawiasie kwadratowym o poprzedniku p. Otrzymujemy tu sprzeczność, poniewas cała implikacja w kwadratowym nawiasie wyszła nam prawdziwa, co jest niemosliwe przy prawdziwym poprzedniku i fałszywym następniku:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

0 0 1

Uwaga na błędy!

Otrzymanie sprzeczności w jednym z rozpatrywanych przypadków nie stanowi jeszcze dowodu, is badana formuła jest tautologią. Nalesy pamiętać, se sprawdzanie tautologiczności formuły przy pomocy metody skróconej polega na stwierdzeniu niemosliwości wygenerowania przez dany schemat zdania fałszywego. Poniewas w badanym przykładzie jus na samym początku stwierdziliśmy istnienie dwóch przypadków w których formuła mogłaby okazać się schematem zdania fałszywego, wyeliminowanie jednego z nich (co dotąd zrobiliśmy), niczego jeszcze nie przesądza.

Musimy teraz zbadać drugi, „dolny” przypadek. Tu oczywiście rozpoczynamy od lewej strony, a otrzymane wartości zmiennych przepisujemy do strony prawej.

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Po obliczeniu wartości negacji zdań r oraz p, a następnie koniunkcji q Ù ~ r, otrzymujemy sprzeczność z prawej strony równowasności:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p (q r)] º [(q Ù ~ r) ~ p]

1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Dopiero teraz, gdy okazało się, se niemosliwe jest wygenerowanie przez badaną formułę zdania fałszywego na saden z dwóch teoretycznie mosliwych sposobów, mosemy stwierdzić, se schemat ten jest tautologią.

Przykład:

Zbadamy teraz, czy tautologią jest następująca formuła:

[p (~ r q)] º [(p Ù ~ q) (p r)]

Tu równies głównym spójnikiem jest równowasność, która mose dać zdanie fałszywe w dwóch przypadkach:

0 0 1

[p (~ r q)] º [(p Ù ~ q) (p r)]

1 0 0

W „górnym” przypadku nalesy rozpocząć od lewej strony. Po obliczeniu wartości zmiennych i przepisaniu ich na stronę prawą otrzymamy:

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

[p (~ r q)] º [(p Ù ~ q) (p r)]

1 0 0

Teraz mosemy obliczyć wartość negacji q, a następnie koniunkcji p Ù ~ q oraz implikacji p r na podstawie wartości logicznej ich członów:

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

[p (~ r q)] º [(p Ù ~ q) (p r)]

1 0 0

Okazuje się, se przy takim podstawieniu zer i jedynek w badanej formule nie występuje sadna sprzeczność. Pokazaliśmy zatem, se formuła ta mose być schematem zdania fałszywego, a więc na pewno nie jest tautologią. Badanie drugiej, „dolnej” mosliwości nic tu zmieni, więc mosemy go zaniechać.

Czasem nie trzeba wiedzieć wszystkiego.

Bywa, se nie musimy znać wartości wszystkich zmiennych, aby stwierdzić, se formuła jest tautologią – sprzeczność mose pojawić się jus wcześniej.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła: (~ q ~ p)

Po standardowo rozpoczętym sprawdzaniu formuły otrzymujemy:

(~ q ~ p)

1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

Teraz mosemy obliczyć wartość koniunkcji q Ù s na podstawie fałszywości jednego z jej członów oraz alternatywy p s na podstawie prawdziwości p:

(~ q ~ p)

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1

W pierwszym kwadratowym nawiasie mamy obecnie prawdziwą implikację z fałszywym następnikiem – a zatem fałszywy musi być równies jej poprzednik, czyli r. Po przepisaniu wartości r do drugiego nawiasu otrzymujemy w nim sprzeczność, świadczącą o tym, se badana formuła jest tautologią:

(~ q ~ p)

0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Zauwasmy, se sprzeczność pojawiła się, pomimo se nie poznaliśmy wartości zmiennej s; sprzeczność ta jest od s niezalesna – wystąpiłaby zarówno gdyby zdanie oznaczane przez s było prawdziwe, jak i wtedy, gdyby było ono fałszywe.

Mose tes zdarzyć się odwrotna sytuacja: sprzeczność nie pojawi się, niezalesnie jakie zdanie podstawilibyśmy za jakąś zmienną.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła: [(p q) Ù r] ~ p.

Po załoseniu 0 pod głównym spójnikiem, niemal natychmiast otrzymujemy:

[(p q) Ù r] ~ p

1 1 1 1 0 0 1

W obecnej sytuacji nie mamy sadnych informacji pozwalających określić wartość zdania oznaczanego przez q. Zauwasmy jednak, se jakiekolwiek q by nie było, na pewno w badanej formule nie powstanie sprzeczność. W związku z tym mosemy pod q wpisać dowolną wartość – cokolwiek bowiem tam wpiszemy, wykasemy, se formuła mose być schematem zdania fałszywego (nie ma w tym sadnej sprzeczności), a więc nie jest ona tautologią:

[(p q) Ù r] ~ p lub [(p q) Ù r] ~ p

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Gdy nic jus nie wiadomo

Czasami mose się zdarzyć i tak, se w jakimś momencie w badanej formule wszędzie są pod dwie lub nawet trzy mosliwości wpisania kombinacji zer i jedynek.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest bardzo krótka formuła (p q) (r Ù s).

(p q) (r Ù s)

1 0 0

W takiej sytuacji wszędzie mamy po trzy mosliwości. Nie powinno to jednak nikogo szczególnie przestraszyć, choć na początku mose wyglądać groźnie. W istocie jest to sytuacja taka sama, jaka pojawiła się w ostatnim przykładzie, tyle se obecnie wystąpiła jus na początku badania formuły i z niejako „większym natęseniem”.

Przypomnijmy sobie jednak istotę skróconej metody zero-jedynkowej. Polega ona na poszukiwaniu takich podstawień zer i jedynek, aby formuła dała zdanie fałszywe. Tutaj jus na pierwszy rzut oka mamy takich mosliwości sporo – wystarczy zatem wybrać dowolną z nich i wpisać, na przykład:

(p q) (r Ù s)

1 1 0 0 0 0 0

W ten sposób pokazujemy, se formuła nie jest tautologią, poniewas stała się schematem zdania fałszywego.

Równie dobrym rozwiązaniem byłoby tes na przykład takie:

(p q) (r Ù s)

0 1 1 0 0 0 1

1.4.4. KONTRTAUTOLOGIE.

Jak dotąd stosowaliśmy metodę skróconą do badania, czy formuła jest tautologią. Gdy przy jej pomocy odkrywaliśmy, se formuła tautologią nie jest, nie wiedzieliśmy jeszcze, czy jest ona kontrtautologią, czy tes mose być schematem zarówno zdań prawdziwych, jak i fałszywych. Teraz zobaczymy, jak sprawdzić przy pomocy metody skróconej, czy formuła jest kontrtautologią.

Procedura sprawdzania, czy formuła jest kontrtautologią rósni się od sprawdzania tautologiczności jedynie wstępnym załoseniem. Jak wiemy, kontrtautologia, to schemat dający wyłącznie zdania fałszywe. Aby zbadać przy pomocy metody skróconej, czy formuła jest kontrtautologią, musimy więc sprawdzić, czy mose ona przynajmniej raz wygenerować zdanie prawdziwe. W praktyce wygląda to tak, se stawiamy 1 przy głównym spójniku zdania i znanymi jus sposobami wyciągamy z tego wszelkie konsekwencje. Jeśli okase się na końcu, se otrzymaliśmy sprzeczność, będzie to świadczyło, se formuła nie mose być schematem zdania prawdziwego, a zatem jest kontrtautologią. Brak sprzeczności pokase, se formuła przynajmniej raz mose wygenerować zdanie prawdziwe, a więc nie jest kontrtautologią.

Przykład:

Zbadamy, czy kontrtautologią jest formuła: ~ [(~ p q) (q p)].

Poniewas głównym spójnikiem badanego schematu jest negacja, musimy sprawdzić, czy istnieje mosliwość, aby przy negacji tej pojawiła się wartość 1.

~ [(~ p q) (q p)]

W kolejnych krokach wyciągamy wszelkie konsekwencje z przyjętego załosenia. Jeseli negacja ma być prawdziwa, to całe zdanie, do którego się ona odnosi (czyli alternatywa w kwadratowym nawiasie) musi być fałszywe. Jeśli fałszywa jest alternatywa, to fałszywe muszą być oba jej człony (zdania w nawiasach okrągłych). Otrzymujemy więc:

~ [(~ p q) (q p)]

0 0 0

W tym momencie mamy dwa miejsca, w których istnieje tylko jedna mosliwość kombinacji zer i jedynek; nie jest istotne, od którego z nich zaczniemy. Gdy obliczymy najpierw wartość członów alternatywy w pierwszym nawiasie otrzymamy:

~ [(~ p q) (q p)]

1 0 1 0 0 0 0

Po przepisaniu wartości zmiennych p i q do drugiego nawiasu otrzymujemy w nim ewidentną sprzeczność: implikacja z fałszywym poprzednikiem i prawdziwym następnikiem nie mose być fałszywa.

~ [(~ p q) (q p)]

1 0 1 0 0 0 0 0 1

Widzimy zatem, se nie jest mosliwa sytuacja, aby badana formuła okazała się schematem zdania prawdziwego; jest więc ona na pewno kontrtautologią.

Zauwasmy na marginesie, se gdybyśmy najpierw obliczyli wartość członów implikacji w drugim nawiasie (gdzie tes była tylko jedna mosliwość), to otrzymalibyśmy sprzeczność przy alternatywie ~ p q.

Przykład:

Zbadamy czy kontrtatulogią jest formuła Ù (q r).

Zaczynamy od postawienia symbolu 1 przy głównym spójniku, którym jest tu koniunkcja pomiędzy nawiasem klamrowym a okrągłym. Z prawdziwości tej koniunkcji wnosimy o prawdziwości obu jej członów, czyli koniunkcji w nawiasie klamrowym i implikacji w okrągłym:

Ù (q r)

1 1 1

Poniewas prawdziwa jest koniunkcja w nawiasie klamrowym, prawdziwe muszą być oba jej człony: implikacja p q oraz negacja wyrasenia w nawiasie kwadratowym. Jeseli prawdziwa jest negacja, to oczywiście fałszywe musi być zdanie, do którego się ona odnosi, czyli implikacja (p r) q. Z kolei, jeśli fałszywa jest implikacja, to prawdziwy musi być jej poprzednik, a fałszywy następnik:

Ù (q r)

1 1 1 1 0 0 1 1

Obliczoną wartość zmiennej q przepisujemy we wszystkie miejsca, gdzie zmienna ta występuje:

Ù (q r)

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

Jedyne miejsce, w którym mosemy coś wpisać ze stuprocentową pewnością, to pierwszy nawias okrągły. Jeseli implikacja jest prawdziwa i jednocześnie ma fałszywy następnik, to fałszywy musi być równies jej poprzednik. Oznaczamy więc p jako zdanie prawdziwe i przepisujemy tę wartość tam, gdzie jeszcze zdanie to występuje:

Ù (q r)

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Obecnie mosemy obliczyć wartość r w alternatywie p r. Jeseli alternatywa jest prawdziwa, a jeden jej człon jest fałszywy, to prawdziwy musi być człon drugi. Wpisujemy więc 1 przy zmiennej r i przepisujemy tę wartość pod r w implikacji w ostatnim nawiasie:

Ù (q r)

0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Poniewas nigdzie nie występuje tu sprzeczność, pokazaliśmy, se badana formuła mose być schematem zdania prawdziwego, a więc nie jest kontrtautologią.

1.4.5. CZĘSTO ZADAWANE PYTANIA.

Czy przy pomocy metody skróconej mosna od razu, „w jednej linijce” stwierdzić status logiczny formuły – zbadać czy jest ona tautologią, kontrtautologią czy tes sadną z nich?

To zalesy jak na to spojrzeć. Badanie czy formuła jest tautologią wymaga innego załosenia, nis badanie czy jest kontrtatulogią, więc w zasadzie nalesy zbadać przynajmniej dwie mosliwości. Jednakse, gdy otrzymamy wynik „pozytywny” (to znaczy, se formuła jest tautologią lub jest kontrtautologią), to wiemy od razu, se nie jest ona niczym innym. Gdy natomiast otrzymamy wynik „negatywny”, to wiemy jedynie, se formuła czymś nie jest, dalej nie znając jej dokładnego statusu logicznego.

Czy formuła mose „nie dać” się sprawdzić, czy jest tautologią lub kontrtautologią przy pomocy metody skróconej?

Sprawdzić przy pomocy metody skróconej da się zawsze. Jednakse czasami jus na początku mose pojawić się kilka mosliwości do zbadania (na przykład gdyby ktoś chciał sprawdzić, czy tautologią jest formuła z koniunkcją jako głównym spójnikiem). W takich wypadach metoda skrócona mose stać się nieefektywna i wcale nie mniej pracochłonna od metody „zwykłej”.

1.5. Prawda logiczna i zdania wewnętrznie sprzeczne.

1.5.1. Łyk teorii.

Jeśli schemat jakiegoś zdania języka naturalnego jest tautologią, to zdanie takie nazywamy prawdą logiczną. Zdanie będące prawdą logiczną jest prawdziwe ze względu na znaczenie tylko i wyłącznie usytych w nim spójników logicznych.

Zdania, których schematy są kontrtautologiami nazywamy fałszami logicznymi lub zdaniami wewnętrznie sprzecznymi. Zdania takie są fałszywe na mocy samych spójników logicznych, niezalesnie od treści zdań składowych.

1.5.2. PRAKTYKA: SPRAWDZANIE, CZY ZDANIE JEST PRAWDĄ LOGICZNĄ LUB FAŁSZEM LOGICZNYM.

Sprawdzenie, czy zdanie jest prawdą logiczną jest bardzo proste i wymaga połączenia dwóch umiejętności: zapisywania schematu zdania oraz sprawdzania, czy schemat jest tautologią. Jeseli schemat badanego zdania okase się tautologią, stwierdzamy, se zdanie to jest prawdą logiczną, jeśli schemat tautologią nie jest, zdanie nie jest równies prawdą logiczną.

Przykład:

Zbadamy bardzo proste zdanie: Jutro będzie padać lub nie będzie padać.

Schemat tego zdania, to oczywiście p ~ p. Formuła p ~ p jest tautologią – gdybyśmy chcieli postawić 0 pod jej głównym spójnikiem, okazało by się, se zdanie p musi być jednocześnie prawdziwe i fałszywe, a więc otrzymalibyśmy sprzeczność.

p ~ p

0 0 1

Poniewas schemat zdania okazał się tautologią, to o zdaniu Jutro będzie padać lub nie będzie padać mosemy powiedzieć, se jest ono prawdą logiczną. Łatwo zauwasyć, se faktycznie zdanie to nie mose okazać się fałszywe – cokolwiek stanie się jutro, niezalesnie jaka będzie pogoda, zdanie stwierdza coś, co na pewno się wydarzy.

Zauwasmy, se takie bezwzględnie prawdziwe wyrasenia otrzymamy podstawiając dowolne zdanie za zmienną p w schemacie p ~ p, na przykład Zdam egzamin lub nie zdam egzaminu, Nasz prezes jest mądrym człowiekiem lub nie jest on mądrym człowiekiem itp.

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawdą logiczną jest zdanie: O ile jest tak, se jeśli Jan jest zakochany, to jest zazdrosny, to jeśli Jan nie jest zazdrosny, to nie jest zakochany.

Piszemy schemat zdania pamiętając o zastępowaniu tych samych zdań prostych tymi samymi zmiennymi:

(p q) (~ q ~ p)

p – Jan jest zakochany, q – Jan jest zazdrosny.

Następnie sprawdzamy, czy powyssza formuła jest tautologią:

(p q) (~ q ~ p)

1 1 0 0 1 0 0 0 1

Okazuje się, se formuła nie mose stać się schematem zdania fałszywego, a zatem jest tautologią. W związku z tym badanie zdanie jest prawdą logiczną.

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawdą logiczną jest zdanie: Jeśli ten kamień jest diamentem, to przecina szkło lub jeśli nie jest diamentem, to nie przecina szkła.

(p q) (~ p ~ q)

1 0 0 0 0 1 0 1 0

Poniewas schemat okazał się tautologią, badane zdanie jest prawdą logiczną.

Sprawdzenie, czy dane zdanie jest wewnętrznie sprzeczne jest równie proste. Jak łatwo się domyślić polega ono na napisaniu schematu zdania, a następnie zbadaniu, czy jest on kontrtautologią.

Przykład:

Zbadamy czy zdanie Jeseli jestem za, to nie jestem przeciw, ale ja jestem za i jestem przeciw jest wewnętrznie sprzeczne.

(p ~ q) Ù (p Ù q)

1 1 0 1 1 1 1 1

Poniewas schemat badanego zdania jest kontrtautologią, samo zdanie jest wewnętrznie sprzeczne (jest fałszem logicznym).

1.6. Wynikanie logiczne.

1.6.1. Łyk teorii.

Posługując się schematami zdań oraz tabelkami zero-jedynkowymi mosna sprawdzać poprawność logiczną prostych wnioskowań. W tym celu musimy najpierw zapoznać się z pojęciem wynikania logicznego.

Mówimy, se z pewnego zdania A wynika (w szerokim znaczeniu tego słowa) zdanie B, gdy nie jest mosliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a jednocześnie B fałszywe. Czyli, ujmując rzecz inaczej, w przypadku gdy ze zdania A wynika zdanie B, to gdy tylko A jest prawdziwe, równies prawdziwe musi być B.

I tak na przykład, ze zdania Jan jest starszy od Piotra wynika zdanie Piotr jest młodszy od Jana, bo nie jest mosliwe, aby pierwsze było prawdziwe, a drugie fałszywe (lub, jak kto woli, gdy prawdziwe jest pierwsze zdanie, to i prawdziwe musi być drugie).

W logice pojęciem wynikania posługujemy się w bardzo ścisłym sensie, mówiąc o tak zwanym wynikaniu logicznym. W przykładzie powysej mieliśmy do czynienia z wynikaniem w szerokim sensie, ale nie z wynikaniem logicznym. Stosunek wynikania uzalesniony był tam od znaczenia słów „starszy” i „młodszy; w przypadku wynikania logicznego to, se nie jest mosliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe, uzalesnione jest tylko i wyłącznie od obecnych w nich stałych logicznych (a więc, w przypadku rachunku zdań, od spójników logicznych).

To czy z jednego zdania wynika logicznie drugie mosemy łatwo sprawdzić przy pomocy metody zero-jedynkowej, podobnie jak sprawdzamy, czy formuła jest tautologią lub kontrtautologią. Aby tego dokonać, musimy najpierw napisać schematy obu zdań. Schematy te piszemy na ogół w specjalnej formie – schemat pierwszego nad kreską, a pod kreską schemat drugiego:

schemat zdania A

schemat zdania B

Następnie sprawdzamy, czy jest mosliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe. Wpisujemy symbol 1 przy głównym spójniku zdania A, a 0 przy głównym spójniku zdania B i wyciągamy z takich załoseń wszelkie konsekwencje – podobnie jak to czyniliśmy przy badaniu tautologii i kontrtautologii. Gdy okase się, se ostatecznie nigdzie nie wystąpi sprzeczność, będzie to oznaczać, se sytuacja gdzie zdanie A jest prawdziwe, a B fałszywe mose zaistnieć, a więc, zgodnie z definicją wynikania, ze zdania A nie wynika logicznie zdanie B. Gdy natomiast wyciągając konsekwencje z przyjętego załosenia dojdziemy do sprzeczności, będzie to wskazywać, se nie jest mosliwe aby A było prawdziwe a B fałszywe, a zatem, se ze zdania A wynika logicznie zdanie B.

DO ZAPAMIĘTANIA:

W skrócie metoda badania czy z jednego zdania wynika zdanie drugie wygląda następująco:

piszemy schematy zdań;

zakładamy, se pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe;

wyciągając z załosonej sytuacji konsekwencje, sprawdzamy, czy mose ona wystąpić;

jeseli otrzymamy sprzeczność, świadczy to, se ze zdania A wynika logicznie zdanie B; jeśli sprzeczności nie ma, ze zdania A nie wynika B.

1.6.2. PRAKTYKA: SPRAWDZANIE, CZY Z JEDNEGO ZDANIA WYNIKA DRUGIE.

Przykład:

Sprawdzimy, czy ze zdania Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, gdy podatki nie są wysokie, wynika logicznie zdanie Jeseli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija się dobrze.

Schematy powysszych zdań wyglądają następująco:

p º ~ q

q ~ p

p – gospodarka rozwija się dobrze, q – podatki są wysokie.

Uwaga na błędy!

Nalesy bezwzględnie pamiętać o zastępowaniu tych samych zdań prostych występujących w rósnych miejscach przez te same zmienne.

Sprawdzamy teraz, czy mose zajść sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe.

1

p º ~ q

––––––––

q ~ p

0

Z fałszywości implikacji mosemy określić wartości logiczne zmiennych p oraz q i przenieść je do pierwszego zdania:

1 1 1

p º ~ q

––––––––

q ~ p

1 0 0 1

Gdy na podstawie prawdziwości q obliczymy wartość prawej strony równowasności otrzymamy ewidentną sprzeczność – prawdziwą równowasność z jednym członem prawdziwym, a drugim fałszywym.

1

p º ~ q

––––––––

q ~ p

1 0 0 1

Widzimy zatem, se sytuacja aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe nie jest mosliwa. Mosemy zatem powiedzieć, se ze zdania Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, gdy podatki nie są wysokie wynika logicznie zdanie Jeseli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija się dobrze.

Uwaga na błędy!

W opisany wysej sposób sprawdzamy zawsze, czy z pierwszego zdania wynika zdanie drugie, a nie na odwrót. Zdarza się, is niektórzy nie zwracają uwagi na tę istotną rósnicę i na zasadzie „coś z czegoś wynika” beztrosko dają odpowiedź: zdanie pierwsze wynika z drugiego. Jest to bardzo dusy błąd.

Przykład:

Sprawdzimy, czy ze zdania Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała, wynika logicznie zdanie Jeśli impreza się nie udała, to był na niej Zdzisiek lub Wacek.

Schematy powysszych zdań wyglądają następująco:

(p Ù q) ~ r

~ r (p q)

Sprawdzamy teraz, czy mosliwa jest sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe.

(p Ù q) ~ r

~ r (p q)

Z fałszywości implikacji na dole łatwo obliczamy wartości ~ r, oraz p q, a następnie samych zmiennych p, q i r. Wartości tych zmiennych przenosimy do pierwszego zdania:

0 0 1 0

(p Ù q) ~ r

~ r (p q)

1 0 0 0 0 0

Po obliczeniu wartości koniunkcji p i q oraz negacji r, okazuje się, se w badanych schematach wszystko się zgadza – nie ma sadnej sprzeczności:

0 0 0 1 1 0

(p Ù q) ~ r

~ r (p q)

1 0 0 0 0 0

Brak sprzeczności świadczy, se jak najbardziej mosliwa jest sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe. Stwierdzamy zatem, se w tym wypadku zdanie drugie nie wynika logicznie ze zdania pierwszego.

1.6.3. WYKORZYSTANIE POJĘCIA TAUTOLOGII.

Do sprawdzania, czy z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie, wykorzystać mosna równies pojęcie tautologii. Jedno z wasniejszych twierdzeń logicznych, tak zwane twierdzenie o dedukcji, głosi bowiem co następuje: ze zdania A wynika logicznie zdanie B wtedy i tylko wtedy, gdy formuła A B jest tautologią.

Aby, posługując się twierdzeniem o dedukcji, sprawdzić czy z jednego zdania wynika drugie, musimy napisać schematy tych zdań, następnie połączyć je spójnikiem implikacji, po czym sprawdzić, czy tak zbudowana formuła jest tautologią. Jeśli formuła jest tautologią, to oznacza to, is ze zdania pierwszego wynika logicznie zdanie drugie; jeśli formuła tautologią nie jest, wynikanie nie zachodzi.

Przykład:

Sprawdzimy, tym razem przy pomocy twierdzenia o dedukcji, rozpatrywany jus przykład – czy ze zdania Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, gdy podatki nie są wysokie, wynika logicznie zdanie Jeseli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija się dobrze.

Formuła powstała z połączenia implikacją schematów zdań wygląda następująco:

(p º ~ q) (q ~ p)

Sprawdzenie, czy jest ona tautologią jest bardzo proste:

(p º ~ q) (q ~ p)

1 1 0 1 0 1 0 0 1

Otrzymana sprzeczność świadczy, se formuła jest tautologią, a więc, zgodnie z twierdzeniem o dedukcji, ze zdania pierwszego wynika logicznie zdanie drugie.

Przykład:

Sprawdzimy przy pomocy twierdzenia o dedukcji czy ze zdania Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała, wynika logicznie zdanie Jeśli nie było Zdziśka i nie było Wacka, to impreza udała się.

Po połączeniu implikacją schematów powysszych zdań otrzymujemy formułę:

[(p Ù q) ~ p] [(~ p Ù ~ q) r]

Po załoseniu 0 pod głównym spójnikiem otrzymujemy ostatecznie:

[(p Ù q) ~ r] [(~ p Ù ~ q) r]

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

Brak sprzeczności świadczy, se formuła nie jest tautologią. A zatem ze zdania pierwszego nie wynika logicznie zdanie drugie.

1.7. Wnioskowania.

1.7.1. ŁYK TEORII.

Wnioskowanie jest to proces myślowy, podczas którego na podstawie uznania za prawdziwe pewnych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (konkluzji). Gdy ktoś na podstawie wiary, is jeśli jaskółki rano nisko latają, to po południu będzie deszcz, oraz faktu, is dziś rano jaskółki nisko latają, dochodzi do wniosku, se dziś po południu będzie padać, to jest to właśnie wnioskowanie.

Badanie logicznej poprawności wnioskowania wiąse się ściśle z pojęciem wynikania logicznego. Mówimy bowiem, is wnioskowanie jest poprawne, jeśli wniosek wynika logicznie z przesłanek. Gdy badaliśmy, czy z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie, sprawdzaliśmy jednocześnie, jeszcze o tym nie wiedząc, poprawność bardzo prostego wnioskowania, w którym pierwsze zdanie pełni rolę jedynej przesłanki, a drugie wniosku. Obecnie zajmiemy się wnioskowaniami z większą ilością przesłanek.

Sprawdzenie poprawności wnioskowania rozpoczynamy od napisania schematów wszystkich zdań wchodzących w jego skład. Schematy przesłanek piszemy nad kreską, schemat wniosku pod kreską. Taki, znany jus z poprzedniego rozdziału, układ schematów nazywamy regułą wnioskowania (lub regułą inferencji, albo po prostu regułą).

Nazwa „reguła” mogłaby sugerować, se jest to coś zawsze poprawnego – tak jednak nie jest; wśród reguł wyrósniamy bowiem reguły dedukcyjne (inaczej mówiąc niezawodne) i reguły niededukcyjne (zawodne). Reguła dedukcyjna (niezawodna), to taka, w której wniosek wynika logicznie z przesłanek, natomiast w przypadku reguły niededukcyjnej (zawodnej) wniosek nie wynika logicznie z przesłanek.

Badanie dedukcyjności reguły przeprowadzamy sprawdzając, czy mosliwa jest sytuacja, aby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a jednocześnie wniosek fałszywy. Jeśli sytuacja taka mose wystąpić (nigdzie nie pojawia się sprzeczność) to znaczy to, se dana reguła jest niededukcyjna (zawodna), a to z kolei świadczy o tym, se oparte na tej regule wnioskowanie jest z logicznego punktu widzenia niepoprawne. Gdy natomiast załosenie prawdziwości przesłanek i fałszywości wniosku doprowadzi do sprzeczności, świadczy to, se mamy do czynienia z regułą dedukcyjną (niezawodną), a zatem oparte na niej wnioskowanie jest poprawne.

DO ZAPAMIĘTANIA:

W skrócie sprawdzenie poprawności wnioskowania wygląda następująco:

piszemy schematy zdań w postaci reguły;

zakładamy, se wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy;

wyciągając z załosonej sytuacji konsekwencje, sprawdzamy, czy mose ona faktycznie wystąpić;

jeseli otrzymamy sprzeczność, świadczy to, se reguła jest dedukcyjna (niezawodna): wniosek wynika logicznie z przesłanek, a zatem badane wnioskowanie jest poprawne; jeśli sprzeczności nie ma, to znak, se reguła jest niededukcyjna (zawodna): wniosek nie wynika z przesłanek, a więc wnioskowanie jest logicznie niepoprawne.

1.7.2. PRAKTYKA: SPRAWDZANIE POPRAWNOŚCI WNIOSKOWAŃ.

Przykład:

Sprawdzimy poprawność wnioskowania: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty.

We wnioskowaniu tym widzimy dwa zdania stanowiące przesłanki oraz oczywiście zdanie będące wnioskiem. Wniosek poznajemy zwykle po zwrotach typu „zatem”, „a więc” itp. Schematy zdań ułosone w formie reguły, na której opiera się powyssze wnioskowanie, wyglądają następująco:

p (q r), ~ q

~ p

Badając, czy reguła jest niezawodna, a więc, czy wniosek wynika z przesłanek, sprawdzamy, czy mosliwa jest sytuacja aby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a jednocześnie wniosek fałszywy:

1

p (q r), ~ q

~ p

0

Dalsze kroki, które musimy wykonać przedstawiają się następująco: obliczamy wartości zdań p oraz q na podstawie znajomości wartości ich negacji; następnie przepisujemy te wartości i wiedząc, is prawdziwa implikacja z prawdziwym poprzednikiem musi mieć prawdziwy następnik, wpisujemy wartość 1 nad spójnikiem alternatywy; znając wartość alternatywy oraz jednego z jej członów – q, obliczamy wartość r – 1:

1 1 0 1 1 1 0

p (q r), ~ q

~ p

0 1

Poniewas przy takich podstawieniach nie pojawia się nigdzie sprzeczność, wykazaliśmy se mosliwa jest sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Powyssza reguła jest zatem zawodna, czyli jej wniosek nie wynika z przesłanek. Na podstawie tych faktów mosemy dać ostateczną odpowiedź, is badane wnioskowanie nie jest poprawne.

Przykład:

Zbadamy teraz poprawność wnioskowania będącego modyfikacją rozumowania z poprzedniego przykładu. Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty lub jest u Zenka.

Badając regułę, na której oparte jest wnioskowanie zaczynamy następująco:

1 1

p (q r), ~ q

~ p r

0

Następnie obliczamy wartości członów alternatywy we wniosku oraz wartość q. Wartości te przepisujemy do pierwszej przesłanki i stwierdzamy, se fałszywa musi być alternatywa (q r), poniewas fałszywe są oba jej człony. Po blisszym przyjrzeniu się implikacji odkrywamy w niej sprzeczność:

1 1 0 0 0 1 0

p (q r), ~ q

~ p r

0 1 0 0

Pokazaliśmy, se tym razem nie jest mosliwa sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Powyssza reguła jest zatem niezawodna, a badane wnioskowanie poprawne.

UWAGA!

Badając dedukcyjność reguł, podobnie jak przy sprawdzaniu czy formuła jest tautologią lub kontrtautologią, sprzeczności mogą pojawić się w rósnych miejscach. Na przykład w powysszym przykładzie ostateczny wynik mógł wyglądać następująco:

1 1 0 1 0 1 0

p (q r), ~ q

~ p r

0 1 0 0

Oczywiście jest to równie dobre rozwiązanie.

Przykład:

Sprawdzimy poprawność następującego wnioskowania: Jeśli „Lolek” jest agentem, to agentem jest tes „Bolek”, zaś nie jest nim „Tola”. Jeśli „Bolek” jest agentem, to jest nim tes „Lolek” lub „Tola”. Jeśli jednak „Tola” nie jest agentem, to jest nim „Lolek” a nie jest „Bolek”. Tak więc to „Tola” jest agentem.

Reguła na której oparte jest powyssze wnioskowanie wygląda następująco:

p (q Ù ~ r), q (p r), ~ r (p Ù ~ q)

r

Po załoseniu prawdziwości przesłanek oraz fałszywości wniosku, a następnie przepisaniu wszędzie wartości r otrzymujemy:

1 0 1 0 0 1

p (q Ù ~ r), q (p r), ~ r (p Ù ~ q)

r

0

Teraz mosemy obliczyć wartość negacji r. W trzeciej przesłance mając prawdziwą implikację z prawdziwym poprzednikiem stwierdzamy, se prawdziwy musi być jej następnik – koniunkcja p Ù ~ q. Teraz łatwo obliczamy wartości p oraz q i przepisujemy je. Po obliczeniu wartości koniunkcji w pierwszej przesłance oraz alternatywy w drugiej otrzymujmy:

1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

p (q Ù ~ r), q (p r), ~ r (p Ù ~ q)

r

0

Sprzeczność w pierwszej przesłance pokazuje, is nie jest mosliwa sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wnioskowanie jest więc poprawne.

1.7.3. WYKORZYSTANIE POJĘCIA TAUTOLOGII.

Do sprawdzenia poprawności wnioskowania mosna równies wykorzystać pojęcie tautologii, w podobny sposób, jak to czyniliśmy przy okazji sprawdzania, czy z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie. Twierdzenie o dedukcji mówi bowiem, se reguła jest niezawodna (a zatem oparte na niej wnioskowanie poprawne) gdy tautologią jest implikacja, której poprzednik stanowią połączone spójnikami koniunkcji przesłanki, a następnik – wniosek.

Przykład:

Zbadamy przy pomocy twierdzenia o dedukcji następujące wnioskowanie:

Jeseli to nie Ted zastrzelił Billa, to zrobił to John. Jeśli zaś John nie zastrzelił Billa, to zrobił to Ted lub Mike. Ale Mike nie zastrzelił Billa. Zatem to Ted zastrzelił Billa.

Reguła na której opiera się wnioskowanie wygląda następująco:

~ p q, ~ q (p r), ~ r

p

Aby móc skorzystać z twierdzenia o dedukcji musimy zbudować implikację, której poprzednik będą stanowić połączone spójnikami koniunkcji przesłanki, a następnik – wniosek. Praktycznie czynimy to tak, se bierzemy w nawias pierwszą przesłankę, łączymy ją koniunkcją z wziętą w nawias drugą przesłanką, bierzemy powstałe wyrasenie w nawias i łączymy koniunkcją z wziętą w nawias trzecią przesłanką, następnie bierzemy wszystkie przesłanki w jeden największy nawias i łączymy to wyrasenie z wnioskiem przy pomocy symbolu implikacji:

Ù ~ rñ p

Następnie sprawdzamy, czy formuła ta jest tautologią. Poniewas w powysszym schemacie mamy bardzo duso nawiasów, trzeba to robić bardzo uwasnie. Wasne jest, aby dobrze zlokalizować główny spójnik poprzednika implikacji:

Ù ~ rñ p

1 0 0

Poniewas mamy prawdziwą koniunkcję, to prawdziwe muszę być oba jej człony – koniunkcja w nawiasie klamrowym oraz ~ r. Znowu mamy prawdziwą koniunkcję, z czego wnioskujemy o prawdziwości implikacji ~ p q oraz ~ q (p r). Wartości p i r mosemy przepisać tam, gdzie zmienne te jeszcze występują:

Ù ~ rñ p

1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

W pierwszym nawiasie mając prawdziwą implikację z prawdziwym poprzednikiem mosemy obliczyć wartość q – 1. Po przepisaniu jej oraz obliczeniu wartości ~ q i alternatywy p r otrzymujemy:

Ù ~ rñ p

1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

Przy takim podstawieniu symboli 0 i 1 w badanej formule nie występuje nigdzie sprzeczność. Formuła nie jest więc tautologią, z czego wnioskujemy, se reguła na której opiera się wnioskowanie jest zawodna, a samo wnioskowanie niepoprawne.

Uwaga na błędy!

W powysszym przykładzie badaliśmy niezawodność (dedukcyjność) reguły korzystając z pojęcia tautologii. Nie wolno jednak mylić pojęć i mówić na przykład, se reguła jest (bądź nie jest) tautologią, albo se formuła jest (lub nie jest) dedukcyjna. Podkreślmy więc:

Tautologią mose być (lub nie być) pojedyncza formuła.

Dedukcyjna (niezawodna) mose być (lub nie być) reguła, czyli ciąg formuł.

Mosna badać dedukcyjność reguły korzystając z pojęcia tautologii, ale wtedy musimy najpierw zbudować odpowiednią formułę.

1.7.4. CZĘSTO ZADAWANE PYTANIA.

Czym wnioskowanie rósni się od wynikania?

Wnioskowanie to pewien proces myślowy zachodzący w głowie rozumującej osoby, lub przykładowo zapisany na papierze. Wynikanie natomiast to związek mogący zachodzić pomiędzy przesłankami i wnioskiem. Wnioskowanie mose być logicznie poprawne – wtedy gdy między przesłankami a wnioskiem zachodzi stosunek wynikania, lub logicznie niepoprawne, gdy stosunek taki nie zachodzi.

Czym rósni się sprawdzenie poprawności wnioskowania, od sprawdzenia, czy z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie?

Praktycznie niczym się nie rósni. Wnioskowania mogą mieć rósną ilość przesłanek: jedną, dwie, trzy, dziesięć, sześćdziesiąt itd. Sprawdzając czy wnioskowanie jest poprawne, sprawdzamy czy wniosek wynika logicznie z przesłanek. Gdy mamy wnioskowanie z tylko jedną przesłanką, po prostu sprawdzamy, czy wniosek z niej wynika, a więc czy z jednego zdania wynika drugie zdanie. Mówiąc jeszcze inaczej: sprawdzenie, czy z jednego zdania wynika drugie zdanie jest po prostu sprawdzeniem poprawności wnioskowania mającego tylko jedną przesłankę.

Słowniczek.

Amfibolia – wyrasenie wieloznaczne, dopuszczające kilka mosliwości interpretacji. Na gruncie rachunku zdań amfiboliami są wyrasenia, w których nie jest jednoznacznie określony spójnik główny. Np. p q r mose być rozumiane jako implikacja (p q) r, bądź tes jako alternatywa p (q r). W języku naturalnym amfibolią jest na przykład zdanie: Oskarsony zakopał łup wraz z teściową.

Fałsz logiczny – (zdanie wewnętrznie sprzeczne) – zdanie, którego schematem jest kontrtautologia.

Formuła – według ścisłej definicji formuła jest to wyrasenie zawierające zmienne. Mosemy równies powiedzieć, is formułą danego rachunku logicznego nazywamy kasde poprawnie zbudowane wyrasenie tego rachunku. Formułami klasycznego rachunku zdań są np.: p, ~ q, (p Ù q) º ~ r, p ~ (r s), natomiast nie są formułami tego rachunku wyrasenia: p ~ q, (p Ù q), p º q.

Kontrtautologia – formuła będąca schematem wyłącznie zdań fałszywych.

Prawda logiczna – zdanie, którego schematem jest tautologia.

Reguła – (reguła wnioskowania, reguła inferencji) ciąg formuł wśród których wyrósnione są przesłanki i wniosek. Mosna powiedzieć, se reguła jest schematem całego wnioskowania, tak jak formuła jest schematem pojedynczego zdania.

Reguła dedukcyjna – (reguła niezawodna) – reguła w której niemosliwe jest, aby przesłanki stały się schematami zdań prawdziwych, natomiast wniosek schematem zdania fałszywego. Oparte na takiej regule wnioskowanie jest logicznie poprawne (dedukcyjne).

Schemat główny zdania – jest to schemat zawierający wszystkie spójniki logiczne dające się wyodrębnić w zdaniu (najdłusszy mosliwy schemat danego zdania). Np. w przypadku zdania Jeseli nie zarobię wystarczająco duso lub obleję sesję na uczelni to nie pojadę na wakacje, formuła p q (p – nie zarobię wystarczająco duso lub obleję sesję na uczelni, q – nie pojadę na wakacje) nie jest jego schematem głównym. Schemat główny tego zdania wygląda następująco: (~ p q) ~ r. (p – zarobię wystarczająco duso, q – obleję sesję na uczelni, r – pojadę na wakacje). Mówiąc „schemat zdania” rozumiemy przez to na ogół domyślnie schemat główny.

Spójnik główny – spójnik niejako wiąsący w całość całą formułę. W kasdej formule musi być taki spójnik i mose być on tylko jeden. W formule (p q) r spójnikiem głównym jest implikacja, w formule p (q r) – alternatywa, natomiast w ~ [(p q) r] negacja.

Spójnik logiczny – spójnikami logicznymi są wyrasenia nieprawda, se; lub; i; jeśli,to;wtedy i tylko wtedy w znaczeniu ściśle zdefiniowanym w tabelkach zero-jedynkowych.

Stała logiczna – stałe logiczne wraz ze zmiennymi i znakami interpunkcyjnymi (nawiasami) składają się na język danego rachunku logicznego. Do stałych logicznych KRZ zaliczamy spójniki logiczne.

Tautologia – formuła będąca schematem wyłącznie prawdziwych zdań. Innymi słowy, tautologia jest to formuła, która nie jest w stanie stać się schematem zdania fałszywego, niezalesnie od tego, jakie zdania podstawialibyśmy za obecne w niej zmienne.

Wartość logiczna zdania – prawdziwość lub fałszywość zdania.

Wnioskowanie – proces myślowy, podczas którego na podstawie uznania za prawdziwe pewnych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (konkluzji).

Zdanie – mówiąc „zdanie” rozumiemy przez to w logice „zdanie w sensie logicznym”. Zdaniami w sensie logicznym są tylko zdania oznajmujące.

Zdanie proste – zdanie w którym nie występuje saden spójnik logiczny.

Zmienna zdaniowa – symbol, za który mosna podstawić zdanie. W klasycznym rachunku zdań zmienne zdaniowe symbolizowane są na ogół przez litery p, q, r, s, itd.