Związek między stopami procentowymi dla różnych okresów

Związek między stopami procentowymi dla różnych okresów.

Oznaczenia:

r_N nominalna stopa procentowa [określana zazwyczaj w skali 1 roku (per annum tj. gdy jako n oznaczymy ilość lat to n=1), przy założeniu braku kapitalizacji odsetek w czasie tego okresu]; - określana często jako flat rate

r_E efektywna stopa procentowa [rzeczywista stopa procentowa uzyskiwana z danej inwestycji w danym okresie] - określana często jako APR - annual percentage rate

m częstotliwość kapitalizacji w okresie 1 roku

1.1

równanie to określa wartość efektywnej stopy procentowej w danym okresie, przy założeniu braku kapitalizacji odsetek w czasie tego okresu

np. dla r_N rocznej (n=1), w przypadku kapitalizacji półrocznej (m = 2):

2. Wpływ częstotliwości kapitalizacji na wartość rocznej efektywnej stopy procentowej.

Zakładając, że r_N odnosząca się do 1 roku (n=1) posiada stałą wartość, można prześledzić zmiany rocznej r_E przy zmieniającej się częstotliwości kapitalizacji (m).

Wyznaczając przyszłą wartość r_N i podstawiając wzór 1.1 otrzymujemy:

gdzie:  FV - wartość przyszła

PV - wartość bieżąca

Natomiast przyszła wartość r_E dla n=1 jest równa:

Wartość efektywnej rocznej stopy procentowej jako funkcji nominalnej stopy procentowej i częstotliwości kapitalizacji m jest równa:

1.2

Poniższe zestawienie ukazuje zmiany wartości efektywnej stopy procentowej dla  r_N = 10% p.a. oraz 30% p.a. zachodzące w wyniku zmian częstotliwości kapitalizacji.

Wraz ze wzrostem wartości nominalnej stopy procentowej wzrasta wpływ częstotliwości kapitalizacji na roczną efektywną stopę procentową.

Biorąc pod uwagę wartości z tabelki, dla r_N = 10% przejście od kapitalizacji rocznej (m= 1) do dziennej (m= 365), powoduje wzrost efektywnej stopy procentowej o 5,2%:

natomiast dla r_N = 30% wzrost ten jest wyższy i wynosi 16,57%:

Wartość rocznej r_E nie rośnie nieograniczenie, lecz zdąża do swojej wielkości maksymalnej:

gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego (jest równe 2,71828)

Wzór ten ukazuje, że im większa jest wartość nominalnej stopy procentowej, tym większa jest wrażliwość rocznej efektywnej stopy procentowej na częstotliwość kapitalizacji.

3. Kapitalizacja ciągła

Wracając do poprzednich obliczeń, możemy stwierdzić, że w przypadku wartości X zainwestowanej na n lat według rocznej nominalnej stopy procentowej r_N,  w zależności od częstotliwości kapitalizacji wartość końcową tej inwestycji można określić następującymi wyrażeniami:

kapitalizacja roczna (m=n=1)

kapitalizacja m-razy w ciągu roku (m>1)

kapitalizacja ciągła  (m→s

W przypadku gdy np. X=100, n=1, r_N = 10%, to w przypadku kapitalizacji ciągłej wartość końcowa inwestycji wynosi:

Wartość ta jest równa wartości końcowej inwestycji dla m=365; oznacza to, że w praktyce kapitalizacja ciągła może być uważana za ekwiwalent kapitalizacji dziennej.

Czyli:

kapitalizacja ciągła pewnej wartości według rocznej nominalnej stopy procentowej równej r_N przez n lat polega na pomnożeniu tej wartości przez

dyskontowanie ciągłe - pomnożenie tej wartości przez

4. Zamiana stopy procentowej kapitalizowanej w sposób ciągły  na stopę kapitalizowana m - razy w roku i odwrotnie.

Gdy: r₁- stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej

r - stopa procentowa przy kapitalizacji m-razy w roku

to:

[gdy y=lnx to x=e^y]

Gdy np. r₂ = 10%, m=2 to r₁= 9,76% p.a.

Gdy np. r₁ = 8%, przy zmianie kapitalizacji na m=4 r₂ wynosi 8,08% p.a.