CATEGORII DOCUMENTE |
Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
ELEMENTY GEOMETRJI ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI
Def:
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych. R3 =
Uwaga:
Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby:
z
B . . A
y
. C
x
z
o y
x
z
b a
b
y
a
x
Def:
1. Mówimy se punkty A,B,C (wektory a, b ) są współliniowe, jeseli istnieje prosta, do której nalesą te punkty (w której zawarte są wektory)
A . B . C . a b
2. Mówimy se punkty A,B,C,D są współpłaszczyznowe (wektory a b c ) jeśli istnieje płaszczyzna, do której nalesą te punkty (wektory)
B . . C a
b
. A . D c
Def:
Działania na wektorach:
Niech wektor u = [x,y,z] w = [x1,y1,z1] v = [x2,y2,z2] oraz L I R
Sumę wektorów w i v określamy wzorem : w + v = [ x1+x2, y1+y2, z1+z2]
z
v +w
v
w
y
x
Rósnicę wektorów w i v określamy wzorem : w - v = [ x1-x2, y1-y2, z1-z2]
z
v
w
y
-v w - v
x
Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą L określamy wzorem: L * u = [L*x, L*y, L*z]
Def:
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x,y,z, przecinające się w jednym punkcie O które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz, proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami układu, a płaszczyzny Ozy, Oxz, Oyx nazywamy płaszczyznami układu współrzędnych.
Def: (Oriętacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zalesności od wzajemnego połosenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyrósniamy dwie jego oriętacje. z z
Układ Prawostronny lewostronny x
y
x y
Def:
Wektory i = [1,0,0] j = [0,1,0] k = [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio
Oś: Ox,, Oy, Oz
z
k
j
o y
i
x
Def:
Długość wektora v = [x,y,z] jest określona wzorem: IvI = x2+y2+z2
Przykład: Obliczyć długość wektora a = [-3,0,4]
A = (-3)2+02+42) = 5
Def:
Niech u, v będą dowolnymi wektorami w R3 to iloczyn skalarny tych wektorów określamy wzorem: u * v def= IuI * IvI * cosL
Gdzie L jest kątem między tymi wektorami
z u
L y v
x
Wzór skalarny: Niech u = [x1,y1,z1] oraz v = [x2,y2,z2] będą wektorami R3
u * v = x1*x2+y1*y2+z1*z2
cosL = u * v
IuI * IvI
Uwaga:
Wektory u i v są prostopadłe gdy u * v = 0
Def:
Iloczyn wektorowy
Niech u, v będą nie współliniowymi wektorami przestrzeni R3.
Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spełnia warunki:
1. Jest prostopadły do wektora u i v u w i v w (kierunek)
2. Jego długość jest równa IwI = IuI*IvI*sinL (długość)
gdzie L- kąt między tymi wektorami
Orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna
z orientacją układu współrzędnych Oxyz (zwrot).
Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u x v
z
u x v
v
u
Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego
b
a
Ia x bI = IaI * IbI * sinL
P = IaI x IbI - Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
P ½ ( a x b ) - Pole trójkąta zbudowanego na wektorach
Uwaga: i j k
a x b = x1 y1 z1
x2 y2 z2
Przykład Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów a = [-1,2,5] b =[2,0,-3]
i j k 2 5 -1 3 -1 2
a x b = -1 2 5 = i (-1)2 0 –3 + j*(-1)3 2 -3 + k*(-1)4 2 0 =
2 0 -3
= i (-6) – j(-7) + k(-4) = -6i + 7j – 4k = -6[1,0,0]+7[0,1,0]-4[0,0,1] =[-6,0,0]+[0,7,0]+[0,0,-4]
Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: A=(1,2,3) B=(0,-1,2) C=(0,4,0)
C
P = ½ IAB x ACI
A B
AB = [0-1,-1-2,2-3] = [-1,-3,-1] AC = [0-1,4-2,0-3] = [-1,2,-3]
i j k
AB x AC -1 –3 -1 = [11,-2,-5]
-1 2 -3
P = ½IAB x ACI = ½ 112,(-2)2,(-5)2 = ½
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 924
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved