Testy dla wartości oczekiwanej ( średniej)

Testy dla wartości oczekiwanej ( średniej)

W stołówce studenckiej przeprowadzono wyrywkową kontrolę masy porcji obiadowej mięsa, która nominalnie powinna wynosić 120g. Losowo wybrano, a następnie zważono 10 porcji, uzyskując następujące wyniki pomiarów ( w gramach): 122, 118, 115, 116, 123, 125, 116, 114, 120, 121. Na poziomie istotności α = 0,05 sprawdzić hipotezę, że studenci w badanej stołówce są żywieni zgodnie z recepturą. Zakłada się, że rozkład masy porcji mięsa w całej populacji jest rozkładem normalnym

Rozwiązanie:

Należy wyznaczyć średnią wagę porcji mięsa oraz odchylenie standardowe

stąd:

hipotezy:

Dla weryfikacji hipotezy zerowej korzystamy ze statystyki:

wartość statystyki:

poziom ufności: 1 - α = 0,95

z tablic rozkładu t Studenta

Weryfikacja:

ponieważ: , nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Testy na równość dwóch wartości przeciętnych

Zaistniało podejrzenie, że pierwsza z 2 obrabiarek pracujących na wydziale mechanicznym dostarcza elementy zawyżonej długości. Wybrano losowo i zmierzono 200 elementów wytworzonych na obrabiarce pierwszej i 100 elementów otrzymanych z drugiej obrabiarki. Po przeprowadzeniu obliczeń uzyskano:

Na poziomie α = 0,05 zweryfikować hipotezę, ze obie obrabiarki wytwarzają elementy o tej samej długości.

Rozwiązanie:

hipotezy:

wykorzystujemy statystykę u o wzorze:

wartość statystyki:

Weryfikacja:

ponieważ: , hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej

Testy dla wariancji

Pewnego dnia dokonano 15 pomiarów opóźnień pociągów kursujących do stacji Wrocław Główny; otrzymano w minutach: 20, 25, 48, 28, 42, 90, 12, 1, 4, 10, 5, 15, 2, 35, 8. Zakłada się, że czas opóźnień pociągów ma rozkład N(m, (X)). Sprawdzić na poziomie istotności α = 0,05 hipotezę, że wariancja opóźnień wynosi 400.

Rozwiązanie:

hipotezy:

wartości parametrów rozkładu z próby:

na podstawie tabelki:

dla weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystujemy statystykę chi kwadrat, daną wzorem:

Z tablic . Ponieważ zachodzi nierówność nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Chcąc polepszyć precyzję wnioskowania w zagadnieniu z poprzedniego przykładu zwiększono liczbę pomiarów do 120 – w ich wyniku ustalono na poziomie istotności

α = 0,01 ponownie sprawdzić hipotezę, ze wariancja opóźnień pociągów wynosi 400.

Rozwiązanie:

korzystamy ze statystyki

obliczając ze wzoru otrzymujemy:

by uzyskać wartość U_e

ponieważ hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej.

Test zgodności χ² ( chi kwadrat)

Wyłoniono próbę losową złożoną z 400 czteroosobowych, w których odnotowano roczne wydatki na turystykę i rekreację przypadające na członka rodziny. Na poziomie α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład wydatków na turystykę i rekreację jest rozkładem normalnym.

Rozwiązanie:

formułujemy hipotezę zerową oraz alternatywną:

Wyznaczamy wartość estymatorów z próby:

rozkład empiryczny porównujemy z rozkładem teoretycznym przez zastosowanie statystyki:

tablica pomocna przy wyliczeniu wartości statystyki

uwaga: każdy z przedziałów wydatków jest reprezentowany przez górną jego granicę

z tablicy rozkładu χ² odczytujemy krytyczną wartość:

ponieważ: nie ma podstaw do odrzucenie hipotezy zerowej.