Scrigroup - Documente si articole

     

HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

AdministracjaBajkiBotanikaBudynekChemiaEdukacjaElektronikaFinanse
FizycznyGeografiaGospodarkaGramatykaHistoriaKomputerówKsiàýekKultura
LiteraturaMarketinguMatematykaMedycynaOdýywianiePolitykaPrawaPrzepisy kulinarne
PsychologiaRóýnychRozrywkaSportowychTechnikaZarzàdzanie

Rachunek prawdopodobieñstwa - podstawowe definicje.

matematyka



+ Font mai mare | - Font mai mic



DOCUMENTE SIMILARE

Rachunek prawdopodobieñstwa - podstawowe definicje.

Niech E bædzie pewnym niepustym zbiorem - w dalszym ciàgu bædziemy go nazywaã przestrzenià zdarzeñ elementarnych. Elementy eIE bædziemy nazywaã zdarzeniami elementarnymi.



W E wyróýniamy pewnà rodzinæ S jego podzbiorów, speùniajàcà pewne warunki (omówione poniýej), które stwierdzajà ýe S jest tak zwanym s-ciaùem (lub inaczej: s-algebrà) podzbiorów przestrzeni E. Elementy A naleýàce do S (AIS) nazywamy zdarzeniami losowymi lub po prostu - zdarzeniami. (Tak wiæc, w szczególnoúci, zdarzenia losowe sà podzbiorami zbioru E, zaú elementami zdarzeñ losowych sà zdarzenia elementarne.) Warunki definicji s-ciaùa moýemy nieco nieúciúle wyraziã stwierdzeniem, ýe na zdarzeniach moýemy dokonywaã operacji sumy, iloczynu, róýnicy, dopeùnienia, a takýe sumy i iloczynu przeliczalnej iloúci zdarzeñ i w wyniku nadal otrzymujemy zdarzenia. Dokùadnie, S nazywamy s-ciaùem podzbiorów przestrzeni E, jeýeli

(i)  S 2E, tzn. A E gdy AIS

(ii)  IS;

(iii) Jeýeli AiIS dla i=1,2,3, oraz A=A1 A2 A3 (suma przeliczalnej iloúci zdarzeñ), to AIS.

(iv) Jeýeli AIS, to A’ =EAIS

Jeýeli zbiór E jest skoñczony lub przeliczalny, to za S przyjmujemy na ogóù rodzinæ wszystkich podzbiorów przestrzeni E (S=2E). Jeýeli E jest zbiorem nieprzeliczalnym, to okazuje siæ, ýe aby w ogóle moýna byùo okreúliã pewnà funkcjæ prawdopodobieñstwa (czyli tzw. miaræ unormowanà) P na S, S nie moýe siæ skùadaã ze wszystkich - lecz jedynie z niektórych podzbiorów przestrzeni E (zwanych niekiedy podzbiorami mierzalnymi). Waýnym, lecz nietrywialnym przykùadem jest s-ciaùo zbiorów Borelowskich na prostej - jest to najmniejsze s-ciaùo zbiorów, do którego naleýà wszystkie przedziaùy otwarte (a w konsekwencji, wszystkie zbiory otwarte, a wiæc i wszystkie zbiory domkniæte, dalej - przeliczalne przeciæcia zbiorów otwartych, przeliczalne sumy zbiorów domkniætych itd.).

P - funkcja prawdopodobieñstwa (miara unormowana) jest funkcjà P:S <0,1>, speùniajàcà nastæpujàce warunki (stwierdzajàce w istocie, ýe P jest miarà unormowanà):

(i)   P:S <0,1>, czyli P jest okreúlone na zdarzeniach (czyli zbiorach A naleýàcych do S) i 0 P(A) 1 dla kaýdego AIS

(ii) P(

(iii) Jeýeli AiIS dla i=1,2,3, przy czym Ai Aj= dla i j (zbiory Ai sà parami rozùàczne), to P(A1 A2 A3 )= P(A1)+P(A2)+P(A3)+ (przeliczalna addytywnoúã prawdopodobieñstwa dla zbiorów parami rozùàcznych)

(iv) P(E)=1.

Wùasnoúci s-ciaùa (s-algebry) S oraz funkcji prawdopodobieñstwa P.

S - rodzina zdarzeñ losowych (s-ciaùo)

P - prawdopodobieñstwo (miara unormowana) na S

1. S 2E, tzn. A E gdy AIS

1. P:S < >, tzn. dla AIS P(A)

IS - zdarzenie niemoýliwe)

2. P(

3. EIS (E - zdarzenie pewne)

3. P(E)=1

4. Jeýeli AiIS (i=1,2,3,), to

A1 A2 A3 IS

4’. Jeýeli AiIS (i=1,2,3,), to

A1 A2 A3 IS

W szczególnoúci, wùasnoúci 4 i 4’ zachodzà dla skoñczonego ciàgu zbiorów.

4. Jeýeli  AiIS (i=1,2,3,), to

P(A1 A2 A3 P(A1)+P(A2)+P(A3)+

Uwaga. P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)–P(A1 A2);

P(A1 A2 A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+

–P(A1 A2)–P(A2 A3)–P(A3 A1)+P(A1 A2 A3)

5. Oczywiúcie, wùasnoúã 4 zachodzi w szczególnoúci dla zbiorów parami rozùàcznych. „Na odwrót”, sumæ dowolnego ciàgu Ai moýna przedstawiã w postaci sumy ciàgu zbiorów parami rozùàcznych Bi , gdzie B1=A1, B2=A2A1 , B3=A3(A1 A2) itd.

5. Gdy AiIS (i=1,2,3,) sà parami rozùàczne, tzn. Ai Aj= dla i j, to

P(A1 A2 A3 ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+

(w istocie po prawej stronie wystæpuje suma szeregu nieskoñczonego)

6. Gdy AiIS (i=1,2,3,) oraz A1 A2 A3 (ciàg wstæpujàcy), to P(A1 A2 A3 )=lim P(An) ;

6’ Gdy AiIS (i=1,2,3,) oraz A1 A2 A3 (ciàg zstæpujàcy), to P(A1 A2 A3 )=lim P(An) .

7. Jeýeli AIS, to A’ = E AIS

7. P(A’) = 1–P(A)

8. A,BIS, to A BIS

8. P(A) – P(B) P(A B)

9. A, BIS, A B, to P(A) P(B).

Definicja prawdopodobieñstwa warunkowego: niech P(B)>0, BIS

P(A|B)=P(A B)/P(B)  (AIS).

Tak wiæc P(A B)=P(A|B)P(B)  (takýe P(A B)=P(B|A)P(A), jeýeli P(A)>0)

Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite, wzór Bayesa:

Jeýeli Aj IS (i=1,2,,n) sà parami rozùàczne, P(Ai)>0  i A1 A2 An=E oraz BIS, to

P(B)=P(B|A1)P(A1)+ P(B|A2)P(A2)++ P(B|An)P(An).

Ponadto wtedy

P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)/P(B),

gdzie P(B) jest dane poprzednim wzorem.

Zmienne losowe.

Niech X:E R lub X:E R (tzw. rozszerzona funkcja rzeczywista, tzn. mogàca przyjmowaã takýe wartoúci – oraz + ). Mówimy, ýe funkcja X jest zmiennà losowà, jeýeli

(i)   Dla kaýdego przedziaùu P, zbiór jest zdarzeniem losowym, czyli naleýy do rodziny S; w szczególnoúci, jest okreúlone prawdopodobieñstwo tego zbioru, tzn. prawdopodobieñstwo, ýe zmienna losowa przyjmie wartoúã z przedziaùu P : P(), oznaczane w skrócie przez P(XIP

(ii)  P()=P()=0

Bædziemy zajmowaã siæ tylko zmiennymi losowymi dwóch nastæpujàcych typów (choã istniejà zmienne, które nie sà ýadnego z tych typów):

a) typu skokowego: zmienna, przyjmujàca skoñczonà lub przeliczalnà iloúã wartoúci, powiedzmy xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi (suma wszystkich pi jest równa 1);

b) typu ciàgùego: zmienna, dla której istnieje tzw. funkcja gæstoúci (krótko: gæstoúã) f, tzn. funkcja taka, ýe 1) f 0; 2) dla dowolnych a, b, P(a X b)=. Na to, aby funkcja f byùa gæstoúcià pewnej zmiennej losowej X potrzeba i wystarcza, aby f byùa nieujemna i .

Dystrybuanta zmiennej losowej jest to funkcja F:(– R, okreúlona przez warunek F(x)=P(X<x)=P(). (Kaýda zmienna losowa ma dystrybuantæ; nie kaýda zmienna losowa ma gæstoúã - tylko zmienna losowa typu ciàgùego ma gæstoúã.)

Dla zmiennej X typu skokowego, F(x) jest równe sumie tych prawdopodobieñstw pi, dla których odpowiednie xi speùniajà warunek xi<x. Jeýeli zmienna losowa przyjmuje skoñczonà iloúã wartoúci (lub nieskoñczonà iloúã, ale odizolowanych od siebie wartoúci), to jej dystrybuanta jest funkcjà schodkowà.

Dla zmiennej losowej X typu ciàgùego o gæstoúci f mamy F(x)= . Wtedy F jest ciàgùa, ponadto F’(x)=f(x) w punktach ciàgùoúci funkcji f (wiæcej, nawet „prawie wszædzie”, tzn. wszædzie z wyjàtkiem byã moýe pewnego zbioru miary zero). Ponadto, wtedy P(X=x)=0 dla kaýdego x, tak ýe wszystkie prawdopodobieñstwa

P(a X<b), P(a X b), P(a<X<b), P(a<X b)

sà sobie równe (i równe caùce ).

Wùasnoúci dystrybuanty dowolnej zmiennej losowej X:

0 F(x) (jako prawdopodobieñstwo);

F - niemalejàca (oczywiste - zob. wùasnoúã 9 prawdopodobieñstwa);

jeýeli x dàýy do minus nieskoñczonoúci, to F(x) dàýy do 0;

jeýeli x dàýy do plus nieskoñczonoúci, to F(x) dàýy do 1;

F jest lewostronnie ciàgùa (wynika z wùasnoúci 6) prawdopodobieñstwa).

Wyraýenie prawdopodobieñstw przyjmowania wartoúci z pewnego przedziaùu przez zmiennà losowà za pomocà dystrybuanty:

P(a X<b)=F(b)–F(a)  P(a X b)=F(b+)–F(a)

P(a<X<b)=F(b)–F(a+) P(a<X b)=F(b+)–F(a+)

W szczególnoúci

P(X<a)=F(a), zgodnie z definicjà dystrybuanty; P(X a)=F(a+);

P(X a)=1–F(a);  P(X a)=1–F(a+).

Najwaýniejsze rozkùady prawdopodobieñstwa zmiennych losowych.

1) Rozkùad dwupunktowy: P(X=1)=p (0<p<1); P(X=0)=q=1–p

2) Rozkùad dwumianowy, czyli rozkùad Bernoulli’ego:

[ta definicja jest poprawna, gdyý ].

Rozkùad dwupunktowy jest oczywiúcie szczególnym przypadkiem rozkùadu Bernoulliego, z n=2. Iloúã sukcesów w n niezaleýnych eksperymentach, jeýeli prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczym eksperymencie jest równe p , ma  rozkùad Bernoulliego. Zmiennà losowà o rozkùadzie Bernoulliego moýna traktowaã jako sumæ n niezaleýnych zmiennych losowych o rozkùadzie dwupunktowym: X=X1+X2+ +Xn (wynika to z prostego faktu, ýe suma wyrazów ciàgu, skùadajàcego siæ z samych zer i jedynek, jest równa wùaúnie iloúci jedynek w tym ciàgu.

3) Rozkùad Poissona: .

Rozkùad Poissona jest granicznym przypadkiem rozkùadu dwumianowego: gdy Xn majà rozkùad dwumianowy o parametrach n, pn odpowiednio, n dàýy do nieskoñczonoúci, a prawdopodobieñstwa pn dàýà do zera w ten sposób, ýe npn dàýy do l, to prawdopodobieñstwa P(Xn=k) przy dowolnym k dàýà do odpowiednich prawdopodobieñstw w rozkùadzie Poissona. Rozkùad Poissona jest stablicowany.

4) Rozkùad normalny (Gaussa). Jest to rozkùad typu ciàgùego o gæstoúci

gdzie m (dowolne) i s>0 sà ustalonymi parametrami (ich sens zostanie wyjaúniony póêniej - okaýe siæ wtedy, ýe m jest wartoúcià oczekiwanà, zaú s - odchyleniem standardowym tej zmiennej). To, ýe podana funkcja jest rzeczywiúcie gæstoúcià, wynika z podstawowej caùki

.

Jeýeli zmienna losowa X ma rozkùad normalny o parametrach (m,s), to piszemy X~N(m,s). Jeýeli X~N(m,s), to zmienna ma rozkùad N(0,1), który jest stablicowany. Istniejà tablice gæstoúci (których uýywaã bædziemy rzadziej) oraz najwaýniejsze - które wystæpujà w dwóch wariantach: albo sà to bezpoúrednio tablice dystrybuanty F rozkùadu normalnego N(0,1) - charakteryzujà siæ tym, ýe F(0)=0,5 (np. tablice w skrypcie Eugenii Ciborowskiej - Wojdygi), albo teý tablice pomocniczej funkcji

(te tablice charakteryzujà siæ tym, ýe F(0)=0; mamy F(–x)=–F(x), F(x)=0,5+F(x); dla x<0 stosujemy F(x)=0,5–F(|x|)).

