Układy równań liniowych

Rozwiązanie I metodą.

Jeseli  

Wzory Krammera

Rozwiązanie II metodą.

gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników

w miejsce X_i ma kolumnę wyrazów wolnych ???????

Rozwiązanie III metodą.

macierz wektor

współczyn prawo

ników stronny

przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:

Matematyka ćwiczenia.

Przykład: Oblicz wskaźnik macierzy IV stopnia

Wszystkie kolumny i rzędy mają taką sama ilość zer. Mosemy więc wybrać dowolny element od którego rozpoczniemy obliczenia. Rozpoczniemy od zera z 3 rządu , 2 kolumny. Rząd 3, kolumna 2 zostają więc wyeliminowany z obliczeń.

Przykład: Obliczyć macierz odwrotna metodą dopełnień.

Obliczamy wskaźnik macierzy:

Obliczamy macierz dopełnień.

Krok 1

A= A= A=

Krok 2)

A= A= A=

Krok 3)

A= A= A=

Krok 4) Obliczamy wskaźniki w macierzy dopełnień:

Krok 5) Obliczamy elementy macierzy dopełnień według wzoru:

3) Transponujemy macierz dopełnień:

.

Obliczamy macierz odwrotną:

Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń.

Wykorzystujemy zalesność:

Macierz pomnosona przez macierz odwrotną daje w wyniku macierz jednostkową.

Mnosenie sprawdziło się. Obliczenie macierzy pierwotnej zostało przeprowadzone poprawnie.

Przeprowadzimy to samo obliczenie wykorzystując metodę przekształceń elementarnych.

Polega ona na tym, se do macierzy dopisujemy jej postać jednostkową a następnie obie macierze poddajemy kolejnym przekształceniom ich elementów tak, aby postać macierzy sprowadzić do postaci macierzy jednostkowej. Po takich przekształceniach dopisana na początku macierz jednostkowa będzie miała postać poszukiwanej macierzy pierwotnej.

Przekształcenie – 1

Pierwszy i drugi wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

Aby zamiast elementu a ₃₁ = -1 otrzymać 0 nalesy do wiersz 3 dodać wiersz 1.

ok.!

Przekształcenie – 2

Aby zamiast elementu a ₂₂ = 3 otrzymać 1 nalesy wiersz 2 podzielić przez 3

ok.!

Przekształcenie – 3

Aby zamiast elementu a ₁₂ = 2 otrzymać 1 nalesy wiersz 2 pomnosyć przez (-2) i dodać do wiersza 1.

ok.!

Przekształcenie – 4

Aby zamiast elementu a ₃₁ = -1 otrzymać 0 nalesy pomnosyć przez (-6) i dodać do wiersza 3.

ok.!

Przekształcenie – 5

Aby zamiast elementu a ₃₃ = -1 otrzymać 1 nalesy w3 pomnosyć przez (-1)

ok.!

Przekształcenie – 6

Aby zamiast elementu a ₁₃ = -1/3 otrzymać 0 nalesy wiersz 3 pomnosyć przez (1/3) i dodać do w1

ok.!

Przekształcenie – 7

Aby zamiast elementu a ₂₃ = 2/3 otrzymać 0 nalesy wiersz 3 pomnosyć przez (-2/3) i dodać do w2

ok.!

Przykład: Rozwiązać układ równań.

Tworzymy macierz współczynników i macierz wartości:

Obliczamy metodą przekształceń elementarnych.