CATEGORII DOCUMENTE |
Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
Rachunek prawdopodobieñstwa - podstawowe definicje.
Niech E bædzie pewnym niepustym zbiorem - w dalszym ciàgu bædziemy go nazywaã przestrzenià zdarzeñ elementarnych. Elementy eIE bædziemy nazywaã zdarzeniami elementarnymi.
W E wyróýniamy pewnà rodzinæ S jego podzbiorów, speùniajàcà pewne warunki (omówione poniýej), które stwierdzajà ýe S jest tak zwanym s-ciaùem (lub inaczej: s-algebrà) podzbiorów przestrzeni E. Elementy A naleýàce do S (AIS) nazywamy zdarzeniami losowymi lub po prostu - zdarzeniami. (Tak wiæc, w szczególnoúci, zdarzenia losowe sà podzbiorami zbioru E, zaú elementami zdarzeñ losowych sà zdarzenia elementarne.) Warunki definicji s-ciaùa moýemy nieco nieúciúle wyraziã stwierdzeniem, ýe na zdarzeniach moýemy dokonywaã operacji sumy, iloczynu, róýnicy, dopeùnienia, a takýe sumy i iloczynu przeliczalnej iloúci zdarzeñ i w wyniku nadal otrzymujemy zdarzenia. Dokùadnie, S nazywamy s-ciaùem podzbiorów przestrzeni E, jeýeli
(i) S 2E, tzn. A E gdy AIS
(ii) IS;
(iii) Jeýeli AiIS dla i=1,2,3, oraz A=A1 A2 A3 (suma przeliczalnej iloúci zdarzeñ), to AIS.
(iv) Jeýeli AIS, to A’ =EAIS
Jeýeli zbiór E jest skoñczony lub przeliczalny, to za S przyjmujemy na ogóù rodzinæ wszystkich podzbiorów przestrzeni E (S=2E). Jeýeli E jest zbiorem nieprzeliczalnym, to okazuje siæ, ýe aby w ogóle moýna byùo okreúliã pewnà funkcjæ prawdopodobieñstwa (czyli tzw. miaræ unormowanà) P na S, S nie moýe siæ skùadaã ze wszystkich - lecz jedynie z niektórych podzbiorów przestrzeni E (zwanych niekiedy podzbiorami mierzalnymi). Waýnym, lecz nietrywialnym przykùadem jest s-ciaùo zbiorów Borelowskich na prostej - jest to najmniejsze s-ciaùo zbiorów, do którego naleýà wszystkie przedziaùy otwarte (a w konsekwencji, wszystkie zbiory otwarte, a wiæc i wszystkie zbiory domkniæte, dalej - przeliczalne przeciæcia zbiorów otwartych, przeliczalne sumy zbiorów domkniætych itd.).
P - funkcja prawdopodobieñstwa (miara unormowana) jest funkcjà P:S <0,1>, speùniajàcà nastæpujàce warunki (stwierdzajàce w istocie, ýe P jest miarà unormowanà):
(i) P:S <0,1>, czyli P jest okreúlone na zdarzeniach (czyli zbiorach A naleýàcych do S) i 0 P(A) 1 dla kaýdego AIS
(ii) P(
(iii) Jeýeli AiIS dla i=1,2,3, przy czym Ai Aj= dla i j (zbiory Ai sà parami rozùàczne), to P(A1 A2 A3 )= P(A1)+P(A2)+P(A3)+ (przeliczalna addytywnoúã prawdopodobieñstwa dla zbiorów parami rozùàcznych)
(iv) P(E)=1.
Wùasnoúci s-ciaùa (s-algebry) S oraz funkcji prawdopodobieñstwa P.
