LOGIKA

Czym się zajmuje logika

Logika jako nauka zajmuje się analizą języka i czynności badawczych ( rozumienie, definiowanie , w celu podania takich reguł posługiwania się językiem i wykonywanie owych czynności , które uczyniłyby tę działalność możliwie jak najbardziej skuteczną.

definicja logiki jako nauki

Logika ( gr. Logos znaczy m.in., myślenie , rozumowanie, język , czsem też słowo).

struktura logiki

logika formalna - która zajmuje się schematami rozumowań niezawodnych ( od prawdziwych przesłąnek , do prawdziwych wniosków)

semiotyka- opisuje język z punktu widzenia konstrukcji systemów formalnych oraz skuteczności posługiwania się nim do innych celów

metodologia nauk - ( czynności badawcze , twierdzenie , teorie z prakseologią. Żeby nauka istniała muszą być spełnione trzy warunki:

-przedmiot badawczy

metoda badania

zastosowanie praktyczne ( użyteczność)

przydatność

Czynności myślenia:

Myślenie jest czynnością obejmującą różnorodne procesy , jak planowanie, wnioskowanie , itp., Myślenie jest czynnością umysłową pozwalającą na przetwarzaniu informacji o przedmiotach i ich klasach. Operacji umysłowych nie jesteśmy w stanie zaobserwować , gdyż zawarte są one w wyodrębnionych spostrzeżeniach i pojęciach , np., uczeń ma ustalić zbiór punktów przestrzeni, wspólnych dla kuli i stożka wpisanego w kulę . W toku myślenia uczeń operuje wyobrażeniami w których zakodowane są informacje o bryłach i ich wzajemnych relacjach . W wyniku tych operacji wyciąga określone wnioski. Czynność myślenia jest łańcuchem operacji umysł za pomocą których przetwarzamy informacje czyli treści zakodowane w spostrz. Wyobrażeniach i pojęciach.

Struktura czynności myślenia:

Trzy elementarne składniki:

informacje - o świecie , które są materiałem myślenia

obserwacje - czyli elementarne transformacje umysłowe, za pomocą których przetwarzamy materiał myślenia

Reguły ( metody , taktyki , strategie) czyli to co wpływa na uporządkowanie kolejnych operacji i dzięki regułom łańcuch operacji ma prawidłowy charakter

Rola myślenia w rozwiązywaniu problemów

Problem jest rodzajem zadania , którego podmiot nie może rozwiązać za pomocą posiadanych wiadomości , umiejętności i nawyków

Fazy rozwiązywania problemów

Dostrzeganie problemu ( uświadomienie , że zasób posiadanej wiedzy nie wystarcza do osiągnięcia planowanego celu.

Analiza sytuacji problemowej ( badanie , rozbieżności między tym co jest dane , a tym co jest pożądane)

Wytwarzanie pomysłów rozwiązania ( faza produktywna , tworzenie nowych informacji, hipotez, metod działania - pojawianie się pomysłów , rozwiązania problemów)

Weryfikacja pomysłów ( sprawdzenie ich wartości, myślenie twórcze)

jak się uczyć logiki

Logiki nie można opanować w ciągu kilku dni, choćby ktoś poświęcał cały dzień na naukę : trzeba się jej uczyć przez dłuższy okres czasu, systematycznie, poświęcając codziennie choćby pół godziny . Logiki nie można się nauczyć czytając cały podręcznik od początku do końca dziesięć razy. Trzeba się uczyć rozdziałami i dopiero wtedy , gdy się wtedy opanuje materiał z danego rozdziału, można brać się do nauki następnych rozdziałów.

Aby sprawdzić czy materiał danego rozdziału został już w pełni opanowany, należy w odrębnym zeszycie starannie przerabiać zadania wskazane po danym rozdziale. Odpowiedzi należy formułować w postaci w pełni rozwiniętych zdań , a nie w postaci skróconej. Odpowiedź należy uzasadnić. Kto ma pewność że zrozumiał i nalezycie rozwiązał 80-90% zadań dotyczących danego rozdziału, ten może rozpoczynać studiowanie następnego rozdziału.

Aby mieć pożytek z nauki logiki trzeba nie tyle się uczyć pamięciowo definicji i praw logicznych, ale starać się je całkowicie i dokładnie rozumieć ; ten kto dobrze zrozumie co w danej kwestii chodzi , na pewni nie zapomni formułek , które same przez się nie są najważniejsze.

Aby skontrolować czy rozumie się jakieś pojęcie , trzeba przed rozpoczęciem nauki w danym dniu napisać , nie patrząc na książki , definicje pojęć , z którymi zapoznaliśmy się w dniu poprzednim. Po zapisaniu sobie definicji , należy je porównać z definicjami podanymi w podręczniku, zastanawiając się czy różnice są istotne czy nie

Stale należy sobie notować na osobnych kartach wszystkie nasuwające się niejasności lub wątpliwości i to możliwie w formie konkretnych pytań.

Najlepiej uczyć się logiki w zespołach 3-4 osobowych, które pracują w ten sposób, że po samodzielnym przestudiowaniu materiału i przerobieniu zadań przez członków zespołu spotykają się oni raz na tydzień lub raz na dwa tygodnie, aby wzajemnie przepytać się z przerobionych materiałów i omówić wątpliwości.

Poszczególne partie materiału należy przerabiać bezwzględnie w terminach wskazanych planem nauki, gdyż nadrabianie opóźnień może być z czasem bardzo trudne .

Przed zajęciami z logiki należy choćby pobieżnie przejrzeć następne rozdziały, gdyż ułatwi to w znacznym stopniu korzystanie z wykładu czy ćwiczeń. Opisane tu sposoby uczenia się logiki wymagają dużego wysiłku, zwłaszcza od samouków , ale bierne „obkuwanie się” logiki jest bezowocnym marnowaniem czasu

Język i jego podstawowe funkcje

Podstawy teorii komunikacji, czynności werbalne czyli mówienie, posługiwanie się określonym językiem należą do dominujących czynności ludzkich.

Czemu służy język?

Pełni funkcję komunikacyjną - służącą procesowi porozumiewania się wzajemnego ludzi. Proces porozumiewania się ludzi analizowany jest w teorii komunikacji, której matematyczny wykaz znajdujemy w tzw. Teorii informacji

Schemat procesu komunikowania się:

Językowa forma procesu komunikowania się :

Przekazywanie informacji od nadawcy do odbiorcy za pomocą kodu znanego nadawcy i odbiorcy oraz kanału którym przekaz jest przenoszony

Definicja języka:

Język to system znaków dźwiękowych syntaktycznych i semantycznych rządzących kombinacją tych znaków w akt mowy.

Zasób wyrazów , zwrotów i form określonych przez reguły gramatyczne jako narzędzie porozumiewania się przez członków jednego narodu społeczeństwa : mowa np. j. polski j. Angielski.

Reguły dotyczące:

Fonetyki- związany zgodny z wymową ; dźwiękowy, głoskowy

Syntatyki- dotyczącą składni teorii , składni logicznej

Semantyki- odnoszący się do znaczenia wyrazów

Poziomy struktury języka:

1. Fonemy - najmniejsze elemnety dźwiękowe ( w piśmie litery)

Morfemy - najmniejsze części znaczeniowe , znaczące ( wyrazy słowa)

Zdanie

znaki pierwotne

znaki pochodne

funkcje języka (syntaktyczna, semantyczna, pragmatyczna) –Jeśli reguły znaczeniowe jakiegoś języka nakazują odnosić jakieś poszczególne słowo czy wyrażenie złożone tego języka do określonego przedmioty , to mówimy , że słowo czy wyrażenie oznacza ten przedmiot w danym języku. Funkcja opisowa tzw zajmuje się wypowiedziami pewnego kształtu jako środkiem opisu, że tak a tak jest , a tak czy tak nie jest. Funkcję polegającą na wyrażaniu przez wypowiedzi naszych przeżyć różnego rodzaju nazywamy funkcją ekspresyjną tych wypowiedzi. Funkcja opisowa i funkcja ekspresyjna są o siebie w dużym stopniu niezależne

Rodzaje nazw i ich zakres - Nazwa - jest to wyraz albo wyrażenie które nadaje się na przedmiot lub orzecznik orzeczenia imiennego w zdaniu Ze względu na ilość wyrazów wchodzących w skład nazwy rozróżniamy nazwy proste , składająvce się z jednego tylko wyrazu i nazwy złożóne składające się z więcej jak jednego wyrazu

nazwy przedmiotowe i bezprzedmiotowe

nazwy relatywne i nierelatywne

nazwy zbiorowe i niezbiorowe- Nazwy , których desygnatami są nie poszczególne rzeczy lecz agregaty złożone z poszczególnych rzeczy nazywamy nazwami zbiorowymi ( kolektywnymi). Nie jest więc desygnatem nazwy zbiorowej ' miejska rada narodowa' ktoś kto jest desygnatem nazwy ' radny miejskiej rady narodowej' i odwrotnie. Co innego radny , a co innego rada. Czy jakaś nazwa jest nazwą zbiorową , czy nie to w pewnej mierze zależy od sposobu patrzenia na przedmioty oznaczone daną nazwą

stosunki między zakresami nazw - zakres nazwy - to klasa wszystkich desygnatów danej nazwy. A więc zakres nazwy ' student' to klasa wszystkich z osobna branych osób , zktórych każda jest studentem

Nazwy można dzielić;

Według ilości wyrazów składowych - na proste i złożone

Według tego, do czego się odnoszą - na konkretne i abstakcyjne

Według sposobu wskazywania desygnatów - na generalne i indywidualne

Według ilości desygnatów- na ogólne , jednostkowe i puste

Według struktury desygnatów - na zbiorowe i niezbiorowe

Do badania stosunków między zakresami nazw musimy wprowadzić pojęcie klasy uniwersalnej przedmiotów oraz klasy negatywnej w stosunku do jakiejś danej klasy. Klasa uniwersalna przedmiotów to klasa obejmującas wszelkie przedmioty na świecie. Jest to klasa odpowiadająca zakresowi nazw takich jak „ przedmiot” „ coś lub ktoś” „ cokolwiek”. Pozostała część klasy uniwersalnej czyli dopełnienie wydzielonego podzbioru do klasy uniwersalnej nazywamy klasą negatywną w stosunku do klasy uprzednio wydzielonej.

Stosunek zamienności zakresów: Istnieją przedmioty , które są jednocześnie desygnatami nazwy S i nazwy P, lecz nie ma takich desygnatów S, które nie byłyby desygnatami nazwy P i nie ma takich desygnatów nazwy P, które nie są S.

Stosunek podrzędności- zakresu nazwy S względem zakresu nazwy P:Istnieją przedmioty które są desygnatami i nazwy S i nazwy P nie ma takich przedmiotów , które byłyby S nie będąc zarazem P, ale są takie które są desygnatami P, coć nie są S np. S=wróbel , P=ptak.

Stosunek nadrzędności zakresu nazwy S względem zakresu nazwy Pistnieją przedmioty , które są desygnatami i nazwy S i nazwy P, prócz tego są przedmioty będące desygnatami nazwy S , które nie są desygnatami nazwy P, lecz nie ma takich , które byłyby desygnatami P nie będąc desygnatami S, np., S=lekarz, P, =chirurg

Stosunek krzyżowania się zakresów

Stosunek wykluczania się zakresów

Stosunek wykluczania się zakresów dwóch nazw może zachodzić w dwóch odmianach: może być albo stosunek sprzeczności , albo stosunek przeciwieństwa. O sprzeczności zakresów dwóch nazw mówimy wówczas , gdy mamy jakąś nazwę i nazwę w stosunku do do tej pierwszej negatywną np. „sędzia” i „ nie sędzia”. Taką parę nazw nazywamy sprzecznymi. Natomiast o przeciwieństwie zakresów dwóch nazw mówimy wówczas gdy nazwy te nie mają wspólnych desygnatów, a zakresy obu tych nazw łącznie nie tworzą klasy uniwersalnej. Przykładem pary nazw przeciwnych mogą być nazwy „słowik” i „osioł”. Przy ustalaniu stosunków między zakresami nazw niepustych nalezy zwrócić uwagę na:; Jeśli jakieś dwie nazwy są w danym języku dokładnie równoznaczne czyli są synonimami , jak np, ziemniak i kartofel to oczywiście mają dokładnie takie same zakresy, a więc zakresy te są zamienne, i dlatego nie można wnosić , że są to nazwy równoznaczne. Podrzędność czy nadrzędność zakresu jednej nazwy w stosunku do zakresu innej nie ma nic wspólnego z jakąś podrzędnością czy nadrzędnością merytoryczną przedmiotów pierwszego i drugiego rodzaju. Należy wyraźnie odróżnić stosunki między zakresami nazwy do stosunku między całością i częścią jakiegoś złożonego przedmiotu np. Zakres nazwy „koło od wozu” nie jest podrzędny w stosunku do zakresu nazwy „wóz”- bo to znaczyłoby , że każde koło od wozu jest wozem, a tylko niektóre wozy są kołami od wozu , co jest jaskrawym fałszem.

Funktory i relacje

funktory nazwotwórcze i zdaniotwórcze- Ze względu na to czy w wyniku powiązania wyrażeń składowych powstaje zdanie czy nazwa , rozróżniamy funktory zdaniotwórcze oraz funktory nazwotwórcze. Niektóre funktory , a mianowicie funktory funktotwórcze, wiążą prostsze funktory w ten sposób , że powstają funktory bardziej złożone.. Wyrazy czy wyrażenia , które są przez jakiś funktor wiązane w złożoną całość nazywamy argumentami tego funktora. W związku z czym wyróżniamy funktory mające jeden , dwa albo nawet więcej argumentów danego rodzaju. Dla łatwego odróżnienia rodzajów funktorów wprowadza się następujący sposób ich znakowania. Przyjmuje się , że litera z oznacza jakieś zdania , a litera n - jakieś nazwy. Charakterystykę funktora podaje się w tej postaci , że nad kreską zapisuje się przy pomocy odpowiedniej litery, co tworzy się przy pomocy danego funktora, a pod kreską - tyle razy pisze się odpowiednią literę , ile i jakiego rodzaju argumentów wymaga dany funktor, jeśli przy jego użyciu mamy utworzyć składną językowo całośc . Oto przykłady funktorów różnego rodzaju. Słowo 'zielony' jest funktorem nazwotwórczym od jednego argumentu nazwowego , co umownie zapisujemy jako funktor rodzaju n

-----

n. Wystarczy bowiem do słowa 'zielony' dołączyć jakąś jedną nazwę , aby powstała nazwa złożóna , np. ' zielony trawnik' czy ' zielony stół' czy ' zielona suknia' Słowo 'nad' jest funktorem nazwotwórczym od dwóch argumentów nazwowych n

--------

nn

Słowo ' śpi' jest funktorem zdaniotwórczym od jednego argumentu nazwowego z

-----

nn.

Należy bowiem dołączyć dwie nazwy: nazwę tego , kto ogląda i nazwę tego co jest oglądane, aby powstało odpowiednie zdanie, dorzeczne ' Jan ogląda kota' czy nieodrzeczne ( 'kamień ogląda westchnienie', ale w każdym razie składne , choć notorycznie fałaszywe jako że fałszem jest , że kamień cokolwiek ogląda , i to w dodatku ogląda westchnienie

rodzaje relacji

funkcje jako rodzaj relacji

Rachunek zdań

Zdaniem nazywamy w logice zdania orzekające , z których każde jest albo prawdziwe( ma wartość logiczną 1) albo fałszywe( ma wartość logiczną 0)

W sensie logicznym nie uważamy za zdanie np. ' napisz na tablicy liczbę 5, czy pierwiastek z tej liczby 2 jest liczbą wymierną)

Zdania orzekające:np. 6 jest liczbą parzystą zdanie prawdziwe '1'

3/2 jest większe od √2 ' zdanie fałszywe '0'

Skrótowo zdania oznaczamy literami r, s,t

Funktory - zwroty w logice

^ i lub,T- jeżeli to - wtedy i tylko wtedy ~ nieprawda że

zdania w sensie logicznym - jest to wyrażenie, które na gruncie reguł danego języka jednoznacznie stwierdza , że tak a tak jest albo że tak a tak nie jest, a co za tym idzie wyrażenie , o którym można trafnie powiedzieć , że jest fałszywe albo , że jest prawdziwe. Zdanie w sensie logicznym ma stwierdzić , że tak a tak jest albo też nie jest. Zatem nie będzie zdaniem w sensie logicznym wyrażenie ' Czy Marzena lubi logikę?', bo to wyrażenie niczego nie stwierdza, jest to zdanie w sensie gramatycznym , ale nie jest to zdanie w sensie logicznym. Zdaniem w sensie logicznym będzie natomiast tzw. Pytanie zawisłe : 'W grudniu 1989r zapytałam Marzenę , czy lubi logikę 'Zdanie w sensie logicznym ma stwierdzać jednoznacznie coś określonego. Co nazywamy zdaniem w sensie logicznym musi być wyrażeniem przynajmniej praktycznie biorąc jednoznacznym albo wypowiedzią , która może być różnie rozumiana , ale którą my bierzemy w jakimś jednym znaczeniu..

zdania proste i złożone- zdania złożone - komunikacja zdań ( iloczyn logiczny) w logice ( w języku) często występują zdania złożone , których zdania składowe połączone są spójnikiem 'i'

np. 3 jest dzielnikiem 9 i 12 . Komunikacja dwóch zdań jest prawdziwa gdy oba jej człony są prawdziwe

Alternatywa zdań - zdania złożone , w których zdania składowe są połączone spójnikiem 'LUB' nazywamy alternatywą zdań , zapisujemy to : ^ . Alternatywa zdań jest prawdziwa gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe

Implikacja - zdanie p T Q ( jeżeli p to q) nazywamy implikacją - jest prawdziwa w każdym przypadku z wyjątkiem , gdy poprzednik jest 1 , a następnik 0.

Zdaniem złożonym - nazywa się takie zdanie w obrębie którego występuje część będąca odrębnym zdaniem. Zdanie złożone składa się z funktora zdaniotwórczego uzupełnionego przez jeden czy dwa argumenty zdaniowe.

Natomiast zdanie, którego żadna część nie jest odrębnym zdaniem, w związku z czym nie występują w nim funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych nazywa się zdaniem prostym. Czyli zdaniem kategorycznym.

Odróżnianie zdań prostych cz złożonych w zależności od tego, czy zawierają one funktor zdaniotwórczy od argumentu czy argumentów zdaniowych okazuje się jednak często w odniesieniu do konkretnych zdań mowy potocznej kryterium budzącym wątpliwości. Rolę funktora zdaniotwórczego od argumentów zdaniowych spełniać może w praktyce np. ,. Zdania proste mogą być ujmowane bądź w schemat funkcji 'a jest b' bądź w schemat funkcji 'a spełnia f'.

Wśród zdań prostych wprowadzonych do struktury 'a jest b', w których słowo 'jest' występuje jako funktor dwuargumentowy należy wyróżnić dwa rodzaje. Są to z jednej strony zdania atomiczne - orzekajace że jakieś indywiduum x przynależy, albo nie przynależy do określonej klasy a. Z drugiej strony są to zdania subsumpcyjne - orzekające że jakaś klasa a w całości lub w części zawiera się lub nie w jakiejś klasie b.

Zdania złożone maja analizę struktury, która sprowadza się do analizy znaczenia różnego rodzaju spójników międzyzdaniowych - czyli funktorów zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych, funktorów służących do budowania zdań złożonych ze zdań prostszych.

związki logicznej sprzeczności

nagacja zdania- Odczytanie funktora negacji w mowie potocznej nie jest trudne . odpowiada mu zwrot ' Nie jest tak , że ' , 'Nieprawda że. Taką parę zdań , z których jedno jest negacją drugiego nazywamy parą zdań względem siebie sprzecznych. Parę zdań względem siebie sprzecznych będą więc np. tworzyć zdania: 'Ratusz poznański ma na szczycie orła' oraz ' Nie jest tak , że na szczycie ratusza poznańskiego jest orzeł'. Zdanie sprzeczne względem zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, i na odwrót. Zasada sprzeczności głosi , że dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą być oba prawdziwe.. Zasada wyłączonego środka głosi że dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą być oba fałszywe. Zasada podwójnego przeczenia głosi , że negacja negacji jakiegokolwiek zdania ma taką samą wartość logiczną jak to zdanie, które zostało podwójnie zanegowane. Te trzy podstawowe zasady są to zasady podstaowe zasady myślenia. W szczególności należy odróżnić parę zdań sprzecznych , z których jedno jest negacją drugiego, wobec czego jedno z nich jest prawdziwe , a jedno fałszywe , od pary zdań przeciwnych , to jest takich , iż prawdziwość któregokolwiek z nich przesądza o fałszywości drugiego zdania.

tautologia (prawa rachunku zdań)

Definicja: zdanie logiczne, które niezależnie od tego jakie wartości przyjmują pojedyncze zdania wchodzące w zakres tego zdania ma zawsze wartość logiczną 1 i nazywa się prawem logicznym lub tautologią.

kwantyfikatory ogólne i szczegółowe

Kwantyfikator ogólny - odnosi się do zmiennej lub do zmiennych występujących w danej funkcji. Kwantyfikator ogólny odnoszony do zmiennej X zapisuje się w postaci IIx albo ^x, (x).

Dla oznaczenia, że dana funkcja zdaniowa przy niektórych przynajmniej podstawieniach za daną zmienną zmienia się w zdanie prawdziwe używa się w logice znaku zwanego kwantyfikatorem szczegółowym w odniesieniu do danej zmiennej czy zmiennych. Kwantyfikator szczegółowy odnoszony do zmiennej x zapisuje się w postaci, albo vx.

Np. nie jest prawdą, że wszystko co kolorowe jest żółte, ale prawdą jest, że Sx: x jest kolorowe i x jest żółte. Zatem choć sama funkcja zdaniowa nie jest wypowiedzią o określonej wartości logicznej powstawać z niej mogą zdania prawdziwe, czy też zdania fałszywe i to w dwojaki sposób.

przez konkretyzację - czyli podstawienie odpowiednich wyrażeń na miejsce wszystkich występujących w danej funkcji zmiennych.

Przez kwantyfikację - czyli przez poprzedzenie tej funkcji kwantyfikatorem ogólnym, czy szczegółowym.

Kwantyfikatory używane są w logice w odniesieniu do zmiennych nazwowych, na miejsce których wpisywane być mają nazwy przedmiotów z określonej klasy przedmiotów wyznaczonej przez zapis pod znakiem kwantyfikatora wskazujący np. iż chodzi o wszelkie x, czy przynajmniej niektóre x z klasy.

Kwantyfikatory używamy również w odniesieniu do zmiennych zdaniowych na miejsce których wpisywane być mają zdania w sensie logicznym, a więc prawda albo fałsz, zależnie od tego, czy odnoszą się one do stanu rzeczy, który zachodzi czy nie zachodzi.

Istota dowodzenia- dowodzenie jest to czynność myślowa polegająca na tym , że uważając jakieś zdanie za wątpliwe , szukamy dlań racji wśród zdań poprzednio uznanych za prawdziwe , by z prawdziwości owej racji wnioskować o prawdziwości pierwszego zdania ( zdania dowodzonego, następstwa). Dowodzenie polega w końcowej jego fazie na przeprowadzeniu pewnego wnioskowania dedukcyjnego , zaplanowanego w określony sposób , a mianowicie wnioskowania, w którym chcemy - o ile nam się to uda stwierdzić to właśnie następstwo, które nas interesuje. Szcególną odmianą dowodzenia jest dowodzenie na wprost - w tym dowodzeniu wnioskujemy o prawdziwości zdań

działania prowadzące do stwierdzenia prawdziwości zdań

dowody rzeczowe

obserwacja i eksperyment – rozróżnić należy a) zwykłe , przypadkowe spostrzeżenia i 2) obserwację. Przy obserwacji dochodzimy do sądu , , który jest odpowiedzią na pewne pytanie , które sobie z góry postawiliśmy. Obserwacja jest to dochodzenie na podstawie rozmyślnego spostrzeżenia do sądów , które mają być odpowiedzią na pewne , w danej chwili stawiane sobie pytanie. Spostrzeżenia z góry zamierzone są zwykle pewniejsze, bo skupiając uwagę na pewnym przedmiocie spostrzegamy dokładniej niż wtedy , gdy uwaga nasza jest rozproszona.

Obserwacja może dotyczyć jakości oglądanego przedmiotu, lecz może być także obserwacją ilości ilości: może polegać na policzeniu pewnych przedmiotów lub ich pomiarze przy pomocy pewnych jednostek miary. Pomiar jest to taka obserwacja , w której przedmiotem obserwowanym przyporządkowujemy pewne liczby w ten sposób , że ze stosunków między liczbami możemy wnioskować o stosunkach między przedmiotami zmierzonymi.. Obserwacja może być dokonana także w ten sposób , iż staramy się wywołać jakieś zjawisko specjalnie po to , żeby je obserwować np. Wywołamy jakiś wybuch w kopalni doświadczalnej po to , żeby obserwować jego siłę. Zabieg ten nazywamy eksperymentem. Eksperyment jest to złożona czynność , która polega na tym , że wytwarzamy przedmiot czy zjawisko w tym celu, by je obserwować i tej obserwacji dokonujemy. Eksperymentowanie w dziedzinie zjawisk społecznych jest sparawą zbyt zawiłą.. Sta jesteśmy zmuszeni dawać wiarę temu , co mówią inni ludzie o wynikach ich spostrzeżeń . W takich jednak przyapdkach nie uzasadniamy twierdzeń bezpośrednio lecz w oparciu o wnioskowanie.

błędy rozumowania

wnioskowanie (reguły wnioskowania) wnioskowanie jest to proces myślowy polegający na tym , że ktoś przyjmując pewne zdanie lub kilka zdań za prawdziwe dochodzi na tej podstawie do przeświadczenia o prawdziwości innego zdania. Zdania od których zaczyna się wnioskowanie nazywamy przesłankami tego wnioskowania. Zdanie , które uznajemy za prawdziwe w rezultacie procesu wnioskowania nazywamy wnioskiem np. Przesłanką było by zdanie: ”Dziś jest sobota”, a wnioskiem byłoby zdanie „ Jutro jest niedziela” . Natomiast przemilczaną domyślną przesłankę czyjegoś wnioskowania nazywamy przesłanką entymematyczną. Wnioskowanie jest jest procesem myślowym , a więc zachodzi ono w pewnym okreśłonym momencie w czyjejś świadomości

RACJA }

NASTĘPSTWO } - zdania , które łączy obiektywny STOSUNEK WYNIKANIA

PRZESŁANKA WNIOSEK} zdania , z których pierwsze, uznane przez kogoś za prawdziwe , jest dla tej osoby podstawą uznania drugiego zdania za prawdziwe w akcie WNIOSKOWANIA Wnioskowanie , z którego przesłanek wynika logiczne jego wniosek nazywamy wnioskowaniem dedukcyjnym np. „ jeśli dziś jest tęgi mróz , to dziś jest lód na stawie, i dziś jest tęgi mróz – więc; dziś jest lód na stawie.We wnioskowaniu dedukcyjnym przesłanka czy koniunkcja przesłanek jest racją , a wniosek jest następstwem logicznie wynikającym z tej racji- wnioskowanie przebiega zgodnie z kierunkiem wynikania. Wnioskowanie dedukcyjne należy do wnioskowań niezawodnych. Takie wnioskowanie, w którym z wypowiedzianych przesłanek wniosek nie wynika logicznie, ale wynika on logicznie z koniunkcji przesłanek wypowiedzianych i pewnych przesłanek domyślnych, nazywamy wnioskowaniem dedukcyjnym entymematycznym

dowody wprost i nie wprost

indukcja

Zbiory. Rachunek zbiorów

pojęcie zbioru ( mnogość, rodzina , klasa lub przestrzeń)

1. Zbiór pusty f - nie zawiera elementów

A=

B= =

2. Zbiory

A - moc zbioru A

Definicja mocy zbioru - jeżeli zbiór jest skończony, to moc zbioru A równa się pewnej liczbie matematycznej n, która oznacza ilość elementów zbiorów.

Zbiór dla którego istnieje odwzorowanie różnowartościowe n na B ma moc a i nazywamy go zbiorem przeliczalnym Zbiór nieskończony dla którego taka funkcja nie istnieje różnowartościowa i na |N -> B| nazywamy nieprzeliczalnym i moc takiego zbioru oznaczamy C (continuum) C=a

A B - relacja inkluzji między zbiorem A i B

A=B - równość zbiorów

działania na zbiorach ( suma A B, iloczyn A∩, różnica AB)

A u B - suma zbiorów A i B

X I A u B <=> XIA lub XIB

Iloczyn zbioru - A B

XIB <=> XIA i XIB

A B = - zbiór A i zbiór B są rozłączne, nie mają wspólnych elementów

AB - różnica zbiorów A i B

XIAB<=>XIA i X B

pojęcia: inkluzja, podzbiór, dopełnienie zbioru

A' - dopełnienie zbioru A

X - przestrzeń

xIA'<=>xIX i x A

A'=XA

A' A=X

A' A=

X'=

A'=B'<=>A=B - jeżeli zbiry są równe to ich dopełnienia też są równe.

przedziały: otwarty, domknięty, lewostronne domknięty, prawostronnie domknięty

przykłady tautologii

Znaczenie logiki w biznesie

Logika nauka, która jest bazą do myślenia logicznego.

(gr. Logos) znaczy m. innymi: myślenie, rozumowanie, język. Logika jako nauka zajmuje się analizą języka i czynności badawczych. (rozumienie, definiowanie) w celu podania takich reguł posługiwania się językiem i wykonywania owych czynności, które uczyniłyby tę działalność możliwie jak najbardziej skuteczną.

Struktura logiki

1. Logika formalna, która zajmuje się schematami rozumowania, od prawdziwych przesłanek do prawdziwych wniosków.

2. Semiotyka – opisuje język z punktu widzenia konstrukcji systemów formalnych oraz skuteczności posługiwania się nim do innych celów.

3. Metodologia nauk (czynności badawcze, twierdzenia, teorie w powiązaniu z prakseologią).

Jakie elementy (warunki) muszą być spełnione aby powstała nauka?

- przedmiot badawczy (musi istnieć), - metoda badania (obserwacja, eksperyment, test) - zastosowanie praktyczne (przydatność)

czynności myślenia myślenie jest czynnością obejmującą różne procesy, jak: planowanie, przewidywanie, projektowanie, ocenianie, rozumowanie, wnioskowanie itp. Myślenie jest czynnością umysłową pozwalającą na przetwarzanie informacji o przedmiotach i ich klasach. Operacji umysłowych nie jesteśmy w stanie zaobserwować, gdyż zawarte są one w wyobrażeniach, spostrzeżeniach i pojęciach.

Np.: uczeń ma ustalić zbiór punktów przestrzeni wspólnych dla kuli i stożka wpisanego w tą kulę. W toku myślenia uczeń operuje wyobrażeniami, w których zakodowane są informacje o bryłach i ich wzajemnych relacjach. W wyniku tych operacji uczeń wyciąga określone wnioski. Czynność myślenia jest łańcuchem operacji umysłowych za pomocą, których przetwarzane informacje, czyli treści zakodowane w spostrzeżeniach, wyobrażeniach i pojęciach.

Struktura czynności myślenia.

Trzy elementarne składniki.

1. informacje o świecie, które są materiałem myślenia

2. operacje czyli elementarne transformacje umysłowe za pomocą, których przetwarzamy materiał myślenia.

3. Reguły (metody, taktyki, strategie) czyli to co wpływa na uporządkowanie kolejnych operacji. Dzięki regułom łańcuch operacji ma prawidłowy charakter.

Obliczyć pochodne funkcji:

y =x² / x-1 materiał + liczby (zmienne)

(x² )' (x-1) - x² (x-1)'/( x-1)² operacje (dodawanie, mnożenie, dzielenie)

reguły (wzór na pochodną i iloraz)

Definicja języka.

1. Język to system znaków dźwiękowych i określonych reguł fonetycznych, syntaktycznych i semantycznych rządzących kombinacją tych znaków w akty mowy.

2. Zasób wyrazów, zwrotów i form określonych przez reguły gramatyczne funkcjonujące jako narzędzie porozumiewania się członków jednego narodu, społeczeństwa – mowa np.: język polski, angielski.

Reguły dotyczące:

fonetyki – związany, zgodny z wymową, dźwiękowy, głoskowy.

syntaktyki – dotyczący składu teorii, składni logicznej.

semantyki – odnoszący się do znaczenia wyrazów.

Są dwie funkcje języka - porozumiewanie się i semantyczna (właściwa budowa zdań - logiczna)

Poziom struktury języka (język i jego funkcja w strukturze).

fonetyczny - najmniejsze elementy dźwiękowe (w piśmie litery)

morfemy – najmniejsze cząstki znaczeniowe (wyrazy, słowa)

zdania – język spełnia 2 funkcje: porozumiewania się, semantyka (nadaje kierunki prawidłowego budowania zdań i nadawania im logicznego myślenia.

Rachunek zdań

Zdaniem nazywamy w logice zdania orzekające, z których każde jest albo prawdziwe ( ma wartość logiczną 1, albo fałszywe ma wartość logiczną 0)

W sensie logicznym nie uważamy za zdania np.: napisz na tablicy nr 5

Czy pierwiastek z liczby 2 jest liczbą wymierną

Zdania orzekające:

6 jest liczbą parzystą – zdane prawdziwe 1

3/2 jest liczbą większą od 2 zdanie fałszywe 0

Skrótowo zdania oznaczamy literami: r,s,t

Funktory - zwroty w logice

~ 'nieprawda, że'

L i n lub

T jeżeli to

wtedy i tylko wtedy

Rola myślenia w rozwiązywaniu problemow.

Problem jest rodzajem zdania, którego podmiot nie może rozwiązać za pomocą posiadanych wiadomości, umiejętności i nawyków.

Fazy rozwiązywania problemów.

1. Dostrzeganie problemu (uświadamianie, że zasób posiadanej wiedzy wystarcza do osiągnięcia planowanego celu)

2. Analiza sytuacji problemu: (badanie rozbieżności między tym co jest dane a tym co jest pożądane.

3. Wykorzystanie pomysłów rozwiązania: faza produktywna, tworzenie nowych informacji, hipotez, metod działania, pojawienie się pomysłów rozwiązania problemów, weryfikacja problemów sprawdzenie ich wartości. np.: który ze stożków wpisany w kulę ma największą objętość.

Język i mowa.

Podstawy teorii komunikacji. Czynności werbalne czyli: mówienie, posługiwanie się określonym językiem należą do dominujących czynności ludzkich.

Czemu służy język

Pełni funkcję komunikacyjną służącą procesowi porozumiewania się wzajemnego ludzi.

Proces porozumiewania się ludzi jest w teorii komunikacji, której matematyczny wyraz znajdujemy w tzw. teorii informacji. Schemat procesu komunikowania się:

Nadawca – koder ----- kanał------dekoder – odbiorca

Szum

Językowa forma procesu komunikowania się. Przekazywanie informacji od nadawcy do odbiorcy za pomocą kodu znanego nadawcy i odbiorcy orz kanału, którym przekaz jest przenoszony.

Zdania złożone.

Koniunkcja zdań (iloczyn logiczny). W logice często występują zdania połączone ze sobą spójnikiem 'i' (Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy oba jej człony są prawdziwe)

Alternatywa zdań – dwa zdania połączone przez spójnik 'lub' Zapisujemy to: r V s (alternatywa zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe.

Impikacja (jeżeli p to q) Implikacja jest prawdziwa w każdym przypadku z wyjątkiem jednego gdy poprzednik jest 1 a następnik 0.

Znaki pierwotne.

Sfery działalności człowieka.

1. działania konsumpcyjne

2. działania produkcyjne (wytwórcze)

3. poznawcze

Poznanie bezpośrednie

To akty poznawcze, które są bezpośrednim efektem doznań myślowych i wyłącznie takich doznań.

Doznania pośrednie.

to akty poznania, w których obok przedmiotu poznawanego i przedmiotu poznającego istotną rolę odgrywa także element 3 – przedmiot pośredniczący w poznaniu np.: przyrządy pomiarowe. (instrumentalne, nieinstrumentalne).

We wszystkich aktach poznania nieinstrumentalnych muszą wystąpić jakieś znaki.

Rachunek zdań.

Prawa rachunku zdań.

Def.1. – zdanie postaci „nieprawda że p”, które zapisujemy ~ p nazywamy negacją p. Negacja ma następującą tabelkę wartości logicznej:

Def.2. Zdania typu koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności mają następujące tabelki wartości logicznych.

Def.3. Tautologią, czyli prawem rachunku zdań nazywamy taki schemat zdania złożonego, że każde zdanie utworzone wg. tego schematu jest prawdziwe, niezależnie od tego czy zdania z których jest zbudowane są prawdziwe czy fałszywe.

Twierdzenia.

1. Prawo podwójnego przeczenia.

~(~p) p

2. Prawo łączności koniunkcji.

[(p q) s] [p (q s)]

3. Prawo łączności alternatywy.

[(p v q) v s] [p v (q v s)]

4. Prawo przemienności koniunkcji.

(p q) (q p)

5. Prawo przemienności alternatywy.

(p v q) (q v p)

6. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji.

[(p q) v s] [(p v s) v (q s)]

7. Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy.

[(p v q) s] [(p s) v (q s)]

8. Pierwsze prawo De Morgana.

~ (p q) (~p ~q)

9. Drugie prawo De Morgana.

~ (p v q) (~p ~q)

10. Prawo sylogizmu warunkowego.

[p (T p Tq) (qT T (pTs) ?????

Wykazać słuszność I prawa de Morgana

a b

I prawo ~(p q) (~p ~q) zaprzeczenie koniunkcji możliwe jest alternatywne zaprzeczenie.

Przykład II

Udowodnić prawo zaprzeczenia implikacji metodą zerojedynkową. Rozpatrujemy 4 przypadki dla p i q.

Język i jego podstawowe funkcje.

Czym się różnią znaki pierwotne od znaków wtórnych ?

Znaki pierwotne posiadają logiczny charakter zdań, znaki wtórne pozbawione są takiego charakteru.

Co to jest znak ?

Znak to wszelki przedmiot lub zespól przedmiotów pośredniczących w sposób nieinstrumentalny pomiędzy podmiotem poznającym a przedmiotem poznawanym w określonym akcie poznania.

Podstawowe własności znaku to zdaniowość, przedmiotowość oraz relatywność. Każdy znak jest przedmiotem i tylko przedmioty mogą być znakami. Każdy znak musi być przedmiotem, ponieważ każdy znak musi być postrzeżony w bezpośrednim akcie poznania, a ludzie bezpośrednio mogą postrzegać tylko i wyłącznie przedmioty.

Relatywność znaku polega na tym, że dany przedmiot staje się znakiem (jest znakiem) tylko i wyłącznie dzięki temu, że uczestnicy w jakimś akcie poznania pośredniego nieinstrumentalnego jako element pośredniczący w tym poznaniu.

Rodzaje nazw i ich zakres

Nazwami są te i tylko te znaki wtórne, które w dowolnej wypowiedzi o schemacie A jest B występują bądź są na miejscu B.

Funktory tym się różnią od nazw, że nie mogą one, przy swym zwykłym znaczeniu występować w wypowiedziach o schemacie A jest B ani na miejscu A, ani na miejscu B.

Nazwy przedmiotowe są inaczej zwane nazwami oznaczającymi, zaś nazwy bezprzedmiotowe nazwami pustymi.

Nazwy puste (bezprzedmiotowe) nie desygnują (nie wskazują) żadnego elementu otaczającej nas rzeczywistości. Nazwa przedmiotowa desygnuje co najmniej jeden element otaczającej nas rzeczywistości.

Nazwami relatywnymi są te nazwy które zmuszają nas przy ustalaniu o konkretnych elementach otaczającej nas rzeczywistości czy są, czy nie są ich desygnatami, wychodzić w badaniu poza te przedmioty. Badania samych tych przedmiotów w izolacji od innych nie może dać podstawy do rozstrzygnięcia o nich czy są, czy też nie desygnatami tej nazwy.

Nazwy dzielimy na relatywne i nierelatywne ze względu na sposób ustalania o konkretnych przedmiotach tego czy są, czy nie są desygnatem danej nazwy. Jeżeli badanie konkretnego przedmiotu w izolacji pozwala rozstrzygnąć czy jest on czy nie jest desygnatem danej nazwy - to tą nazwę nazywamy nierelatywną W przeciwnym przypadku nazywamy ją relatywną.

Istotą nazw zbiorowych jest to, ze w ich znaczeniu występuje cecha zbiorowości.

Wyróżniamy siedem podstawowych stosunków zakresowych: pokrywania się zakresów(Warszawa - obecna stolica Polski; przedmiot - rzecz; słuchacz wyższej uczelni - student), dopełniania się zakresów (słuchacz wyższej uczelni - niestudent; człowiek - nieczłowiek; las - nielas) , podrzędności (student - człowiek; ssak - kręgowiec; fotel - mebel), przeciwieństwa (pies - kot; okulary - książka; człowiek - długopis), nadrzędności (kręgowiec - ssak; mebel - fotel; czlowiek - student), niezależności (urzędnik - sportowiec; słuchacz wyższej uczelni - nieblondyn; niestudent - niebrunet ) i podprzeciwieństwa (niepies - niekot; nieczłowiek - ssak;) oraz trzy zbiorcze stosunki zakresowe: zawieranie się zakresów, wykluczania się zakresów, krzyżowania się

zakresów.

Żadna nazwa jednostkowa nie może pozostawać do żadnej nazwy w stosunku nadrzędności. Nazwa jednostkowa nie może też pozostawać w stosunku krzyżowania się zakresów z żadną nazwą.

Nazwa powszechna ani nie może być podrzędna do żadnej nazwy ani nie może krzyżować się z zakresem żadnej nazwy.

Funktory i relacje

Funktory są to te znaki wtórne (pochodne), które w swoim zwykłym użyciu (nie w użyciu materialnym) nie mogą pełnić w zdaniu ani roli podmiotu ani orzecznika. Inaczej mówiąc w zdaniu o schemacie A jest B nie mogą występować ani na miejscu A ani na miejscu B. Są trzy rodzaje funktorów: nazwotwórcze, zdaniotwórcze, funktorotwórcze.

Funktorami zdaniotwórczymi nazywamy te funktory, które łącząc się z różnymi elementami językowymi tworzą wraz z nim zdania. Wśród funktorów zdaniotwórczych wyróżniamy dwie podstawowe klasy: funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych i od argumentów zdaniowych.(np. 'idzie' neoklasyka, anty powieść)

Funktory nazwotwórcze są to wszystkie i tylko te funktory, które łącząc się z nazwami lub ze zdaniami albo z funktorami tworzą nowe całości będące nowymi nazwami.

Funktory funktorotwórcze są takie słowa lub zwroty, które łącząc się z jakimiś znakami wtórnymi lub zdaniami tworzą z nimi nowe funktory zatem zwroty nie będące ani zdaniami ani nazwami (np. nie dba, radośnie wita)

Rodzaje relacji:

Relacje symetryczno - regularne - są to zatem takie relacje których zachodzenie pomiędzy x i y przesądza jednoznacznie to jak ma się y do x. (Jeżeli Jan lubi Piotra, to jaki jest Piotr dla Jana ?)

Relacje symetryczno nieregularne czyli niesymetryczne - dowolna relacja R jest relacją niesymetryczną zawsze i tylko wtedy gdy, jeśli x pozostaje w relacji R do y, to w pewnych wypadkach y też pozostaje w tej samej relacji R do x, a w pewnych innych wypadkach y nie pozostaje w relacji R do x.

Relacje symetryczne

Relacje symetryczne to wszelkie i tylko te relacje dla których spełniony jest warunek że jeżeli dana jest relacja R zachodzi pomiędzy elementami x i y, to zawsze też zachodzi ona pomiędzy elementami y i x.

Relacje asymetryczne

Dana relacja R jest relacją asymetryczną jeśli spełnia warunek, że jeśli relacja R zachodzi pomiędzy elementami x i y to nigdy nie zachodzi ona pomiędzy y i x. (np. relacja bycia ojcem x jest ojcem y; bycia wyższym, bycia młodszym, bycia przodkiem).

Relacje przechodnie

Dana relacja R jest przechodnią wtedy, gdy, jeżeli (xRz) i (yRz) oraz (x jest różne od z), to zawsze (xRz) np. relacja braterstwa (x jest bratem y) ponieważ jeżeli x jest bratem y i y jest bratem z oraz x nie jest tą samą osobą co z to zawsze x jest też bratem z; relacja starszeństwa, relacja rówieśnicza, bycia potomkiem.

Relacje przeciwprzechodnie

Dana relacja R wtedy jest przeciwprzechodnia gdy jeżeli (xRy) i (y Rz) to nigdy (xRz) ale zawsze (xR'z).

Np. relacja bycia ojcem: x jest ojcem y ponieważ jeśli x jest ojcem y i y jest ojcem z to nigdy x nie jest ojcem z ale zawsze x jest dziadkiem z.

Relacje nieprzechodnie.

Dana relacja R wtedy jest nieprzechodnia gdy jeżeli (xRy) i (yRz) oraz (x jest różne od z) to w pewnych wypadkach (xRz) a w innych nieprawda, że (xRz).np. relacja przyjaźnienia się. (x przyjaźni się z y) ponieważ jeżeli x przyjaźni się z y i y przyjaźni się z z oraz x nie jest tą samą osobą co z to w pewnych przypadkach x przyjaźni się z z, a winnych nie jest prawdą że x przyjaźni się z z.

Rachunek zdań.

Dział logiki nazwany rachunkiem zdań zajmuje się związkami międzyzdaniowymi ich własnościami i ich wzajemnymi powiązaniami.

Zdaniem w sensie logicznym jest wypowiedź która bądź sama bądź jej zaprzeczenie jest prawdziwe.

Zdanie w sensie logicznym jest to wypowiedź prawdziwa lub fałszywa.

Zdania złożone są to tylko te zdania w których wyrażany jest jakiś związek międzyzdaniowy np. Staś lubu kolegów chociaż Staś pilnie się uczy. Do zdań złożonych zalicza się również wszystkie zdania negatywne np. Nieprawda, że Jan idzie do szkoły.

Zdania proste to te i tylko te zdania w których nie jest wyrażany żaden stosunek międzyzdaniowy. Np. Jaś pilnie się uczy.