Definicje funkcji trygonometrycznych, ich własności i wykresy

Definicje funkcji trygonometrycznych, ich własności i wykresy.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Niech będzie dany kąt ostry w trójkącie prostokątnym

przez a, b oznaczamy długości przyprostokątnych trójkąta c- długość przeciwprostokątnej.

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przyprostokątnej przyległej do kąta.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi.

Miara łukowa kąta.

Niech będzie dany kąt środkowy o mierze oparty na łuku .

Stosunek długości łuku na którym oparty jest kąt, do długości promienia okręgu jest stały.

Jest on miarą łukową kąta.

Jednostką miary łukowej kąta jest radian (rad).

Jest to kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu.

Oznaczmy długość łuku przez promień przez Wówczas:

.

Zatem oparty jest na łuku o długości

Dalej otrzymujemy

Kąt skierowany.

Kątem skierowanym nazywamy uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku.

Pierwszą z tych półprostych nazywamy początkowym ramieniem kąta skierowanego, a drugą –końcowym ramieniem tego kąta.

Jeseli kąt jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to ma on miarę dodatnią, jeśli zgodnie to ujemną.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego.

Dla dowolnego kąta skierowanego obieramy układ współrzędnych tak, aby wierzchołek kąta był początkiem układu współrzędnych, a początkowe ramię kąta pokrywało się z dodatnią półosią OX.

Na końcowym ramieniu kąta obieramy dowolny punkt P(x, y), oznaczamy

Wówczas:

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej.

Funkcją trygonometryczną zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję trygonometryczną kąta skierowanego, którego miara łukowa jest równa x.

Własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.

Własności funkcji:

-dziedzina:

-zbiór wartości

-funkcja nieparzysta

-funkcja okresowa o okresie podstawowym

-wykres:

Własności funkcji:

-dziedzina:

-zbiór wartości

-funkcja parzysta

-funkcja okresowa o okresie podstawowym

-wykres:

Własności funkcji:

-dziedzina

-zbiór wartości

-funkcja nieparzysta

-funkcja okresowa o okresie podstawowym

-wykres:

Własności funkcji

-dziedzina

-zbiór wartości

-funkcja nieparzysta

-funkcja okresowa o okresie podstawowym

-wykres:

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

Wzory redukcyjne

Przy pomocy wzorów redukcyjnych mosna wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta przy pomocy wartości funkcji trygonometrycznych kąta, którego miara