Fysik

Lektion 1:

Elektriska fält (kap 9)

Fysik B-kursen börjar med elektriska fält, som vi läste om i A-kursen. Inledningsvis demonstrerar jag nagra elektriska fält m h a gräsfrön i olja och en bandgenerator. Gräsfröna lägger sig utefter fältlinjerna. 

Exempel:

Varför är det säkert att sitta i en bil när askan gar. Gar det bra med t ex en cabroilet (bil utan tak) och är det säkert att cykla när askan gar?

Lösning:

Jag sätter en Faradays bur över den stora kulan pa bandgeneratorn. Det hänger aluminiumfoliebitar pa in- och utsidan av buren. Jag sätter pa bandgeneratorn. Vad händer? Jo, aluminiumbitarna pa utsidan repellerar buren, men inte de pa insidan. Varför? Jo, laddningarna (positiva eller negativa) pa buren befinner sig i jämvikt, alltsa finns inget elektriskt fält, d v s inga fältlinjer, inne i buren laddningarna kan följa. Därmed blir aluminiumfolien inne i buren oladdad och opaverkad. Man kan även se det sa, att lika laddaningar repellerar varandra sa mycket som möjligt. Alltsa lägger sig laddningarna pa den ledande buren där avstandet mellan dem blir störst. Det är alltsa inte sa lyckat att sitta i en cabriolet eller att cykla när askan gar, eftersom man helt maste omges av ett ledande föremal. Exempelvis avskärmas rum innehallande känslig elektronisk utrustning med ledande material för att de inte skall störas av t ex mobiltelefoner eller en emp (elektromagnetisk puls) orsakad av kärnvapen.

Elektrisk fältstyrka

Fältstyrkan är ett matt pa fältlinjernas täthet. Exempelvis minskar saledes fältstyrkan med avstandet fran en punktladdning. Vektorstorheten elektrisk fältstyrka E (k i formelsamlingen) definieras som kvoten mellan den kraft F en laddning q paverkas av i fältet:

E=F/q

Enheten för elektrisk fältstyrka är alltsa N/C.

Exempel:

Mellan tva laddade parallella plattor är det elektriska fältet homogent, d v s fältstyrkan är konstant. Vilken fältstyrka krävs för att en pingisboll som väger 5,3 g skall kunna sväva fritt, om bollen är laddad med Q=-87 nC?

Lösning:

Vi börjar med att rita en figur. Eftersom jämvikt rader och bollen skall sväva maste bollens tyngdkraft F_t vara lika stor som kraften F_e fran det elektriska fältet E, d v s:

F_t=F_e= EQ T E=F_t/Q = mg/Q = 0,0053x9.82/87x10^-9 = 6,0x10⁵ N/C

Svaret tycks stort och säger oss ännu inte sa mycket.

Exempel:

Hur stor är fältstyrkan pa avstandet r fran den positiva punktladdningen Q?

Lösning:

Fältstyrkan fran en punktladdning avtar med avstandet, d v s fältlinjerna glesnar när avstandet ökar. Vi inför en liten testladdning q pa avstandet r fran Q och beräknar m h a Coulombs lag kraften den paverkas av:

F_q=kqQ/r² = q kQ/r² = q E_Q

Det elektriska fältet pa avstandet r fran Q är tydligen E_Q= kQ/r²

Spänning och fältstyrka

Storheterna spänning och fältstyrka hänger samman, fragan är hur? Antag att vi vill flytta den positiva laddningen q sträckan d fran den positiva till den negativa elektroden i den homogena fältet E i figuren intill. Vi maste da utföra arbetet W:
W=Fd = qEd                       (1)

Om spänningen mellan elektroderna är U kan vi även uttrycka arbetet med tidigare kunskaper:
W=qU                                 (2)

Sätter vi samman (1) och (2) fas:

qEd=qU T  Ed=U  T  E=U/d

Vilket alltsa är sambandet mellan spänning och fältstyrka. Fältstyrkan anger alltsa hur stor spänningen är per meter. Enheten för elektrisk fältstyrka kan saledes även uttryckas som V/m (volt/meter).

Exempel:

Vilken spänning krävs för att halla pingisbollen svävande i det tidigare exemplet, om avstandet mellan plattorna är:

a.       1 dm?

b.      1 m?

Lösning:

Enligt beräkningarna i exemplet vet vi att den elektriska fältstyrkan är E=6,0x10⁵ V/m. Erforderlig spänning blir da:

a.       U=Ed=6,0x10⁵x0,1 = 60 kV

b.      U=Ed=6,0x10⁵x1 = 600 kV

Öva själv: 13.1-13.13

Lektion 2:

Elementarladdningen

Finns det nagon gräns för hur liten en laddning kan bli? Ja, det finns det faktiskt. Det gar inte att astadkomma en mindre storlek pa en laddning än den som finns hos elektronen eller hos en enskild proton. Laddningen kallas för elementarladdningen och har storleken e= q_e= 1.602x10^-19 C.

Exempel:

Hur manga elektroner finns pa den stora bandgeneratorkulan, vars laddning är Q=87 nC?

Lösning:

Antal elektroner: n=Q/e=87x10^-9/1.6x10^-19=5.4x10¹¹ st

Exempel:

Spänningen mellan den stora och lilla bandgeneratorkulan är 5 kV. Antag att den stora kulan är negativ och den lilla positiv.

a.       Bestäm den elektriska lägesenergin hos en elektron som befinner sig pa den stora kulan.

b.      Vilken fart har en elektron som lossnar fran den stora kulan när den träffar den lilla positiva kulan?

Lösning:

a.       Elektronens elektriska lägesenergi W_e:

W_e = q_eU=1.6x10^-19x5000=8x10^-16 J

b.      När elektronen träffar den positiva kulan har all elektrisk lägesenergi W_e hos elektronen omvandlats till kinetisk W_k:

W_e = W_k = m_ev²/2  T  v=(2W_k/m_e)^1/2 = (2x8x10^-16/9.11x10^-31)^1/2= 4.2x10⁷ m/s

Öva själv: 13.14-13.17

Potential

Begreppet potential och spänning hänger tätt samman. Spänning mäts ju mellan tva punkter, t ex över en glödlampa. I vissa sammanhang är det lämpligt att alltid ange spänningen till en referenspunkt. Referenspunktens potential sätts da till 0 V. I vägguttaget är det jorden som utgör referenspunkten 0 V. Storheten potential mäts alltsa i enheten volt. Begreppet potential har även viss koppling till potentiell energi. Potentiell (läges-) energi mäts ju alltid i förhallande till en nollniva. I elsammanhang anges den elektriska lägesenergin i förhallande till jorden. Man brukar dock sällan beräkna den elektriska lägesenergin. I elsammanhang är det istället potential som gäller. Skillnad i potential är spänning.

Exempel:

Bilden visar tva plattor med olika potential V. Den undre plattan är jordad och har alltsa potentialen 0 V. Vilken elektrisk lägesenergi har den positiva laddningen q=1.6nC om den befinner sig pa plattan vid:

a.       A

b.      B

c.       Bestäm spänningen mellan plattorna.

Lösning:

Laddningen elektrisk lägesenergi W=qV, d v s laddningen multiplicerad med potentialen vid laddningen.

a.       W_A=qV_A=1.6x10^-9x0=0 J

b.      W_B=qV_B=1.6x10^-9x5=8x10^-9 J

c.       Spänningen U är skillnaden i potential:

U_AB=V_A-V_B=5-0=5 V

Öva själv: 13.18-13.21

Lektion 3:

Potential i elektriska kretsar

Begreppet potential har kanske störst tillämpning i elektriska kretsar. I en bils elsystem t ex ges kaross och motor (som är anslutna till batteriets minuspol) potentialen 0 V, som alltsa är bilens jord. Skall man sen koppla in en lampa t ex räcker det med en ledare fran batteriet till lampan. Återledaren ansluts till närmaste jord, t ex kaross eller motor. Begreppet potential används även för att förenkla beräkningar i kretsar. Detta aterkommer vi till senare.

Demonstration:

Vi kopplar upp intilliggande krets bestaende av tva batterier och tva resistorer. Punkten B jordas i vägguttagets jordkontakt med en krokodilklämma. Sedan mäter vi med en voltmeter potentialen i punkten:

a.       A

b.      B

c.       C

d.      Spänningen mellan punkterna A och C.

e.       Beräkna spänningen mellan A och C m h a mätvärdena i a) och c). Stämmer med svaret i d)?

Lösning:

Potentialen bestäms genom att ansluta voltmeterns minusuttag till jord och det andra uttaget till mätpunkten.

a.       V_A=2.92 V

b.      V_B=0 V (detta är jordpunkten)

c.       V_C=1.48 V

d.      U_AC=1.44 V

e.       Spänningen är potentialskillnaden mellan punkterna A och C:

U_AC= V_A-V_C =2.92-1.48=1.44 V (Stämmer!)

Demonstration:

Vi utgar fran kretsen i föregaende exempel och mäter upp delspänningarna (med tecken) över alla fyra komponenterna. R₁=500 ohm och R₂=300 ohm.

U_E1=1.5 V

U_R1= -1.875 V

U_E2=1.5 V

U_R2= -1.125 V

Vi summerar sedan delspänningarna: 1.5-1.875+1.5-1.125 = 0

Vi kan dra tva slutsatser av mätningen:

1.      Spänningen är negativ över motstand och positiv över batteriet, d v s potentialen sjunker efter ett motstand och ökar över ett batteri (som är vänt som de ovan).

2.      Summan av delspänningarna i en krets är noll. Detta kallas Kirchoffs andra lag (Kirchoffs första lag tillämpade vi i A-kursen. Den säger att summan av strömmarna in mot är lika med strömmarna ut fran en förgreningspunkt).

Exempel:

I ovanstaende krets är batterispänningarna E₁=6 V och E₂=12 V ohm, samt resistanserna R₁=15 ohm och R₂=25 ohm. Beräkna:

a.       Potentialen i punkten A.

b.      Potentialen i punkten C.

c.       Spänningen (utan tecken) mellan punkterna C och A.

Lösning:

I den här typen av uppgift är det lämpligt att börja med att bestämma strömmen I i kretsen. Med Kirchoffs andra lag (summan av delspänningarna medurs i kretsen) far vi:

E₁-IR₁+E₂-IR₂=0  T  I=(E₁+E₂)/(R₁+R₂)=(6+12)/(15+25)=18/40=0.45 A

Kirchoffs andra lag leder här till Ohms lag, d v s summan av spänningskällorna dividerat med summan av resistanserna i kretsen.

När vi nu vet strömmen är det dags att beräkna potentialerna. Vi utgar da fran jordpunkten och summerar delspänningarna fram till den punkt där potentialen V skall beräknas.

a.       Här är det enklast att ga mot strömmen Potentialen ökar da över en resistor:

V_A=IR₂=0.45x25=11.25 V

Gar vi med strömmen sjunker potentialen över en resistor:

V_A= E₁-IR₁+E₂=6-0.45x15+12=11.25 V

Potentialen blir förstas lika oavsett man gar med eller mot strömmen.

b.      Här är det enklast att ga med strömmen:

V_C=E₁=6 V

c.       Spänningen U motsvaras av potentialskillnaden mellan punkterna:

U_AC= V_A-V_C=11.25-6=5.25 V

Öva själv: 13.23-13.31

Lektion 4:

Kondensatorn

Kondensatorn är en komponent som kan lagra laddning. Skillnaden mellan ett batteri och en kondensator är att i batteriet är laddningarna kemiskt bundna, medan de i kondensatorn endast är statiskt bundna till en yta. I regel lagrar ett batteri betydligt mer laddning, d v s energi, än en kondensator. Inledningsvis laddar jag upp en kondensator via en elkub och later sedan kondensatorn driva en liten ringklocka. Kondensatorer används i de flesta elektronikprylar, bl a för att ladda upp kamerablixtar, skapa fördröjningar och filtrera bort störande signaler i elkretsar. Jag visar även en vridkondensator som finns i radioapparater.

Demonstration

En enkel modell av en kondensator är tva parallella metallplattor. Jag laddar upp plattorna genom att gnida ett plaströr med ett kattskinn. P g a influens far plattorna lika stor laddning q, men med olika polaritet. Plattorna kopplas till en kilovoltmeter. Desto mer laddning som tillförs desto större blir spänningen U. Spänningen ökar även om plattornas avstand ökar och om plattorna parallellförflyttas, d v s om den gemensamma plattarean minskar. Placeras t ex glas mellan plattorna minskar spänningen. Uppenbarligen beror spänningen över plattorna pa laddningens storlek, plattavstandet, materialet mellan plattorna och plattarean. Eller om man sa vill: Kondensatorns förmaga att lagra laddning beror pa spänningen, plattavstandet, materialet mellan plattorna och plattarean. Vi aterkommer strax till slutsatserna av demonstrationen.

Kapacitans

En kondensators förmaga att lagra laddning kallas kapacitans (C). Storheten kapacitans mäts i enheten Farad (F). Desto mer laddning som ’pumpas’ in i kondensatorn desto större blir spänningen över kondensatorn (ungefär som trycket ökar när gas pumpas in i en gastub).

Demonstration

Fragan är vilket samband som rader mellan laddning och spänning i en kondensator. Spänning är enkelt att mäta, men inte laddning. Vi tvingas därför göra en kvalitativ bestämning av sambandet genom att ladda en kondensator med kapacitans och mäta spänningen, halvera laddningen genom att ansluta kondensatorn till en likadan oladdad kondensator och mäta spänningen igen o s v. Följande tabell erhalls:

Laddning	Q	Q/2	Q/4	Q/8	3Q/4
Spänning (V)	30	15	7,5	3,75	22,5

 

Tabellen tyder pa ett proportionellt samband mellan laddning och spänning:

Q=CU           (1)

Där alltsa proportionalitetsfaktorn är kapacitansen. Kapacitans kan tydligen även uttryckas i grundenheterna C/V, även om farad i regel används.

Exempel:

Kondensatorn som driver summern ovan har kapacitansen 2500 mF. Vilken laddning innehaller den, om den ansluts till spänningen 6 V?

Lösning:

Använd formel (1):

Q=CU=2500x10^-6x6=0.15 C, vilket är en oerhörd laddningsmängd.

Demonstration

Vi kontrollmäter kapacitansen med ett mätinstrument i nagra kondensatorer, bl a vridkondensatorn och plattorna i det inledande exemplet.

Öva själv: 13.36-13.37

Kapacitans hos plattkondensator

Vi aterknyter nu till den inledande demonstrationen och försöker att hitta ett samband för plattornas kapacitans. Om spänningen U ökar med laddningen Q, ökar med plattavstandet d, minskar med ökad plattarea A, samt beror av materialet k mellan plattorna, bör sambandet bli:

U=kdQ/A  T  Q=AU/kd = eAU/d=e_oe_rAU/d

Plattkondensatorns kapacitans blir alltsa:

C=e_oe_r A/d, där e_o=8.9x10^-12 F/m är kapacitiviteten för vakuum (och torr luft) och e_r relativa kapacitiviteten hos materialet mellan plattorna. e_r finns angivet i formelsamlingen. Det är ju rimligt att en kondensator med stor area lagrar mycket laddning.

Demonstration

Vi bygger en plattkondensator av tva aluminiumplattor och en glasskiva. Plattorna och glaset har matten 25x25 cm och glaset är 3 mm tjockt. Relativa kapacitiviteten e_r=7 hos glaset. Kapacitansen blir da: 

C=e_oe_r A/d=8.9x10^-12x7x0.25x0.25/0.003=1.3 nF

Vi kontrollmäter kapacitansen med ett instrument. Trots att plattkondensatorn tycks stor är kapacitansen liten. Kondensatorer är i regel tunt rullade som pappersrullar varvade med ett isolerande material med stort e_r. Vatten har stort värde pa e_r (81) därför att vattenmolekylen är en s k dipol.

Öva själv: 13.38-13.40

Parallell- och seriekoppling av kondensatorer

Läs in detta pa egen hand (s. 29-30 i boken). Jämför med parallell- och seriekoppling av resistorer.

Exempel:

Vilka ersättningskapacitanser kan du skapa av tva kondensatorer med vardera kapacitansen 5,0 nF och 2,0 nF?

Lösning:

Kondensatorerna kan antingen parallellkopplas eller seriekopplas.

Vid parallellkoppling är det bara att summera kapacitanserna, d v s:

C_e= C₁+ C₂ =5+2=7 nF

Vid seriekoppling av kondensatorer blir det som vid parallellkoppling av resistorer, d v s:

C_e=(1/C₁+1/C₂)^-1=(1/5+1/7)^-1=2,9 nF

Öva själv: 13.41-13.43

Lektion 5:

Oscilloskopet

Jag demonstrerar kort oscilloskopets funktionssätt (se boken s. 24) och visar inledningsvis hur man kan göra roliga figurer genom att koppla in olika signaler (spänningar) fran tva tongeneratorer över oscilloskopets x- respektive y-plattor. Vi kopplar sedan över till oscilloskopets tidssvep och later x-axeln visa tiden. Vi kan da studera hur en spänning (signal) ändras i tiden. Jag visar sedan hur oscilloskopet reagerar för likström fran ett batteri, sinusformad växelström, trekantsvag och fyrkantsvag (se figurer nedan). Ett oscilloskop är alltsa egentligen inget annat än en voltmeter som pa en skärm visar hur en spänning (signal) ser ut. Eftersom oscilloskopet har tva kanaler kan det mäta och visa tva spänningar samtidigt.

RC-kretsar

En krets som bestar av en resistor (R) och en kondensator (C) kallas RC-krets (se figur intill). Sluts strömbrytaren stiger strömmen i kretsen direkt till ett maxvärde, men avtar sedan sakta mot noll. Strömmen avtar därför att kondensatorn fylls pa med laddning, vilket ökar spänningen över kondensatorn och batteriet far allt svarare att orka med att ’trycka’ fram strömmen. Till slut blir strömmen noll i kretsen. Ungefär som när man pumpar luft i en cykelslang. I början när slangen är tom gar det lätt att pumpa, men allt eftersom trycket i slangen ökar gar det trögare att pumpa.

In- och urkoppling av kondensator

För att visa hur spänningen varierar över kondensatorn i figuren ovan när den laddas upp och laddas ur kopplar vi in en fyrkantsvag som spänningskälla E, d v s spänningen är omväxlande konstant 5 V (t ex) och 0 V. Pa oscilloskopets kanal 1 mäts spänningen U₁över spänningskällan och pa kanal 2 spänningen U₂ över kondensatorn. Vi kan da jämföra spänningarnas utseende pa oscilloskopet. För att fa en bra bild av förloppet pa skärmen väljer vi R=10 kohm, C=0.1 mF och frekvensen pa fyrkantsvagen till ungefär f=130 Hz. Produkten RC anger ungefär hur lang tid det tar att ladda ur kondensatorn (visas med differentialekvationer i matte kurs-E). Diagrammet ovan visar hur spänningen (U₂) över kondensatorn ökar över tiden när den konstanta spänningen (U₁) läggs pa. Inkopplingen kan även göras med ett batteri (4,5 V) och strömkurvan visas pa ett minnesoscilloskop. Med en kondensator C=2200 mC och en resistor med R=50 ohm blir stigtiden c:a 100 ms (RC=0,11 s). Spänningen mäts da över motstandet R, enligt figuren till höger.

Exempel:

I diagrammet ovan är vid ett tillfälle U₁=5.0 V och U₂=3.4 V. Bestäm

a.       Spänningen över motstandet.

b.      Strömmen i kretsen.

c.       Laddningen i kondensatorn.

d.      Efter nagon millisekund är strömmen i kretsen noll. Vad är da laddningen i kondensatorn?

e.       Antag att vi lägger in en strömbrytare i serie med kondensatorn i figuren. Strömbrytaren är inledningsvis öppen och kondensatorn oladdad. Strömbrytaren sluts sedan och kondensatorn börjar laddas upp. Hur stor är strömmen i kretsen omedelbart i början av uppladdningen?

Lösning:

a.       Summan av delspänningarna i kretsen är noll (Kirchoffs 2:a lag). Spänningen U_R över motstandet blir alltsa:

U_R = U₁-U₂=5-3,4=1,6 V

b.      Ohms lag för resistorn ger strömmen I i kretsen:

I=U_R/R=1,6/10000=0,16 mA

c.       Spänningen över kondensatorn är 3,4 V. Använd formeln för laddning Q i kondensator:

Q=CU₂=0,1×10^-6×3,4=3,4×10^-7 C = 0,34 mC

d.      Spänningskällan förmar höja spänningen över kondensatorn till högst 5 V (när kondensatorn är fulladdad är ju strömmen i kretsen noll, varför all spänning ligger över kondensatorn). Laddningen Q i kondensatorn blir da:

Q=CU₂=0,1×10^-6×5=0,5×10^-7 C = 0,5 mC

e.       Omedelbart efter att strömbrytaren sluts börjar det att ga ström i kretsen. Kondensatorn är dock ännu oladdad, varför all spänning (5 V) ligger över resistorn. Ohms lag ger strömmen i kretsen:

I=U_R/R=5/10000=0,5 mA

Jämförelse mellan kondensator och trycktank

Lite oegentligt kan man jämföra en kondensator med en trycktank (hydrofor) i ett vattenledningssystem. Vattenpumpen pumpar in vatten i tanken sa att trycket ökar där. Pa samma sätt ’pumpar’ batteriet in laddningar i kondensatorn sa att spänningen där ökar.

Öva själv: 13.44-13.46

Lektion 6:

Magnetfält (kap 14)

Magneter och magnetfält

Liksom det kring laddningar finns elektriska fält, finns det kring magneter magnetfält. Laddningens elektriska fältlinjer motsvaras hos magneten av flödeslinjer, medan positiv och negativ hos laddningen ersatts av nord- och sydände hos magneten. Ett magnetiskt föremal har alltid en nord- och en sydände, där flödeslinjerna gar fran nord till syd. En liten testmagnet som placeras i magnetfältet kommer att ställa in sig med sin nordände i flödeslinjernas riktning. Figuren nedan visar flödeslinjerna kring en stavmagnet, samt en liten testmagnet som ställer in sig i flödeslinjernas riktning.

                          N                                                                                       S

Demonstration

Jag illustrerar flödeslinjer pa OH med en stavmagnet respektive en hästskomagnet pa järnfilspan och pa en matris med sma kompassnalar, samt visar hur en kompass pekar. Jag visar även att lika poler repellerar varandra och olika attraherar varandra.

Exempel:

Var ligger jordens magnetiska nordände?

Lösning:

Eftersom kompassens nordände pekar mot norr maste magnetiska sydände ligga vid nordpolen. Magnetiska nordänden ligger alltsa vid sydpolen.

Magnetfält kring strömmar

Jag placerar tre kompassnal runt en lodrät ledare och drar pa ström. Nalarna ställer da in sig i tangentens riktning runt ledaren. Andras strömmens riktning i ledaren pekar nalarna at motsatt hall. Tydligen finns ett magnetfält (flödeslinjer) runt en strömförande ledare. Att döma av riktningen pa nalarna och strömmen har flödeslinjerna riktningen enligt figuren nedan. 

                      I                    

                                                                 I

Den vänstra bilden ovan visar att flödeslinjen kommer ur papperet pa ovansidan ledaren och in i papperet under ledaren, om strömmen I gar at höger. Högra bilden visar att flödeslinjerna roterar moturs runt ledaren, om strömmen kommer ur papperet. Ett kryss (dartpil bakifran) innebär alltsa att nagot gar fran betraktaren och en punkt (dartpil framifran) att nagot kommer mot betraktaren. Fältet har alltsa samma riktning som en skruv skall skruvas at för att komma at det hall som strömmen gar at, enligt skruvregeln. Flödeslinjerna har även den riktning fingrarna pekar i om högertummen pekar i strömmens riktning, enligt högerhandsregeln.

Exempel:

Rita ut magnetfältet runt ledaren med strömmen I m h a:

a.       Skruvregeln                                                               I

b.      Högerhandsregeln

Lösning:

Se ovan.

Krafter pa ledare i magnetfält

Vi hänger en ledad koppartrad i gapet pa en hästskomagnet, enligt figuren nedan. När nagra ampere ström leds genom koppartraden rör den sig utat eller inat i gapet beroende pa at vilket hall strömmen gar. Fragan är varför ledaren rör sig?

                                                                 I

                                                  F 

Om strömmen I gar in i papperet som i figuren ovan kommer magnetfältet fran ledaren att samverka med magnetfältet fran magneten till höger om ledaren och motverka till vänster. Eftersom flödeslinjerna är vektorer kommer fältet att bli starkare pa insidan och svagare pa utsidan, d v s den magnetiska flödestätheten är olika till höger och vänster om ledaren. Flödestätheten strävar efter att utjämna sig, alltsa paverkas ledaren av en kraft at höger. Man kan även se det som att flödeslinjer med samma riktning repellerar varandra och olika riktning attraherar varandra. Ledaren kommer även da att paverkas av en kraft at vänster. Tydligen är kraften, strömmen och magnetfältet alla vinkelräta mot varandra.

Exempel:

Åt vilket hall kommer en strömförande ledare i jordens magnetfält i Åmal att röra sig, om strömmen I gar i:

a.       syd-nordlig riktning.

b.      öst-västlig riktning.                                                    

Lösning:                                                                                                F

a.       Magnetfälten samverkar pa östra sidan om ledaren,             väster                I                   öster

alltsa rör sig ledaren at  väster.

b.      Magnetfälten samverkar pa norra sidan om ledaren,

alltsa rör sig ledaren at söder.                                                     söder                                  norr

    F       I

                                                                                                            

Hur stor är kraften?

När vi nu vet att en strömförande ledare i ett magnetfält paverkas av en kraft vore det naturligtvis roligt att kunna beräkna kraftens storlek. Inledningsvis kan man fundera pa vilka variabler som paverkar kraftens (F) storlek:

·        Magnetiska flödestätheten (B)

·        Strömmens storlek (I)

·        Ledarens (vinkelräta) längd i magnetfältet (l)

Vi söker alltsa funktionssambandet:
F= f(B, I, l)   (1)

För att bestämma sambandet maste vi göra tre mätningar, där vi varierar en av variablerna at gangen. För mätningarna använder vi en liten ’gaffel’, vars ena ände sticks ned i gapet pa en magnet bestaende av mindre magneter. Gaffelns strömförande längd i magneten kan varieras, liksom strömstyrkan. Magnetfältet kan varieras genom att de mindre magneterna plockas bort. Gaffeln fästs i ett stativ och magneten star pa en känslig vag (0.1 gram). Vi gör följande tre mätningar, där kraften mäts i gram:

B och l konstanta:                        B och I konstanta:                          I och l konstanta:

Vi ser direkt att kraften F är linjärt beroende av alla tre variablerna. Sambandet (1) blir da:

F=kBIl

Här har man valt konstanten k till 1 (ett) och latit detta uttryck bli definitionen för vektorstorheten magnetisk flödestäthet B:
B=F/Il  [N/A/m]

Flödestäthetens SI-enhet är dock Tesla [T].

Exempel:

I en kraftledning gar likströmmen 650 A. Avstandet mellan kraftledningsstolparna är 200 m och flödestätheten i det jordmagnetiska fältets vertikala komposant är 15 mT. Bestäm kraftens storlek i ledningen.

Lösning:

Här är allting vinkelrätt sa det bara att använda ’BIL-formeln’:

F=BIL=15x10^-6x650x200=1.95»2 N

Öva själv: 14.1-14.11

Lektion 7:

Flödestäthet kring rak ledare

Vi kom i förra lektionen fram till att en rak strömförande ledare omges av ett cirkulärt magnetfält. Fältets riktning vet vi, men det aterstar att bestämma flödesintensiteten B. Man kan därför fraga sig vilka variabler/storheter som paverkar den magnetiska flödetätheten (B) runt ledaren?

·        Strömmen i ledaren (I)

·        Avstandet till ledaren (r)

Vi söker alltsa funktionssambandet:

B=f(I, r)        (1)

För att bestämma detta monterar vi upp en linjal och en flödesmätare pa ett stativ intill en lang strömförande ledning. Flödesmätaren kalibreras till 0 innan strömmes i ledningen släpps pa. Sedan mäter gör vi tva mätserier av B, en där avstandet till ledaren är konstant medan strömmen ändras, och en där strömmen är konstant medan B mäts pa olika avstand. Mätresultaten införs i nedanstaende tabeller:

Konstant avstand (r=2 cm)                     Konstant ström (I=6 A)

Första tabellen antyder att B är linjärt beroende av strömmen (fördubblas I fördubblas B). Hur B beror av r är dock inte lika enkelt att inse. Vi knappar därför in tabellens mätvärden pa miniräknaren och använder regressionsmoden. Det visar sig da att B ungefär är omvänt proportionellt mot r (d v s 1/r). Sambandet (1) ovan blir alltsa:

B=kI/r           (2)

där konstanten k=2x10^-7 N/A²

Exempel:

Flödestätheten pa avstandet r₁=1.5 m fran en ledare är B₁=0.75 mT. Bestäm:

a.       Flödestätheten pa avstandet r₂=0.05 m.

b.      Strömmen i ledaren.

Lösning:

Samband (2) ger konstanten k:

k=B₁r₁/I         (3)

a.       Flödestätheten B₂ blir da med (3):

B₂=kI/r₂ = B₁r₁/I I/r₂ =B₁r₁/r₂ =0.00075x1.5/0.05=0.0225 T

b.      Lös ut I ur (2):

I=B₁r₁/k=0.00075x1.5/2x10^-7 = 5625 A

Exempel:

Tva strömförande ledningar löper parallellt pa avstaendet 1.0 m fran varandra, enligt figuren nedan. Bestäm totala flödesintensiteten till storlek och riktning i punkten B, om flödestätheten i punkten A fran den vänstra ledaren är 0.20 mT. Strömmen är lika stor i bada ledarna.

                                                                                                       B_h

                          A        1 m                 1 m                   1 m           B

 

                                                                                                      B_v

Lösning:

Eftersom flödesintensitet är en vektorstorhet är totala flödestätheten B_tot i punkten B summan av flödesintensiteterna fran den högra och vänstra ledaren:
B_tot=B_v+B_h

Fördubblas avstandet till ledaren halveras flödesintensiteten. Med positiv riktning uppat blir alltsa:

B_v= -0.10 mT

Bh= 0.20 mT

B_tot= -0.10+0.20 = 0.10 mT

Öva själv: 14.12-14.15

Lektion 8:

Kraftverkan mellan parallella ledare

Jag hänger upp tva lodräta ett par meter langa parallella ledare pa nagon centimeters avstand fran varandra. När det gar nagra ampere ström i ledningarna rör de sig, olika beroende pa om strömmarna gar at samma eller olika hall. Ledningarna rör sig därför att de paverkas av varandras magnetfält.

Exempel:

Bestäm kraftens storlek och riktning per meter hos tva parallella strömförande ledningar, enligt figuren nedan, om strömmarna I₁=5 A och I₂=8 A och avstandet mellan ledningarna är 1,0 cm.

Lösning:

Ledarna paverkas av varandras magnetfält. Fälten samverkar pa insidan, alltsa blir kraften riktad utat. För att bestämma kraftens storlek kan man tänka sig att den ena ledaren (I₁) paverkas av den andra ledarens (I₂) magnetfält. Kraften F blir alltsa:

F=B₂I₁L         (1)

B₂=kI₂/d        (2)

Sätt in (2) i (1):

F= kI₂ I₁L/d = 2x10^-7x8x5x1/0,01 = 8x10^-4 N                (3)

Observera att formeln (3) för kraften mellan tva parallella ledare paminner litet om Coulombs lag, men här är det produkten av strömmarna, samt inte kvadraten pa avstandet som gäller. Fenomenet kan visas med tva langa aluminiumfolieremsor, enligt bilden till höger.

Definitionen för ampere

När tva langa parallella ledare pa avstandet 1 m fran varandra som genomflyts av lika stor ström och paverkas av kraften 2x10^-7 N/m, da är strömmen 1 A.

Permeabilitet

När vi beräknat flödestätheten runt en ledare har vi använt en konstant k=2x10^-7. Exakt uttryckt är k=m_o/2p, där naturkonstanten m_o = 4px10^-7 N/A² är permeabiliteten för vakuum (och nästan luft). Det är alltsa riktigare och vanligare att uttrycka flödestätheten B pa avstandet r fran en lang rak ledare med följand formel:

B=m_oI/2pr    (4)

Finns ledaren och magnetfältet i ett annat material än vakuum, t ex järn som i en transformator, maste (4) multipliceras med relativa permeabiliteten m_r, som alltsa är 1 för vakuum (och luft) och omkring 250 för järn. Magnetfältet förstärks alltsa i järnet. Det fullständiga uttrycket (4) blir da:

B=m_om_rI/2pr

Bilden närmast till höger visar en elektromagnet, d v s magnetfältet skapas av strömmen i spolen. När strömmen till spolen bryts upphör järnkärnan att vara magnetisk.

Flödestäthet i en solenoid

En solenoid är en lang och smal cylinderliknande spole pa vars mantelyta en ledare lindats. Leds det ström genom lindningen uppstar ett magnetfält i och runt spolen. Spolen blir som en stavmagnet med nord- och sydända. I figuren intill visas schematiskt flödestäthetens och strömmens riktning i och runt spolen. Man kan nu fraga sig hur stor och pa vilka storheter flödestätheten inne i spolen beror. Följande variabler är rimliga att anta:

·        Strömmen i lindningen (I)

·        Spolens längd (L)

·        Antal lindningsvarv (N)

Vi försöker sedan att resonera oss fram till en formel. Ökar strömmen bör B öka, ökar spolens längd utan att antal lindningsvarv ökar bör B minska, samt ökar antal lindningsvarv utan att spolens längd ökar bör B öka. Vi far da följande formel:

B= m_oIN/L    (1)

Sambandet gäller under förutsättning att spolens radie är mycket mindre än spolens längd.

Jag visar eventuellt med en flödesmätare instoppad i en spiralfjäder som spole att B minskar om fjädern dras isär.

Exempel:

Jordens magnetfälts vertikalkomposant har flödestätheten B=15 mT i Åmal. Vilken ström krävs i den glesa laborationsspolen med 12 varv och längden 15 cm för att fa samma flödestäthet i spolen?

Lösning:

Vi löser ut I ur (1):

I=BL/m_oN=15x10^-6x0.15/4px10^-7/12 = 0.15 A

Öva själv: 14.16-14.22

Krafter pa laddade partiklar i magnetfält

Jag visar hur elektronstralen i ett katodstralerör böjer av om en magnet närmas den. Varför böjer stralen av? Vi vet att en strömförande ledare i ett magnetfält paverkas av en kraft.

Eftersom ström är elektroner i rörelse, borde även enskilda elektroner som rör sig paverkas av en kraft. Vi utgar fran BIL-formeln, dvs kraften pa en strömförande ledare i ett magnetfält:

F=BIL                                 (1)

Antag att vi vill beräkna kraften pa en ström som bestar av endast en laddning med laddningen q och farten v. Antag vidare att laddningen passerar sträckan L pa tiden t. Vi vet ocksa att ström är laddning per tidsenhet. Vi kan da uttrycka den genomsnittliga strömmen I pa sträckan L pa följande sätt:

I = q/t = q/(L/v) = vq/L        (2)

Sätt sedan in (2) i (1):

F=B (vq/L) L = Bvq

Kraften pa en laddning i ett magnetfält är alltsa:

F = Bvq                              (3)

Exempel:

En elektron fran ett TV-rör har ungefär hastigheten 5x10⁶ m/s. Tv:n star sa att elektronerna färdas fran öster mot väster. Bestäm kraftens riktning och storlek pa elektronen, om horisontalkomposanten av jordens magnetfält är 15 mT.

Lösning:

Figuren intill visar förloppet fran söder mot norr. Strömmen gar at öster (motsatt hall mot elektronerna), alltsa samverkar magnetfälten pa undersidan. Kraften pa elektronen blir da uppat. Storleken pa kraften blir:

F = Bvq = 15×10^-6x5×10⁶x1,6×10^-19 = 1,2×10^-17 N

Elektronens massa

Elektronens massa m_e gar att bestämma nagorlunda väl (under förutsättning att man vet dess laddning) med ett elektronböjningsrör (se bild intill) av den typ som används i gymnasiets fysikundervisning. Elektronerna accelereras till farten v av spänningen U_a mellan glödtraden och rörets anod (se figur). I vertikalled i rörets runda del lägger vi pa elektriskt fält E via spänningen U mellan plattorna, samt ett magnetfält B vinkelrät mot elektronernas rörelseriktning.

                                                                                       F_E

                                            anod                      + + +    + + +   U

                                                                                                            

                                                                      d  X  X       X  X   B             v

                 Glödtrad                                                                     E

                                                                         - - - - - - - - - - -

                                                U_a                                               F_B

Elektronen paverkas av en uppatriktad elektrisk kraft F_E och en nedatriktad magnetisk kraft F_B (strömmen är motsatt riktad elektronens rörelseriktning). Det gäller alltsa att balansera dessa bada krafter sa att elektronen rör sig rakt fram. Vi härleder nu ett samband för elektronens massa i de variabler vi enkelt kan mäta, d v s U_a, U, d, samt elektronens laddning q_e. d är avstandet mellan plattorna.

Elektrisk kraft F_E:

F_E=Eq_e           (1)

Magnetisk kraft F_B:

F_B=q_evB        (2)

Kraftjämvikt:

F_E=F_B            (3)

Sätt in (1) och (2) i (3):

Eq_e=q_evB

E=vB             (4)

E kan uttryckas i U och d:

E=U/d

Sätt in detta i (4):

U/d=vB          (5)

Elektronens fart v kan uttryckas med energiprincipen:

U_aq_e=m_ev²/2   (6)

Lös ut v ur (5) och sätt in i (6) med omskrivning:

2U_aq_e/m_e=(U/Bd)²

m_e=2U_aq_eB²d²/U²                (7)

Magnetfältet B skapas via ett par s k Helmholz-spolar. Flödestätheten B mäts med en flödesmätare (Hall-sond). Vi justerar sedan spänningen U sa att stralen rör sig rakt fram. Det är dock svart att justera in en helt rak strale. Vi far emellertid följande mätvärden:

U_a=3,4 kV        B=0,85 mT         q_e=1,6 ×10^-19 C             d=5,5 cm       U=1,85 kV

Mätvärdena insatta i (7) ger följande värde pa elektronmassan:

m_e=6,9×10^-31 kg

Inte sa dumt med tanke pa att tabellvärdet är 9,11×10^-31 kg.

Öva själv: 14.23-14.31

Kvoten q/m för elektronen med helmholtzspolar

Helmoltzspolarna ger ett homogent horisontellt magnetfält. Elektronstralen i den uttunnade gasen i röret kan därför formas till en cirkulär bana. Den magnetiska flödestätheten för spolarna pa bilden till höger ges av sambandet
B = 7×10^-4 I [T]. Med utrustningen kan kvoten q/m för elektronen beräknas.

Lektion 9:

Elektrisk induktion (kap 20)

I förra kapitlet om magnetism sag vi hur strömförande ledare i magnetfält paverkas av krafter som far ledarna att röra sig. Man kan ju da misstänka att omvänt borde det uppsta strömmar i ledare som rör sig i magnetfält. Fenomenet kallas elektrisk induktion och utgör den fysikaliska grunden för bl a elgeneratorer och elmotorer. Vi skall i slutet av kapitlet tillämpa induktionen genom att bygga en enkel lik- och växelströmsmotor, en lik- och växelströmsgenerator, samt en punktsvets. I exempelvis en elgitarr överförs 'ljudet' fran den svängande metallsträngen till mikrofonen under strängen via elektrisk induktion.

Demonstration

Inledningsvis later jag som tidigare en ström ga igenom ’koppargungan’ i gapet pa en hästskomagnet. Gungan rör sig när strömmen kopplas pa. Jag kopplar sedan gungar till en känslig amperemeter (alternativt en galvanometer) och later gungan pendla i magnetgapet. Hur bör amperemetern reagera? Det induceras en ström i koppartraden. Strömmens riktning beror tydligen pa at vilket hall gungan rör sig. Fragan är hur stor strömmen blir, dess riktning och varför det över huvud taget  uppstar en ström? Jag roretar även en sladd kopplad till en känslig amperemeter i jordens magnetfält. Vad händer?

Ledare som rör sig i magnetfält

Vad händer med de fria laddningarna, d v s elektronerna, i en ledare som rör sig i ett magnetfält B?

                                           

                                  X     X                     X       X

                             I    X     X          q         X       X       v

                                                                                                                        

                                  X     X                     X       X                                                                       U

                                  X     X      F_q            X       X

                                 

Jo, om ledaren rör sig at höger i figuren ovan ger varje elektron i ledaren upphov till en ström I at vänster. Magnetfältet, som är riktat inat i figuren, samverkar med magnetfältet runt I och paverkar saledes elektronen med en magnetisk kraft F_q nedat i figuren. Ganska snart uppstar jämvikt och ledaren nedre del blir negativt laddad och dess övre del positivt laddad. Uppenbarligen uppstar en spänning U mellan ledares ändar om den skär flödeslinjerna i ett magnetfält. Man säger att det induceras en ems (elektromotorisk spänning) mellan ledarens ändar.

Exempel:

En ledare rör sig i ett magnetfält riktat ut ur papperet, enligt figurerna nedan. Ange polariteten pa ledarens ändar och motivera svaret.

                                                      v

 

Lösning:

En elektron i ledaren rör sig uppat, alltsa rör sig strömmen nedat. Magnetfältet runt strömmen samverkar med det yttre magnetfältet pa vänster sida. Elektronen paverkas saledes av en kraft at vänster. Ledarens vänstra ände blir alltsa negativ och dess högra positiv, d v s:

                                 -                                        +

Öva själv: 20.1-20.2

Lenz lag

Antag att en ledare glider genom ett begränsat vertikalt magnetfält pa tva friktionsfria ledande skenor. Det kommer da enligt vad vi sagt ovan att induceras en spänning mellan ledarens ändar. Kopplas ett motstand R mellan skenorna kommer det att ga en ström I i ledaren, enligt figuren nedan. Antag att vi puttar till ledare sa att den far konstant fart. Kommer det da verkligen att ga en ström i ledaren i all evighet? Nej, knappast, för i sa fall har vi ju skapat en evighetsmaskin. Betrakta figuren nedan.

                                                                 X    X    X    X    X    X    X

                                               R              F                         v

                                                                 X    X    X    X    X    X    X

                                                                         I

Ledarens rörelse at höger i figuren paverkar elektronerna med en kraft nedat i ledaren (enligt vad vi kom fram till under rubriken Ledare som rör sig i magnetfält ovan. Strömmen kommer alltsa att ga uppat i ledaren. Eftersom magnetfältet runt ledaren samverkar med det yttre magnetfältet till höger, paverkas ledaren av en bromsande kraft F at vänster. Ledaren kommer alltsa att stanna. Detta är resultatet av Lenz lag: Den inducerade strömmen har sadan riktning att den motverkar orsaken till sin uppkomst.

Exempel:

Ange strömriktningen i förra exemplet, om ledarens ändar ansluts till ett motstand.

Lösning:

Enligt Lenz lag kommer den inducerade strömmen att bromsa ledarens rörelse i magnetfältet. Magnetfälten samverkar alltsa pa ovansidan av ledaren. Strömmen gar saledes at höger i ledaren.

Induktionslagen

Vi vill nu veta storleken pa den ems U som induceras mellan ledarens ändar i figuren ovan. Den magnetiska kraften F_q balanseras vid jämvikt av den elektrostatiska kraften F_E, som orsakas av det elektriska fältet E mellan ledarens ändar. Om ledarens längd i magnetfältet B (som är riktat in i papperet) är d, kan vi skriva upp följande samband:

Magnetisk kraft pa elektronen:

F_q =qvB                               (1)

Elektrostatisk kraft pa elektronen:

F_E =qE =qU/d                     (2)

Vid jämvikt gäller:

F_q = F_E                                (3)

Vi sätter alltsa in (1) och (2) i (3):

qvB=qU/d T U=Bvd

Detta uttryck för induktionsspänningen kallas Induktionslagen.

Exempel:

Kofangaren (1,7 m lang) till en bil skär de jordmagnetiska fältlinjerna (B=15 mT) med farten 25 m/s. Beräkna den inducerade spänningen mellan kofangarens ändar.

Lösning:

Kofangaren skär de jordmagnetiska fältlinjerna. Därmed induceras en ems U mellan kofangarens ändar. Induktionslagen ger spänningen:

U=Bvd = 15×10^-6× 25 × 1,7 = 6,4×10^-4 V = 0,64 mV.

Öva själv: 20.3-20.13

Lektion 10:

Magnetiskt flöde

Betraktas de magnetiska flödeslinjerna som stralar kan de liksom duschstralar ses som ett flöde över en yta. Produkten av flödestätheten (B) och arean (A) flödeslinjerna passerar vinkelrätt igenom kallas magnetiskt flöde (F):

F =BA

Storheten magnetiskt flöde mäts i enheten weber [Wb].

Efter exemplet nedan kommer vi att se nyttan med att införa begreppet magnetiskt flöde.

Exempel:

Hur stort är det jordmagnetiska flödet (15 mT) genom en cirkelyta med radien 0,60m, om:

a.       Flödeslinjerna är parallella med cirkelytans normal?

b.      Flödeslinjerna bildar vinkeln 30 ^o med cirkelytans normal?

Lösning:

Magnetiskt flöde F:

a.       F =BA=15×10^-6×p×0,6² = 17 mWb

b.      Här är flödeslinjerna inte parallella med cirkelytans normal. Vi maste därför räkna med flödestäthetens komposant (B_v)som är vinkelrät mot ytans normal (se figur intill):

F =B_vA=B cos 30^o A =15×10^-6×cos 30^o×p×0,6² =

= 17 mWb

Öva själv: 20.16-20.17

Induktionslagen och magnetiskt flöde

Eftersom en ström genom lindningen en spole skapar ett magnetfält i spolen, borde väl omvänt ett magnetfält i en spole inducera en ström i spolens lindning…? Vi testar och lägger en stavmagnet i en spole kopplad till en amperemeter. Ingen ström gar dock genom spolens lindning, trots att stavmagneten orsakar ett magnetfält genom spolen. När vi drar bort magneten ur spolen registrerar emellertid amperemetern en ström, liksom när stavmagneten läggs tillbaka i spolen. Tydligen induceras ström i spollindningen när magnetfältet (flödet) genom spolen ändras. Hur kan man förklara och första detta?

Om metallstaven med längden L i figuren intill glider pa med farten v pa skenor genom ett magnetfält med flödestätheten B, induceras enligt induktionslagen en spänning U mellan stavens ändar:

U=LvB          (1)

Vi kan emellertid skriva om induktionslagen. Vi använder oss av differentialerna dt, ds och dA, som representerar sma förändringar (se figuren). Pa den korta tiden dt färdas metallstaven sträckan ds och sveper samtidigt över ytan dA, som kan uttryckas:

dA=ds L =vdt L T dA/dt = vL     (2)

Vi ersätter Lv i (1) med (2):

U=B dA/dt = dF/dt            (3)

Vad innebär detta? Jo, att en ändring av det magnetiska flödet i en slinga inducerar en spänning. Det kan även uttryckas som att induktionsspänningen i slingan är detsamma som tidsderivatan av det magnetiska flödet; ju snabbare ändring desto större inducerad spänning. Detta förklarar varför det induceras en ström i spolen när magnetfältet ändras.

Demonstration:

Vi visar att induktionsspänningen/-strömmen blir större ju snabbare en stavmagnet dras ur en 600 varvig spole (d v s ju snabbare flödesändringen sker) kopplad till en amperemeter.

Exempel:

Flödestätheten genom en slinga avtar linjärt fran 7,8 mT till noll pa 2,0 ms. Hur stor spänning induceras i en ledning, som omsluter ytan 3,5 m²? Antag att ytans normal är parallell med flödeslinjerna.

Lösning:

Andring i magnetiskt flöde inducerar en spänning i slingan. Vi börjar därför med att beräkna det ursprungliga magnetiska flödet F genom slingan med arean A:

F = BA = 0,0078×3,5 = 27,3 mWb

Flödet sjunket till noll pa 2 ms. Andringen av flödet per tidsenhet skapar nu induktionsspänningen U i slingan:

U=dF/dt = 0,0273/0,002 = 13,7 V

Exempel:

Induktionslagen är användbar om man vill ’stjäla’ ström fran en högspänningsledning utan att beröra ledningen.

a.       Hur skall man ga tillväga?

b.      Antag att det gar 230 A växelström (frekvensen 20 Hz) i ledningen över järnvägen när ett RC-lok drar pa för fullt fran stillastaende. Hur stor spänning induceras i en cirkulär slinga med arean 1 m² pa avstandet 5 m fran ledningen?

c.       Hur stor spänning induceras en spole med 100 varv och arean 1 m²?

Lösning:

a.       Placera en slinga (spole) sa att den passeras av magnetfältet fran högspänningsledningen.

b.      Flödestätheten (B) varierar sinusformigt eftersom det är växelström:

B=m_oI/2pr = m_oI_o sinwt/2pr

Flödet genom slingan med arean A blir da:

F = BA = Am_oI_o sinwt/2pr

Derivatan av flödet ger den inducerade spänningen U i slingan:

U= dF/dt = Am_oI_ow coswt/2pr

Den inducerade spänningen kommer bli en växelspänning. Vi sätter in värden och beräknar dess toppvärde, d v s vi sätter coswt =1:

U= 1× 4p×10^-7×230×2p×20×1/2p×5 =1,16 mV

c.       Spänningen blir 100 ganger större, d v s 0,16 V

Spolar med olika varvtal

Vi drar med en stavmagnet genom spolar med olika varvtal och ser att induktionsströmmen ökar med varvtalet. Skälet är förstas att det induceras en spänning för varje lindningsvarv i spolen. Induceras spänningen dF/dt i en spole med ett varv, induceras spänningen NdF/dt i en spole med N varv.

Induktionsströmmens riktning i en spole

Vi kopplar en amperemeter till en 600 varvig spole. Vi noterar hur spolen är lindad och hur den ansluts till amperemetern. Sedan lägger vi in en stavmagnet i spolen. Amperemetern ger utslag bade när magneten läggs in i och tas ut ur spolen. Strömriktningen tycks bero pa bade hur stavmagneten är vänd och om den förs in eller ut ur spolen. Strömriktningen tycks bli som i figurerna nedan:

                     A                                                                       A

                                 I                                                                           I

                                   v                                                                                                             v

Hur kan vi formulera en regel för den inducerade strömmens riktning i spolarna ovan? Jo:

Det magnetfält den inducerade strömmen orsakar vill motverka förändringen av det magnetfält som fran början finns i spolen.

Detta är inget annat än en konsekvens av Lenz lag.

Vi tillämpar regeln pa den vänstra spolen ovan. Fran början finns inget magnetfält i spolen. Stavmagneten läggs in i spolen fran höger med nordändan först. Därmed ’tvingas’ spolen pa ett magnetfält riktat at vänster. Spolen vill emellertid inte ändra sitt magnetfält och svarar därför med en induktionsström som motverkar den patvingade ökningen av magnetfältet. Man kan säga att spolar har en konservativ läggning som ogillar förändringar.

Exempel:

Motivera strömriktningen i den högra spolen ovan.

Lösning:

Stavmagneten ligger fran början i spolen med nordändan at vänster. Magnetfältet är alltsa riktad at vänster i spolen. När stavmagneten dras ur spolen vill den inducerade strömmen kompensera magnetfältsminskningen. Magnetfältet fran den inducerade strömmen är alltsa riktat at vänster med angiven strömriktning som följd.

Demonstration av ’ring-katapult’

En 600-varvig spole ställs pa bordet med öppningen uppat, enligt bilden till höger. En järnkärna ställs i spolen och ytterligare en eller ett par järnkärnor ställs ovanpa. En metallring träs över metallkärnorna och läggs pa spolen. Spolen avsluts till vägguttagets 220 V växelspänning. Förklara vad som händer.

Demonstration med minnesoscilloskop

Vi later en stavmagnet falla genom en 1200 varvig spole kopplad till ett minnesoscilloskop (pa bilden mätprogrammet Datastudios oscilloskop). Förklara bilden som uppstar pa skärmen när magneten passeras spolen.

Demonstration av glidande magnet i metallrör

Vi later en magnet respektive en omagnetisk metallbit glida i ett metallrör. Metallbitarna glider olika fort genom metallröret, trots att de har ungefär samma tyngd och storlek. Vad beror detta pa?

Demonstration av virvelströmmar

En metallplatta som pendlar i ett magnetflöde bromsas. Skälet är att det induceras virvelströmmar i metallen med sadan riktning att de bromsar rörelsen, som en konsekvens av Lenz lag. Byts metallplattan mot en med uppsagade spar, enligt figuren till höger, minskar dock virvelströmmarna och rörelsen paverkas knappast alls. 

Demonstration av kraftig spänningspuls

En spole (R_S=2,5 ohm, L=70 mH) kopplas parallellt över en resistans (R=50 ohm) och ett 1,5 V batteri, enligt figuren intill. Vi bryter strömmen till batteriet och ser da en kort spänningspuls U_S över spolen och resistorn pa minnesoscilloskopet (se diagrammet nedan). Spänningen är betydligt högre än 1,5 V (man kan visa att spänningen är av storleksordningen R/R_S). Orsaken är att magnetfältet genom spolen avtar snabbt och att det därmed induceras en hög spänning över resistorn och spolen.  Fenomenet används i t ex bilens tändspole för att alstra höga spänningar till tändstiften.

Öva själv: 20.18-20.24

Lektion 11:

Självinduktion

Spänning över motstand

Vi kopplar upp en krets med tva resistorer (R₁= 250 ohm och R₂ = 2,5 ohm) i serie med en spänningskälla, enligt figuren intill. Spänningskällan ger en fyrkantsspänning som varierar mellan 0 och 5 V med frekvensen 330 Hz. Vi mäter sedan spänningen över spänningskällan (U_in) respektive R₂ (U_R) med varsin kanal pa oscilloskopet. Det visar sig (förstas!)  att spänningen över R₂ ändras pa sätt som över spänningskällan. U_R blir dock lägre eftersom mesta spänningen ligger över R₁ (R₁>>R₂).

Spänning över spole

Vi byter nu ut R₂ mot en 600 varvig spole (L=77 mH) med järnkärna i och med samma resistans som R₂, enligt figuren intill, och mäter nu spänningen U_s över spolen. Spänningen över spolen varierar nu annorlunda. När inspänningen ökar till 5 V ökar spänningen över spolen direkt till 5 V, men avtar sedan mot noll (se diagram nedan). Detta beror pa induktionslagen, som svarar med en motspänning i spolen när strömmen (d v s det magnetiska flödet) genom spolen ökar. Strömmen i kretsen ökar dock mot ett konstant värde. Flödet i spolen blir da konstant, varför induktionsspänningen i spolen avtar mot noll. När strömmen i kretsen bryts svarar avtar ju det magnetiska flödet genom spolen. Spolen vill dock bevara flödet, varför det induceras en negativ spänning över spolen. Spolen gör alltsa allt för att förhindra att strömmen minskar. Fenomenet kallas självinduktion och innebär att spolen inducerar en spänning i sig själv när magnetfältet spolen själv skapar ändras.

Induktans

När vi nu känner till begreppet självinduktans vill vi förstas kunna bestämma spänningen som spolen inducerar i sig själv. Vi gör därför en liten härledning och börjar med att teckna det magnetiska flödet F genom en lang spole med längden l, arean A och varvtalet N:

F=mINA/l    

Andras strömmen I genom spolen ändras ocksa flödet och därmed induceras en spänning över spolen. Flödesändringen inducerar ju en spänning för varje lindningsvarv. Den inducerade spänningen U blir alltsa (tidsderivatan av magnetiska flödet):

U=N dF/dt = mN²A/l dI/dt = L dI/dt

Storheten L kallas spolens induktans och mäts i enheten Henry [H].

Produkten av induktansen och strömändringen per tidsenhet (tidsderivatan av strömmen) ger alltsa den självinducerade spänningen i spolen.

Exempel:

Bestäm induktansen i en 600 varvig spole med arean 6,6 cm² och med längden 7 cm.

a.       Utan järnkärna.

b.      Med järnkärna med relativa permeabiliteten 5,6.

Lösning:

a.       Induktansen L=m_oN²A/l=4p×10^-7×600²×0,00066/0,07=4,3 mH

b.      Induktansen L=m_om_rN2A/l=5,6× 4,3 = 24 mH

Exempel:

Man vill försöka beräkna hur stor spänningspuls som induceras i en spole när man bryter strömmen tvärt. Antag att spolen i förra exemplet med järnkärna (L=24 mH och R=2,5 ohm) ansluts till ett 4,5 V ficklampsbatteri. Hur stor blir den inducerade spänningen i spolen, om strömmen avtar fran maxvärdet till noll pa 1 ms?

Lösning:

Maxström i spolen: I=U/R=4,5/2,5=1,8 A

Inducerad spänning i spolen: U_s = L dI/dt = 0,024×1,8/0,001= 43,2 V

Öva själv: 20.25-20.27

Lektion 12:

In- och urkoppling av RL-krets

I samband med att vi ovan införde begreppet självinduktans studerade vi hur spänningen varierade över en spole med induktansen L i en krets matad med en fyrkantsspänning. Kretsen innehöll även en resistans R₁. En krets innehallande en induktans och en resistans kallas en RL-krets. Vi skall nu använda samma RL-krets som tidigare, men istället studera hur spänningen U_R över resistorn R₁ varierar pa oscilloskop-skärmen. Egentligen är det strömmens utseende i kretsen vi är intresserade av, men den varierar ju pa samma sätt som spänningen över resistorn.

Diagrammet ovan visar att spänningen U_R, d v s strömmen i kretsen, ökar langsamt mot sitt toppvärde. Skälet är förstas att spolens (induktansens) tröghet mot förändringar, alltsa den motspänningen som induceras i spolen när strömmen ökar. Pa motsvarande sätt sjunker strömmen sakta mot noll när matarspänningen U_in är noll. Skälet är förstas att spolen även här motarbetar minskningen av sitt magnetflödet och svara med att inducera en spänning som motarbetar strömminskningen. Induktansens tröghet mot förändringar kan även förklaras med att det tar en viss tid att transportera bort energin som finns upplagrad i magnetflödet i spolen. Pa laborationen sag vi hur en lampan blinkar till när oket tas bort fran spolens slutna järnkärna. Det som händer är att energin i järnkärnans magnetflöde hastigt frigörs när flödet stoppas. Inkopplingen kan även göras med ett batteri (4,5 V) och kurvan visas pa ett minnesoscilloskop. Med en 600-varvig spole med järnkärna (L=60 mH) och R=50 ohm blir stigtiden c:a 2 ms (L/R=1,2 ms).

Exempel:

Ett motstand med resistansen R=250 ohm kopplas i serie med en spole med induktansen L=72 mH och med ett batteri med polspänningen U=4,5 V. I ett visst ögonblick är strömmen i kretsen 8,0 mA. Bestäm:

a.       Spänningen över motstandet R.

b.      Spänningen över induktansen L.

c.       Strömändringen dI/dt.

Lösning:

a.       Ohms lag ger spänningen över motstandet: U_R=RI=250×0,008=2V

b.      Enligt Kirchoffs andra lag är summan av delspänningarna i kretsen noll:

U-U_R-U_L=0    T    U_L=U-U_R=4,5-2=2,5V

c.       Inducerad spänning U_L i spolen:

U_L =L dI/dt   T   dI/dt =U_L/L=2,5/0,072=34,7 A/s

Exempel:

Bestäm spolens induktans i en RL-krets m h a inkopplingskurvan ovan för spänningen över resistorn R=250 ohm.

Lösning:

·        Notera vilken spänning U kretsen matas med (5 V).

·        Kirchoffs andra lag gäller: U-RI-LdI/dt = 0

·        Välj en punkt pa kurvan där det är lätt att dra en bra tangent, t ex för t = 0,5 ms.

·        Bestäm spänningen över resistorn (U_R = 4 V) för den tidpunkten och beräkna spänningen över spolen med Kirschoffs lag ovan: U_S=U-U_R=5-4=1 V

·        Spänningen över spolen är även: U_S= L dI/dt

·        För att kunna räkna ut induktansen L maste vi först bestämma strömändringen dI/dt. Det gör vi genom att dra en tangent till kurvan för t = 0,5 ms och bestämma dess lutning. Förslagsvis bestämmer vi dU_R/dt och delar med R för att fa dI/dt.

·        Sedan är det bara att räkna ut L.

Vi skriver ut oscilloskopbilden pa en skrivare och löser uppgiften gruppvis med siffervärden pa en lektion.

Öva själv: 20.28-20.34

Demonstration av elgenerator, elmotor, transformator och stumsvets

Slutligen demonstrerar jag nagra typiska tillämpningar av induktionen. En elgenerator och en elmotor fungerar i princip pa samma sätt. När spolen med järnkärna (bilden intill) roterar mellan stavmagneternas nord- och sydändar ändrar det magnetiska flödet hela tiden riktning genom spolen. Därmed induceras en spänning och ström i spolen. Likspänningen tas ut över tva metallblad, som ligger an mot den roterande kommutatorn (släpringar om man vill ha växelspänning). Detta är principen för en elgenerator. Matas anordningen istället med en likspänning (växelspänning) fungerar anordningen istället som elmotor. Bilden med batteriet och hästskomagneten visar en enkel likströmsmotor. För att den skall fungera maste kopparlindningen isolering i änden brännas bort.  Vid elsvetsning gäller det att alstra en sa pass hög ström att metallen smälter. Detta kräver i regel höga strömmar pa i storleksordningen 200 A. I ett vägguttag finns dock sällan mer än 15 A. Man kan dock astadkomma höga strömmar genom att transformera upp strömmen i en transformator, som bestar av tva spolar med olika varvtal pa en sluten järnkärna (se bild intill). Matas den ena spolen med växelspänning, far man via det magnetiska flödet i järnkärnan och induktion även ut växelspänning i den andra spolen. I spolen med det lägre varvtalet blir dock strömmen högre och spänninge lägre än i spolen med det högre varvtalet. Vill man som i en svets skapa höga strömmar kopplas spolen med det högre varvtalet (primärspolen) till nätspänningen. I stumsvetsen pa bilden ovan har primärspolen 1200 varv och sekundärspolen svetsen är kopplad till 6 varv. Nästan all energi som primärspolen matar till flödet i järnkärnan tas upp av sekundärspolen.

Följande samband gäller därför för magnetflödet F i tva geometriskt lika spolar med varvtalen N₁ och N₂ och som passeras av strömmarna I1 och I2:

m_om_rI₁N₁A/L =m_om_rI₂N₂A/L   T  I₁N₁ =I₂N₂

Produkten av spolens ström och varvtal är alltsa konstant. Matas saledes transformatorns primärspole (1200 varv) pa bilden ovan med växelspänninge 220 V och strömmen 2 A, kommer det ut 400 A i sekundärspolen (6 varv) svetsen är ansluten till. Spänningen mellan svetshandtagen blir dock bara  1,1 V eftersom det utvecklas nästan samma effekt i sekundärspolen som primärspolen matas med.

Lektion 13:

Rörelsemängd och impuls (kap 16)

Inledningsvis later jag tva vagnar med lika massor kollidera pa luftkuddebanan. Kan man säga nagot om vagnarnas fart efter kollisionen? Självklart blir vagnarnas farter lika, men med motsatt riktning. Tva vagnar med olika massor far sedan kollidera pa samma sätt. Nu är det dock svarare att säga nagot om farterna efter kollisionen. I detta kapitlet skall vi dock komma fram till hur dessa farter kan beräknas.

Explosionsförlopp

Vi studerar inledningsvis ett explosionsförlopp, d v s där tva vagnar med massorna m₁ och m₂ inledningsvis är stillastaende och sammankopplade med en spänd fjäder. När fjädern utlöses far vagnarna iväg at var sitt hall med olika hastighet. Vi skall nu använda gamla kunskaper fran Fysik A och försöka att komma fram till ett samband mellan vagnarnas hastiget och massor.

Först star alltsa vagnarna stilla och paverkar varandra med fjäderkraften F:

Under själva explosionsförloppet aker vagnarna isär. Paverkade av kraften F, som inte är konstant, ökar vagnarnas hastigheter. Vi kan under den korta tid fjädern sprätter isär ställa upp kraftekvationen för vagnarna, där a₁ och a₂ är deras acceleration:

m₁a₁ = -F                                                  (1)

m₂a₂ = F                                                    (2)

Eftersom vi valt positiv referensriktning at höger, blir kraften F pa m₁ negativ. Vi är emellertid inte intresserade av krafterna. Adderar vi (1) och (2) eliminerar vi kraften:

m₁a₁ + m₂a₂ = 0                                         (3)

Vi är heller inte intresserade av accelerationen. Om vi därför multiplicerar höger och vänster ledet i (3) med tiden t far vi hastigheten:

tm₁a₁ + tm₂a₂ = m₁v₁ + m₂v₂ = 0                (4)

Tydligen är i detta fallet summan av produkten av vagnarnas hastighet och massa noll.

Vi kollar om detta stämmer. Vi binder fast vagnarna i varandra med ett snöre. Mellan vagnarna pa luftkuddebanan finns en spänd fjäder. När vi bränner av snöret med en tändsticka aker vagnarna isär. Vi mäter vagnarnas hastigheter med tva fotoceller. Vi far följande mätvärden:

m₁= 0,210 kg

v₁= -0,43 m/s (negativ ty positiv referensriktning at höger)

m₂=  0,410 kg

v₂=  0,22 m/s

Vi sätter in värdena i (4):

0,210x(-0,43)+0,410x0,22 = -0,0001 kgm/s

Det blev ju bra nära noll. Var härledning ovan verkar stämma!

Rörelsemängd

Ett föremal som har massan m och hastigheten v sägs ha rörelsemängden p:

p=mv

Vektorstorheten rörelsemängd mäts i enheten [kgm/s].

Exempel:

Vilken rörelsemängd har en bil med massan 1200 kg och farten 25 m/s?

Lösning:

p=mv=1200x25=30000 kgm/s

Rörelsemängdens konstans

Man är sällan intresserad av rörelsemängdens storlek. Begreppet rörelsemängd används nästan uteslutande som ett sätt att tänka när man löser stöt- och kollisionsproblem. I uttrycket (4) ovan kom vi fram till att summan av rörelsemängderna var noll. Skulle vi ha gjort härledningen matematiskt mer korrekt skulle vi ha integrerat uttrycket (3) istället. D v s vilket uttryck har (3) som sin derivata? Jo, uttrycket:

m₁v₁ + m₂v₂ = k                  (5)

Där k är en konstant. Derivatan av hastighet är ju acceleration och derivatan av en konstant är noll. Uttrycket (5) visar alltsa att rörelsemängden är konstant under ett rörelseförloppet, under förutsättning att det saknas paverkan fran yttre krafter (friktion t ex). Om t ex tva vagnar kolliderar är deras totala rörelsemängd lika stor före som efter kollisionen. Rörelsemängden är bevarad.

Exempel:

Vagnarna i det inledande exemplet är fran början stillastaende, d v s deras rörelsemängd före explosionen är noll:

P_före=0                                  (1)

Efter explosionen gäller följande:

 

P_efter= m_1(-v₁) + m₂v₂             (2)

Rörelsemängden bevarad, d v s:

P_före= P_efter                            (3)

Sätt in (1) och (2) i (3):

0 = m_1(-v₁) + m₂v₂

Ur detta uttrycket kan vi t ex beräkna v₂ om vi vet v₁.

Exempel:

En tagvagn med farten 2.5 m/s och vikten 16 ton kolliderar med en stillastaende vagn som väger 28 ton. Efter kollisionen har 16 tons vagnen farten 0.55 m/s at motsatt hall. Bestäm farten hos 28 tons vagnen.

Lösning:

Rörelsemängd före kollisionen:

p_f = m₁v_1f                             (1)

Rörelsemängd efter kollisionen:

p_e= -m₁v_1e+m₂v_2e                  (2)

Rörelsemängden bevaras under kollision:

p_f = p_e                                  (3)

Sätt in (1) och (2) i (3) och lös ut v_2e:

m₁v_1f  = -m₁v_1e+m₂v_{2e   T}  v_2e = (m₁v_1f + m₁v_1e)/m₂ = m₁(v_1f + v_1e)/m₂  = 16(2.5+0.55)/28 = 1.7 m/s

Elastisk stöt

Vi skall nu undersöka vad som händer med rörelseenergin när tva vagnar med massorna m₁ och m₂ frontalkolliderar pa luftkuddebanan. Kollisionen tas upp av ett spänt gummiband pa den ena vagnen. Vi mäter vagnarnas farter före och efter kollisionen genom att mäta tiden en flagga pa varje vagn bryter ljuset till en fotocell kopplad till en klocka. Flaggan har bredden 2.5 cm. Varje fotocell tar alltsa tva tider, som lagras i klockans minne. Vi fyller i mätvärdena i följande tabell.

m₁=………….g                   m₂=…………g

Kollision	tid (s)		Hastighet  (m/s)		Rörelsemängd			Rörelseenergi (J)
	t1	t2	v1	v2	p1	p2	ptot	Wk1	Wk2	Wtot
Före
Efter

Som väntat är rörelsemängden före och efter kollisionen lika stor. Aven rörelse energin tycks bevarad före och efter kollisionen. Eftersom ett gummiband tar upp stöten blir kollisionen fullständigt elastisk och praktiskt taget ingen rörelseenergi förloras, d v s W_före = W_{efter .}

Oelastisk stöt

Vi gör en ny mätning och later nu en vagn (m₁) kollidera med en stillastaende vagn (m₂). En nal i den ena vagnen tränger in lera i den andra vagnen. Efter kollisionen fastnar vagnarna i varandra och fortsätter alltsa med samma hastighet. Observera att massan efter kollisionen är m₁+m₂. Vi fyller i mätvärdena i följande tabell.

Kollision	tid (s)		Hastighet  (m/s)		Rörelsemängd			Rörelseenergi (J)
	t1	t2	v1	v2	p1	p2	ptot	Wk1	Wk2	Wtot
Före
Efter

Aven i denna kollision är rörelsemängden bevarad, men däremot inte rörelseenergin. Energi förbrukas förstas när nalen tränger in i och deformerar leran. Stöten kallas oelastisk när systemet förlorar energi i samband med kollisionen, d v s W_före > W_{efter .}

Krocksäkerhet

När man bygger bilar maste man tänka pa ett konstruktionen tar upp sa mycket som möjligt av bilens rörelseenergi vid en kollision. Man bygger därför in deformationszoner i bilen sa att en kollision blir sa oelastisk som möjligt.

Exempel:

Ar kollisionen mellan vagnarna i föregaende exempel fullständigt elastisk?

Lösning:

Vi jämför alltsa rörelseenergin före och efter kollisionen:

W_före = m₁v_1f²/2 = 16000x2.5²/2 = 50000 J

W_efter = m₁v_1e²/2+ m₂v_2e²/2  = 16000x0.55²/2 + 28000x1.7²/2 = 42880 J

 Här är W_före > W_efter, alltsa är kollisionen oelastisk.

Öva själv: 16.14-16.19

Lektion 14:

Impulslagen

När man missar spikhuvudet med hammaren och istället träffar pekfingernageln sa gör det ju ganska ont. Tydligen paverkas nageln av en rätt sa stor kraft. Fragan är hur stor? Likasa när en boll träffar en vägg sa ändrar ju bollens hastighet riktning nästan omedelbart. Det maste innebära att bollen (och väggen) paverkas av en stor kraf. För att hitta en metod för att beräkna krafternas storlek vid korta stötförlopp gör vi en liten härledning. Vi börjar med tva välkända formler fran Fysik A-kursen.

ma = F           (1)

v = v₀+at        (2)

Vi är nu inte intresserade av accelerationen a, utan löser ut a ur (2):

a = (v-v₀)/t

och sätter in detta i (1):

m(v-v₀)/t =F   T   mv-mv₀=Ft   T   p_e–p_f =Ft    T

dp=Ft

Vänterledet är inget annat än ändringen av rörelsemängden, d v s om kraften F verkar tiden t pa ett föremal sa ändras dess rörelsemängd med dp. Andring av rörelsemängd kallas även impuls (I), som mäts i enheten Ns.

Exempel:

Antag att hammaren träffar pekfingernageln med farten v=2.5 m/s och lämnar nageln med samma motriktade fart. Kontakttiden mellan hammare och nagel uppskattas till 1 ms. Vilken kraft paverkas nageln av, om hammaren väger m=0.75 kg?

Lösning:

Hammarens rörelsemängd före nagelträff:

p_f=-mv

…efter nagelträff:

p_e=mv

Impulsen, d v s ändringen av rörelsemängden, blir da:

dp=p_e-p_f=mv-(-mv)=2mv     (1)

Impulsen I är även:

I=Ft                                     (2)

Sätts (1) och (2) samman fas:

2mv=Ft     T      F=2mv/t=2x0.75x2.5/0.001=3750 N  

Nageln paverkas alltsa av en relativt stor kraft under en kort tid. Förmodligen är dock kontakttiden längre än 1 ms.

Bestämning av stöttid

Stöttider kan vara svara att uppskatta. Vi vill emellertid bestämma vilken kraft en stalkula, upphängd i en ledande trad, paverkar ett metallstycke med, om kulan far studsa mot metallstycket, enligt figuren intill. Stöttiden mäts genom att koppla en klocka till traden och metallstycket. Tiden tas sa länge kulan och metallstycket är i kontakt med varandra. Fran förra exemplet vet vi att impulsen blir (elastisk stöt):

I=2mv

Stöttiden mäts till t=70 ms om h är 12 cm och kulans massa m=45 g.

Kulans hastighet bestäms med energiprincipen:

mgh=mv²/2    T     v=(2gh)^1/2                                              

Vi far alltsa sambandet:
2mv=Ft   T  F=2mv/t = 2m(2gh)^1/2/t = 2x0.045(2x9.82x0.12)^1/2/70x10^-6= 1974 N

Mätning av impuls med kraftgivare

Om den konstanta kraften F verkar tiden t, kan impulsen I illustreras grafiskt som arean under grafen (jämför med en v-t-graf, där arean under grafen motsvaras av sträckan). Oftast är kraftens tidsberoende inte konstant. Arean under grafen motsvaras dock fortfarande av impulsen (se de tva schematiska kurvorna till höger). Vi skall nu göra en mätning som visar kraftens beroende av tiden. Vi later salunda en vagn (m= 185 g) pa luftkuddebanan kollidera med en bladfläder i form av ett bagfilsblad fastskruvad i en krafgivare och ansluten till mätprogrammet Datastudio. Kraften registreras var femhundradels sekund. Arean under grafen representerar alltsa impulsen som tillförs vagnen fran bladfjädern. Arean bestäms med Datastudios verktyg Area under sigma-knappen. Datastudio ger arean 0.18 Ns.Vi kan även beräkna impulsen som ändring av rörelsemängden (t_f och t_e är fotocellens brytningstider) före och efter kollisionen.

Rörelsemängd före kollision:

p_f=mv_f=ms_flagga/t_f=0.185x0.025/0.0427=0.1083 kgm/s

Rörelsemängd efter kollision:

p_e=mv_e=ms_flagga/t_e=0.185x0.025/0.0492=0.0940 kgm/s

Andring av rörelsemängd, d v s impulsen:

dp= p_e- p_f =0.0940-(-0.1083)=0.202 kgm/s

Vi har alltsa beräknat impulsen pa tva helt olika sätt och fatt nästan samma resultat (0.18 respektive 0.20 Ns).

Resonemang ger lösning

Ibland är det betydligt enklare att resonera sig fram till en lösning än att räkna sig fram via t ex rörelsemängd och impuls. Vi skall se tre exempel pa detta. Vi antar att stötarna är fullständigt elastiska.

Exempel:

En boll som kastas med farten 18 m/s rakt in i en vägg studsar tillbaks med ungefär samma hastighet. Hur stor är bollens hastighetsändring efter jämfört med före studsen i väggen?

Lösning:

Först minskar bollen farten fran 18 till 0 m/s. Sen ökar den farten fran 0 till 18 m/s at andra hallet. Alltsa är bollens hastighetsändring 18+18=36 m/s.

Exempel:

En golfklubba träffar bollen med farten 25 m/s. Klubbans fart ändras obetydligt efter träffen. Bestäm golfbollens hastighet.

Lösning:

Antag istället att bollen träffar den stillastaende klubban med farten 25 m/s. Det är i princip samma sak sa länge bollens och klubbans relativa hastigheter är oförändrade. Bollen studsar da tillbaks med hastigheten 25 m/s och har alltsa ändrat sin hastighet med 50 m/s. Den stillastaende bollen ändrar sin hastighet lika mycket, d v s den far farten 50 m/s.

Exempel:

En fysikelev kastar en boll med farten 15 m/s mot fronten pa ett i 25 m/s framrusande lok. Bestäm bollens fart efter kollisionen med loket. Man kan anta att lokets fart inte paverkas av bollen.

Lösning:

Ur lokförarens perspektiv träffar bollen loket med farten 15+25=40 m/s och studsar tillbaks med samma fart. Loket rör sig emellertid med farten 25 m/s, vilket innebär att bollens fart relativt marken är 40+25=65 m/s.

Öva själv: 16.20-16.30

Lektion 15:

Rörelse i homogena fält (kap 17)

Exempel pa homogena fält är tyngdkraftsfältet pa jordytan och det elektriska fältet mellan tva parallella kondensatorplattor. Vi skall i detta kapitel beräkna hur föremal rör sig i sadana fält. Vi börjar med kast rörelse i tyngdkraftsfältet.

Kaströrelse

Man kan inledningsvis fraga sig vilken kula som nar golvet snabbast: En som släpps lodrätt rakt ner eller en som skjuts ut horisontellt fran samma höjd? Vi demonstrerar förloppet pa lektionen med en liten utskjutningsanordning där vi dels hör att kulorna träffar golvet ganska samtidigt, dels filmar förloppet med en videokamera och ser att de faller nerat lika snabbt. Tydligen verkar den lodräta rörelsen vara oberoende av den vagräta rörelsen. För att kunna beskriva rörelsen mer i detalj skall vi ställa upp rörelseekvationerna för ett föremal som rör sig i ett homogent fält.

Rörelseekvationerna i tva riktningar

När vi i Fysik A-kursen behandlade rörelse var det alltid i en dimension (x- eller y-riktning). I tyngdkraftsfältet maste emellertid en rörelse beskrivas i tva dimensionen (x- och y-riktning). Exempelvis rör sig ju den högra kulan i figuren ovan  bade nerat och at höger. Specialfallet är den vänstra kulan i figuren, som bara rör sig i en riktning. Antag nu att vi vill beskriva rörelsen hos ett föremal som skjuts iväg med farten v_o och elevationsvinkeln a (se figur). Att beskriva rörelsen innebär att visa hur hastigheten respektive läget beror av tiden. Vi börjar med att bestämma föremalets hastighet och utgar da ifran formeln för hastighet i en dimension som finns i formelsamlingen:

v=v_o+at                                (1)

Eftersom ingen kraft paverkar föremalet i x-led finns heller ingen acceleration. Hastigheten i x-led blir alltsa konstant:
v_x=v_xo=v_ocosa                    (2)

I y-led paverkas föremalet av tyngdkraften, som är motriktad referensriktningen. Utgaende fran (1) blir hastigheten i y-led:

v_y=v_yo-gt =v_osina-gt           (3)

Läget bestämmer vi nu m h a formeln i formelsamlingen för läget i en dimension:

s=v_ot+at²/2                           (4)

Läget i x-led blir da:

x=v_xot=v_otcosa                   (5)

Läget i y-led blir pa motsvarande sätt:

y= v_yot-at²/2=v_otsina-gt²/2 (6)

Rörelseekvationerna (2), (3), (5) och (6) finns inte med i formelsamlingen. De maste därför härledas när de skall användas. Mycket av övningarna i detta kapitel gar dock ut pa att lära sig detta.

Exempel:

Kulan i den inledande figuren skjuts iväg horisontellt med farten 12 m/s höjden 1.5 m över golvet.

a.       När nar kulan golvet?

b.      Var pa golvet landar kulan?

c.       Med vilken fart slar kulan i golvet?

d.      Under vilken vinkel slar kulan i golvet?

Lösning:

a. Det tar samma tid för kulan att na golvet som om den hade fallit rakt ner. Vi kan använda formeln:

h=gt²/2 T t = (2s/g)^1/2=(2x1.5/9.82)^1/2= 0.55 s

b. Farten i x-led är konstant:

s = v_xt =12x0.55=6.6 m

c. Kulan har fart i bade x- och y-led när den landar:

v_x =12 m/s

v_y = -gt = -9.82x0.55= -5.4 m/s

Kulans fart är beloppet av hastigheten:

v = (v_x²+v_y²)^1/2 = (12²+5.4²)^1/2 = 13.2 m/s

d.  tan a = v_y/v_x = 5.4/12  T a = 24.2 ^o

Öva själv: 17.1-17.4

Lektion 16:

·        Hur skall man sikta för att na maximal längd?

·        Viken form har bankurvan?

·        Hur skall man sikta för att na en viss längd?

Vi räknar ytterligare nagra exempel pa rörelser i tyngdkraftfältet som bl a besvarar ovanstaende tre fragor.

Exempel:

En spjutkastare kastar iväg spjutet med farten 22 m/s under elevationsvinkeln 35 ^o.

a.       När landar spjutet?

b.      Hur langt bort landar spjutet?

c.       Bestäm spjutets högsta höjd över marken?

d.      Vilken form har bankurvan?

e.       Vid vilken elevationsvinkel kommer spjutet längst?

Lösning:

a. Spjutets hastighet i y-led är noll i banans högsta punkt. Om tiden är t da, landar kulan vid tiden 2t:

v_y = v_osina-gt = 0  T

t = v_osina/g =22sin35^o/9.82=1.28 s

Spjutet landar alltsa efter 2.56 s.

b. Farten i x-led är konstant:

s=v_otcosa = 22x2.56cos35^o = 46 m

c. Läget i y-led:

h=v_otsina-gt²/2 =

= 22x1.28xsin35-9.82x1.28²/2= 8.11 m

d. Spjutets läge ges av följande tva uttryck:

x=v_otcosa                            (1)

y=v_otsina-gt²/2                    (2)

Vi är emellertid endast intresserade av hur y beror av x. Vi löser därför ut t ut (1):

t = x/v_ocosa

och sätter in detta i (2):

y=v_osina x/v_ocosa-g/2 (x/v_ocosa)² = x sina/cosa - g x²/2/(v_ocosa)²     (3)

Bankurvan beskrivs tydligen av en funktion pa formen y=ax-bx², d v s av en andragradsfunktion. En sadan kurva kallas ocksa för en parabel (kastparabel).

e. Spjutet landar da y=0. Samband (3) ovan ger da:

0=x sina/cosa - g x²/2/(v_ocosa)²

Vi kan förkorta bort ett x och cosa:

0= cosasina - g x/2/v_o²

x= v_o²/g2cosasina= v_o²/g sin(2a)

x är störst da sin(2a) är störst, d v s da:

sin(2a) = 1

Detta gäller da 2a = 90^o, d v s da a = 45^o

Spjutet kommer alltsa längst da elevationsvinkeln är 45^o.

Exempel:

En kanon skjuter iväg granater med hastigheten 550 m/s. Vid ett tillfälle skall granaterna träffa mal pa det horisontella avstandet 25 km fran kanonen. Bestäm kanonens elevationsvinkel.

Lösning:

Vi kan direkt använda sambandet (3) ovan:

y = x sina/cosa - g x²/2/(v_ocosa)²

där x=25 000 m, v_o=550 m/s och y=0. Vi kan sätta in dessa värden i sambandet och lösa ut elevationsvinkeln a. Vi skall emellertid lösa ekvationen grafiskt genom att rita sambandet och kolla för vilken vinkel y=0.

Diagrammet visar att tva elevationsvinklar, c a 27^o respektive 63^o, ger skottvidden 25 km. Väljer vi t ex elevationsvinkeln 50^o befinner sig granaten 6000 m över malet pa markavstandet 25 km fran kanonen. Vi kan alltsa antingen välja en flack projektilbana eller en brantare (om de t ex är ett berg i vägen). Se figuren till höger.

Luftmotstand

I alla vara exempel har vi har vi bortsett ifran luftmotstandet. I praktiken har luftmotstandet stor inverkan pa rörelsen vid relativt höga farter. Bade spjutets och i synnerhet granatens rörelse skulle ha sett annorlunda ut om vi tagit hänsyn till luftmotstandet. Däremot kulan i det första exemplet skulle ha paverkats lite av luftmotstandet.

Testa själv

I programmet h:/tbas/kurvritare.exe kan du själv prova hur kulhastighet och elevationsvinkel paverkar kulbanans utseende.

Öva själv: 17.5-17.10

Lektion 17:

Laddade partiklars rörelse i homogena fält

Elektronernas rörelse i ett elektronböjningsrör (se s. 19) är exempel pa rörelse i ett homogent fält, d v s ett elektriskt fält mellan tva parallella kondensatorplattor. Genom att ändra elektronernas accelerationsspänning respektive spänningen över kondensatorplattorna kan man fa elektronstralen att böja av (avlänkas). Vi skall göra ett försök med elektronböjningsröret och jämföra den beräknade avlänkningen värdet med den uppmätta.

Exempel:

Bestäm elektronstralens avlänkningen d i ett elektronböjningsrör, om elektronernas accelerationsspänningen U_a=3,0 kV och spänningen mellan plattorna är U=1,25 kV. Plattavstandet D=5,2 cm. Avlänkningen skall bestämmas i änden pa den rutade plattan, d v s när elektronerna rört sig 8 cm i det elektriska fältet (se figuren intill).

Lösning:

Vi börjar med att ställa upp rörelseekvationerna för en elektron i x- och y-led. I x-led mellan plattorna saknas acceleration. Om elektronen har farten v när den kommer in mellan plattorna, far blir läget vid tiden t:

x=tv              (1)

I y-led accelereras elektronen av det elektriska fältet. Begynnelsefarten i y-led är dock noll. Läget blir da:

y=a_yt²/2         (2)

Där accelerationen a_y bestäms m h a kraftekvationen:

m_ea_y = F_q=q_eE=q_eU/D T a_y=q_eU/D/m_e     (3)

där m_e är elektronmassan. Sätt in (3) i (2):

y=q_eU/D/m_e t²/2                  (4)

Vi är intresserade av vad d är när x=8 cm. Vi skulle da t ex kunna bestämma v och t i (1) och sedan sätta in värdet pa t i (4). Vi löser emellertid först ut t ur (1) och sätter in detta i (4):

y=q_eU/D/m_e (x/v)²/2            (5)

Slutligen bestämmer vi elektronens begynnelsefart v i x-led m h a energibetraktelse:

m_ev²/2= q_eU_a T v²=2q_eU_a/m_e     (6)

Vi ersätter v² i (5) med (6) och bestämmer avlänkningen y vid x=8 cm:

y=q_eU/D/m_e x²m_e/(2q_eU_a) /2 =Ux²/(4DU_a) = 1250×0,08²/4/0,052/3000 = 0,013 m =1,3 cm

I sista sambandet ser vi att avlänkningen är oberoende av bade elektronens massa och laddning.

Öva själv: 17.14-17.15

Lektion 18:

Cirkulär rörelse, gravitation (kap 18)

Hittills har vi studerat föremal som rör sig fritt pa det ena eller andra sättet. Nu skall vi studera föremal som roterar runt en fixerad punkt, t ex vilka krafter som paverkar en släggkastare eller en bil som passerar ett gupp i vägen. Vi kommer t ex att ganska exakt med dessa kunskaper kunna beräkna tiden det tar för rymdfärjan (som rör sig 40 mil över markytan) att avverka ett varv runt jorden.

Demonstration

Jag roterar en boll fästad i ett snöre. Alla vet att kraften i snöret blir större ju snabbare bollen roterar. Fragan är hur man kan bestämma kraftens storlek? Kraften, som kallas centripetalkraft, kan härledas bade experimentellt och analytiskt. Vi väljer här den matematiskt analytiska vägen.

Läget vid cirkulär rörelse

Vi börjar med att beskriva rörelsen hos ett föremal som roterar runt en fix punkt med konstant fart. I ett visst ögonblick befinner sig föremalet i det läge figuren visar. Det är lämpligt att börja med att beskriva föremalets läge i x- och y-koordinater i det ögonblicket:

x=R cos(a)   (1)

y=R sin(a)   (2)

där R är rörelsens radie, m föremalets massa och a den momentana vinkeln mot x-axeln (se figuren intill).

Föremalet rör sig emellertid med konstant fart v. Vi ersätter därför vinkeln a med:

a=wt            (3)

där w är storheten vinkelhastighet, som mäts i enheten radianer/sekund [rad/s].

Vi definierar även storheterna periodtid (T) och frekvens (f).

Periodtiden anger tiden det tar föremalet att rotera ett varv. Periodtiden mäts i enheten [s].

Frekvensen anger hur manga varv föremalet roterar per sekund. Frekvensen mäts i enheten Hertz [Hz].

Exempel:

En boll i ett snöre roterar ett 5 varv pa 3,7 sekunder. Bestäm rörelsens:

a)      Periodtid (T).

b)      Frekvens (f)

c)      Vinkelhastighet (w).

Lösning:

a)      T=3,7/5=0,74 s

b)      f=1/T=1/0,74=1,35 Hz

c)      w=2p/T=2p/0,74=8,5 rad/s

Vi fortsätter härledningen av rörelsen och sätter in (3) i (1) och (2):

x=R cos(wt) (4)

y=R sin(wt)  (5)

Detta är de slutliga uttrycken för läget. Vi fortsätter med föremalets hastighet.

Hastighet vid cirkulär rörelse

Liksom tidigare deriverar vi läget m a p tiden för att fa hastigheterna i x- och y-led:

v_x= -Rw sin(wt)                 (6)

v_y=Rw cos(wt)                   (7)

Att hastighetskomposanten i x-led är negativ kan man första av att läget i x i figuren ovan avtar.

M h a sambanden (6) och (7) kan vi även uttrycka föremalets fart, d v s hastighetens resultant. pythagoras sats ger farten:

v=(v_x²+v_y²)^1/2=((Rw sin(wt))²+ (Rw cos(wt))²)^1/2 =Rw          (8)

Observera att farten har tangentens riktning i banan.

Exempel:

Bestäm bollens fart i förra exemplet, om snöret har radien 74 cm.

Lösning:

v=Rw=0,74×8,5=6,3 m/s

Acceleration vid cirkulär rörelse (centripetalacceleration)

Vi fortsätter med att derivera hastighetskomposanterna m a p tiden för att fa fram massans acceleration:

a_x= -Rw² cos(wt)               (9)

a_y= -Rw² sin(wt)                (10)

Bada accelerationskomposanterna är negativa, därför att hastigheten avtar i bade x- och y-led i figuren ovan. Accelerationes resultant a_c kallas centripetalaccelerationen och ges även här av pythagoras sats:

a_c=(a_x²+a_y²)^1/2= … =Rw²        (11)

Centripetalaccelerationen är ritktad mot origo. Detta inses matematiskt av att tan(a)=a_y/a_x. Intuitivt kan man även inse detta av att rörelsen i figuren ovan hela tiden svänger at vänsten, medan farten i banan är konstant. Skulle centripetalaccelerationen inte vara vinkelrät mot hastigheten skulle ju farten i banan öka.

Exempel:

Bestäm:

a)      centripetalaccelerationen a_c,

b)      centripetalkraften F_c, d v s kraften i snöret,

i föregaende exempel, om föremalets massa är 130 g.

Lösning:

a)      a_c= Rw² =0,74×8,5² = 53,4 m/s²

b)      Kraftekvationen ger: F_c = ma_c = 0,13×53,4 = 6,9 N

Centripetalaccelerationen pa olika sätt

Centripetalaccelerationen kan uttryckas i vinkelhastighet, periodtid, frekvens eller rotationsfart (v), beroende pa vad som är lämpligast i sammanhanget:

a_c= Rw² = R(2p/T)² = R(2pf)² = R(2pR/T)²/R² = v²/R

Exempel:

Bollen i föregaende exempel ges farten 25 m/s. Bestäm kraften i snöret.

Lösning:

Kraftekvationen ger: F_c = ma_c = mv²/R = 0,13×25²/0,74 = 110 N

Verifiering av härledda samband

Vi verifierar varan härledning av centripetalaccelerationen (-kraften) genom att ett experiment med en roterande anordning där vi kan mäta centripetalkraften. Vi varierar de roterande massorna respektive periodtiderna och radierna och far via en dynamometer nagra värden pa centripetalkraften. Vi jämför dessa med vad formeln för centripetalkraften ger och konstaterar att de överensstämmer ganska bra.

Demonstration av impulsmomentlagen

Jag roterar en liten gummikork fästad i en nylonlina, som löper ganska friktionsfritt genom ett glasrör. I andra änden av nylonlinan är lodrät en tyngre gummikork fästad. När den mindre gummikorken roterar haller den m h a centripetalkraften emot den tyngden fran den större korken. Jag visar även hur periodtiden kraftigt minskar om radien minskar medan den mindre korken roterar. Detta beror pa impulsmomentlagen (ingar ej i gymnasiekursen) och kan förstas av att periodtiden bör minska om hastigheten är oförändrad medan radien minskar. Prova själva konsekvenserna av impulsmomentlagen pa en karusell i en lekpark. Sätt fart pa karusellen sa att ni (gärna  fyra stycken i varsin kupé för maximal effekt) star sa langt ifran centrum ni kan komma. Vad händer när ni sedan gar in mot centrum? Den höga rotationsfrekvensen vid en piruett bygger pa impulsmomentlagen.

Exempel:

En bil som väger 1200 kg passerar med farten 25 m/s ett ’gupp’ i vägen med radien 4,5 m. Bestäm kraften bilen paverkar vägen med.

Lösning:

När bilen passerar det cirkulärformade guppet paverkas den av en sin egen tyngdkraft (F_t) och av en normalkraft (F_N) fran vägen, som även är den kraft bilen paverkar vägen med. Resultanten till dessa bada krafter blir centripetalkraften, som ju far bilen att röra sig i en cirkelformad bana. Kraftekvationen för bilen blir alltsa, med positiv referensriktning mot rörelsens centrum:

ma_c = F_N - F_t   T F_N = ma_c + F_t = mv²/R + mg = m(v²/R +g) = 1200(25²/4,5+9,82) = 178 kN

Exempel:

En berg-och-dalbana innehaller ofta en loop, där alltsa vagnen är upp och ner i loppens övre del. Hur högt (h) över marken (se figur nedan) maste vagnen minst börja rulla ifran för att vagnen skall klara sig runt loopen och hur stor maste farten i högsta punkter i loopen? Räkna pa den gamla loppen pa Liseberg, vars diameter var 17 m. Antag att allt är friktionsfritt.

Lösning:

I loopens övre del paverkas vagnen av tva krafter, tyngdkraften (F_t) och normalkraften fran banan (F_N). Vi ställer upp kraftekvationen för vagnen i detta ögonblick:

ma _c= F_t+ F_N                               (1)

F_t = mg                                (2)

Där m är vagnens massa och a_c centripetalaccelerationen:

a_c= v²/R                               (3)

där R är loopens radie och v farten i loopens övre del.

Villkoret för att vagnen inte skall lämna banan är att normalkraften F_N³0, d v s att centripetalkraften är minst lika stor som tyngdkraften i loopens övre del. Vi sätter alltsa F_N=0 och sätter in (2) och (3) i (1):

mv²/R = mg        T     v² = Rg      (4)

Fragan var fran vilken höjd vagnen skall släppas. Vi använder energisamband för att fa ett uttryck för v:

mv²/2 = mg(h-2R)    T     v² = 2g(h-2R)    (5)

Vi sätter samman (4) och (5):

Rg = 2g(h-2R)      T    h=5R/2

Vagnen maste alltsa släppas pa höjden R/2 över loopens övre del. Med siffror blir det 21,25 m över marken. Farten i loopens övre del blir med (4) 9,1 m/s.

Minilaboration

Vi hänger upp ett litet batteri- och propellerdrivet leksaksflygplan i en nylonlina i taket. Vi startar planet och later det flyga runt i en cirkelbana i fysiksalen. Flygplanets rörelse kan betraktas som en konisk pendel. Ni skall nu lösa nagra uppgifter:

·        Bestäm kraften i nylonlinan.

·        Ange ett samband för hur rörelsens periodtid T beror av vinkeln a mellan nylonlinan och lodlinjen och linans längd L (se figur).

·        Gör lämpliga mätningar och beräkna m h a det härledda sambandet periodtiden för flygplanets rörelse.

·        Mät periodtiden och jämför den med det beräknade värdet. Blir de lika?

Öva själv: 18.1-18.12

Lektion 19:

Gravitationslagen

Liksom tva laddningar paverkar varandra med en kraft, enligt Coulombs lag, paverkar även tva massor varandra med en attraherande kraft. Kraften är i vardagliga situationer praktiskt taget omärkbar, men av fundamentalbetydelse i universum. Det är gravitationskraften mellan manen och jorden som haller manen pa plats runt jorden, gravitationskrafterna mellan solen och planeterna som styr planetrörelserna. Praktiskt taget all rörelse i kosmos styrs av gravitationslagen, som Isac Newton formulerade pa 1600-talet:

F=Gm₁m₂/r²     (1)

F är alltsa gravitationskraften mellan massorna m1 och m2 som befinner sig pa avstandet r ifran varandra. Gravitationskonstanten G = 6,67×10^-11 Nm²/kg². Observera att gravitationslagen paminner mycket om Coulombs lag.

Exempel:

Hur stor är gravitationskraften mellan tva fysikelever som befinner sig pa avstandet 0,58 m ifran varandra? Antag att eleverna väger 61 respektive 72 kg.

Lösning:

Gravitationskraften ges av:

F=Gm₁m₂/r² = 6,67×10^-11×61×72/0,58² = 0,87 mN

Eleverna attraherar alltsa varandra med den ytterst lilla kraften 0,87 mN.

Exempel:

Den amerikanska rymdfärjan kretsar runt jorden pa 38 mils höjd över ekvatorn. Hur lang tid tar det rymdfärjan att avverka ett varv runt jorden? Rymdfärjans bana runt jorden är praktiskt taget cirkulär och farten är konstant. Använd formelsamlingen för att lösa uppgiften.

Lösning:

Rymdfärjan paverkas av en gravitationskraft F_G fran jorden. Samtidigt rör den sig i en cirkulär bana runt jorden, d v s rymdfärjan utsätts för en centripetalacceleration a_c. Vi kan saledes ställa upp kraftekvationen för rymdfärjan:

ma_c = F_G                              (1)

Gravitationskraften:

F_G = GmM/(r+h)²                 (2)

Där r är jordradien, h höjden över marken, m rymdfärjans massa och M jordens massa.

Centripetalaccelerationen uttrycker vi med periodtiden T:

a_c = (r+h)(2p/T)²                  (3)                

Sätt sedan in (3) och (2) i (1):

m(r+h)(2p/T)² = GmM/(r+h)²  T   T = 2p((r+h)³/GM)^1/2

Använd tabellen och sätt in värden:

T = 2p((6 378 500×380 000)³/6,672×10^-11× 5,977×10²⁴)^1/2 = 5528 s = 1 h 32 min

Öva själv: 18.13-18.19

Bestämning av elektronmassan vid rörelse i magnetfält

I kapitlet om magnetfält (kap 14) böjde vi av en elektronstrale med ett magnetfält och ett elektriskt fält i ett elektronböjningsrör när vi bestämde massan hos en elektron (se s. 19). Vi skall ater bestämma elektronmassan m_e, men nu skall vi endast använda oss av ett magnetfält och böja av elektronerna sa att de gar i en cirkulär bana. En elektron q_e som rör sig med farten v i ett magnetfält riktat in i papperet, enligt figuren intill, paverkas av en magnetisk kraft F_B (magnetfältet runt strömmen, som är motsatt riktad elektronrörelsen, samverkar med det yttre magnetfältet B pa utsidan av elektronbanan):

F_B = q_evB                                                  (1)

Eftersom kraften F_B är riktad vinkelrätt mot elektronens rörelseriktning, maste (enligt vad vi nu vet om cirkulärrörelse) elektronen röra sig i en cirkulär bana. Därmed är paverkas elektronen av en centripetalacceleration a_c och vi kan ställa upp kraftekvationen för elektronen:

m_ea_c = F_B                                                   (2)

Vi uttrycker centripetalaccelerationen med elektronens banhastighet v och banradie R:

a_c = v²/R                                                    (3)

Nu sätter vi in (1) och (3) i (2):

m_ev²/R = q_evB      T     m_ev/R = q_eB          (4)

För bestämningen av elektronmassan använder vi ett speciellt elektronrör. Magnetfältet B skapas med ett par s k Helmholz-spolar, där vi enkelt kan mäta strömmen i spolarna och sedan beräkna magnetfältet med en given formel. Banradien R mäter vi och elektronfarten v bestämmer vi med ledning av elektronernas accelerationsspänning U_a och energisamband:

m_ev²/2 = q_eU_a                                             (5)

Vi  löser ut farten v ur (4) och sätter in den i (5):

m_e(q_eBR/m_e)²/2 = q_eB           T …. T  m_e = q_eB²R²/2U_a  (6)

Nu aterstar bara att göra mätningen pa elektronröret. Vi erhöll följande mätvärden:

B=                 R=                 U_a=

Vi sätter in värdena i (6) och beräknar elektronmassan m_e.

Öva själv: 18.20-18.23

Lektion 20:

Svängningsrörelse (kap 19)

Inom fysiken handlar det som vi sett ofta om att beskriva en rörelse. Hittills har det mest handlat om rörelse i en viss riktning, t ex kastbanor och cirkulär rörelse. En oscillerande spiralfjäder eller en pendel utför dock en s k svängningsrörelse kring ett jämviktsläge. Naturen är full av svängningsrörelser, exempelvis vatten- och ljudvagor, ljus och spänningen i vägguttaget. I detta kapitlet skall vi begränsa oss till fjädrar och pendlar.

Harmonisk svängning

Inledningsvis hänger jag upp en vikt i en spiralfjäder. Fjädern förlängs och vikten hänger stilla i sitt jämviktsläge. Sedan drar jag ner vikten nagot och laten den svänga fritt i fjädern. Fragan är hur vi kan beskriv svängnings form, d v s hur viktens läge beror av tiden. Vi belyser samtidigt den svängande vikten och en tapp vid kanten pa en roterande skiva och betraktar skuggorna pa vita tavlan. Vi försöker att ställa in motorns varvtal sa att tappen rör sig i takt med vikten. Aven om vi inte lyckas fa rörelserna i takt ser vi ända att det är samma typ av rörelser. Problemet att beskriva viktens rörelse reduceras därmed till att beskriva tappens läge i y-led, vilket vi även gjorde när vi härledde centripetalaccelerationen (kapitel 18 pa sidan 45). Med figurens beteckningar blir tappens läge i y-led:

y=R sin(a)

Om tappen roterar med vinkelhastigheten w blir y tidberoende:

y=R sin(wt)    (1)

Sambandet (1) anger att det är en harmonisk svängning (sinus-beroende). Läget y kallas elongationen och anger det momentana avstandet till jämviktsläget och R svängningens amplitud. Vi testar med olika vikter och fjädrar och upptäcker att vinkelhastigheten varierar.

Exempel:

En fjäder svänger med periodtiden T=0,5 s och amplituden 17 cm.

a.       Ange hur elongationen (viktens läge) beror av tiden.

b.      Ange svängningens största hastighet och var inträffar den?

c.       Massan väger 100 g. Ange den största kraften massan paverkas av under svängningen och var är kraften störst?

Lösning:

a.       Elongationen y =Asin(wt) = 0,17sin(2p/0,5) = 0,17sin(4p) [m]

b.      Farten v_y = dy/dt = 0,17×4p cos(4p) = 2,1 cos(4p) [m/s]. Högsta farten är alltsa 2,1 m/s när vikten passerar jämviktsläget.

c.       Accelerationen a_y = dv_y/dt = - 0,17×(4p)²sin(4p) = 26,8 sin(4p) [m/s²]. Största accelerationen är alltsa 26,8 m/s² i vändlägena. Enligt kraftekvationen blir da kraften:

F=ma_y=0,1×26,8 = 2,68 N

Fjäderkonstanten

Vi böjar med att kolla hur fjäderns förlängning beror av belastningen (F), d v s vi hänger i vikter och mäter förlängningen (dx) och för in värdena i en tabell. Vi ritar sedan ett diagram och försöker hitta ett samband mellan kraften och förlängningen. Diagrammet antyder att sambandet är linjärt, d v s:

F=k×dx

där k är fjäderkonstanten, som mäts i enheten [N/m].

Periodtiden

Vi är nu redo att härleda ett uttryck för periodtiden, d v s tiden det tar vikten att röra sig fran t ex övre vändläget till nedre vändläget och ater till övre vändläget. I figuren intill har vi först hängt upp en obelastad fjäder med fjäderkonstanten k. Vi hänger sedan i massan m sa att fjädern förlängs sträckan s. Massan paverkas da av tyngdkraften mg och fjäderkraften F₁:

F₁ = ks

Eftersom massan hänger stilla i jämviktsläget är tyngd- och fjäderkraften lika stora:

mg = ks                               (1)

Vi för sedan vikten uppat sträckan y. Fjäderkraften minskar da eftersom förlängningen s minskar. Den nya fjäderkraften F₂ blir da:

F₂ = k(s-y)                           (2)

Tyngdkraften är dock oförändrad, varför massan inte befinner sig jämvikt längre. Vi ställer upp kraftekvationen för massan, med positiv referensriktning uppat:

ma = F₂-mg                         (3)

Vi sätter in (1) och (2) i (3) och förenklar:

ma = k(s-y) – mg = ks-ky-mg = mg-ky-mg = -ky           (4)

Massan kommer alltsa att utföra harmoniska svängningar runt jämviktsläget. Vi ansätter följande funktion för elongationen y:

y =A sin(wt)                         (5)

där A är svängningens amplitud. Vi bestämmer accelerationen a genom att derivera (5) m a p tiden tva ganger…

a = -Aw² sin(wt)                  (6)

… och sätter sedan in (5) och (6) i (4):

-mAw² sin(wt) = -kAsin(wt)    T   w² = k/m

Eller uttryckt i periodtiden T:

(2p/T)² = k/m   T    T = 4p(m/k)^1/2

Exempel:

Beräkna periodtiden för fjädern vi bestämde fjäderkonstanten för (k=10 N/m), om vi hänger i vikten 100 g. Kontrollera sedan att det stämmer (mät pa tio svängningar).

Lösning:

Periodtiden T = 4p(m/k)^1/2 = 4p(0,1/10)^1/2 = 1,3 s

Exempel:

Elongationen i meter hos en fjädersvängning ges av y=0,25 sin(3t). Bestäm svängningens:

a.       Amplitud A.

b.      Periodtid T.

Lösning:

a.       Amplituden A=0,25 m

b.      Vinkelhastigheten w = 3 rad/s, d v s w = 2p/T   T   T = 2p/w = 2p/3 = 2,1 s

Öva själv: 19.1-19.14

Lektion 21:

Energi i spänd fjäder

När vi spänner fjädern drar vi i den med en kraft F sa att den förlängs sträckan dx, d v s vi uträttar ett arbete. Fragan är hur stort? Arbetet A en konstant kraft uträttar kan illustreras i ett kraft-sträcka diagram, där ytan mellan kraften och sträckan är arbetet (jämför sträckan i en v-t-graf):

A=Fa

Hos en fjäder beror kraften pa fjäderns förlängning a:

F=ka

Aven här blir arbetet A ytan mellan grafen och x-axeln:

A= ka a/2 = ka²/2                (1)

Män kan även säga att denna energin finns upplagrad som lägesenergi i den spända fjädern (jämför med fjädern i en klocka).

Exempel:

Fjädern i det tidigare exemplet med fjäderkonstanten 10 N/m förlängs 35 cm. Hur mycket energi finns upplagrad i fjädern?

Lösning:

Samband (1) ovan ger energin: A= ka²/2 = 10×0,35²/2 = 0,61 J

Energi i svängande fjäder

Hos massan m i en svängande fjäder är den upplagrade energin i ett visst ögonblick summan av läges- och rörelseenergin. Rörelseenergin fas förstas med följande samband:

W_k = mv²/2                          (1)

där farten v hos massan fas genom att derivera läget y hos den harmoniska svängningen:

y =Asin(wt)

d v s:

v = Awcos(wt)                     (2)

Sätt in (2) i (1):

W_k = m A²w²cos²(wt)/2       (3)

Den upplagrade energin i svängningen (den energi man teoretiskt skulle kunna utvinna om man stoppade svängningen) är ren rörelseenergi när jämviktsläget passeras, d v s da farten är störst:

W_k = m A²w²/2

Exempel:

Massan m svänger med amplituden a i en fjäder med fjäderkonstanten k. Uttryck den maximala rörelseenergin W_k i svängningen.

Lösning:

W_k = m A²w²/2 = m a²(k/m)/2 = a²k/2

Maximala rörelseenergin är lika stor som lägesenergin när fjädern förlängs till amplituden.

Öva själv: 19.15-19.18

Matematiska pendeln

En massa m som svänger fritt i en trad eller arm med längden L kallas pendel. Här i gymnasiefysiken antar vi att all massa är lokaliserad till en punkt. En sadan pendel kallas för en matematisk pendel. Med beteckningarna i figuren intill skall vi härleda ett uttryck för pendelns periodtid. Pa massan m verkar tva krafter, tyngdkraften mg och snörkraften. Snörkraften bidrar dock inte till pendlingen, eftersom den är vinkelrät mot snöret. Vi betraktar nu endast pendelns rörelse i x-led och ställer upp kraftekvationen för massan, med positiv referensriktning at höger:

ma_x = -F_x                                                  (1)

Kraften F_x far vi genom att först ta tyngdkraftens komposant F₁ vinkelrät emot snöret. F_x är ju F₁:s komposant i x-led.

F₁ = mg sin v                                            

F_x = F₁ cos v = mg sin v cos v                    (2)

Vi sätter in (2) i (1):

ma_x = - mg sin v cos v     T    a_x = - g sin v cos v            (3)

Vi vill även ha med pendelns läge x i x-led i (3):

sin v = x/L                                                 (4)

Vi sätter in (4) i (3):

a_x = - g x/L cos v                                       (5)

Vi nöjer oss nu med att enbart betrakta ’sma’ utslagsvinklar v. Vi kan da sätta cos v = 1

(ty cos 0 = 1):

a_x = - g x/L                                                (6)

Detta samband paminner mycket om det vi erhöll när vi härledde periodtiden för fjädersvängning (4). Därmed kan vi utga ifran att även pendelsvängningen är harmonisk. Vi ansätter därför en sinusfunktion för massans läge i x-led:

x =A sin(wt)                                              (7)

som deriverar tva ganger för att fa accelerationen:

a_x = -Aw² sin(wt)                                       (8)

Sätt nu in (7) och (8) i (6):

-Aw² sin(wt) = - gA sin(wt)/L     T      w² = g/L              (9)

Pendelsvängningen är alltsa oberoende av massan.

Exempel:

Hur lang skall en matematisk pendel vara för att svänga med periodtiden 1 s?

Lösning:

g/L = w²   T    L = g/w² = g/(2p/T)² = 9,82/(2p/1)² = 0,249 m

Öva själv: 19.19-19.23

Resonans

En spiralfjäder och en pendel som far svänga fritt svänger med sin egenfrekvens. Genom att stöta till massan som hänger i fjädern med en annan frekvens far man den att utföra tvungna svängningar. Stöter man till massan med samma frekvens som egenfrekvensen uppstar resonans. man kan ocksa uttrycka det som att man tillför systemet energi i samma takt som dess egenfrekvens. Resultatet blir i värsta fall en svängning med ökande amplitud tills nagot brister. I regel finns dock dämpning i systemet som motverkar att amplituden ökar okontrollerat. Jämför med bilens stötdämpare.

Demonstration av resonans i bladfjäder

Bilden ovan visar hur en bladfjäder kommer i resonans i ett oscillerande magnetfält fran en 600 varvig spole med järnkärna.

Demonstration av resonans i stämgafflar

Bilden till höger visar tva likadana stämgafflar med egenfrekvensen frekvensen 435 Hz. Svänger den ena stämgaffeln med resonansladans öpnning framför den andras kommer även den i svängning via resonans. Sänks däremot den ena stämgaffelns egenfrekvens nagra hertz med en pamonterad skruv uppkommer dock ingen resonans i den andra stämgaffeln.

Exempel:

Man trycker till pa karossen pa en gammal amerikanare och ser att den svänger med periodtiden 2 Hz. Vilken hastighet bör bilen undvika att halla pa en ’tvättbrädsväg’ med avstandet 4,5 m mellan groparna?

Lösning:

Guppar det med samma frekvens som bilens egenfrekvens, d v s f = 2 Hz, uppstar resonans. Och det gör det om bilen passerar mellan tva vagdalar eller vagtoppar pa samma tid som egenfrekvensens periodtid T:

T = 1/f = 1/2 = 0,5 s.

Det inträffar om farten är: v = s/T = 4,5/ 0,5 = 9 m/s = 32,4 km/h

Öva själv: 19.24

Lektion 22:

Mekaniska vagor (kap 22)

Inom fysiken studeras ofta olika typer av mekaniska vagor, t ex vatten-, ljud- och jordbävningsvagor. Flertalet av dessa har periodisk karaktär. En ljudsmäll fran en explosion är däremot inte periodisk, utan kan mer beskrivas som en pulsvag. En mekanisk vag uppkommer av att manga sma partiklars rörelse svänger med samma frekvens, men aningen i ofas med sin närmaste granne.

Transversella och longitudinella vagor

Vid vagutbredning sker energiöverföring, men däremot ingen transport av materia. Det finns tva typer av vagutbredning: Transversella och longitudinella vagor. Vid transversell vagutbredning, som t ex vattenvagor, rör sig de enskilda vattenmolekylerna i vertikalt vinkelrätt mot vagen utbredningsriktning, medan vagen fortplantar sig i horisontell led. Vid longitudinell vagutbredning, som t ex ljudvagor, rör sig (svänger) de enskilda ’luftmolekylerna’ i samma riktning (parallellt) som vagutbredningen. De olika vagtyperna illustreras med en vevad ’vagmaskin’ (se bild ovan).

Exempel:

En transversell puls utbreder sig med hastigheten 2 dm/s, enligt figuren.

a.       Rita pulsen 3 s senare.

b.      Med vilken fart rör sig en partikel pa pulsens flank, om pulshöjden är 1 dm?

Lösning:

a.       Pulsen har rört sig sträckan s=v_xt=2×3=6 dm framat.

b.      När pulsen rört sig 0,5 dm har en partiken rört sig fran basen till toppen pa pulsen. Detta tar tiden t = s/v_x = 0,5/2=0,25 s. Pa den tiden har alltsa partiken rört sig sträckan 1 dm med farten: v_y =1/0,25 = 4 m/s.

Superposition

Amplituden hos vagor som möts adderas momentant, men fortsätter sedan opaverkade av varandra. Detta är superpositionsprincipen och addition av vagor kallas superposition.

Exempel:

Tva pulser rör sig at var sitt hall pa en sträng. Rita strängens utseende när pulserna är mitt för varandra i de tva figurerna nedan. Pulshöjderna är 1 respektive 2 dm.

Lösning:

De superponerade pulserna har amplituderna 3 respektive 1 dm, enligt figuren nedan.

Reflexion och transmission

I tomma rum ekar det. Eko är exempel pa reflexion av ljudvagor. En del av ljudvagen fortsätter emellertid in i väggen, man säger att transmitteras. Vi skiljer pa tva typer av reflexion: Mot tätare respektive tunnare medium. Vi exemplifierar med typfallen da en puls som infaller fran vänster reflekteras mot ett tyngre (tätare medium) respektive lättare (tunnare medium) snöre.

Reflexion mot tätare medium:

Före:                                                                  Efter:

Vid reflexion mot ett tätare medium reflekteras den infallande vagen omvänt.

Reflexion mot tunnare medium:

Före:                                                                  Efter:

Vid reflexion mot ett tunnare medium reflekteras den infallande vagen pa samma sida.

Exempel:

En vagpuls med basen 1 dm infaller med farten 2 dm/s fran vänster pa ett snöre fastsatt i en vägg. Före reflexionen mot väggen befinner sig pulsens högra nederkant 2 dm fran väggen. Rita snörets utseende 3 s senare.

Lösning:

Pa 3 s rör sig pulsen 6 dm. Pulsens framkant rör sig alltsa först 2 dm fram till väggen och sedan reflekterad 4 dm at vänster. Bakkanten rör sig 3 dm pa varje sida.

Periodiska vagor

Hittills har vi enbart behandlat pulsartade vagor. Vanligtvis är dock vagor periodiska och harmoniska, d v s partiklarna som bygger upp vagen rör sig som en svängande fjäder. En enskild partikels läge i y-led i en transversell vag kan alltsa uttryckas med:

y =A sin(wt)

där A är vagens amplitud. Tillsammans skapar partiklarna en periodisk transversell vag som utbreder sig i x-led med vaglängden l (grakiska lambda), som är kortaste avstaendet mellan tva partiklar som svänger i fas. När partikeln har rört sig en period pa tiden T har alltsa vagen rört sig en vaglängd. Sambandet mellan periodtid T och vaglängd l är alltsa:

v = l/T = lf

där v är vagens utbredningshastighet [m/s] och f svängningens frekvens [Hz].

Mätning av ljudhastighet och vaglängd

Vi bestämmer ljudhastigheten med tva mikrofoner kopplade till mätprogrammet Datastudios oscilloskop. När en ljudpuls (klappa med handen!) nar den första mikrofonen startas (triggas) ett svep pa oscilloskopet och en röd kurva ritas. När pulsen nar den andra mikrofonen ritas en grön kurva. Tidsskillnaden mäts pa oscilloskopet. Vet vi avstandet mellan mikrofonerna är det lätt att bestämma ljudhastigheten. Ljudvaglängden fran t ex en stämgaffel kan bestämmas genom att flytta den ena mikrofonen en vaglängd pa oscilloskopet och mäta avstandet pa bänken.

Öva själv: 22.1-22.13

Lektion 23:

Interferens

När vagor med samma frekvens och utbredningshastighet möts eller samverkar de med varandra pa ett periodiskt och harmoniskt sätt. De kan bade förstärka och försvaga varandra. Fenomenet kallas interferens och vagorna sägs interferera med varandra.

Datorsimulering av interferens

Med delphi-programmet Kurvritare kan vi kolla vad som händer när vagor med bade lika och olika frekvenser möts. Ar frekvenserna olika vandrar den resulterande vagen i horisontell led. När vagorna har samma frekvens kommer den resulterande vagen att ligga still och utföra svängningar (bukar) mellan nodpunkter utan utslag i vertikalled. Fenomenet med skenbart stillastaende vagor kallas staende vagor. Datorprogrammet simulerar även interferens mellan vagor som rör sig i samma riktning med olika hastigheter. Simulera själv! Programmet finns pa https://hem.passagen.se/anderskristerandersson/fysik.html.

Demonstration av staende vagor i snöre

Vi binder fast ena ändarna pa ett horisontellt snöre i en vibrator och i en vikt som haller det spänt. Vibratorn kopplas till en tongenerator. Vid vissa frekvenser (som vi läser av pa en frekvensräknare) uppkommer staende transversella vagor i snöret som ett resultat av interferens mellan infallande och reflekterade vagor i snörets ändar. Vi belyser den staende vagen med stroboskopljus med samma frekvens som tongeneratorns och ser da att snöret svänger upp och ner som en vag, vars vaglängd minskar med ökande frekvens. Vi ser ocksa att det i detta fallet far plats ett helt antal halva vaglängder pa snöret.

Demonstration av staende vagor i fjäder

Vi tittar pa staende longitudinella vagor i en vertikal spiralfjäder. Uppkopplingen är i övrigt lika som den i förra demonstrationen.

Staende vagor i snöre

Staende vagor är alltsa ett fenomen som uppkommer när en infallande vag interfererar med sin reflekterade vag, t ex i ett snöre, i en orgelpipa eller i en fjäder. Det är lite svart att inse hur en staende vag uppkommer genom interferens med en reflekterad vag. Det är heller inte sa viktigt att första detta för fortsättningen. Vi maste emellertid kunna beräkna för vilka frekvenser staende vagor uppkommer, om vi exempelvis vet lägsta frekvensen som alstrar en staende vag. Var utgangspunkt är, som demonstrationen ovan visade, att det far plats ett helt antal halva vaglängder pa snöret.

Första staende vagen (grundtonen) med frekvensen f₁ har en halv vaglängd (l₁)  pa snöret (L):

l₁/2 =L    T   l₁=2L

Aven följande samband gäller:

v=f₁l₁= f₁2L                        (1)

där v är vagornas utbredningshastighet i snöret. Utbredningshastigheten är oberoende av frekvensen och beror bara av hur hart spänt snöret är.

Andra staende vagen (första övertonen) med frekvensen f₂ har en vaglängd (l₂)  pa snöret (L):

l₂ =L    T   l₂=L               

v=f₂l₂= f₂L                          (2)

Vi sätter samman (1) och (2):

f₂L=f₁2L         T f₂ =2f₁       (3)

Tredje staende vagen (andra övertonen) med frekvensen f₃ har tre halva vaglängder (l₃)  pa snöret (L):

3l₃/2 =L    T   l₃=2L/3

v=f₃l₃= f₃2L/3                     (4)

Vi sätter samman (1) och (4):

f₃2L/3=f₁2L    T f₃ =3f₁       (5)

o s v.

Sambanden (3) och (5) antyder att staende vagor uppkommer för följande frekvenser, om f ₁ är grundfrekvensen: f₁, 2f₁, 3f₁, 4f₁, 5f₁, … .

Exempel:

Vi ställer in snörlängden sa att vi far en staende vag pa snöret för grundfrekvensen 10 Hz.

a)      Beräkna frekvensen för de tre nästkommande staende vagorna.

b)      Kontrollera med tongeneratorn att det stämmer.

Lösning:

a)      Enligt härledningen ovan blir frekvenserna 20, 30, 40 Hz.

b)      Det stämmer bra!

Exempel:

En sträng svänger med staende vagor för frekvensen 189 Hz, enligt figuren intill. Bestäm grundtonens frekvens.

Lösning:

Strängen har tva noder förutom de i ändarna. Alltsa svänger den med frekvensen för andra övertonen, d v s: 3f₁ = 189  T  f₁ = 63 Hz

Demonstration av staende vagor i sagblad

Vi spänner fast ett sagblad i ena ändan och sätter det i svängning med en elektromagnet pa samma sätt som när vi tittade pa resonans. Aven här uppkommer staende vagor. I den fria ända uppkommer en buk och i den fria ändan en nod.

Staende vagor i bladfjäder (sagblad)

I ett snöre som svänger är det alltid noder i ändarna. En bladfjäder inspänd i ena ändan och fri i den andra har (som vi sag i demonstrationen ovan) däremot en buk i den fria ändan. Fragan är nu för vilka frekvenser staende vagor uppkommer, om grundfrekvensen är f₁.

Första staende vagen (grundtonen) med frekvensen f₁ har 1/4 vaglängd (l₁)  pa sagbladet (L):

l₁/4 =L    T   l₁=4L

Aven följande samband gäller:

v=f₁l₁= f₁4L                                              (1)

där v är vagornas utbredningshastighet i bladet. Utbredningshastigheten är oberoende av frekvensen och beror bara av materialet.

Andra staende vagen (första övertonen) med frekvensen f₂ har 3/4 vaglängd (l₂)  pa bladet (L):

3l₂/4 =L    T   l₂=4L/3     

v=f₂l₂= f₂4L/3                                           (2)

Vi sätter samman (1) och (2):

f₂4L/3=f₁4L    T f₂ =3f₁                             (3)

Tredje staende vagen (andra övertonen) med frekvensen f₃ har 5/4 vaglängd (l₃)  pa bladet (L):

5l₃/4 =L    T   l₃=4L/5

v=f₃l₃= f₃4L/5                                           (4)

Vi sätter samman (1) och (4):

f₃4L/5=f₁4L    T f₃ =5f₁                             (5)

o s v.

Sambanden (3) och (5) antyder att staende vagor uppkommer för följande frekvenser, om f ₁ är grundfrekvensen: f₁, 3f₁, 5f₁, 7f₁, 9f₁, … .

Exempel:

Ställ in frekvenserna för första, andra och tredje och eventuellt fjärde staende vagen i bladfjädern. Anteckna frekvenserna och kolla om det stämmer med teorin.

Staende vagor i luft

Ljudet i ett rör, en näverlur, en orgelpipa eller i en flaska uppkommer p g a staende vagor. Principen är den samma som för snöret eller sagbladet. I rörets slutna ända har den staende vagen en nod och i den öppna ändan en buk. I röret i figuren intill visas den andra staende vagen (första övertonen) som kan uppkomma i ett rör som är slutet i den ena ändan och öppet i den andra.

Demonstration:

Vi tittar pa nagra olika ljudvagor pa ett oscilloskop kopplat till en mikrofon, t ex med mätprogrammet Datastudio. Vi tittar pa ljud fran en stämgaffel, flöjt, munspel, vissling, vokaler och pysljud.

Exempel:

En stämgaffel halls över ett glasrör som är nedsänkt i vatten. Vid vissa lägen hörs ljudet fran luftpelaren särskilt bra. Bestäm ljudhastigheten, om stämgaffeln har frekvensen 435 Hz och luftpelaren i röret har höjden 19 cm.

Lösning:

Ljudet hörs först för den första staende vagen i röret, d v s när luftpelaren har längden l/4. Ljudets vaglängd är alltsa 19×4=76 cm. Ljudhastigheten blir alltsa:

v=fl=435×0,76=330 m/s

Exempel:

En i bada ändar öppen gummislang som roterar i luften ger ifran sig ett visslande ljud (detta demonstreras pa lektionen). Ljudet later med olika frekvens beroende hur fort slangen roteras. Vid vilka frekvenser kan man förvänta sig att slangen later, om den är 76 cm lang. Antag att ljudhastigheten i luft är 335 m/s.

Lösning:

Ett rör öppet i bada ändar har bukar i ändarna vid staende vagor. Figuren intill visar de tva första staende vagornas utseende. Här liksom i en sträng uppkommer staende vagor tydligen när ett helt antal halv vaglängder far plats i röret. Detta villkor gäller om det är symmetri i det staende vagorna, d v s om det noder eller bukar i bada ändarna. Här uppkommer alltsa staende vagor för frekvenserna f₁, 2f₁, 3f₁, 4f₁, 5f₁, …, där alltsa f₁ är den lägsta frekvensen staende vagor uppkommer för. Om L=0,76 m är rörets längd gäller följande samband:

l₁/2=L    T   l₁= 2L

f₁=v/l₁= v/2L= 335/2/0,76 = 220 Hz

Övertonerna har alltsa frekvenserna 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz o s v.

Kundts rör…

…är ett meterlangt liggande glasrör med en högtalare i ena änden och nikt (korkspan) utefter langsidan. Vid vissa frekvenser uppkommer staende vagor i röret. Vagorna far nikten att vibrera i bukarna och skapa ett karakteristiskt vagmönster, varur bl a vaglängden kan bestämmas.

Demonstration

Vi bestämmer ljudhastigheten m h a Kundts rör.

Exempel:

Vi kopplar en högtalare till Kundts rör och hör att ljudet förstärks för vissa vaglängder när framändan är öppen, d v s ljudet har en nod vid högtalaren och en buk vid öppningen. Vi beräknar vid vilka frekvenser vi bör fa förstärkning av ljudet. Använd ljudhastighet vi beräknade i förra demonstrationen.

Lösning:

Här gäller samma förhallande som vid sagbladet, d v s vi far staende vagor för frekvenserna f₁, 3f₁, 5f₁, 7f₁, 9f₁, …, där f₁ är grundfrekvensen. Om röret har längden L har den första staende vagen vaglängden:

l₁/4=L    T   l₁= 4L

f₁=v/l₁= v/4L = …

Svävningar

Vi lyssnar pa svävningar fran tva stämgafflar som svänger med nästan samma frekvens (435 Hz) och registrerar ljudet med en mikrofon kopplad till mätprogrammet Datastudios oscilloskop, enligt bilden intill. Den ena stämgaffeln har gjorts ’ostämd’ med en liten skruv sa att den svänger med frekvensen 434 Hz (kolla med frekvensmätaren!). När stämgafflarna ljuder samtidigt varierar ljudnivan märkbart. Detta kallas svävningar och är ett interferensfenomen som uppkommer om tva ljudkällor svänger med aningen olika frekvenser. Svävningen har samma frekvens som ljudkällornas frekvensskillnad. Svävningar används bl a vid stämning av musikinstrument.

Diagrammet intill (ritat i Excel) visar svävningarna för tva fiktiva toner med frekvenserna 9 respektive 10 Hz, vilket alltsa innebär att svävningens frekvens är 1 Hz (T=1s). Kurvan fas helt enkelt genom superposition (d v s addition) av tonerna:

y = sin(2pf₁t) + sin(2pf₂t) = sin(2p9t) + sin(2p10t)

Prova själv att rita kurvan pa miniräknaren!

Öva själv: 22.14-22.21

Lektion 24:

Vagor i tva dimensioner

Vagor i strängar och fjädrar är exempel pa vagutbredning i en dimension. Vattenvagor, ljudvagor och ljusvagor utbreder sig i regel i tva och tre dimensioner. Vattenvagor, som utbreder sig pa en yta, är tvadimensionella. Vi skall nu m h a skolans ’vagmaskin’ visa nagra vagfenomen med vattenvagor som gäller för all typ av vagutbredning.

Frekvens- och vaglängdsberoende, vaghastighet

Vi alstrar plana vattenvagor. När frekvensen ökar minskar förstas vaglängden, eftersom vagorna alstras oftare. Vi ser ocksa att vaghastigheten är oberoende av frekvensen. Detta gäller dock inte för all vagutbredning. Vattenvagornas hastighet beror t ex pa vaghöjden. Det kallas dispersion om vaghastigheten är frekvensberoende. Vi aterkommer till detta senare.

Diffraktion – böjning

Vi later den plana vagen träffa ett langt hinder med en liten öppning. Efter öppningen fortsätter vagutbredningen med cirkulära vagor. Aven om den plana vagen träffar kanten pa ett hinder förändras vagutbredningen. Fenomenet kallas diffraktion eller böjning och blir särskilt patagligt om öppningen (eller hindret) har samma storleksordning som vaglängden.

Refraktion – brytning

Vattenvagor sköljer ju alltid in mot stranden oavsett hur det blaser (utom möjligen när det är franlandsvind). Skälet är att vattenvagor rör sig langsammare pa grundare avsnitt än pa djupare. Saledes blir vagorna närmast stranden ’omkörda’ av de längre ut och till slut tycks vagorna skölja in mot stranden. Vi illustrerar detta med varan vagmaskin och lägger en glasbit pa botten. De plana vagorna kommer nu att ga lite langsammare pa det grunda avsnittet och tycks brytas vi gränslinjen mellan den grundare och djupare delen. Fenomenet kallas refraktion eller brytning och uppstar i gränsskikten mellan medier med olika vagutbredningshastighet. I Fysik A kursen sa vi exempel pa brytning när ljus gick fran luft till glas.

Interferens och nodlinjer

Vi byter nu ’vaggenerator’ och gör cirkulära vagor med en punktkälla som doppar i vattnet. Vi ändrar frekvensen och ser här liksom vid plana vagor att vaglängden blir kortare om frekvensen ökar, samt att vaghastigheten är oberoende av frekvensen. Vi byter ater vaggenerator till tva punktkällor. Det uppträder da regelbundna linjer där vagorna möts. Detta beror pa att vagorna interfererar med varandra, d v s en vagtopp möter en vagdal utefter dessa linjer sa att vagorna tar ut varandra via superposition. Linjerna kallas nodlinjer.

Brytningslagen

I optiken i A-kursen härledde vi brytningslagen (n₁sin i = n₂ sin b) experimentellt genom att mäta infallsvikel och brytningsvinkel hos en ljusstrale som gar fran luft till glas. Vi gav inte da nagon teoretisk förklaring till brytningslagen. Förklaringen är helt enkelt att vaghastigheten är olika i olika medier. Om vagor med utbredningshastigheten v₁ och infallsvinkeln i faller in mot gränsytan till ett medium med vagutbredningshastigheten v₂, blir brytningsvinkeln b. Brytningslagen blir da (se härledning i läroboken):

sin i / sin b = v₁/v₂

Exempel:

En vag med hastigheten 0,5 m/s och vaglängden 1,5 m kommer in i ett medium där vaghastigheten är 0,35 m/s. Bestäm:

a)      Vaglängden i det andra mediet.

b)      Brytningsvinkeln, om infallsvinkeln är 19 ^o.

Lösning:

a)      Frekvensen är lika i de bada medierna, d v s:

v₁/l₁ = v₂/l₂    T      l₂ = l₁v₂/ v₁ = 1,5×0,35/0,5 = 1,05 m

b)      Vi använder brytningslagen:

sin b = v₂ sin i / v₁ = 0,35×sin 19 ^o / 0,5   T   b = 13 ^o

Öva själv: 22.22-22.28

Interferens med ljudvagor

Vi byter nu ut vara tva punktkällor i vagmaskinen mot tva högtalare och en tongenerator. Vi ställer upp högtalarna pa katedern en halv meter ifran varandra riktade ut mot klassrummet och matar dem med en frekvens runt 500 Hz. Sedan ställer vi oss 3-4 meter mitt framför högtalarna och gar sedan sakta utat ena kanten. Lyssnar vi noga försvinner plötsligt ljudet nästa helt. Gar vi vidare aterkommer ljudet och blir plötsligt ännu starkare. Vi fortsätter att ga sakta och plötsligt försvinner ljudet igen, för att strax aterkomma. Och sa där haller det pa. Prova först med en högtalare sa blir effekten med tva mer markant. Förklaringen till att ljudnivan varierar är förstas att ljudvagorna fran de bada högtalarna interfererar med varandra; precis som vattenvagorna i vagmaskinen. I punkterna där ljudnivan minskar är det destruktiv interferens och i punkter där ljudnivan ökar är det konstruktiv interferens. Fragan är var i rummet vi far konstruktiv respektive destruktiv interferens?

Eftersom högtalarna sänder ut ljudet i fas (högtalarmembranen svänger i takt) maste vi fa ljudmax i punkter där avstandsskillnaden (ds) till högtalarna är ett helt antal vaglängder, d v s:

ds = nl,   n=0, 1, 2, 3, …

I dessa punkter är ljudet i fas (se bild).

O andra sidan maste vi fa ljudmin i punkter där avstandsskillnaden till högtalarna är ett udda antal halva vaglängder, alltsa i punkter där ljudet är helt i motfas (se bild):

ds = nl/2,   n=1, 3, 5, 7, …

Exempel:

Nagra elever far i uppgift att bestämma frekvensen hos en ljudton. De ställer da upp tva högtalare enligt figuren pa avstandet 80 cm fran varandra och upptäcker att första ljudmin uppkommer 1,2 m fran symmetrilinjen pa det vinkelräta avstandet 2,3 m fran högtalarna. Bestäm frekvensen pa tonen, om ljudhastigheten är 335 m/s.

Lösning:

För att fa ett ljudmin i punkten P maste ljudet fran högtalarna vara i motfas där, d v s vägskillnaden (ds) till högtalarna maste vara ett udda antal halva vaglängder. Eftersom det är första min är vägskillnaden en halv vaglängd:

ds = s₂ – s₁ = l/2                 (1)                

s₁ = ((x-d/2)²+a²)^1/2 = ((1,2-0,4)²+2,3)^1/2 = 2,43 m

s₂ = ((x+d/2)²+a²)^1/2 = ((1,2+0,4)²+2,3)^1/2 =

= 2,80 m

Vi löser ut vaglängden l ur (1):

l = 2(s₂ – s₁) = 2(2,80-2,43) = 0,74 m

Ljudets frekvens blir da:

f = v/l = 335/0,74 = 453 Hz

Demonstration av ultraljud

Det är ju lite jobbigt för öronen att arbeta med hörbart ljud. Vi övergar därför till att experimentera med ultraljud vid frekvensen 40 kHz. Med tva ultraljudsändare och ett oscilloskop kopplat till en ultraljudsmikrofon kan vi t ex studera hur avstandet mellan mikrofonerna paverkar avstandet mellan noderna. Vi bestämmer även ljudhastigheten med utrustningen.

Frekvensbestämning med FFT

Rena toner bestaende av en enda frekvens är ganska ovanliga. Aven en stämgaffel och en sträng svänger med övertoner, även om grundtonen är dominerande. Ett instrument far sin klangfärg (att det t ex later piano) fran just blandningen av sina övertoners olika intensitet. Med den numeriska matematiska metoden Fast Fourier Transform (FFT) erhalls alla frekvenser som ingar i en signal, samt frekvensernas olika intensitet. Med en mikrofon ansluten till mätprogrammet Datastudios FFT-verktyg kan sadana analyser enkelt göras. Bilden till höger visar en sadan analys av ljudet fran tva stämgafflar.     

Öva själv: 22.28-22.36

Lektion 25:

Ljus (kap 23)

Böjning i enkelspalt

Belyses en tinondels milimeter smal öppning med laserljus uppkommer ett svagt punktmönster pa en skärm nagra meter framför spalten. Öppningen kallas spalt och punkterna blir tydligare ju smalare spalten är. Punkterna, som är ett s k diffraktionsmönster och bl a visar att ljus är en vagrörelse, uppkommer av att ljusvagorna som passerar spalten interfererar med varandra. Vi förklarar här inte hur interferensmönst i detalj uppkommer, utan nöjer oss med att konstatera fenomenet och demonstrera det.

Demostration av böjning i enkelspalt

Vi belyser en enkelspalt med variabel bredd med rött laserljus och studerar interferensmönstret pa tavlan 5-6 meter framför spalten. Mönstret breddas när spalten blir smalare. Bilderna visar interferenspunkter fran en enkelspalt med spaltöppningen 0,04 respektive 0,16 mm. Observera att maxfunkterna breddas när spaltbredden minskas. Det runda vagmönstrer härör fran en cirkulär öppning med diametern 0,5 mm.

Böjning i dubbelspalt

En dubbelspalt bestar av tva tätt sittande spalter. Belyses de med laserljus uppkommer även da ett interferensmönster pa nagra meters avstand. Nedan gar vi igenom teorin för detta, men först demonstreras nagra interferensmönster.

Demostration av böjning i enkelspalt

Bilderna visar interferensmönstret 5-6 m fran tva laserbelysta dubbelspalter. I första bilden är spaltavstandet 0,5 mm och i den andra 0,25 mm. Observera att maxpunkterna blir bredare när spaltavstandet minskar (liksom i enkelspalten).

 

Teori för böjning i dubbelspalt

Liksom tva vattenvagor eller tva ljudvagor interfererar med varandra, gör även tva ljusvagor det. I figuren till höger svänger ljuskällorna A och B (tva spalter belysta med laserljus) i fas med varandra och astadkommer ett interferensmönster i punkten p pa skärmen pa avstandet s framför ljuskällorna. De tva ljuskällorna är i praktiken en dubbelspalt som belyses med laserljus (se nedan).  Figuren paminner mycket om den pa s. 71 om ljudvagor, med skillnaden att spaltavstandet d här är brakdelar av en milimeter och s är minst nagra meter. Avstandsskillnaden Ds mellan sträckorna Ap och Bp kan därför förenklas till:

  (1)

Villkoret för konstruktiv interferens (max) i punkten p är att avstandsskillnaden är ett helt antal vaglängder:

        (2)

Där n är ett heltal: n=0, 1, 2, 3,…

Sätts (1) och (2) samman fas villkoret för interferensmax:

Demonstration och bestämning av spaltavstand

Jag visar klassen en dubbelspalt med ett litet avstand mellan spaltöppningarna. Fragan är hur spaltavstandet kan bestämmas? Jo, vi sätter dubbelspalten och ett millimeterrutat papper i en diaprojektor och mäter avstandet mellan spalterna respektive millimetergraderingarna pa tavlan. Likformighet ger sedan spaltavstandet 0,4 mm.

Laserljus

Vanligt ljus fran t ex lampor och lysrör utgörs av alla vaglängder, d v s alla färger. Lika vaglängder är dessutom inte i fas med varandra och varje vag innehaller endast ett fatal perioder (korta vagpaket), enligt figuren till höger. Detta beror pa att ljuset utsänds slumpartat fran atomerna i gladtraden eller gasen i lysröret. Laserljus däremot har tva unika egenskaper:

·        Ljuset bestar av endast en vaglängd, d v s en färg.

·        Det utsända ljuset är i fas.

Ljus med dessa egenskaper kallas koherent ljus. Dessutom innehaller ljusvagorna manga perioder (langa vagpaket), enligt figuren ovan. Dessa egenskaper gör att det är relativt enkelt att astadkomma interferens med laserljus.

Exempel:

Vi belyser ett vitt papper med rött laserljus pa avstandet 5,3 m. Vi sätter sedan dubbelspalten framför lasern och ser da att den röda punkten pa papperet delas upp i ett antal ljussvaga och suddiga interferenspunkter, d v s vi ser ett diffraktionsmönster. Eleverna far gruppvis i uppgift att mäta avstandet fran centralmax till första, andra, tredje o s v max och sedan beräkna laserljusets vaglängd. En grupp mätte avstandet till tredje max till 2,5 cm. Vilket värde fick gruppen pa laserljusets vaglängd?

Lösning:

Vi har följande samband:

d sin a = nl   (1)

där spaltavstandet d = 0,4 mm

tan a = x/s = 0,025/5,3  T  a = 0,270 ^o

Samband (1) ger nu vaglängden:

l = d sin a /n = 0,0004 sin 0,270^o /3 =

= 6,28×10^-7 m = 628 nm.

Laserljusets rätta vaglängd är 632 nm.

Förenkling: Eftersom böjningsvinkeln a alltid blir väldigt liten i en dubbelspalt kan följande förenkling göras vid beräkningen:   sin a ≈  tan a = x/s

Gitter

Ett gitter fungerar som en dubbelspalt, men antalet spaltöppningar är oerhört manga, ofta 600 st/mm. Vanligtvis bestar gittret av en glasplatta vari det ristats spalter. Avstandet d mellan tva spaltöppningar i gittret kallas gitterkonstanten. Vi gör ingen härledning av villkoret för interferensmax i ett gitter, men teorin är likartad och formeln densamma som för dubbelspalten:

  där n är ett heltal: n=0, 1, 2, 3,…

Demostration av böjning i gitter

Bilden visar interferensmönstret fran ett laserbelyst transmissionsgitter med 570 ritsar/mm. Pa bilden syns fem interferensmax - första (n=1) och andra (n=2) ordningens max pa ömse sidor om centralmax (n=0). Eftersom gitterkonstanten d (spaltavstandet) är avsevärt mindre än i en dubbelspalt, blir böjningsvinkeln a stor i ett gitter.

Exempel:

Vi sätter nu ett gitter med okänd gitterkonstant framför var laser och ser nu ett fatal starka röda interferenspunkter pa väggen. Avstandet mellan centralmax och första interferenspunkten mäts till 1,92 m. Avstandet fran lasern till väggen är fortfarande 5,3 m. Bestäm:

a.       Gitterkonstanten.

b.      Antal ritsor/mm

c.       Totala antalet interferensmax.

Lösning:

a.       Figuren i förra exemplet ger vinkeln a:

tan a = x/s = 1,92/5,3  T  a = 19,91 ^o

Gitterformeln ger gitterkonstanten d:

d = nl/ sin a =1×632×10^-9/sin 19,91 ^o = 1,856×10^-6 m = 1,856×10^-3 mm

b.      Antal ritsor/mm = 1/d =1/1,856×10^-3 = 539 st.

Pa gittret star angivet att det är 538 ritsar/mm.

c.       Vi bestämmer n för a = 90 ^o, d v s den största vinkel vi kan fa max för.

n = d/l = 10^-3/538/632×10^-9 = 2,9   T   n = 2. Vi kan alltsa totalt se maximalt 5 röda interferenspunkter.

Exempel:

Uppgiften är att bestämma hur manga byte (MB) en CD-skiva innehaller. Förutsättningen är att den innehaller cirkulära spar som pa en traditionell grammofonskiva, samt att varje bit (etta och nolla) kräver minst en vaglängds lagringsutrymme (1 byte = 8 bitar). Avstandet mellan tva spar motsvarar gitterkonstanten och bestäms genom att belysa skivan som ett reflexionsgitter med en laser, enligt bilden till höger. Beräkna sedan antal spar genom att mäta lagringsutrymmets bredd pa skivan, samt skivans totala sparlängd genom att mäta medelradien. Dividera sparlängden med vaglängden och med 8 för att fa enheten Byte. Görs mätningen med laservaglängden 632 nm blir lagringsutrymmet c:a 1300 MB, d v s ungefär dubbelt sa mycket som det verkliga värdet. Vilket av vara antaganden är sannolikt största felkällan?   

Interferens i tunna skikt

I exempelvis tunna oljehinnor pa vatten och i sapbubblor syns ofta regnbagens alla färger. Fenomenen beror pa ljusets interferens i den tunna oljehinnan respektive i saphinnan. Vi räknar nagot exempel nedan.

Exempel:

Gult ljus fran en natriumlampa har vaglängden l = 589 nm. För vilken minsta tjocklek pa luftskiktet mellan tva plana glasbitar fas utsläckning av det gula ljuset, om man tittar rakt ovanifran?

Lösning:

Den infallande stralen (1) reflekteras delvis i gränsytan mellan glas och luft (2) och delvis i gränsytan mellan luft och glas (3). Vi reflexionen mot ett tätare medium blir det dessutom ett fasskift pa en halv vaglängd. Villkoret för att stralarna (2) och (3) skall släcka ut varandra, d v s vara i motfas, är alltsa:

2d = nl, där n =1, 2, 3, …

Minsta tjocklek pa luftskiktet d fas da för n=1:

d= nl/2 = 1×589×10^-9/2 = 295 nm

D v s da skikttjockleken är halva vaglängden.

Exempel:

Glasbitarna i förra exemplet belyses nu med vitt ljus, alltsa ljus som bestar av alla färger (vaglängder). Vilken synlig vaglängd (400-750 nm) förstärks, om luktskiktet har tjockleken 350 nm?

Lösning:

Vi använder samma figur som i förra exemplet. Villkoret är nu att stralarna (2) och (3) skall förstärkas, d v s interferera konstruktivt. Eftersom det även här blir ett fasskift vid gränsytan mellan luft och glas, blir villkoret för förstärkning:

2d = nl+l/2, där n =0, 1, 2, 3, …

Villkoret kan även skrivas pa följande sätt:

4d = l(2n+1), där n =0, 1, 2, 3, …

Vi löser ut vaglängden och kollar för vilket värde pa n vi far en synlig vaglängd.

l=4d/(2n+1)

Enligt tabellen intill förstärks den synliga vaglängden 467 nm för n=1. Detta motsvara blatt ljus.

Lektion 26:

Elektromagnetisk stralning (kap 24)

Teorin för detta kapitel finns delvis i webbdokumentet https://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/fotonen.htm.

I detta kapitel kommer vi att se att värmestralning och ljus är samma typ av stralning som radio- och mikrovagor, d v s elektromagnetisk stralning. Vi kommer i senare kapitel att se att även röntgen och gammastralning är elektromagnetisk stralning. Vi börjar med värmestralningen.

Demonstration  av ljusets dispersion i prisma

Vi belyser en vit skärm med intensivt vitt ljus fran den kraftfulla kolbagslampan. För att fa en bra bild fokuserar vi en spalt pa skärmen. Vi later sedan ljuset passera ett trekantigt prisma framför linsen och far efter lite justeringar ett vackert spektrum pa skärmen vid sidan av kolbagslampan. Detta visar att vitt ljus bestar av alla färger, d v s olika vaglängder. Tydligen bryter prismat olika vaglängder olika mycket, d v s olika vaglängder har olika brytningsindex. Detta kallas för dispersion.

Demonstration av energi i olika vaglängder

Vi byter nu ut det trekantiga prismat mot ett rakskiktsprisma som ger ett spektrum rakt framför kolbagslampas. Vi sätter nu en spalt framför en bolimeter kopplad till en förstärkare och mäter energiinnehallet för de olika vaglängderna (färgerna) i spektrat. Det visar sig att energiinnehallet (spänningen) ökar fran blatt till rött ljus, för att na maximum strax bortom det röda där det är svart, d v s osynligt infrarött ljus. Kolbagslampan stralar alltsa mest med värmestralning, till skillnad mot ett lysrör som stralar mer pa kortare vaglängder (det blir ju inte sa varmt).

Demonstration av stralning fran svart och blank yta

Jag värmer med gasolbrännaren en metallskiva som är svart pa den ena sida och blank pa den andra. Vilken sida stralar mest värme? Eleverna haller den varma metallbiten en bit fran kinden och kollar.

Svarta kroppar och Plancks stralningskurva

Alla ’varma’ föremal avger enligt Plancks stralningskurva elektromagnetisk stralning med alla vaglängder.

I=2phc²/l⁵/(e^hc/lkT-1)          [W/l/m²]       (Plancks stralningslag, c:a ar 1900)

h=6,6261*10^-34 Js               (Plancks konstant)

k=1,3807*10^-23 J/K             (Boltzmanns konstant)

Temperaturen T anges i enheten Kelvin (0 ^oC =-273 K)

Vid temperaturer runt 600-700 ^oC börjar föremal att glöda avge en del av stralningen i form av synligt rött ljus och mycket osynligt infrarött ljus, d v s värmestralning. Solen, vars yttemperatur är runt 6000 ^oC, stralar med mycket gulvitt ljus. Solljuset innehaller alltsa atminstone alla synliga vaglängder. Läs mer om detta i boken. Dubbelklicka pa diagrammet nedan och ändra temperaturen med rullningslisten.

Stefan-Boltzmanns stralningslag

Emittansen M är utsänd effekt per ytenhet fran en svartkroppsstralare för en viss temperatur T:

M=sT⁴          [W/m²]           (Stefan-Boltzmanns stralningslag)

s=5,67*10^-8 W/m²/K^-4           (grekisk bokstaven sigma)

Temperaturen T anges i enheten Kelvin

Stefan-Boltzmanns stralningslag erhalls genom att integrera Plancks stralningskurva för alla vaglängder, d v s bestämma arean under kurvan.

Utstralad effekt fran arean A blir da:

E=sAT⁴         [W]

Wiens lag

Wiens (förskjutnings-) lag anger vid vilken vaglängd l_max stralningen är intensivast för en viss temperatur T:

T l_max =konst

konst=2,8978*10^-3 Km

Temperaturen T anges i enheten Kelvin

Exempel:

En spisplatta har statt paslagen sa att den är lätt rödfärgad, d v s dess temperatur är c:a 800 ^oC.

a.       Bestäm emittansen fran plattan.

b.      Bestäm totalt utstralad effekt fran plattan, om plattan har radien 9 cm.

c.       Vid vilken vaglängd är emittansen störst?

Lösning:

a.       Emittansen M ges av Stefan-Boltzmanns lag (med temperaturen i Kelvin):

M=sT⁴ = 5,67×10^-8×1073⁴ = 75159 W/m² = 80 kW/m²

b.      P=MA=75159×p×0,09² = 1913 W = 1,9 kW

c.       Wiens förskjutningslag ger vaglängden där stralningen är intensivast:

l=2,90×10^-3/T = 2,90×10^-3/1073 = 2700 nm. Plattan stralar tydligen intensivast pa den osynliga vaglängden 2700 nm, d v s med värmestralning i det infraröda omradet.

Elektrisk svängningskrets (RC-krets)

Pa lektionen härleder vi egenfrekvensen f för en elektrisk svängningskrets:

f =1/(2p(LC)^1/2 )

Demonstration av dämpad svängning

Vi seriekopplar en 300-varvig spole (L=3,4 mH), en kondensator (C=0,6mF), ett dekadmotstand (R=0) och en spänningskälla som alstrar fyrkantssignal (f = 84 Hz). Vi studerar kondensatorspänningen pa oscilloskopet och ser en svängning som dämpas ut. Ökar vi resistansen ökas även dämpningen. Studera gärna dämpad svängning i en RCL-krets i delphi-programmet h:/tbas_fysik/kurvritare.

Exempel:

Bestäm RC-kretsens egenfrekvens i förra demonstrationen.

Lösning:

f =1/(2p(LC)^1/2 ) = 1/(2p(0,0034×0,6×10^-6)^1/2 ) = 3524 Hz

Vi kollar även frekvensen pa oscilloskopskärmen och det stämmer bra!

Demonstration av resonans i RCL-krets

Vi behaller kopplingen fran förra demonstrationen, men matar istället kretsen med en sinusspänning och studerar spänningen över resistorn (R=10-20 ohm) pa oscilloskopet. Vi ser da att spänningen över R (d v s strömmen i kretsen) är störst runt kretsens egenfrekvens f = 3524 Hz. Matas kretsen med samma frekvens som egenfrekvensen uppstar resonans. Studera gärna resonans i en RCL-krets i delphi-programmet h:/tbas_fysik/kurvritare.

Demonstration av enkel radiomottagare

Vi vill bygga enklast möjliga krets för mottagning av radiovagor. Radiovagorna alstras med en tongenerator som ’sänder’ ut en sinussignal via en sladd som antenn ansluten till utgangen (se bild nedan). Antennen fungerar bättre om den fästs med en krokodilklämma i takets lysrörsarmatur. Som mottagare kopplar vi in en svängningskrets i form av en 600-varvig spole (L=12 mH) och en kondensator (C=4nF), enligt figuren intill och bild nedan. Prova med att koppla in mottagarantennen pa olika ställen. Faktum är att det blir bra mottagning utan separat mottagarantenn, eftersom kopplingssladdarna är langa och därmed fungerar som antenner. Mottagarsignalen studerar vi pa oscilloskopet. Mottagaren är nu avstämd för frekvensen:

f =1/(2p(LC)^1/2 ) = 1/(2p(0,0034×1×10^-9)^1/2 ) = 22 972 Hz

Vi vrider pa tongeneratorn för frekvenser runt 20-50 kHz och ser att spänningen pa oscilloskopet blir störst vid drygt 30 kHz (borde vara störst vid resonansfrekvensen 23 kHz). Länken berättat mer om hur man bygger en kristallmottagare, d v s en enkel  amplitudmodulerad AM-radio. Dagens frekvensmodulerade FM-radio är mer avancerade och sänder pa betydligt högre frekvenser runt 100 MHz, medan 3G-mobiltelefoni sänder pa frekvenser runt 2000 MHz. 

Exempel:

Bestäm vaglängden hos radiovagorna i förra demonstrationen.

Lösning:

Ljushastigheten i vakuum är c=3,0×10⁸ m/s. Vaglängden l blir alltsa:

l = c/f = 3,0×10⁸/22972 = 13059 m

Lektion 27:

Stralningens dubbelnatur (kap 25)

Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet https://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/fotonen.htm. I detta kapitel finns främst exempel och lösningar.

Vi börjar nu närma oss den moderna fysiken, d v s upptäckter som gjorts under slutet av 1800-talet och under 1900-talet. Plancks stralningslag är den första upptäckten som bygger pa moderna tankegangar. För att fa sin stralningslag att fungera med verkligheten antog Max Planck att ljus (d v s elektromagnetisk stralning) sänds ut i bestämda energiknippen, s k energikvanta. Detta utgör grunden för den moderna atom- och kvantfysiken. Vi skall börja med att i detta kapitlet överga ifran att betrakta ljus som en vagrörelse (klassisk fysik) till att se ljus som partiklar (modern fysik).

Fotoeffekten

Demonstration av fotoelektrisk effekt

Vi laddar upp en polerad zinkplatta med ett PVC-plaströr och ett kattskinn. Om laddningen är positiv eller negativ vet vi inte. Plattan är kopplad till en voltmeter för högspänning. Vi belyser sedan plattan med en 60 W lampa. Inget händer. Vi belyser sedan plattan ultraviolett ljus (UV-ljus). Zink-plattan laddar nu snabbt ur. Vi laddar upp plattan igen och belyser den ater med UV-ljus, men haller nu en glasskiva framför lampan. Inget händer med plattans laddning. Vi vet att det inte gar att sola sig och bli brun (som man ju blir av UV-ljus) genom ett fönster, alltsa bör det vara UV-ljuset som laddar ur zinkplattan. Vi laddar ater upp zinkplattan, men nu med en annan typ av plaststav. Vi belyser ater plattan med UV-ljuset, men nu behaller plattan laddningen! Vi vet fortfarande inte vilken laddning plattan har. För att ta reda pa detta kopplar vi plattan till den positiva polen pa ett högspänningsaggregat. Ni vet vi att plattan har underskott pa elektroner. Vi belyser ater plattan med UV-ljuset, utan att plattan laddar ur. Uppenbarligen laddar UV-ljuset bara ur den negativt laddade zinkplattan, d v s den med överskott pa elektroner. UV-ljuset far alltsa elektronerna att ges sig av fran plattan. Detta kallas den fotoelektriska effekten.

Bestämning av Plancks konstant

Vi gör en demonstration/laboration där vi bestämmer Plancks konstant (h) genom att för olika synliga vaglängder (vitt ljus passerar olika filter) bestämma elektronernas rörelseenergi. Energin bestäms genom att lägga pa en bromsspänning U över en fotocell sa att strömmen i en kretsen blir precis noll. Vi kan sedan använda Einsteins fotoelektriska ekvation för att bestämma h:

där E₀ är utträdesenergin som krävs för att frigöra elektronen fran fotocellens yta, och E_k är elektronens eventuella rörelseenergi. Rörelse energin kan beräknas, om vi vet bromsspänningen U precis da strömmen (nA) blir noll:

     

där elementarladdningen q_e=1,602×10^-19 C. Med detta uttryck insatt i förra formeln kan h beräknas:

Vaglängd l (nm)	Bromsspänning U (V)	Ljusets frekvens f (Hz)	Elektronenergi Eq = Uqe (J)
415 (violett)
461 (blatt)
495 (blagrön)
550 (gulgrön)
593 (orange)
620 (röd)

Lös ut U:

Lägg nu pa olika färgfilter pa fotocellen och mät och skriv in bromsspänningarna i tabellen. Beräkna även vaglängdernas frekvenser. Rita sedan hur U beror av av f i ett diagram. Eftersom sambandet är linjärt motsvara kvoten h/f linjen k-värde. Bestäm även E₀ ur grafen. En variant är att knappa in mätvärdena pa miniräknaren och bestämma k-värdet med linjär regression.

Fotoner

Exempel:

En HeNe-laser med den röda vaglängden 632,8 nm. Effekten är 3 mW.

a)      Bestäm energin hos en foton.

b)      Bestäm fotonens rörelsemängd.

c)      Hur manga fotoner utsänds per sekund?

d)      Bestäm avstandet mellan tva fotoner.

Lösning:

a)      Fotonenergin

b)      Rörelsemängden kgm/s

c)      Antal per sekund:

d)      Avstand mella tva fotoner (sträckan ljuset gar pa en sekund delat med N):

 d v s betydligt mindre än en vaglängd.

Materievagor

Exempel:

En boll med massan 0,2 kg kastas iväg med hastigheten 12 m/s. Bestäm bollens de Broglie-vaglängd.

Lösning:

Vaglängden  

Bollens vaglängd är oerhört kort och har ingen betydelse i den ”makroskopiska” världen.

Exempel:

En elektron accelereras med spänningen 500 V. Bestäm dess:

a)      Hastighet

b)      De Broglievaglängd

Lösning:

a)      Energisamband:  => Mm/s

b)      Vaglängden m
Elektronens vaglängd har samma storleksordning som en atom och därför betydelse pa atomär niva.

Heisenbergs osäkerhetsrelation

Exempel:

En boll med massan 50 g och en elektron ligger instängda i en kubisk lada med sidan 2 dm. Bestäm osäkerheten i deras hastigheter.

Lösning:

I bada fallen Dx=0,2 m. är Lös ut Dv i Heisenbergs osäkerhetsrelation:

 =>

Bollens m/s.

Elektronens m/s = 1,1 mm/s

I bollens fall är ju osäkerheten i hastigheten försumbar. Elektronens osäkerhet pa 1,1 mm/s är klart märkbar och i synnethet pa atomär niva.

Atomfysik

Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet https://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/atomfysik.htm. Nedan redovisas endast de exempel som räknas gemensamt pa lektionerna. I fortsättningen betecknas ljushastigheten c=300 000 km/s.

Elektronvolt

Exempel:

En fri elektron accelereras av spänningen 45 V. Bestäm elektronens rörelse energi i enheten:

a)      Joule (J)

b)      Elektronvolt (eV)

Lösning:

a)      Elektronens energi  J

b)      Energin i enheten elektronvolt: (dividera med elementarladdningen), d v s E=45 eV

Emissionsspektrum

Exempel:

Till höger visas energinivadiagrammet för väte.

a)      Ange totala antalet övergangar för en elektron som befinner sig pa den exciterade nivan 5.

b)      Vilken energi skall en foton ha som kan excitera en elektron i grundtillstandet till niva 2?

c)      Vilken vaglängd har fotonen som utsänds vid en övergang fran niva 4 till niva 2? Ar ljuset synligt?

Lösning:

a)      Antal övergangar: 4+3+2+1=10 st

b)      E=-3,39-(-13,6)=10,21 eV

c)      Fotonens energi E=-1,51-(-3,39)=1,88 eV
Fotonens vaglängd:  => nm

Absorptionsspektrum

Exempel:

En väteatom i grundtillstandet träffas av en…

a)      …foton

b)      …elektron

…med energin 11 eV. Till vilken energiniva kan väteatomen exciteras? Använd energinivadiagrammet i föregaende uppgift.

Lösning:

Atomen kan maximalt exicteras till energinivan -13,6+11 = -2,6 eV. Första tillatna energinivan är – 3,39 eV.

a)      Fotonens energi maste passa energinivaerna exakt och kan därför inte excitera atomen.

b)      Till nivan – 3,39 eV.

Laserljus

Se exempel i avsnitter Fotoner pa s. 84.

Röntgenstralning

Exempel:

Elektroner i ett röntgenrör accelereras med spänningen 40 kV. Bestäm röntgenstralningens vaglängd.

Lösning:

Röntgenstralningens vaglängd:  => nm

Kvanttal och pauliprincipen

Ange värdet för samtliga kvanttal för huvudkvanttalet n=2 (L-skalet).

Lösning:

Villkor för kvanttal:

l = 0, 1, 2, 3, …n-1

m_l =0, ±1, ±2, ±3, …l

n=2:            l=0              m_l=0           m_s=-1/2

                   l=0              m_l=0           m_s=1/2

                   l=1              m_l=0           m_s=-1/2

                   l=1              m_l=0           m_s=1/2

                   l=1              m_l=1           m_s=-1/2

                   l=1              m_l=1           m_s=1/2

                   l=1              m_l=-1          m_s=-1/2

                   l=1              m_l=-1          m_s=1/2

Speciella relativitetsteorin

Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet https://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/relativitetsteori.htm. Nedan redovisas endast de exempel som räknas gemensamt pa lektionerna. I fortsättningen betecknas ljushastigheten c=300 000 km/s.

Relativ rörelse

Exempel:

I en buss med farten v₁=25 m/s är en passagerare pa väg bakat i bussen till toaletten med farten v₂=1,5 m/s relativt bussen. Vilken fart har passageraren relativt vägen?

Lösning:

Passagerarens fart v relativt vägen: v=v₁-v₂=25-1,5=23 m/s

Tidsdilation

Exempel:

Bo bor pa planeten jorden. Hans kompis Åke färdas i ett rymdskepp med farten 0,95 c.

a)      Hur lang tid t_a har det gatt för Åke, när det gatt tva timmar enligt Bo:s klocka?

b)      Hur lang tid har det gatt för Bo, när det gatt tva timmar för Åke?

Lösning:

a)      Tiden gar langsammare vid högre farter. Tiden gar alltsa langsammare i rymdskeppet:

 

b)      Tiden gar fortare hos stillastaende Bo:

Nu kan man hävda att det är Bo som rör sig relativt Åke, sa att det är Bo:s tid som gar langsammare (tvillingparadoxen). Åke har emellertid accelererat (allmänna relativitetsteorin) under sin resa, sa när Bo och Åke aterses upplever bada att Åkes klocka verkligen gatt langsammare. Det är alltsa (teoretiskt) möjligt att resa bort en längre tid med närapa ljushastigheten och vid aterkomsten vara jämngammal med sina barn.

Längdkontraktionen

Exempel:

Åke passerar Bo:s stillastaende 8,0 m langa och 2,0 m breda husbil med sitt 8,0 m langa och 2,0 m breda rymdskepp med farten 0,95 c.

a)      Hur langt och brett upplever Bo att rymdskeppet är?

b)      Hur lang och bred upplever Åke att husbilen är?

Lösning:

Föremal med höga hastigheter upplevs förkortade i sin färdriktning, däremot paverkas inte utsträckningen vinkelrätt mot färdriktningen. Eftersom Åke rör sig relativt Bo och Bo relativt Åke, uppfattar Bo att rymdskeppet blir lika mycket kortare som Åke uppfattar att husbilen blir:

Massa och hastighet

Exempel:

Hur mycket upplever Bo att ake väger i föregaende exempel, om Åkes vikt är 75 kg när han väger sig i rymdskeppet?

Lösning:

Åke har vilomassan m₀=75 kg. Den relativistiska massan m enligt Bo blir da:

Massa och energi

Exempel:

Ett veddträ som man eldar med i spisen väger ungefär 400 gram. Hur manga TWh motsvarar den massan?

Lösning:

Detta motsvara arsproduktionen elenergi fran tva kärnreaktorer.

Rörelseenergi och hastighet

Exempel:

En proton färdas med hastigheten 0,95c. Beräkna protonens rörelseenergi med:

a)      Klassisk fysik.

b)      Relativistisk fysik

Lösning:

Protonens vilomassa är

a)      Klassisk rörelseenergi:

b)      Relativistisk rörelseenergi: