CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.

CIĄGI  LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.

Ciągiem nazywamy każdą funkcję, określoną nadzbiorze liczb naturalnych lub na jego podzbiorze. Wartość ciągu dla argumentu n oznaczać będziemy (itp. np. ); natomiast ciąg jako funkcję oznaczamy itp.

Ciąg nazywamy:

• nieskończonym, jeżeli dziedziną tego ciągu jest zbiór nieskończony;
• liczbowym, jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R;
• ograniczonym z góry jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym z góry, tzn.
  istnieje liczba rzeczywista M, taka, że dla wszystkich n   spełniona jest nierówność;
• ograniczonym z dołu jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym z dołu, tzn.
  istnieje liczba rzeczywista M, taka, że dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• ograniczonym jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem ograniczonym, tzn.
  istnieje liczba rzeczywista M>0, taka, że dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• rosnącym, jeżeli dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• malejącym, jeżeli dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• nierosnącym, jeżeli dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• niemalejącym, jeżeli dla wszystkich n   spełniona jest nierówność ;
• monotonicznym, jeżeli jest rosnący lub malejący;
• nieograniczonym z góry, nieograniczonym z dołu,… itd., jeżeli nie spełnia odpowiedniej definicji podanej wyżej.

W dalszym ciągu rozważać będziemy tylko ciągi liczbowe nieskończone.

Niech () będzie rosnącym, nieskończonym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu nazywać będziemy ciąg o wyrazach

Otoczeniem liczby x o promieniu nazywamy przedział .

Mówimy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu mają własność W, jeżeli własności tej nie posiada tylko skończona ilość wyrazów tego ciągu.

Liczbę nazywamy punktem skupienia zbioru , jeżeli w każdym otoczeniu punktu leżą punkty zbioru A, różne od . (Uwaga! nie musi być elementem zbioru A)

Liczbę nazywamy punktem izolowanym zbioru A, jeżeli nie jest punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym przedziale (odpowiednio w każdym przedziale ) leżą punkty zbioru A.

Uwaga! nie są liczbami rzeczywistymi!

Mówimy, że liczba rzeczywista g jest granicą ciągu , jeżeli spełnia warunek

O ciągu, który posiada granicę w sensie powyższej definicji, mówimy, że jest zbieżny, a fakt, że g jest granicą ciągu zapisujemy Ciąg, który nie ma granicy w sensie powyższej definicji, nazywamy rozbieżnym.

Zauważmy, że

Zatem

Tw. 1 Ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wynika stąd, że

• każdy ciąg może posiadać co najwyżej jedną granicę,
• każdy ciąg zbieżny jest ograniczony,
• ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy,
• ciąg , zawierający dwa podciągi zbieżne do różnych granic (lub zawierający podciąg rozbieżny), jest rozbieżny,
• jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu   spełniają nierówność oraz , to ,
• dwa ciągi, różniące się skończoną ilością wyrazów, albo są jednocześnie rozbieżne, albo jednocześnie zbieżne do tej samej granicy.

Tw. 2 Jeżeli ciągi i są zbieżne odpowiednio do granic a i b, to zbieżne są ciągi oraz

, ,

Jeżeli dodatkowo to zbieżny jest ciąg oraz

Tw. 3 (o trzech ciągach) Jeżeli wyrazy ciągów , , spełniają dla prawie wszystkich n nierówności oraz ciągi i są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg jest również zbieżny do g.

W szczególności, jeżeli ciąg jest ograniczony, a ciąg jest zbieżny do 0, to ciąg jest zbieżny do 0.

Tw. 4 Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry (nierosnący i ograniczony z dołu) jest zbieżny.

Wśród ciągów rozbieżnych ważną rolę odgrywają tzw. ciągi rozbieżne do lub do .

Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do (jest rozbieżny do ), jeżeli spełnia następujący warunek

( )

Fakt ten zapisujemy odpowiednio . Granice ciągu nazywamy granicami niewłaściwymi ciągu.

Można wykazać, że jeżeli ciągi i są oba rozbieżne do , to ich suma jest ciągiem rozbieżnym do . Symbolicznie zapisujemy to jako . Podobnie można udowodnić, że

(a,b oznaczają tu skończone i różne od zera granice ciągu; ciągi zbieżne do zera z prawej lub lewej strony).

Symbolem nieoznaczonym typu nazywamy różnicę dwóch ciągów i , z których każdy jest rozbieżny do (albo każdy jest rozbieżny do ). Granica takiego ciągu zależy od postaci ciągów i .Podobnie definiujemy wszystkie symbole nieoznaczone:

.

Liczba e.

Rozważmy ciąg liczbowy . Pokażemy, że jest on zbieżny, ale jego granicą nie jest liczba 1. Przypominamy w tym celu symbol Newtona:

,

i dwumian Newtona 

Stąd mamy:

(bo dla ). Wynika stąd, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają nierówności – w szczególności ciąg ten jest ograniczony z góry. Ponadto pokażemy, że ciąg jest rosnący. W tym celu skorzystamy z nierówności Bernoulliego:

,

prawdziwej dla wszystkich . Przyjmując w tej równości , , otrzymujemy

, czyli

Stąd

, czyli , skąd .

Zatem dla wszystkich

,

co oznacza, że ciąg jest rosnący. Ciąg jako monotoniczny i ograniczony (por. tw. 4) jest zbieżny. Ponieważ wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (2,3), więc jego granica musi być liczbą z przedziału domkniętego . Granicę tego ciągu oznaczać będziemy literą e – zatem

Można wykazać, że e jest (podobnie jak liczba liczbą niewymierną przestępną, a jej przybliżenie z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku to

Tw. 5 Dla dowolnego ciągu zbieżnego do zera prawdziwa jest równość