TRANSFORMÃRI DE COORDONATE

TRANSFORMÃRI DE COORDONATE

1. Introducere

Cadrul de referinta al GPS este Sistemul Geodezic Mondial 1984 (WGS-84). Cand se utilizeaza GPS coordonatele statiilor terestre sunt obtinute in acelaºi sistem de referinta. Totuºi, utilizatorul nu este de obicei interesat in calculul coordonatelor punctelor intr-un sistem global. Rezultatele sunt preferate intr-un sistem local de coordonate cum ar fi: coordonate geodezice (elipsoidale) sau coordonate plane. Intrucat WGS-84 este un sistem geocentric, sunt necesare transformari pentru a-l aduce intr-un sistem local.

2. Transformari de coordonate

2.1. Coordonate carteziene si coordonate elipsoidale

Se definesc coordonate carteziene (rectangulare) X,Y,Z ale unui punct in spatiu ºi considerand un elipsoid de revolutie cu aceeaºi origine ca a sistemului de coordonate carteziene, punctul poate fi definit ºi prin coordonate elipsoidale B, L, h (fig. 3.2). Intre coordonatele carteziene ºi elipsoidale exista urmatoarele relatii:

(1)

in care N este raza de curbura a primului vertical

(2)

iar a ºi b sunt semiaxele elipsoidului de referinta.

Formulele (1) transforma coordonatele elipsoidale B, L, h in coordonate carteziene X,Y,Z. Pentru aplicatiile GPS este mai importanta transformarea inversa deoarece se dau coordonatele carteziene iar cele elipsoidale se deduc. Astfel, problema este de a transcalcula coordonatele elipsoidale B, L, h in coordonatele carteziene X,Y,Z. In mod frecvent problema este rezolvata iterativ. Din X ºi Y poate fi calculata raza paralelului

(3)

Aceasta ecuatie se mai poate scrie ca:

(4)

astfel incat sa apara explicit inaltimea elipsoidala.

Introducand :

(5)

prima excentricitate numerica, pe care o mai putem scrie ºi substituind-o in ecuatia lui Z din (1), rezulta:

(6)

Ecuatia (6) se mai poate scrie ca:

(7)

impartind aceasta expresie cu (3) rezulta:

(8)

sau

(9)

Pentru longitudinea L ecuatia:

(10)

este obtinuta din (1) prin impartirea primelor doua ecuatii.

Longitudinea poate fi calculata direct din (10). Altitudinea h ºi latitudinea B sunt determinate din (4) ºi (9). Problema cu (4) este ca depinde de latitudinea inca necunoscuta. Ecuatia (9) este nerezolvabila deoarece latitudinea de calculat este continuta implicit in partea dreapta in N. Se poate gasi o solutie iterativa de calcul bazata pe aceste 3 ecuatii folosind urmatorii paºi:

1. se calculeaza

2. se calculeaza o valoare aproximativa :

3. calculul unei valori aproximative pentru :

4. calculul altitudinii elipsoidale:

5. calculul valorii imbunatatite a latitudinii:

6. verificarea pentru un alt pas al iteratiei: daca atunci se trece la pasul urmator, daca nu se inlocuieºte ºi continua cu pasul 3.

calculul longitudinii L din:

Formulele folosite pentru transformarea lui X, Y, Z in B, L, h sunt:

(11)

in care

(12)

este o cantitate auxiliara, iar

(12-13)

este a doua excentricitate numerica. In prezent nu exista motive pentru care aceste formule sa fie mai putin folosite decat procedeul iterativ. Ambele metode sunt la fel de bune ºi pot fi uºor programate.

2.2.Coordonate elipsoidale ºi coordonate plane

Spre deosebire de sectiunea anterioara, punctele se considera numai pe elipsoid. Astfel ne intereseaza numai latitudinea B ºi longitudinea L. Obiectivul este aducerea prin transcalcul a unui punct B,L de pe elipsoid intr-un punct x,y in plan.

Exista mai multe tipuri de proiectii cartografice, unele mai folosite decat altele. In principiu,

(14)

sunt formulele generale cerute de proiectiile cartografice. Aplicatiile geodezice au nevoie de proiectii conforme. Conformitatea inseamna ca un unghi pe elipsoid se pastreaza nedeformat la proiectarea pe un plan.

Cele mai importante proiectii conforme sunt:

1 - Proiectia conica. Considerand proiectia conforma Lambert, conul este tangent la elipsoid la paralelul standard. Dupa desfaºurarea suprafetei conice meridianele devin convergente intr-un punct denumit apex. Acest punct este centrul paralelelor care se proiecteaza ca arce de cerc.

2 - Proiectia cilindrica. Acesta este un caz particular al proiectiei conice, cand apexul se muta la infinit. Suprafata cilindrica este tangenta la ecuator.

3 - Proiectia stereografica polara. Aceasta este de asemenea un caz special al proiectiei Lambert. Apexul conului se muta in pol ºi atunci conul devine un plan. In contrast cu metodele descrise mai sus (in care elipsoidul este transformat direct in suprafata de proiectie plana, dupa desfaºurare), proiectia stereografica este o metoda indirecta. Primul pas este transformarea elipsoidului intr-o sfera, iar urmatorul pas realizeaza tranzitia de la suprafata sferei la suprafata de proiectie.

In cursul de "Cartografie matematica" este tratata pe larg transformarea coordonatelor B ºi L de pe elipsoid in x, y Stereo 70 sau x, y Gauss.

2.3.Transformari altimetrice

In sectiunile anterioare un punct B, L pe elipsoid a fost transpus in plan. Altitudinea elipsoidala poate fi complet ignorata. In aceasta sectiune problema cea mai importanta este altitudinea. Formula

h = H + N (15)

in care:

h = altitudinea elipsoidala,

H = altitudine ortometrica, (16)

N = ondulatia geoidului,

este relatia dintre elipsoid ºi geoid.

Dupa cum se vede in fig. 2, aceasta formula este aproximativa, dar suficient de precisa pentru scopurile propuse. Unghiul exprima diferenta dintre verticala data de firul cu plumb ºi normala la elipsoid. Acest unghi nu trebuie sa depaºeasca 30'' de arc in cele mai multe zone.

Fig. 2 Definirea inaltimilor

Prin pozitionare cu GPS rezulta coordonate X,Y,Z. Dupa aplicarea transformarilor (11) altitudinile elipsoidale devin utilizabile. Daca este dat unul din cei doi termeni din relatia (15) atunci celalalt trebuie calculat. Astfel, daca geoidul este cunoscut altitudinile ortometrice pot fi derivate. Pe de alta parte, daca se cunosc altitudinile ortometrice atunci altitudinile elipsoidale pot fi derivate.

3. Transformari analogice

Transformarile de coordonate din sectiunile precedente transforma un tip de coordonate in alt tip de coordonate pentru acelaºi punct. Coordonatele carteziene X, Y, Z au fost transformate in coordonate elipsoidale B, L, h ºi coordonatele bidimensionale elipsoidale B, L au fost transformate in coordonate plane x, y. In final, altitudinea elipsoidala este transformata fie in altitudine ortometrica fie in ondulatie a geoidului.

O transformare analogica transforma un sistem de coordonate de un anumit tip intr-un alt sistem de coordonate de acelaºi tip (sisteme tridimensionale, bidimensionale ºi unidimensionale), transformarile analogice fiind distincte.

3.1. Transformari tridimensionale

Consideram doua sisteme de coordonate carteziene tridimensionale formand vectorii X ºi X_T (fig.3).

Fig. 3 Transformari analogice tridimensionale (3D)

Transformarea dintre cele doua sisteme poate fi formulata prin relatia

(17)

care este denumita transformare Helmert. Termenul este factorul de scara, c este vectorul translatie:

(18)

ºi R este matricea de rotatie care este compusa din 3 rotatii succesive:

(19)

ºi este data de :

(20)

dupa substituirea matricelor de rotatie singulare.

(20')

Inainte de a continua, vor fi discutati pe scurt cei 7 parametrii Helmert ai transformarii analogice:

componentele vectorului de translatie c considerate coordonatele originii sistemului X in sistemul X_T;

- factorul de scara ; pentru anumite cazuri se utilizeaza (dar nu este necesar pentru GPS) trei factori de scara, cate unul pentru fiecare axa;

- matricea de rotatie R este o matrice ortogonala cu cei trei paramatrii ca necunoscute.

In cazul cunoaºterii parametrilor c, , R, un punct din sistemul X poate fi transformat intr-un sistem X_T prin relatia (17). Daca parametrii de transformare nu sunt cunoscuti, ei pot fi determinati cu ajutorul unor puncte comune, adica coordonatele aceluiaºi punct sunt date in ambele sisteme. Deoarece fiecare punct comun (dat de X ºi X_T) da trei ecuatii, sunt suficiente doua puncte comune ºi un component comun aditional (de ex. altitudinea) pentru a rezolva cei 7 parametrii necunoscuti. In practica se folosesc mai multe puncte comune ºi atunci parametrii necunoscuti sunt calculati prin metoda celor mai mici patrate.

Daca in ecuatia (17) parametrii sunt nelineari, atunci ea trebuie linearizata. Notand valorile provizorii in paranteza:

(c), () ºi (R) (21)

valorile compensate sunt obtinute prin:

(22)

Diferenta de scara d, creºterile vectorului de translatie

(23)

ºi elementele matricii diferentiale de rotatie dR

(24)

devin acum noile necunoscute. Matricea diferentiala de rotatie este obtinuta prin introducerea cantitatilor mici d_i in ecuatia (20), considerand cosda_i 1 ºi sinda_I da_i ºi neglijand termenii de ordinul II.

Modelul linearizat pentru un singur punct i este formulat ca:

(25)

in care:

(26)

care poate fi calculata din parametrii de transformare provizorie ºi dau coordonatele X_i. Matricea A_i ºi vectorul parametrilor dp sunt:

(27)

(27')

Componentele (DX_i), (DY_i), (DZ_i) ale matricii A_i sunt date de:

(28)

in care componentele vectorului sunt obtinute din rel.(26).

Ecuatia (25) in combinatie cu (26) ºi (27) este acum un sistem de ecuatii pentru punctul i. Pentru n puncte comune matricea A este:

(29)

Pentru trei puncte comune matricea este:

(30)

care conduce la o uºurare a determinarii sistemului. Compensarea ecuatiilor normale prin producerea parametrului vectorului dp ºi corectarea valorilor prin (30). Odata ce cei 7 parametrii Helmert ai transformarii prin asemanare sunt determinati, formula (25) poate fi utilizata la transformarea altor puncte. De exemplu, coordonatele WGS-84 ale unui punct obtinut prin observatii GPS pot fi transformate intr-un sistem local national nongeocentric.

Combinarea datelor GPS cu masuratorile terestre

Transformari de date

O prima problema in combinarea datelor GPS cu date terestre este transformarea coordonatelor geocentrice WGS84 in coordonate terestre. Sistemul terestru foloseºte elipsoizi locali cum ar fi: elipsoidul Clarke, eliposoidul GRS-80 (SUA), elipsoidul Bessel (Europa de Vest), elipsoidul Krasovski (Europa de Est). Elipsoidul local este legat la un sistem de coordonate cartezian nongeocentric a carui origine coincide cu centrul elipsoidului. Coordonatele plane , cum ar fi Gauss-Kruger sunt obtinute prin proiectarea elipsoidului pe un plan.

Coordonatele GPS sunt notate cu indicele "GPS", iar coordonatele terestre referite la un sistem local sunt notate cu indicele "LS". Astfel, observatiile GPS dau coordonatele . Coordonatele plane locale pot fi transformate cu ajutorul formulelor cu coeficienti constanti, cunoscute de la "Cartografia matematica", in coordonate elipsoidale . Daca sunt cunoscute altitudinile ortometrice ºi ondulatiile geoidului, atunci pot fi calculate altitudinile elipsoidale, obtinand tripleta de coordonate (B, L, h). Aceste coordonate pot fi transformate in coordonate carteziene prin (1).

Transformarea inversa din in poate fi obtinuta aplicand (11) sau procedeul iterativ. Proiectarea punctelor de pe suprafata elipsoidului pe un plan se realizeaza prin formule cunoscute de la "Cartografia matematica", nefiind nevoie de altitudini.

Transformari in spatiul tridimensional. Problema este de combina coordonatele ºi in spatiul tridimensional. Se poate observa detaliat in tabelul 1 ºi urmarind urmatorul algoritm:

Tabelul 1: Transformari GPS ºi date terestre in spatiul tridimensional ºi proiectarea lor intr-un sistem plan local.

1. Transformarea prin formulele cu coeficienti constanti, in .

2. Pentru a completa coordonata punctului trebuie cunoscute altitudinile elipsoidale.

3. Transformarea in prin (1).

4. Coordonatele punctelor comune referite la WGS-84 ºi referite la sistemul local sunt folosite la determinarea celor 7 parametrii ai transformarii Helmert (17).

5. Coordonatele (referite la WGS84) pentru alte puncte decat cele comune pot fi transfomate prin ecuatia (17) in referite la un sistem local folosind parametrii de transformare calculati in pasul anterior.

6. Toate coordonatele pot fi transformate in referite la un sistem local prin (11) sau prin procedeul iterativ.

Omitand altitudinile, punctele de pe suprafata elipsoidului sunt proiectate pe un plan prin formule cunoscute de la "Cartografia matematica", rezultand intr-un sistem local plan.

Acelasi tip de algoritm a fost prezentat si in Capitolul 4.3

Tabelul 1 este un tip de diagrama pentru transformarea datelor GPS ºi terestre in spatiul tridimensional ºi care reia cei mai importanti paºi ai procedurii descrise mai sus. De notat totuºi ca se bazeaza pe ipoteza ca punctele in sistem local utilizate ca puncte comune au ºi coordonate (X,Y,Z)_LS. In sistem local, un sistem de coordonate cartezian nongeocentric foloseºte ca referinta un elipsoid (Bessel, Clarke, Krasovski). Pentru WGS-84 elipsoidul este omis intentionat deoarece este ºtiut oricum.

Avantajul abordarii tridimensionale este acela ca nu se cer apriori cei 7 parametrii Helmert de transformare. Aceasta inseamna ca nu este necesara nici o informatie despre parametrii de translatie, de scara sau de rotatie. Principalul dezavantaj al metodei este ca se cer patru puncte in sistem local cu altitudinea elipsoidala ( ºi deci ondulatiile geoidului). Totuºi dupa Schmitt (1991) efectul erorilor pe altitudine al punctelor comune este neglijabil in coordonatele plane (x,y) ºi in coordonatele elipsoidale (B,L). De exemplu, o altitudine eronata cu aproximativ 5 metri, produce intr-o retea de 20x20 km. un efect in coordonatele plane de 1 milimetru.

Exista mai multe combinatii in spatiul tridimensional. De mentionat un singur exemplu: Schodlbauer (1989) obtine rezultate echivalente metodei descrise prin proiectarea coordonatelor GPS pe un plan adoptand altitudinea ºi realizand o transformare afina tridimensionala prin punctele comune.

Transformarea vectorilor liniilor de baza. Se trateaza aici transformarea coordonatelor GPS intr-un sistem local. Utilizatorii sunt interesati ºi in calcularea distantelor ºi unghiurilor (orizontale ºi verticale) din vectorii liniilor de baza. Ca exemplu, se defineºte vectorul liniei de baza dintre punctele A ºi B notat cu b_AB: distanta spatiala s_AB, azimutul elipsoidal A_AB ºi distanta zenitala elipsoidala Z_AB. Aceste cantitati sunt obtinute prin ecuatiile:

(31)

in care vectorii i, j, k sunt axele sistemului local de coordonate in acord cu ecuatia (-2). Cantitatile s_AB, A_AB, Z_AB pot fi privite ca observatii neafectate de refractie ºi care trebuie, bineinteles, sa tina cont de corelatiile dintre ele.

3.2. Compensarea

Aceasta problema este tratata foarte pe scurt. Nu sunt date detalii despre matricea cofactorilor, matricea de varianta-covarianta ºi legea de propagare a erorilor. Este ales un singur exemplu pentru a arata cat de variate pot fi posibilitatile de compensare.

Formula pentru transformarea Helmert tridimensionala este data de ecuatia (17)

(32)

ºi arata interdependenta dintre cele doua sisteme. Continuand cu coordonatele sistemului local LS ºi coordonatele globale GPS relatia de mai sus devine:

(33)

Considerand amandoua coordonatele sistemelor ca stocastice poate fi adaugat foarte bine un vector al perturbatiilor la X_GPS ºi la X_LS. Astfel relatia devine

(34)

ºi este denumita modelul Gauss-Helmert. Este avantajos pentru compensare sa notam coordonatele compensate ale sistemului local cu . Acest model este reformulat acum ca

(35)

ºi este denumit modelul Gauss-Markov. Aici, coordonatele compensate sunt folosite pe de o parte ca "observatii" ale necunoscutelor ºi pe de alta parte ca necunoscute.

Formula de mai sus este modelul de baza care poate fi uºor marita prin alte observatii terestre. Jager ºi van Mierlo (1991) adauga de exemplu masuratori terestre de unghiuri ºi distante. Adunand aceste observatii intr-un vector l ºi adaugand perturbatiile corespunzatoare, modelul de mai sus poate fi suplimentat cu o ecuatie de tipul .

In principiu poate fi implementata orice fel de masuratoare geodezica daca este folosit in compensare un model geodezic de integrare. Ideea de baza este ca orice masuratoare geodezica poate fi exprimata ca o functie de unul sau mai multi vectori de pozitie X ºi a campului de gravitatie W al Pamantului. De obicei, functia nelineara trebuie sa fie linearizata acolo unde este o ruptura intre potentialul normal U al elipsoidului ºi potentialul perturbator T, astfel W = U + T. Prin aplicarea principiului de minim se ajunge la formule de colocatie.

Se gasesc multe exemple de integrare GPS in publicatii de specialitate, de exemplu Heine (1989): Integrare GPS ºi date de gravitatie; Heine (1990): Calcularea altitudinilor din combinatii GPS ºi date de gravitate; Grant (1988): Incercare de determinare a deformatiilor Pamantului din date GPS ºi date terestre.