Pojęcia całki - jest to działanie odwrotne do pochodnej.

Wzory:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Uproszczenia możliwe w obliczeniach:

Uproszczenie 1.

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy poniższy przykład:

Uproszczenie 1.

Końcowy wzór:

Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:

Przykład1:

Przykład2:

Uproszczenie 2.

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy następujący przykład:

Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.

Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.

Gdyby wyrażenie:

można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń

to można by było zastosować znane już wzory.

Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc przekształcenia takiej sumy wyrażeń:

czyli:

Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe. Możemy więc napisać:

Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu na wyrażenie musi być spełniony warunek : x(A+B) = 0

będzie to zawsze spełnione gdy:  A + B = 0

Przy takim warunku całe wyrażenie będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1

Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :

Całe nasze wyrażenie przybierze postać:

Uproszczenie 2.

Końcowy wzór:

Temat: Pojęcia całki - część dalsza

Wzory:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Wzór do zapamiętania!

Co to jest arctg?

Przykład:

Przykład:

Matematyka.

Ćwiczenia - Rozwiązywanie całek..

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

? ? ? ? ????????

Przykład:

Przykład:

Jeżeli ułamki:

są równe to i liczniki tych ułamków są równe. Możemy więc napisać:

Obliczamy wartość A, B, C

A + B + C = 0

3A + B 0 = 0

2A - 2B - C = 1

Z drugiego równania obliczamy B:

B = -3A

A - 3A C = 0

2A - 2(-3A) - C = 1

-2A +C = 0

8A - C = 1

6A  = 1

A = 1/6

B = -3A = - 3(1/6) = - 1/2

B = - 1/2

A + B + C = 0

A + B = - C

Nasze równanie przybierze więc postać:

Przykład:

Aby obliczyć wartości A, B, C, D, piszemy układy równań:

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie :

Dodajemy drugie i czwarte równanie :

W wyniku tych działań otrzymujemy dwa równania:

Z równania obliczamy B

Z równania A + B + C = 0 obliczamy C

Z równania 4A - 4B + D = 0 obliczamy D

Podstawiamy obliczone wartości A, B, C, D do równania:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Temat: cd całki.

Powtórka:

Przykład:

delta ujemna, do rozwiązania należy wykorzystać inną metodę.

Wykorzystać można wzór: 

Przykład:

Przypomnienie wzoru:

pochodna z mianownika naszego przykładu była by:

licznik z naszego przykładu jest : 

aby doprowadzić go do postaci:

należy dokonać przekształcenia:

Wracamy do naszej całki:

Przykład:

Temat2: Całki oznaczone.

Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.

Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być różniczkowalna.

Przykład:

Przykład:

podstawiamy:

dla

Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.

Wracamy do przykładu:

Twierdzenia:

P

a b

Przykład:

Mamy dwie funkcje:

x²

4x

Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami się tych wykresów.

Wykresy przecinają się dla x który jest równy:

Pole będzie równe różnicy : 

25.04.98 ćwiczenia Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

(-1)

Przykład:

Przykład:

Podstawiamy do naszego przykładu:

Przykład:

zastosujemy wzór

Obliczamy pochodną mianownika: 

Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:

Rozpisujemy mianownik aby można było zastosować wzór:

Wracamy do obliczeń całki:

Podstawiamy:

Wstawiamy to do przykładu:

Rozwiązaniem  jest:

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji:

7

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

Dla oraz wykresy tych funkcji przecinają się.

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału 0,7

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji:

1/4

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału

Wzory na obliczanie całek:

2.

3.

4.

5. Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:

6.

7.

8.

9.

Twierdzenia: 1.

2.