S - rodzina zdarzeñ losowych (s-ciaùo) |
P - prawdopodobieñstwo (miara unormowana) na S |
1. S 2E, tzn. A E gdy AIS |
1. P:S < >, tzn. dla AIS P(A) |
IS - zdarzenie niemoýliwe) |
2. P( |
3. EIS (E - zdarzenie pewne) |
3. P(E)=1 |
4. Jeýeli AiIS (i=1,2,3,), to A1 A2 A3 IS 4’. Jeýeli AiIS (i=1,2,3,), to A1 A2 A3 IS W szczególnoúci, wùasnoúci 4 i 4’ zachodzà dla skoñczonego ciàgu zbiorów. |
4. Jeýeli AiIS (i=1,2,3,), to P(A1 A2 A3 P(A1)+P(A2)+P(A3)+ Uwaga. P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)–P(A1 A2); P(A1 A2 A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+ –P(A1 A2)–P(A2 A3)–P(A3 A1)+P(A1 A2 A3) |
5. Oczywiúcie, wùasnoúã 4 zachodzi w szczególnoúci dla zbiorów parami rozùàcznych. „Na odwrót”, sumæ dowolnego ciàgu Ai moýna przedstawiã w postaci sumy ciàgu zbiorów parami rozùàcznych Bi , gdzie B1=A1, B2=A2A1 , B3=A3(A1 A2) itd. |
5. Gdy AiIS (i=1,2,3,) sà parami rozùàczne, tzn. Ai Aj= dla i j, to P(A1 A2 A3 ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+ (w istocie po prawej stronie wystæpuje suma szeregu nieskoñczonego) |
6. Gdy AiIS (i=1,2,3,) oraz A1 A2 A3 (ciàg wstæpujàcy), to P(A1 A2 A3 )=lim P(An) ; 6’ Gdy AiIS (i=1,2,3,) oraz A1 A2 A3 (ciàg zstæpujàcy), to P(A1 A2 A3 )=lim P(An) . |
|
7. Jeýeli AIS, to A’ = E AIS |
7. P(A’) = 1–P(A) |
8. A,BIS, to A BIS |
8. P(A) – P(B) P(A B) |
9. A, BIS, A B, to P(A) P(B). |
Definicja prawdopodobieñstwa warunkowego: niech P(B)>0, BIS
P(A|B)=P(A B)/P(B) (AIS).
Tak wiæc P(A B)=P(A|B)P(B) (takýe P(A B)=P(B|A)P(A), jeýeli P(A)>0)
Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite, wzór Bayesa:
Jeýeli Aj IS (i=1,2,,n) sà parami rozùàczne, P(Ai)>0 i A1 A2 An=E oraz BIS, to
P(B)=P(B|A1)P(A1)+ P(B|A2)P(A2)++ P(B|An)P(An).
Ponadto wtedy
P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)/P(B),
gdzie P(B) jest dane poprzednim wzorem.
Zmienne losowe.
Niech X:E R lub X:E R (tzw. rozszerzona funkcja rzeczywista, tzn. mogàca przyjmowaã takýe wartoúci – oraz + ). Mówimy, ýe funkcja X jest zmiennà losowà, jeýeli
(i) Dla kaýdego przedziaùu P, zbiór jest zdarzeniem losowym, czyli naleýy do rodziny S; w szczególnoúci, jest okreúlone prawdopodobieñstwo tego zbioru, tzn. prawdopodobieñstwo, ýe zmienna losowa przyjmie wartoúã z przedziaùu P : P(), oznaczane w skrócie przez P(XIP
(ii) P()=P()=0
Bædziemy zajmowaã siæ tylko zmiennymi losowymi dwóch nastæpujàcych typów (choã istniejà zmienne, które nie sà ýadnego z tych typów):
a) typu skokowego: zmienna, przyjmujàca skoñczonà lub przeliczalnà iloúã wartoúci, powiedzmy xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi (suma wszystkich pi jest równa 1);
b) typu ciàgùego: zmienna, dla której
istnieje tzw. funkcja gæstoúci (krótko: gæstoúã) f, tzn. funkcja taka, ýe 1) f 0; 2) dla dowolnych a,
b, P(a X b)=. Na to, aby funkcja f byùa gæstoúcià pewnej zmiennej losowej X potrzeba i
wystarcza, aby f byùa nieujemna i
.
Dystrybuanta zmiennej losowej jest to funkcja F:(– R, okreúlona przez warunek F(x)=P(X<x)=P(). (Kaýda zmienna losowa ma dystrybuantæ; nie kaýda zmienna losowa ma gæstoúã - tylko zmienna losowa typu ciàgùego ma gæstoúã.)
Dla zmiennej X typu skokowego, F(x) jest równe sumie tych prawdopodobieñstw pi, dla których odpowiednie xi speùniajà warunek xi<x. Jeýeli zmienna losowa przyjmuje skoñczonà iloúã wartoúci (lub nieskoñczonà iloúã, ale odizolowanych od siebie wartoúci), to jej dystrybuanta jest funkcjà schodkowà.
Dla
zmiennej losowej X typu ciàgùego o gæstoúci f mamy F(x)= . Wtedy F jest ciàgùa, ponadto F’(x)=f(x) w
punktach ciàgùoúci funkcji f (wiæcej, nawet „prawie
wszædzie”, tzn. wszædzie z wyjàtkiem byã moýe pewnego
zbioru miary zero). Ponadto, wtedy P(X=x)=0 dla kaýdego x, tak ýe
wszystkie prawdopodobieñstwa
P(a X<b), P(a X b), P(a<X<b), P(a<X b)
sà sobie równe (i równe caùce ).
Wùasnoúci dystrybuanty dowolnej zmiennej losowej X:
0 F(x) (jako prawdopodobieñstwo);
F - niemalejàca (oczywiste - zob. wùasnoúã 9 prawdopodobieñstwa);
jeýeli x dàýy do minus nieskoñczonoúci, to F(x) dàýy do 0;
jeýeli x dàýy do plus nieskoñczonoúci, to F(x) dàýy do 1;
F jest lewostronnie ciàgùa (wynika z wùasnoúci 6) prawdopodobieñstwa).
Wyraýenie prawdopodobieñstw przyjmowania wartoúci z pewnego przedziaùu przez zmiennà losowà za pomocà dystrybuanty:
P(a X<b)=F(b)–F(a) P(a X b)=F(b+)–F(a)
P(a<X<b)=F(b)–F(a+) P(a<X b)=F(b+)–F(a+)
W szczególnoúci
P(X<a)=F(a), zgodnie z definicjà dystrybuanty; P(X a)=F(a+);
P(X a)=1–F(a); P(X a)=1–F(a+).
Najwaýniejsze rozkùady prawdopodobieñstwa zmiennych losowych.
1) Rozkùad dwupunktowy: P(X=1)=p (0<p<1); P(X=0)=q=1–p
2) Rozkùad dwumianowy, czyli rozkùad Bernoulli’ego:
[ta definicja jest poprawna, gdyý ].
Rozkùad dwupunktowy jest oczywiúcie szczególnym przypadkiem rozkùadu Bernoulliego, z n=2. Iloúã sukcesów w n niezaleýnych eksperymentach, jeýeli prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczym eksperymencie jest równe p , ma rozkùad Bernoulliego. Zmiennà losowà o rozkùadzie Bernoulliego moýna traktowaã jako sumæ n niezaleýnych zmiennych losowych o rozkùadzie dwupunktowym: X=X1+X2+ +Xn (wynika to z prostego faktu, ýe suma wyrazów ciàgu, skùadajàcego siæ z samych zer i jedynek, jest równa wùaúnie iloúci jedynek w tym ciàgu.
3) Rozkùad Poissona: .
Rozkùad Poissona jest granicznym przypadkiem rozkùadu dwumianowego: gdy Xn majà rozkùad dwumianowy o parametrach n, pn odpowiednio, n dàýy do nieskoñczonoúci, a prawdopodobieñstwa pn dàýà do zera w ten sposób, ýe npn dàýy do l, to prawdopodobieñstwa P(Xn=k) przy dowolnym k dàýà do odpowiednich prawdopodobieñstw w rozkùadzie Poissona. Rozkùad Poissona jest stablicowany.
4) Rozkùad normalny (Gaussa). Jest to rozkùad typu ciàgùego o gæstoúci
gdzie m (dowolne) i s>0 sà ustalonymi parametrami (ich sens zostanie wyjaúniony póêniej - okaýe siæ wtedy, ýe m jest wartoúcià oczekiwanà, zaú s - odchyleniem standardowym tej zmiennej). To, ýe podana funkcja jest rzeczywiúcie gæstoúcià, wynika z podstawowej caùki
.
Jeýeli zmienna
losowa X ma rozkùad normalny o parametrach (m,s), to piszemy X~N(m,s). Jeýeli X~N(m,s), to zmienna ma rozkùad
N(0,1), który jest stablicowany. Istniejà tablice gæstoúci
(których uýywaã bædziemy rzadziej) oraz najwaýniejsze -
które wystæpujà w dwóch wariantach: albo sà to bezpoúrednio
tablice dystrybuanty F rozkùadu normalnego N(0,1) - charakteryzujà
siæ tym, ýe F(0)=0,5 (np. tablice w skrypcie Eugenii Ciborowskiej -
Wojdygi), albo teý tablice pomocniczej funkcji
(te tablice charakteryzujà siæ tym, ýe F(0)=0; mamy F(–x)=–F(x), F(x)=0,5+F(x); dla x<0 stosujemy F(x)=0,5–F(|x|)).
Funkcje zmiennych losowych.
Jeýeli X jest zmiennà losowà i jeýeli g:R R jest funkcjà takà, ýe g(X) jest równieý zmiennà losowà (jest tak na przykùad, gdy g jest funkcjà monotonicznà lub ciàgùà, lub - jeszcze ogólniej, tzw. funkcjà Baire’a, tj. takà, ýe dla dowolnego przedziaùu postaci (– ,a) jego przeciwobraz przy odwzorowaniu g jest równieý zbiorem borelowskim). Wtedy rozkùad zmiennej Y=g(X) moýemy znaleêã w sposób nastæpujàcy:
1) Jeýeli X jest zmiennà typu skokowego, przyjmujàcà wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi , to Y jest równieý zmiennà typu skokowego, przyjmujàcà wartoúci yi =g(xi) z prawdopodobieñstwami qi , gdzie qi jest równe sumie tych wszystkich pj , ýe g(xj)=yi. (moýe siæ bowiem zdarzyã, ýe dla róýnych xj ich obrazy przy g sà takie same.)
2) Dystrybuantæ FY zmiennej losowej Y=g(X) moýemy zawsze wyznaczyã poprzez dystrybuantæ FX zmiennej losowej X: mamy FY(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y), a dalszy proces obliczania FY zaleýy od tego, jakà postaã ma rozwiàzanie nierównoúci g(X)<y wzglædem X - musimy P(g(X)<y) wyraziã w postaci P(XIAy), gdzie Ay jest pewnym zbiorem zaleýnym od y; jeýeli jest to suma przedziaùów, moýemy to prawdopodobieñstwo wyraziã za pomocà dystrybuanty FX zmiennej X.
3) Jeýeli X jest typu ciàgùego o gæstoúci fX, to zwiàzek pomiædzy gæstoúciami fY i fX otrzymujemy poprzez róýniczkowanie odpowiedniego zwiàzku pomiædzy dystrybuantami. Istnieje pewien wzór na zaleýnoúã pomiædzy gæstoúciami, ale niestety waýny tylko w przypadku, gdy g jest monotoniczna. Ogólnie rzecz bioràc, musimy rozpatrywaã róýne przypadki w zaleýnoúci od postaci rozwiàzania wspomnianych wyýej nierównoúci.
Zmienne losowe wielowymiarowe.
Niech (X,Y) bædzie dwuwymiarowà zmiennà losowà. Dla zmiennych typu skokowego, rozkùad jest wyznaczony przez podanie liczb pij=P(X=xi,Y=yj). Dla zmiennych typu ciàgùego istnieje gæstoúã, tzn. funkcja nieujemna f taka, ýe dla dowolnych a<b, c<d
P(a X b, c Y d)=. Oczywiúcie,
.
Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej moýemy zawsze wprowadziã dystrybuantæ F(x,y)=P(X<x,Y<y). Tak wiæc np.
P(a X<b, c Y<d)=F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c).
Podanie rozkùadu dwuwymiarowego zmiennej (X,Y) okreúla, w szczególnoúci, rozkùady samych zmiennych X i Y - czyli tzw. rozkùady brzegowe. Dla zmiennych typu skokowego rozkùad X jest wyznaczony przez liczby pi Sj pij , zaú rozkùad zmiennej Y jest wyznaczony przez liczby p j Si pij .
Mamy wtedy równieý FX(x)=F(X,Y)(x,+ ), FY(y)==F(X,Y)(+ ,y).
Dla zmiennych typu
ciàgùego, rozkùad (brzegowy) zmiennej X jest wyznaczony przez
gæstoúã i analogicznie,
rozkùad (brzegowy) zmiennej Y przez jej gæstoúã
.
Mówimy, ýe zmienne losowe X i Y sà niezaleýne, jeýeli dla dowolnych przedziaùów P P zachodzi P(XIP ,YIP )=P(XIP ) P(YIP ). Jest to równowaýne temu, ýe
F(X,Y)(x,y)=FX(x)FY(y) dla dowolnych x, y.
Dla zmiennych typu ciàgùego mamy nastæpny równowaýny warunek: f(X,Y)(x,y)=fX(x)fY(y) dla dowolnych x, y.
Wartoúã oczekiwana i inne parametry zmiennej losowej
Wartoúcià oczekiwanà (lub wartoúcià úrednià) zmiennej losowej X nazywamy:
1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi - liczbæ
2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - liczbæ
Definicje te moýemy uogólniã na przypadek, gdy dana jest pewna funkcja g zmiennej losowej X, i w konsekwencji mamy do czynienia z nowà zmiennà losowà Y=g(X). Jeýeli chcemy obliczyã jej wartoúã oczekiwanà E(Y)=E(g(X)), to z definicji musielibyúmy policzyã najpierw rozkùad (tzn. odpowiednie wartoúci yi oraz ich prawdopodobieñstwa qi dla zmiennej Y=g(X) albo teý odpowiednià gæstoúã fY zmiennej losowej Y) a nastæpnie zastosowaã odpowiedni z powyýszych wzorów. Okazuje siæ jednak, ýe wartoúã oczekiwanà zmiennej g(X) moýemy teý obliczyã bezpoúrednio, a mianowicie:
1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi -mamy
2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - mamy
W szczególnoúci, moýemy okreúliã tzw. momenty (zwykùe) wyýszych rzædów (rzædu k):
1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi - mamy
2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - mamy
Co wiæcej, wzory na E(g(X)) uogólniajà siæ nawet na przypadek funkcji dwóch lub wiæcej zmiennych losowych, np.
1) gdy (X,Y) jest dwuwymiarowà zmiennà losowà typu skokowego, pij=P(X=xi,Y=yj), to
2) gdy (X,Y) jest dwuwymiarowà zmiennà losowà typu ciàgùego o gæstoúci f(x,y), to
Wùasnoúci wartoúci oczekiwanej zmiennej losowej:
E(X+Y)=E(X)+E(Y);
E(aX)=aE(X).
Jeýeli zmienne losowe X i Y sà niezaleýne, to E(XY)=EX EY.
Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej
Niech X bædzie zmiennà losowà, przy czym zakùadamy, ýe istnieje jej wartoúã oczekiwana m=EX. Przez wariancjæ zmiennej losowej X rozumiemy liczbæ, oznaczanà przez D2X, WX lub VX, mianowicie
D2X=WX=VX=E[(X–m)2].
Tak wiæc, mamy
wzglædnie
odpowiednio dla zmiennej losowej typu skokowego oraz ciàgùego. Proste przeliczenie daje wzór WX = E(X2)–(EX)2 . Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X, oznaczanym przez s(X), nazywamy pierwiastek kwadratowy z wariancji zmiennej X.
Wùasnoúci wariancji:
W(aX)=|a|2WX;
W(X+Y)=WX+WY+2(E(XY)–(EX)(EY));
w szczególnoúci, jeýeli X i Y sà niezaleýne, to W(X+Y)=WX+WY.
Analogicznie do wariancji, moýemy okreúliã tzw. moment centralny rzædu k jako
mk(X) = E[(X–m)k], gdzie m=EX jak poprzednio.
Parametry podstawowych rozkùadów.
Rozkùad X |
EX |
E(X2) |
WX |
dwupunktowy |
p |
p |
pq |
Bernoulliego o parametrach (n,p,q=1–p) (czyli dwumianowy) |
np |
n(n–1)p2+np |
npq |
Poissona z parametrem l |
l |
l |
l |
normalny (Gaussa) tzn. N(m,s |
m |
s |
Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy’ego).
Niech X1,X2, - bædzie ciàgiem niezaleýnych zmiennych losowych o jednakowym rozkùadzie, posiadajàcym wartoúã oczekiwanà m i odchylenie standardowe s. Niech
Niech
;
Yn jest wiæc
normalizacjà sumy X1+X2++Xn, przez
odjæcie od niej jej wartoúci oczekiwanej (tzn. nm) i podzielenie jej przez jej odchylenie standardowe (tzn. ), co zapewnia, ýe E(Yn)=0, s(Yn)=1;
ostatnià postaã otrzymujemy z kolei, dzielàc licznik i mianownik
przez n.
Wtedy rozkùad zmiennej Yn dàýy przy n do rozkùadu normalnego N(0,1) w tym sensie, ýe jego dystrybuanta dàýy (punktowo) do dystrybuanty FN(0,1) rozkùadu normalnego N(0,1), tzn.
(„+” gdy y 0; „–” gdy y<0). Oznacza to, ýe dla duýych n zmienna losowa Yn ma w przybliýeniu rozkùad normalny N(0,1). W praktyce przyjmujemy, ýe przybliýenie to jest wystarczajàco dobre dla n
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1308
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved