GRANICA FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

GRANICA FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Zakładamy, że funkcja f jest określona w pewnym zbiorze A, mającym punkt skupienia (w samym punkcie funkcja może być określona lub nie, może być liczbą rzeczywistą lub ). Mówimy, że funkcja f posiada w  punkcie granicę g (co zapisujemy ) – (g może być skończona lub nie) – jeżeli

Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie granicę prawostronną (lewostronną) g (co zapisujemy ) – g może być skończona lub nie – jeżeli

)()()

)()()]

Sąsiedztwem punktu nazywamy otoczenie punktu , z którego usunięto punkt - czyli zbiór . Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu nazywamy przedział . W twierdzeniach, dotyczących granic funkcji w punkcie wystarczy zakładać, że funkcja jest określona w odpowiednim sąsiedztwie punktu .

Tw. 1 Funkcja f posiada w punkcie granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe.

Tw. 2 Granica funkcji f w punkcie jest wyznaczona jednoznacznie (oczywiście o ile istnieje).

Tw. 3 Jeżeli istnieje ciąg , zbieżny do , taki, że ciąg nie ma granicy (ani skończonej, ani nieskończonej), to funkcja f nie ma w punkcie granicy. Podobnie, jeśli istnieją dwa ciągi , takie, że ciągi są zbieżne do różnych granic, to funkcja f nie ma granicy w punkcie .

Bezpośrednio z twierdzeń dotyczących granic ciągów liczbowych wynikają analogiczne twierdzenia dla granic funkcji:

Tw. 4 Jeżeli funkcje f i g, określone na zbiorze A, mają w punkcie (skończonym lub nie) granice skończone a i b, to ich suma, różnica i iloczyn posiadają w punkcie granice oraz

Jeżeli dodatkowo , to istnieje granica ilorazu tych funkcji w punkcie oraz .

Tw. 5 (o trzech funkcjach) Jeżeli funkcje f, g, h określone w pewnym sąsiedztwie punktu , spełniają w tym sąsiedztwie nierówności oraz , to istnieje granica funkcji g w punkcie i zachodzi równość

Podobnie, jak w przypadku ciągów, mamy w pewnych przypadkach do czynienia z symbolami nieoznaczonymi – i są one takie same, jak w przypadku ciągów. I tak np. przez symbol nieoznaczony w punkcie rozumiemy potęgę , gdzie

Tw. 6 Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu oraz , to

Załóżmy teraz, że funkcja jest określona na zbiorze A oraz że . Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie , jeżeli spełnia warunek

Jeżeli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, to nazywamy ją funkcją ciągłą.

W szczególności:

• jeżeli jest punktem izolowanym zbioru A, to funkcja f jest ciągła w tym punkcie – w szczególności ciąg jest funkcją ciągłą.
• jeżeli jest punktem skupienia zbioru A, to funkcja f jest ciągła w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tym punkcie granica tej funkcji i jest równa wartości funkcji w tym punkcie:

Jeżeli funkcja f jest określona na zbiorze A oraz do zbioru A należy przedział (odpowiednio ), to mówimy, że funkcja f jest lewostronnie (prawostronnie) ciągła w punkcie , jeżeli spełnia warunek

Tw. 7 Funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo- i prawostronnie ciągła.

Tw. 8 Suma, różnica i iloczyn funkcji f i g ciągłych w punkcie jest funkcją ciągłą w punkcie . Iloraz funkcji ciągłych f /g jest funkcją ciągłą w punkcie , jeżeli .

Tw. 9 Jeżeli funkcja f, określona w pewnym otoczeniu punktu , przyjmuje w punkcie wartość dodatnią (ujemną), to istnieje otoczenie , w którym funkcja f przybiera wartości dodatnie (ujemne) – inaczej mówiąc – dla każdego spełniona jest nierówność .

Tw. 10 Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.

Do funkcji elementarnych zaliczamy: wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne.

Tw. 11 (własność Darboux) Funkcja f ciągła w przedziale zawierającym punkty a i b przybiera każdą wartość zawartą pomiędzy i (tzn. dla każdego należącego do przedziału o końcach i istnieje taki należący do przedziału o końcach a i b, dla którego zachodzi równość . W szczególności f przybiera wartość 0, jeżeli .

Tw. 12 (Weierstrassa) Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą – tzn. istnieją liczby takie, że

oraz

Można wykazać, że jeżeli np. , gdzie a jest liczbą dodatnią, zaś , to niezależnie od postaci funkcji f,g zawsze zachodzi równość . Symbolicznie zapisujemy ten fakt w postaci „równości” . W tej konwencji można ująć wiele użytecznych twierdzeń:

( oznacza, że funkcja dąży do zera poprzez wartości dodatnie albo - odpowiednio - ujemne)

FUNKCJA ODWROTNA I FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE

Załóżmy, że funkcja jest określona i różnowartościowa na zbiorze A. Niech B będzie zbiorem wartości funkcji f. Jeżeli każdemu przyporządkujemy ten , dla którego spełniona jest równość (taki x istnieje tylko jeden, gdyż f jest różnowartościowa), to określoną w ten sposób funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy .

Dziedziną funkcji jest zbiór B, a zbiorem jej wartości zbiór A.

Zauważmy, że zachodzi równoważność

Wykres funkcji odwrotnej jest identyczny z wykresem funkcji danej, bo te same pary liczb spełniają oba równania. Jednakże na wykresie dziedzina funkcji jest położona na osi 0y, a zbiór wartości na osi 0x. Jeżeli w równaniu zmienne x i y przedstawimy ze sobą i funkcję odwrotną zapiszemy w postaci , to wykresy funkcji oraz mają dziedziny na osi 0x i wobec tego ich wykresy są symetryczne względem prostej .

Wprost z definicji wynika, że

Zauważmy, że dla oraz dla liczb zachodzi równoważność, a więc funkcje logarytmiczna i wykładnicza przy tych samych podstawach są odwrotne.

Funkcja nie jest różnowartościowa, więc nie istnieje do niej funkcja odwrotna. Jest jednak różnowartościowa w przedziałach oraz . Ponadto . Zatem funkcją odwrotną do funkcji , rozważanej w przedziale jest funkcja , zaś funkcją odwrotną do funkcji , rozważanej w przedziale jest funkcja .

Funkcje trygonometryczne również nie są różnowartościowe, więc nie istnieją do nich funkcje odwrotne. Jednakże istnieje nieskończenie wiele przedziałów, w których są one różnowartościowe. Funkcjami cyklometrycznymi nazywamy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, rozważanych w podanych przedziałach (i tylko w nich)

jest funkcją odwrotną do funkcji rozważanej w przedziale

jest funkcją odwrotną do funkcji rozważanej w przedziale

jest funkcją odwrotną do funkcji rozważanej w przedziale

jest funkcją odwrotną do funkcji rozważanej w przedziale

FUNKCJA ZŁOŻONA

Niech będą dane trzy zbiory oraz dwie funkcje: , odwzorowująca zbiór A na zbiór B oraz , odwzorowująca zbiór B w zbiór C. Funkcją złożoną z funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem .

Funkcja ta odwzorowuje zbiór A w zbiór C.

Z definicji funkcji odwrotnej i funkcji złożonej wynika, że jeżeli f jest funkcją różnowartościową, odwzorowującą zbiór A na zbiór B, to prawdziwe są równości:

dla dla