GRANICA FUNKCJI, CIÀGÙOÚÃ FUNKCJI

GRANICA FUNKCJI, CIÀGÙOÚÃ FUNKCJI

Zakùadamy, ýe funkcja f jest okreúlona w pewnym zbiorze A, majàcym punkt skupienia (w samym punkcie funkcja moýe byã okreúlona lub nie, moýe byã liczbà rzeczywistà lub ). Mówimy, ýe funkcja f posiada w  punkcie granicæ g (co zapisujemy ) – (g moýe byã skoñczona lub nie) – jeýeli

Mówimy, ýe funkcja f posiada w punkcie granicæ prawostronnà (lewostronnà) g (co zapisujemy ) – g moýe byã skoñczona lub nie – jeýeli

)()()

)()()]

Sàsiedztwem punktu nazywamy otoczenie punktu , z którego usuniæto punkt - czyli zbiór . Sàsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu nazywamy przedziaù . W twierdzeniach, dotyczàcych granic funkcji w punkcie wystarczy zakùadaã, ýe funkcja jest okreúlona w odpowiednim sàsiedztwie punktu .

Tw. 1 Funkcja f posiada w punkcie granicæ g wtedy i tylko wtedy, gdy istniejà w tym punkcie obie granice jednostronne i sà one równe.

Tw. 2 Granica funkcji f w punkcie jest wyznaczona jednoznacznie (oczywiúcie o ile istnieje).

Tw. 3 Jeýeli istnieje ciàg , zbieýny do , taki, ýe ciàg nie ma granicy (ani skoñczonej, ani nieskoñczonej), to funkcja f nie ma w punkcie granicy. Podobnie, jeúli istniejà dwa ciàgi , takie, ýe ciàgi sà zbieýne do róýnych granic, to funkcja f nie ma granicy w punkcie .

Bezpoúrednio z twierdzeñ dotyczàcych granic ciàgów liczbowych wynikajà analogiczne twierdzenia dla granic funkcji:

Tw. 4 Jeýeli funkcje f i g, okreúlone na zbiorze A, majà w punkcie (skoñczonym lub nie) granice skoñczone a i b, to ich suma, róýnica i iloczyn posiadajà w punkcie granice oraz

Jeýeli dodatkowo , to istnieje granica ilorazu tych funkcji w punkcie oraz .

Tw. 5 (o trzech funkcjach) Jeýeli funkcje f, g, h okreúlone w pewnym sàsiedztwie punktu , speùniajà w tym sàsiedztwie nierównoúci oraz , to istnieje granica funkcji g w punkcie i zachodzi równoúã

Podobnie, jak w przypadku ciàgów, mamy w pewnych przypadkach do czynienia z symbolami nieoznaczonymi – i sà one takie same, jak w przypadku ciàgów. I tak np. przez symbol nieoznaczony w punkcie rozumiemy potægæ , gdzie

Tw. 6 Jeýeli funkcja f jest okreúlona w pewnym sàsiedztwie punktu oraz , to

Zaùóýmy teraz, ýe funkcja jest okreúlona na zbiorze A oraz ýe . Mówimy, ýe funkcja f jest ciàgùa w punkcie , jeýeli speùnia warunek

Jeýeli funkcja jest ciàgùa w kaýdym punkcie dziedziny, to nazywamy jà funkcjà ciàgùà.

W szczególnoúci:

• jeýeli jest punktem izolowanym zbioru A, to funkcja f jest ciàgùa w tym punkcie – w szczególnoúci ciàg jest funkcjà ciàgùà.
• jeýeli jest punktem skupienia zbioru A, to funkcja f jest ciàgùa w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tym punkcie granica tej funkcji i jest równa wartoúci funkcji w tym punkcie:

Jeýeli funkcja f jest okreúlona na zbiorze A oraz do zbioru A naleýy przedziaù (odpowiednio ), to mówimy, ýe funkcja f jest lewostronnie (prawostronnie) ciàgùa w punkcie , jeýeli speùnia warunek

Tw. 7 Funkcja f okreúlona w pewnym otoczeniu punktu jest ciàgùa w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo- i prawostronnie ciàgùa.

Tw. 8 Suma, róýnica i iloczyn funkcji f i g ciàgùych w punkcie jest funkcjà ciàgùà w punkcie . Iloraz funkcji ciàgùych f /g jest funkcjà ciàgùà w punkcie , jeýeli .

Tw. 9 Jeýeli funkcja f, okreúlona w pewnym otoczeniu punktu , przyjmuje w punkcie wartoúã dodatnià (ujemnà), to istnieje otoczenie , w którym funkcja f przybiera wartoúci dodatnie (ujemne) – inaczej mówiàc – dla kaýdego speùniona jest nierównoúã .

Tw. 10 Wszystkie funkcje elementarne sà ciàgùe.

Do funkcji elementarnych zaliczamy: wielomiany, funkcje wymierne, potægowe, wykùadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne.

Tw. 11 (wùasnoúã Darboux) Funkcja f ciàgùa w przedziale zawierajàcym punkty a i b przybiera kaýdà wartoúã zawartà pomiædzy i (tzn. dla kaýdego naleýàcego do przedziaùu o koñcach i istnieje taki naleýàcy do przedziaùu o koñcach a i b, dla którego zachodzi równoúã . W szczególnoúci f przybiera wartoúã 0, jeýeli .

Tw. 12 (Weierstrassa) Funkcja ciàgùa w przedziale domkniætym i ograniczonym osiàga w tym przedziale wartoúã najmniejszà i najwiækszà – tzn. istniejà liczby takie, ýe

oraz

Moýna wykazaã, ýe jeýeli np. , gdzie a jest liczbà dodatnià, zaú , to niezaleýnie od postaci funkcji f,g zawsze zachodzi równoúã . Symbolicznie zapisujemy ten fakt w postaci „równoúci” . W tej konwencji moýna ujàã wiele uýytecznych twierdzeñ:

( oznacza, ýe funkcja dàýy do zera poprzez wartoúci dodatnie albo - odpowiednio - ujemne)

FUNKCJA ODWROTNA I FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE

Zaùóýmy, ýe funkcja jest okreúlona i róýnowartoúciowa na zbiorze A. Niech B bædzie zbiorem wartoúci funkcji f. Jeýeli kaýdemu przyporzàdkujemy ten , dla którego speùniona jest równoúã (taki x istnieje tylko jeden, gdyý f jest róýnowartoúciowa), to okreúlonà w ten sposób funkcjæ nazywamy funkcjà odwrotnà do funkcji f i oznaczamy .

Dziedzinà funkcji jest zbiór B, a zbiorem jej wartoúci zbiór A.

Zauwaýmy, ýe zachodzi równowaýnoúã

Wykres funkcji odwrotnej jest identyczny z wykresem funkcji danej, bo te same pary liczb speùniajà oba równania. Jednakýe na wykresie dziedzina funkcji jest poùoýona na osi 0y, a zbiór wartoúci na osi 0x. Jeýeli w równaniu zmienne x i y przedstawimy ze sobà i funkcjæ odwrotnà zapiszemy w postaci , to wykresy funkcji oraz majà dziedziny na osi 0x i wobec tego ich wykresy sà symetryczne wzglædem prostej .

Wprost z definicji wynika, ýe

Zauwaýmy, ýe dla oraz dla liczb zachodzi równowaýnoúã, a wiæc funkcje logarytmiczna i wykùadnicza przy tych samych podstawach sà odwrotne.

Funkcja nie jest róýnowartoúciowa, wiæc nie istnieje do niej funkcja odwrotna. Jest jednak róýnowartoúciowa w przedziaùach oraz . Ponadto . Zatem funkcjà odwrotnà do funkcji , rozwaýanej w przedziale jest funkcja , zaú funkcjà odwrotnà do funkcji , rozwaýanej w przedziale jest funkcja .

Funkcje trygonometryczne równieý nie sà róýnowartoúciowe, wiæc nie istniejà do nich funkcje odwrotne. Jednakýe istnieje nieskoñczenie wiele przedziaùów, w których sà one róýnowartoúciowe. Funkcjami cyklometrycznymi nazywamy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, rozwaýanych w podanych przedziaùach (i tylko w nich)

jest funkcjà odwrotnà do funkcji rozwaýanej w przedziale

jest funkcjà odwrotnà do funkcji rozwaýanej w przedziale

jest funkcjà odwrotnà do funkcji rozwaýanej w przedziale

jest funkcjà odwrotnà do funkcji rozwaýanej w przedziale

FUNKCJA ZÙOÝONA

Niech bædà dane trzy zbiory oraz dwie funkcje: , odwzorowujàca zbiór A na zbiór B oraz , odwzorowujàca zbiór B w zbiór C. Funkcjà zùoýonà z funkcji f i g nazywamy funkcjæ okreúlonà wzorem .

Funkcja ta odwzorowuje zbiór A w zbiór C.

Z definicji funkcji odwrotnej i funkcji zùoýonej wynika, ýe jeýeli f jest funkcjà róýnowartoúciowà, odwzorowujàcà zbiór A na zbiór B, to prawdziwe sà równoúci:

dla dla