Funkcje zmiennych losowych.

Jeýeli X jest zmiennà losowà i jeýeli g:R R jest funkcjà takà, ýe g(X) jest równieý zmiennà losowà (jest tak na przykùad, gdy g jest funkcjà monotonicznà lub ciàgùà, lub - jeszcze ogólniej, tzw. funkcjà Baire’a, tj. takà, ýe dla dowolnego przedziaùu postaci (– ,a) jego przeciwobraz przy odwzorowaniu g jest równieý zbiorem borelowskim). Wtedy rozkùad zmiennej Y=g(X) moýemy znaleêã w sposób nastæpujàcy:

1) Jeýeli X jest zmiennà typu skokowego, przyjmujàcà wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi , to Y jest równieý zmiennà typu skokowego, przyjmujàcà wartoúci yi =g(xi) z prawdopodobieñstwami qi , gdzie qi jest równe sumie tych wszystkich pj , ýe g(xj)=yi. (moýe siæ bowiem zdarzyã, ýe dla róýnych xj ich obrazy przy g sà takie same.)

2) Dystrybuantæ FY zmiennej losowej Y=g(X) moýemy zawsze wyznaczyã poprzez dystrybuantæ FX zmiennej losowej X: mamy FY(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y), a dalszy proces obliczania FY zaleýy od tego, jakà postaã ma rozwiàzanie nierównoúci g(X)<y wzglædem X - musimy P(g(X)<y) wyraziã w postaci P(XIAy), gdzie Ay jest pewnym zbiorem zaleýnym od y; jeýeli jest to suma przedziaùów, moýemy to prawdopodobieñstwo wyraziã za pomocà dystrybuanty FX zmiennej X.

3) Jeýeli X jest typu ciàgùego o gæstoúci fX, to zwiàzek pomiædzy gæstoúciami fY i fX   otrzymujemy poprzez róýniczkowanie odpowiedniego zwiàzku pomiædzy dystrybuantami. Istnieje pewien wzór na zaleýnoúã pomiædzy gæstoúciami, ale niestety waýny tylko w przypadku, gdy g jest monotoniczna. Ogólnie rzecz bioràc, musimy rozpatrywaã róýne przypadki w zaleýnoúci od postaci rozwiàzania wspomnianych wyýej nierównoúci.

Zmienne losowe wielowymiarowe.

Niech (X,Y) bædzie dwuwymiarowà zmiennà losowà. Dla zmiennych typu skokowego, rozkùad jest wyznaczony przez podanie liczb pij=P(X=xi,Y=yj). Dla zmiennych typu ciàgùego istnieje gæstoúã, tzn. funkcja nieujemna f taka, ýe dla dowolnych a<b, c<d

P(a X b, c Y d)=. Oczywiúcie, .

Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej moýemy zawsze wprowadziã dystrybuantæ F(x,y)=P(X<x,Y<y). Tak wiæc np.

P(a X<b, c Y<d)=F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c).

Podanie rozkùadu dwuwymiarowego zmiennej (X,Y) okreúla, w szczególnoúci, rozkùady samych zmiennych X i Y - czyli tzw. rozkùady brzegowe. Dla zmiennych typu skokowego rozkùad X jest wyznaczony przez liczby pi Sj pij , zaú rozkùad zmiennej Y jest wyznaczony przez liczby p j Si pij .

Mamy wtedy równieý FX(x)=F(X,Y)(x,+ ), FY(y)==F(X,Y)(+ ,y).

Dla zmiennych typu ciàgùego, rozkùad (brzegowy) zmiennej X jest wyznaczony przez gæstoúã i analogicznie, rozkùad (brzegowy) zmiennej Y przez jej gæstoúã .

Mówimy, ýe zmienne losowe X i Y sà niezaleýne, jeýeli dla dowolnych przedziaùów P P zachodzi P(XIP ,YIP )=P(XIP ) P(YIP ). Jest to równowaýne temu, ýe

F(X,Y)(x,y)=FX(x)FY(y) dla dowolnych x, y.

Dla zmiennych typu ciàgùego mamy nastæpny równowaýny warunek: f(X,Y)(x,y)=fX(x)fY(y) dla dowolnych x, y.

Wartoúã oczekiwana i inne parametry zmiennej losowej

Wartoúcià oczekiwanà (lub wartoúcià úrednià) zmiennej losowej X nazywamy:

1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi - liczbæ

2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - liczbæ

Definicje te moýemy uogólniã na przypadek, gdy dana jest pewna funkcja g zmiennej losowej X, i w konsekwencji mamy do czynienia z nowà zmiennà losowà Y=g(X). Jeýeli chcemy obliczyã jej wartoúã oczekiwanà E(Y)=E(g(X)), to z definicji musielibyúmy policzyã najpierw rozkùad (tzn. odpowiednie wartoúci yi oraz ich prawdopodobieñstwa qi dla zmiennej Y=g(X) albo teý odpowiednià gæstoúã fY zmiennej losowej Y) a nastæpnie zastosowaã odpowiedni z powyýszych wzorów. Okazuje siæ jednak, ýe wartoúã oczekiwanà zmiennej g(X) moýemy teý obliczyã bezpoúrednio, a mianowicie:

1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi -mamy

2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - mamy

W szczególnoúci, moýemy okreúliã tzw. momenty (zwykùe) wyýszych rzædów (rzædu k):

1) w przypadku zmiennej losowej typu skokowego, przyjmujàcej wartoúci xi z prawdopodobieñstwami odpowiednio pi - mamy

2) w przypadku zmiennej losowej typu ciàgùego o gæstoúci f - mamy

Co wiæcej, wzory na E(g(X)) uogólniajà siæ nawet na przypadek funkcji dwóch lub wiæcej zmiennych losowych, np.

1) gdy (X,Y) jest dwuwymiarowà zmiennà losowà typu skokowego, pij=P(X=xi,Y=yj), to

2) gdy (X,Y) jest dwuwymiarowà zmiennà losowà typu ciàgùego o gæstoúci f(x,y), to

Wùasnoúci wartoúci oczekiwanej zmiennej losowej:

E(X+Y)=E(X)+E(Y);

E(aX)=aE(X).

Jeýeli zmienne losowe X i Y sà niezaleýne, to E(XY)=EX EY.

Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej

Niech X bædzie zmiennà losowà, przy czym zakùadamy, ýe istnieje jej wartoúã oczekiwana m=EX. Przez wariancjæ zmiennej losowej X rozumiemy liczbæ, oznaczanà przez D2X, WX lub VX, mianowicie

D2X=WX=VX=E[(X–m)2].

Tak wiæc, mamy

wzglædnie

odpowiednio dla zmiennej losowej typu skokowego oraz ciàgùego. Proste przeliczenie daje wzór WX = E(X2)–(EX)2 . Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X, oznaczanym przez s(X), nazywamy pierwiastek kwadratowy z wariancji zmiennej X.

Wùasnoúci wariancji:

W(aX)=|a|2WX;

W(X+Y)=WX+WY+2(E(XY)–(EX)(EY));

w szczególnoúci,  jeýeli X i Y sà niezaleýne, to W(X+Y)=WX+WY.

Analogicznie do wariancji, moýemy okreúliã tzw. moment centralny rzædu k jako

mk(X) = E[(X–m)k], gdzie m=EX jak poprzednio.

Parametry podstawowych rozkùadów.

Rozkùad X

EX

E(X2)

WX

dwupunktowy

p

p

pq

Bernoulliego o parametrach (n,p,q=1–p) (czyli dwumianowy)

np

n(n–1)p2+np

npq

Poissona z parametrem l

l

l

l

normalny (Gaussa) tzn. N(m,s

m

s

Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy’ego).

Niech X1,X2, - bædzie ciàgiem niezaleýnych zmiennych losowych o jednakowym rozkùadzie, posiadajàcym wartoúã oczekiwanà m i odchylenie standardowe s. Niech

Niech

;

Yn jest wiæc normalizacjà sumy X1+X2++Xn, przez odjæcie od niej jej wartoúci oczekiwanej (tzn. nm) i podzielenie jej przez jej odchylenie standardowe (tzn. ), co zapewnia, ýe E(Yn)=0, s(Yn)=1; ostatnià postaã otrzymujemy z kolei, dzielàc licznik i mianownik przez n.

Wtedy rozkùad zmiennej Yn dàýy przy n do rozkùadu normalnego N(0,1) w tym sensie, ýe jego dystrybuanta dàýy (punktowo) do dystrybuanty FN(0,1) rozkùadu normalnego N(0,1), tzn.

(„+” gdy y 0; „–” gdy y<0). Oznacza to, ýe dla duýych n zmienna losowa Yn ma w przybliýeniu rozkùad normalny N(0,1). W praktyce przyjmujemy, ýe przybliýenie to jest wystarczajàco dobre dla n



Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1308
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved