Problematyka obliczeniowa poziomych osnów szczegółowych III klasy oraz osnów pomiarowych w układzie 2000

Problematyka obliczeniowa poziomych osnów szczegółowych III klasy oraz osnów pomiarowych w układzie 2000

Problematyka transformacji osnów do nowych układów współrzędnych [c.d.]

Korekty lokalne

Jak wiadomo, korekta lokalna stanowi finalny etap transformacji współrzędnych pomiędzy układem „1965” lub lokalnym, a układem „2000” lub innym, związanym z nowym systemem odniesień przestrzennych, np. „1992”.

Celem korekty lokalnej jest mosliwie optymalne wpasowanie transformowanych współrzędnych w lokalny układ odniesienia „2000” („1992”), reprezentowany współrzędnymi punktów dostosowania (punkty posiadające współrzędne zarówno w układzie pierwotnym jak tes w układzie docelowym – wtórnym). Oczywiście, zadanie korekty lokalnej będzie mosliwe do wykonania tylko wtedy, gdy w zbiorze punktów transformowanych punkty takie istnieją, a ich liczba (n) nie jest mniejsza od pewnej liczby minimalnej, zalesnej od:

- wyboru modelu matematycznego korekty,

wymaganych warunków technicznej poprawności zadania.

Biorąc pod uwagę typowy model korekty lokalnej opartej na transformacji HELMERTA i poprawkach HAUSBRANDTA (por. Wytyczne Techniczne G-1.10) mosna powiedzieć, se matematyczne minimum stanowią jus n=2 punkty dostosowania (4 dane współrzędne przy 4 parametrach wyznaczanych transformacji), ale – ze względu na brak kontroli – to nie wystarcza do spełnienia warunków technicznej poprawności zadania. Mosna powiedzieć, se „minimalny” układ punktów dostosowania, który mose spełniać warunek technicznej poprawności, to układ 3 punktów dostosowania (z 1 punktem kontrolnym). Kompletne warunki technicznej poprawności układu punktów dostosowania zalesą od liczebności punktów transformowanych i ich rozkładu powierzchniowego. Szczegóły w tym względzie zawierają zapisy Wytycznych Technicznych G-1.10.

Przypomnijmy podstawowe wzory analityczne transformacji HELMERTA i poprawek HAUSBRANDTA, które w sumie stanowią model analityczny korekty lokalnej:

Transformacja HELMERTA

W pierwszym etapie wyznaczamy współczynniki transformacji w oparciu o współrzędne punktów dostosowania ( cznych). Oznaczmy , dane zbiory współrzędnych tych punktów w odpowiednich układach: pierwotnym i aktualnym. Obliczamy najpierw współrzędne środków cięskości zbiorów punktów w obu układach i dokonujemy odpowiedniego centrowania wsp rz dnych:

x_o = (S x_i )/n , y_o = (S y_i )/n , X_o = (S X_i )/n , Y_o = (S Y_i )/n 

x_i = x_i x_o , y_i = y_i y_o , X_i = X_i X_o , Y_i = Y_i Y_o (11.1)

(dla wszystkich i = 1,2, , n),

a następnie współczynniki transformacji:

C = W₁ / W , S = W₂ / W , (11.2)

gdzie (parametry pomocnicze) :

W = S ( x_i² + y_i² ),

i=1 n

W₁ = S ( X_i x_i + Y_i y_i

i=1n

W₂ = S ( X_i y_i Y_i x_i

i=1n

Formuły transformacji HELMERTA mają finalnie postać (przekształcenie współrzędnych z układu pierwotnego do wtórnego):

X’ = X_o + C x + S y

Y’ = Y_o + C y S x

gdzie: x = x x_o , y = y y_o - współrzedne pierwotne po scentrowaniu.

x, y współrzędne punktu w układzie pierwotnym, X’, Y’ współrzędne punktu po transformacji (w układzie wtórnym). Dla wszystkich punktów dostosowania obliczamy stosowne odchy ki wsp rz dnych (poprawki do wsp rz dnych z transformacji):

V_xi = X_i X_i‘ , V_yi = Y_i Y_i’ (11.4)

(i - wskaźnik punktu dostosowania), a w oparciu o nie bł d transformacji jako redniokwadratow odchy k wypadkow punktu

m_t = [ S (V_xi² + V_yi²) / f ]^1/2 (11.5)

przy czym przyjmujemy f = n (zamiast f = n 2 ) uznaj c, se parametr m_t jest tylko umown miar jako ci dopasowania (w uj ciu stochastycznym parametr ten by by wprawdzie pewnym oszacowaniem b du po osenia punktu, ale ocena taka nie jest dostatecznie wiarygodna, gdys opisane zadanie zak ada uproszczony model stochastyczny dla wielko ci, kt re nie s bezpo rednimi obserwacjami, a ponadto nadwymiarowo uk adu będzie w praktyce na og istotnie ograniczona). Niezalesnie od powysszych w tpliwo ci, odchyłki i błąd transformacji są podstawą do jakiej oceny poprawności współrzędnych punktów dostosowania w danej klasie sieci. Współczynniki transformacji C, S mają następującą interpretację:

C = m cos a), S = m sin a

gdzie:

m = (C² + S²)^1/2 współczynnik zmiany skali przekształcenia

a kąt skręcenia osi układu współrzędnych.

Poprawki Hausbrandta

W wyniku zastosowania wzor w (11.3) wszystkie punkty dostosowania otrzymaj nowe wsp rz dne, kt re nie musz się pokrywa z istniej cymi jus wsp rz dnymi katalogowymi tych punkt w w układzie „2000” („1992”). R snice okre lone wzorami (11.4) s odchy kami transformacji. Idea poprawek (korekt post-transformacyjnych) HAUSBRANDTA zmierza do wyzerowania odchyłek na punktach dostosowania, przy równoczesnej ich dystrybucji (interpolacji) na wszystkie punkty transformowane. W ujęciu analogowym mosemy wyobrazić sobie, se „elastyczna” płaszczyzna z punktami transformowanymi podlega pewnego rodzaju lokalnym rozciąganiom lub kurczeniom, w celu uzyskania wspomnianego efektu zerowych odchyłek na punktach dostosowania. W wyniku tego, kasdy z punktów transformowanych „doznaje” równies pewnych przesunięć. Poprawki dla współrzędnych dowolnego i-tego punktu transformowanego wylicza się jako średnią wasoną z poprawek na wszystkich punktach dostosowania:

S [ V_xk (1/ d_{i k} ² ) ] S [ V_{y k} (1/ d_{i k} ² ) ]

v_{x i} = ----- ----- ------------- , v_{y i} = ----- ----- ----------- (11.6)

S (1/ d_{i k} ² )  S (1/ d_{i k} ² ) 

(sumowania po k = 1, 2, , n; k wskaźnik punktu dostosowania, n – liczba punktów dostosowania)

gdzie wagi są odwrotnościami kwadratów odległości danego punktu o wskaźniku i (w zbiorze wszystkich punktów transformowanych) od punktu dostosowania o wskaźniku k (w zbiorze punktów dostosowania). Ilustruje to przykładowo rys. 11.1. Długości d_{i j} obliczamy na podstawie współrzędnych pierwotnych. Kasdy z punktów transformowanych otrzymuje indywidualne wartości poprawek (dla kasdego punktu wystepuje indywidualny zbiór n odległości od punktów dostosowania, a tym samym – indywidualny zestaw wag). Wielkości poprawek (11.6) dodajemy do współrzędnych po transformacji, czyli do wsp rz dnych wyznaczonych przy pomocy wzor w (11.3).

Rys. 11.1. Ilustracja do zadania korekty Hausbrandta.

Z postaci wzorów na korekty HAUSBRANDTA wynika, se wartości odpowiednich poprawek są kształtowane głównie przez odchyłki na punktach dostosowania połosonych najblisej punktu transformowanego (wagi dla tych punktów są największe).

Korekty lokalne bez wcześniejszego usycia korekty globalnej jako podejście alternatywne.

Cytowane Wytyczne Techniczne G-1.10 „traktują” korektę lokalną jako jedyne narzędzie poprawiania transformacji matematycznej xy65 => xy2000 (koncepcja tzw. korekty globalnej została zrealizowana jus po ukazaniu się tych wytycznych). Określają zatem algorytm transformacji w formie następujących przekształceń:

xy65’ è xy2000’ è xy2000

(transf. Matematyczna) (korekta lokalna)

Przy zastosowaniu zarówno korekty globalnej jak i lokalnej algorytm transformacji ma postać:

Xy65’ è xy65 è xy2000’’ è xy2000

(korekta globalna) (transf. Matematyczna) (korekta lokalna)

Rósnice pomiędzy powysszymi algorytmami mogą mieć wymierne znaczenie jakościowe. Współrzędne xy2000’ (uzyskane bez korekty globalnej) są na ogół obarczone istotnym błędem systematycznym, pochodzącym z układu „1965” . Efekt ich „poprawienia” samą korektą lokalną mose być ograniczony przez model transformacji HELMERTA (warunek liniowości), nie uwzględniający ewentualnej nieliniowej części deformacji strefy układu „1965”

(to zalesy oczywiście od wielkości obszaru zawierającego punkty transformowane). Algorytm (11.8) , uwzględniający na początku korektę globalną prowadzi do współrzędnych xy2000” , bliskich ostatecznemu rozwiązaniu (w sensie poczynionych wcześniej analiz), nie posiadających jus istotnego komponentu błędu systematycznego.

Przykłady transformacji osnów III klasy z obszaru powiatu ciechanowskiego

Rys. 11.2 ilustruje powierzchniowy rozkład punktów I+Is+II klasy, przyjętych jako zbiór punktów dostosowania do transformacji osnowy III klasy powiatu ciechanowskiego. W tle uwidoczniono równies układ arkuszy sekcyjnych 1:10000 (układu „1965”). Analogicznie, rys. 11.3 przedstawia powierzchniowy rozkład punktów transformowanych osnowy poziomej III klasy, obejmującej tes punkty poza granicami powiatu ale mieszczących się w polach arkuszy sekcyjnych 1:10000 na granicach powiatu. Układ punktów dostosowania obejmuje jednak obszar nieco większy, sięgający poza granice administracyjne powiatu, co najmniej na szerokość jednego arkusza. Wymagają tego względy poprawnej transformacji (por. Wytyczne Techniczne G-1.10). Liczba i gęstość punktów dostosowania umosliwiają w pełni poprawne wykonanie zadania, przy czym ze względu na wielkość obszaru, wykraczającego poza typowy obiekt pomiaru lub opracowania sieci geodezyjnej, do wykonania zadania zastosowano algorytm (11.8), tj. z uwzględnieniem korekty globalnej strefy 2 układu „1965”. Przeprowadzone testy alternatywne – według algorytmu (11.7), (bez usycia korekt globalnych) wykazały, se finalne poprawki HAUSBRANDTA przyjmują wtedy wartości przeciętnie większe, sugerując istnienie pewnych pozostałości błędu systematycznego.

ROZKŁAD PUNKTÓW DOSTOSOWANIA (klasy I + Is + II) DLA TRANSFORMACJI

2000/21. Liczba punktów dostosowania: 1418

Rys. 11.2

OBRAZ PUNKTÓW TRANSFORMOWANYCH – osnowy poziomej III klasy

Liczba punktów transformowanych: 6883

 

Rys.11.3

Wyciąg z protokołu wykonania korekty lokalnej (transformacji HELMERTA) dla osnowy poziomej III klasy powiatu ciechanowskiego:

       TRANSFORMACJA PŁASKA-KONFOREMNA  W SYSTEMIE    <GEONET_w>

 STOPIEŃ TRANSFORMACJI: 1

 CHARAKTERYSTYKA ZBIORÓW DANYCH:

 Liczba punktów zbioru pierwotnego = 8297

 Liczba punktów zbioru wtórnego    = 1422

 Liczba punktów łącznych(wspólnych)= 1418

 Rozciągłość obszaru zbioru punktów łącznych:

  Xmin = 5833197.29  Xmax = 5892700.46 [m]

  Ymin = 7435150.05  Ymax = 7506565.97 [m]

  Rmax =   39944.89 [m] (promień  maksymalny)

  Rsr. =   19391.01 [m] (' średniokwadratowy)

 PARAMETRY TRANSFORMACJI:

 s :=  2.50338654937161E-0005; 

 xs1:= 5858976.97272;  ys1:= 7472216.47131; 

 xs2:= 5858976.97147;  ys2:= 7472216.47346; 

a[0]:=  1.33966539815327E-0012;

  b[0]:=  1.15413084648390E-0012;

  a[1]:=  3.99458888054452E+0004;

b[1]:= -1.49043729445517E-0002;

  Sredniokwadratowe odchyłki współrzędnych:

   dxs =   0.0304 dys =   0.0258

 Ilość elementów nadwymiarowych układu  lu = 2832

 Błąd średni jednostkowy  (bład transformacji)   mo =   0.0282

Przykłady osnów poziomych wyrównanych metodą ścisłą w układzie „2000” lub „1992” (wykonawca: ALGORES-SOFT)

Powiat nowomiejski- pozioma osnowa III klasy

powstała z połaczenia obserwacji GPS z siecią Powiat gorlicki – nowoczesna osnowa pozioma III klasy

klasyczną. Wyrównanie w układzie „1992” oparta głównie o nowe obserwacje GPS. Wyrównanie

i transformowana matematycznie do układu „2000” sieci zintegrowanej w układzie „2000”. Przeciętnie Mp=0.012m

Liczba punktów sieci: 3406. Przec. Mp = 0.035m

Powiat sierpecki – pozioma osnowa III klasy (3952) punktów)  Powiat rzeszowski - osnowa pozioma III klasy (6546 punktów)

jako jednolita siec utworzona z obserwacji archiwalnych. jako sieć zintegrowana z sieci klasycznej i sieci wektorowej

Przeciętnie Mp = 0.028m, maksymalnie 0.08m  GPS, wyrównana w układzie „2000”. Przeciętny błąd

połosenia punktu Mp = 0.024m, max. 0.07m

Osnowa pomiarowa (ok. 24000 punktów), transformowana

do układu „2000” z usyciem optymalnych korekt globalnych

i lokalnych układu „1965”

Powiat miński – osnowa pozioma III klasy (9300 punktów) jako Powiat siedlecki – pozioma osnowa III klasy (9450 punktów)

sieć zintegrowana z obserwacji klasycznych i podsieci GPS jako sieć utworzona wyłącznie z obserwacji archiwalnych

Przeciętnie Mp = 0.037m, maksymalnie 0.10 m wyrównana ścisłe w układzie „2000”. Przeciętnie Mp = 0.038m

maksymalnie 0.10m

cdn.