CATEGORII DOCUMENTE |
Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
GRANICA FUNKCJI, CIÀGÙOÚÃ FUNKCJI
Zakùadamy, ýe funkcja f jest okreúlona w pewnym zbiorze A, majàcym punkt skupienia (w samym punkcie
funkcja moýe
byã okreúlona lub nie,
moýe byã
liczbà rzeczywistà lub
). Mówimy, ýe funkcja
f posiada w punkcie
granicæ g (co zapisujemy
) – (g moýe
byã skoñczona lub nie) – jeýeli
Mówimy, ýe funkcja f posiada w punkcie granicæ prawostronnà
(lewostronnà) g (co zapisujemy
) – g moýe
byã skoñczona lub nie – jeýeli
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)]
Sàsiedztwem punktu nazywamy otoczenie
punktu
, z którego usuniæto punkt
- czyli zbiór
. Sàsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu
nazywamy
przedziaù
. W twierdzeniach, dotyczàcych granic funkcji
w punkcie
wystarczy
zakùadaã, ýe funkcja jest okreúlona w odpowiednim
sàsiedztwie punktu
.
Tw. 1 Funkcja f posiada w punkcie granicæ g wtedy i tylko wtedy, gdy istniejà
w tym punkcie obie granice jednostronne i sà one równe.
Tw. 2 Granica funkcji f
w punkcie jest wyznaczona
jednoznacznie (oczywiúcie o ile istnieje).
Tw. 3 Jeýeli istnieje ciàg , zbieýny do
, taki, ýe ciàg
nie ma granicy (ani
skoñczonej, ani nieskoñczonej), to funkcja f nie ma w punkcie
granicy. Podobnie,
jeúli istniejà dwa ciàgi
, takie, ýe ciàgi
sà zbieýne
do róýnych granic, to funkcja f nie ma granicy w punkcie
.
Bezpoúrednio z twierdzeñ dotyczàcych granic ciàgów liczbowych wynikajà analogiczne twierdzenia dla granic funkcji:
Tw. 4 Jeýeli funkcje f i g,
okreúlone na zbiorze A,
majà w punkcie (skoñczonym lub
nie) granice skoñczone a i b, to ich suma, róýnica i iloczyn
posiadajà w punkcie
granice oraz
Jeýeli dodatkowo , to istnieje granica ilorazu tych funkcji w punkcie
oraz
.
Tw. 5 (o trzech funkcjach) Jeýeli funkcje f, g, h okreúlone w
pewnym sàsiedztwie punktu , speùniajà w tym sàsiedztwie nierównoúci
oraz
, to istnieje granica funkcji g w punkcie
i zachodzi
równoúã
Podobnie, jak w przypadku ciàgów, mamy w pewnych przypadkach do czynienia z symbolami nieoznaczonymi –
i sà one takie same, jak w przypadku ciàgów. I tak np. przez
symbol nieoznaczony w punkcie
rozumiemy
potægæ
, gdzie
Tw. 6 Jeýeli funkcja f jest okreúlona w pewnym sàsiedztwie
punktu oraz
, to
Zaùóýmy teraz, ýe funkcja jest okreúlona na
zbiorze A oraz ýe
. Mówimy, ýe funkcja f
jest
ciàgùa w punkcie
, jeýeli speùnia warunek
Jeýeli funkcja jest ciàgùa w kaýdym punkcie dziedziny, to nazywamy jà funkcjà ciàgùà.
W szczególnoúci:
Jeýeli funkcja
f jest okreúlona na zbiorze A oraz do zbioru A naleýy przedziaù (odpowiednio
), to mówimy, ýe funkcja f jest lewostronnie (prawostronnie) ciàgùa w punkcie
, jeýeli speùnia warunek
Tw. 7 Funkcja f okreúlona w pewnym otoczeniu punktu jest ciàgùa
w punkcie
wtedy i tylko wtedy,
gdy jest w tym punkcie lewo- i prawostronnie ciàgùa.
Tw. 8 Suma,
róýnica i iloczyn funkcji f i g ciàgùych w punkcie jest funkcjà
ciàgùà w punkcie
. Iloraz funkcji ciàgùych f /g jest funkcjà
ciàgùà w punkcie
, jeýeli
.
Tw. 9 Jeýeli funkcja f,
okreúlona w pewnym otoczeniu punktu , przyjmuje w punkcie
wartoúã
dodatnià (ujemnà), to istnieje otoczenie
, w którym funkcja f
przybiera wartoúci dodatnie (ujemne) – inaczej mówiàc – dla
kaýdego
speùniona jest
nierównoúã
.
Tw. 10 Wszystkie funkcje elementarne sà ciàgùe.
Do funkcji elementarnych zaliczamy: wielomiany, funkcje wymierne, potægowe, wykùadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne.
Tw. 11 (wùasnoúã Darboux) Funkcja f ciàgùa w przedziale
zawierajàcym punkty a i b przybiera kaýdà
wartoúã zawartà pomiædzy i
(tzn. dla kaýdego
naleýàcego
do przedziaùu o koñcach
i
istnieje taki
naleýàcy
do przedziaùu o koñcach a i
b, dla którego zachodzi
równoúã
. W szczególnoúci f
przybiera wartoúã 0,
jeýeli
.
Tw. 12 (Weierstrassa) Funkcja
ciàgùa w przedziale domkniætym i ograniczonym osiàga w tym
przedziale wartoúã najmniejszà i najwiækszà – tzn.
istniejà liczby
takie, ýe
oraz
Moýna wykazaã, ýe
jeýeli np. , gdzie a jest
liczbà dodatnià, zaú
, to niezaleýnie od postaci funkcji f,g
zawsze zachodzi równoúã
. Symbolicznie zapisujemy ten fakt w postaci „równoúci”
. W tej konwencji moýna ujàã wiele
uýytecznych twierdzeñ:
( oznacza, ýe funkcja dàýy do zera poprzez
wartoúci dodatnie albo - odpowiednio - ujemne)
FUNKCJA ODWROTNA I FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Zaùóýmy, ýe funkcja jest okreúlona i
róýnowartoúciowa na zbiorze A. Niech
B bædzie zbiorem wartoúci funkcji f. Jeýeli kaýdemu
przyporzàdkujemy
ten
, dla którego speùniona jest równoúã
(taki x istnieje tylko jeden, gdyý f jest róýnowartoúciowa), to
okreúlonà w ten sposób funkcjæ nazywamy funkcjà
odwrotnà do funkcji f i
oznaczamy
.
Dziedzinà funkcji jest zbiór B, a zbiorem jej wartoúci zbiór A.
Zauwaýmy, ýe zachodzi równowaýnoúã
Wykres funkcji odwrotnej jest identyczny z wykresem funkcji danej, bo
te same pary liczb speùniajà
oba równania. Jednakýe na wykresie dziedzina funkcji
jest
poùoýona na osi 0y, a zbiór
wartoúci na osi 0x. Jeýeli
w równaniu
zmienne x i y
przedstawimy ze sobà i funkcjæ odwrotnà zapiszemy w postaci
, to wykresy funkcji
oraz
majà dziedziny na
osi 0x i wobec tego ich wykresy
sà symetryczne wzglædem prostej
.
Wprost z definicji wynika, ýe
Zauwaýmy, ýe dla oraz dla liczb
zachodzi równowaýnoúã
, a wiæc funkcje logarytmiczna i wykùadnicza
przy tych samych podstawach sà odwrotne.
Funkcja nie jest
róýnowartoúciowa, wiæc nie istnieje do niej funkcja odwrotna.
Jest jednak róýnowartoúciowa w przedziaùach
oraz
. Ponadto
. Zatem funkcjà
odwrotnà do funkcji
, rozwaýanej w przedziale
jest funkcja
, zaú funkcjà odwrotnà do funkcji
, rozwaýanej w przedziale
jest funkcja
.
Funkcje trygonometryczne równieý nie sà róýnowartoúciowe, wiæc nie istniejà do nich funkcje odwrotne. Jednakýe istnieje nieskoñczenie wiele przedziaùów, w których sà one róýnowartoúciowe. Funkcjami cyklometrycznymi nazywamy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, rozwaýanych w podanych przedziaùach (i tylko w nich)
jest funkcjà
odwrotnà do funkcji
rozwaýanej w
przedziale
jest funkcjà
odwrotnà do funkcji
rozwaýanej w
przedziale
jest funkcjà
odwrotnà do funkcji
rozwaýanej w
przedziale
jest funkcjà
odwrotnà do funkcji
rozwaýanej w
przedziale
FUNKCJA ZÙOÝONA
Niech bædà dane trzy zbiory oraz dwie funkcje:
, odwzorowujàca zbiór A na zbiór B oraz
, odwzorowujàca zbiór B w zbiór C. Funkcjà
zùoýonà z funkcji f i g nazywamy funkcjæ okreúlonà
wzorem
.
Funkcja ta odwzorowuje zbiór A w zbiór C.
Z definicji funkcji odwrotnej i funkcji zùoýonej wynika, ýe jeýeli f jest funkcjà róýnowartoúciowà, odwzorowujàcà zbiór A na zbiór B, to prawdziwe sà równoúci:
dla
dla
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 980
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved