Energia si actiuni ponderomotoare in campul magnetic

Energia si actiuni ponderomotoare in campul magnetic

Dupa cum s-a sratat in paragraful 1.5.3 , densitatea de volum a energiei campului magnetic, neomogen, localizat in mediul liniar cuprins de domeniul este:

^. (5.96)

Energia campului cupris in se va calcula cu relatia:

. (5.97)

Ea este valabila in orice regim de variatie in timp al fenomenelor si este generala, deoarece se refera la un domeniu marginit, oarecare, din spatiu.

5.5.1. Energia magnetica a unui circuit filiform

Se considera un circuit filiform (fig. 5.21) situat intr-un mediu liniar, izotrop, fara magnetizatie permanenta, infinit extins.

Se presupune domeniul exterior conductorului impartit in tuburi de flux de sectiune suficient de mica pentru a putea presupune campul uniform in oricare sectiune a tubului, astfel ca . Energia magnetica din exteriorul conductorului se poate exprima ca suma a energiilor inmagazinate in volumele ale tuburilor de flux:

^, (5.98)

unde:

in care este valoarea conservativa a fluxului magnetic de-a lungul tubului de flux.

Ecuatia (5.98) se scrie:

.

Tinandu-se seama de legea circuitului magnetic se obtine in final:

. (5.99)

Fluxul exterior al conductorului se poate exprima in functie de inductivitatea proprie exterioara a conductorului in conformitate cu relatia (5.47), iar din (5.99) rezulta:

(5.100)

si, de aici, urmatoarea definitie energetica a inductivitatii proprii exterioare:

(5.101)

In medii conductoare, curba care delimiteaza suprafata prin care se calculeaza fluxul magnetic nu poate fi determinata in mod univoc si de aceea definirea inductantei proprii interioare se face numai dupa criteriul energetic:

^. (5.102)

Prin insumarea celor doua inductante, interioara si exterioara, se obtine inductanta totala a conductorului:

^,

sau, in functie de marimile de stare ale campului:

^.

5.5.2. Energia magnetica a unui sistem de circuite

Se considera sistemul de circuite din figura 5.22, aflate in stare electrocinetica. In circuitul lucreaza sursa cu tensiunea electromotoare iar intensitatea curentului este . Circuitele pot fi mobile iar tensiunile electromotoare si curentii pot fi variabili in timp.

Energia furnizata de cele surse trebuie sa acopere pierderile de energie prin efect Joule - Lenz in rezistentele ale circuitelor, lucrul mecanic efectuat de fortele de natura magnetica () si cresterea energiei campurilor magnetice (). Pentru intervalul de timp ecuatia de bilant energetic al sistemului este:

.

Ecuatia de functionare a unui circuit este, potrivit legii lui Ohm:

^,

adica:

Inlocuindu-se tensiunile electromotoare in ecuatia (5.105) cu expresiile lor din (5.106) se obtine:

,

unde este de forma:

.

Cu s-a notat componenta fortei pe directia deplasarii - forta generalizata , iar cu - coordonata generalizata.

Ecuatia (5.107) exprima variatia energiei magnetice ca urmare a variatiei fluxurilor (deci a curentilor) si ca urmare a deplasarii corpurilor in campul magnetic.

In conditiile mediului liniar din punctul de vedere magnetic si al imobilitatii corpurilor () ecuatia (5.107) se reduce la:

.

In cazul unei variatii lente a curentilor (regim cvasistationar) exista liniaritate intre fluxuri si curenti, liniaritate exprimata de ecuatiile lui Maxwell (5.70):

.

Notandu-se valorile curentului si fluxului intr-o stare intermediara a variatiei curentului de la starea initiala la cea finala cu:

si ,

unde , variatia de flux se exprima prin:

,

iar variatia de energie se scrie:

. (5.111)

Suma variatiilor de energie din momentul initial, in care nu exista camp magnetic, pana in momentul final, este de fapt energia a campului magnetic in starea finala. Ea se obtine integrand ecuatia (5.111) pentru variind de la 0 la 1, obtinandu-se:

. (5.112)

Precizarea 'final ' a fost suprimata.

Ecuatia prezinta analogie formala cu aceea a energiei campului electrostatic al unui sistem de sarcini (v. 2.6.1).

Utilizandu-se relatiile lui Maxwell se poate exprima energia magnetica numai in functie de curenti:

(5.113)

si, deoarece exista relatia de reciprocitate , ecuatia (5.113) se mai scrie:

, (5.114)

unde termenii primei sume reprezinta energiile magnetice proprii ale circuitelor iar termenii celei de a doua sume reprezinta energii magnetice de interactiune intre doua circuite.

5.5.3. Energia magnetica a unei distributii de curent cu densitatea

Se presupune o distributie cu densitatea a curentului electric de conductie in domeniul ca in figura 5.23.

Conform ecuatiei (5.97) energia campului magnetic localizat in domeniul , liniar, izotrop, fara magnetizatie permanenta, este:

. (5.115)

Tinandu-se cont de relatiile:

si ,

se obtine:

adica:

.

Daca domeniul se extinde la infinit, atunci termenii care intervin in integrala de suprafata tind catre zero (asa cum se subliniaza mai jos) si rezulta:

.

Pornindu-se de la formulele lui Green se poate stabili expresia integrala a potentialului vector in problema tridimensionala :

Punctul - figura 5.23G - este acela in care se calculeaza potentialul iar este punctul in care densitatea de curent este . este unghiul solid sub care se vede suprafata S din punctul P (cu valorile 4p daca P se afla in interiorul domeniului, respectiv 2p daca el se afla pe suprafata S

Se demonstreaza ca cele doua componente , normala - si tangentiala - , ale potentialului magnetic vector tind catre zero pentru R ¥ cel putin ca 1/R, ceeace reprezinta conditia de regularitate la infinit pentru potentialul magnetic vector in problema tridimensionala. Tinand cont de relatia de definitie a potentialui magnetic vector, rezulta si conditia de regularitate la infinit pentru inductia magnetica in problema tridimensionala.

Evident, daca domeniul cuprinde si circuite filiforme aflate in regim electrocinetic cvasistationar, atunci in membrul doi al ecuatiei (5.116) se adauga si un termen de forma (5.112), aceasta devenind:

,

iar in cazul spatiului infinit rezultand:

.

Observatie . Daca cele circuite se considera localizate in volumul in care sunt identificate ca o distributie cunoscuta de curenti, atunci aportul lor la energia campului magnetic localizat in domeniul se poate calcula cu relatiile (5.116), respectiv (5.117).

Revenindu-se la ecuatia (5.118) in care produsul mixt se poate scrie (v. 5.2.1) ajungem la concluzia ca pentru calculul energiei campului magnetic in domeniul considerat este suficient sa cunoastem:

- componentele tangentiale ale intensitatii campului si potentialului magnetic vector pe suprafata de frontiera;

- curentii si fluxurile pentru circuitele filiforme;

- potentialul magnetic vector in punctele in care densitatea de curent este nula.

5.5.4. Teoremele actiunilor ponderomotoare in camp magnetic

Fortele magnetice care se exercita intre conductoare aflate in stare electrocinetica se numesc forte electrodinamice iar cele ce se exercita intre un conductor in stare electrocinetica si un corp feromagnetic, respectiv intre corpuri feromagnetice se numesc forte electromagnetice. Expresiile lor generale se obtin din aceea a energiei magnetice.

Teorema fortelor generalizate la flux magnetic constant. Lucrul mecanic efectuat la o deplasare elementara a unui corp in campul magnetic, sub actiunea fortei , se poate calcula cu ajutorul relatiei (5.107):

.

Daca fluxurile se mentin constante aceasta relatie capata forma:

,

de unde:

(5.120)

Din relatia (5.120) rezulta ca forta generalizata la fluxuri magnetice mentinute constante este egala cu derivata partiala cu semn schimbat a energiei magnetice in raport cu coordonata generalizata.

Semnul (-) arata ca, in absenta fenomenelor de inductie electromagnetica (), nu exista schimb de energie intre surse si camp, lucrul mecanic fiind efectuat pe seama scaderii energiei campului.

Teorema fortelor generalizate la curent constant. O noua teorema se obtine daca se presupun constanti curentii din circuite. In acest caz:

.

Potrivit relatiei (5.112) energia magnetica are valoarea:

,

astfel ca:

,

adica:

si

.

Prin urmare:

(5.121)

si deci, forta generalizata , corespunzatoare coordonatei generalizate , este egala cu derivata partiala a energiei magnetice in raport cu coordonata generalizata, la curenti constanti in circuite.

In cazul curentilor constanti, exista aport de energie de la surse iar lucrul mecanic este efectuat concomitent cu cresterea energiei campului cu o valoare egala cu aceea a lucrului efectuat de fortele magnetice.

Evident, relatiile (5.120) si (5.121) se refera la aceeasi forta care nu va depinde de modul in care a fost calculata.

Teorema tensiunii magnetice. In imediata vecinatate a suprafetei unui corp feromagnetic, cu permeabilitatea teoretic infinit mare, liniile campului magnetic sunt, in conformitate cu teorema refractiei liniilor campului magnetic, fie normale, fie tangentiale la suprafata corpului (v. 5.2.3).

Se poate presupune un element de arie pe suprafata de separatie, in imediata vecinatate a caruia intensitatea campului magnetic si inductia pot fi normale sau tangentiale la suprafata ca in figurile 5.24a, 5,24b.

Densitatea de volum a energiei campului magnetic fiind (v. relatia 5.96):

^,

la o deplasare a elementului variatia energiei magnetice va fi:

si va fi maxima pentru .

Forta este maxima dupa normala orientata dinspre corpul feromagnetic si are, conform teoremei fortelor generalizate (relatia 5.121), intensitatea:

,

de unde rezulta ca tensiunea magnetica este valoric egala cu densitatea de volum a energiei:

.

Campul magnetic tangential la suprafata corpului feromagnetic exercita asupra acestuia o presiune :

.

Teorema densitatii de volum a fortei in camp magnetic stationar. Pentru fortele interne care actioneaza din aproape in aproape in cadrul unui sistem fizic se defineste densitatea de volum a fortei prin relatia:

^,

unde este forta rezultanta.

Fie sistemul unor conductoare aflate in regim electrocinetic cvasistationar, situate intr-un mediu liniar din punctul de vedere magnetic. Lucrul fortelor generalizate la deplasari ale conductoarelor va fi egal cu variatia energiei magnetice . Presupunandu-se ca fortele actioneaza in conditiile mentinerii constante a curentilor se obtine:

,

unde se poate calcula cu oricare din formulele (5.97) sau (5.117):

.

Aici este volumul spatiului extins teoretic la infinit iar este volumul spatiului ocupat de conductoare.

Variatiile elementare ale ultimelor doua expresii se pot scrie:

(5.126)

si, respectiv:

. (5.127)

Simbolul se refera la variatia locala a marimii corespunzatoare.

Deoarece , termenul se transforma astfel:

Integrala de suprafata este nula ca urmare a conditiilor de regularitate la infinit ale lui si .

Inlocuindu-se termenul astfel dezvoltat in ecuatia (5.127) si deoarece:

,

rezulta:

. (5.128)

Pentru a se calcula variatia locala a lui , marime care nu satisface o lege de conservare, se presupune cunoscuta dependenta ei in raport cu densitatea de masa, care se noteaza aici cu si care se presupune variabila cu deplasarea. Se determina astfel variatia substantiala prin intermediul lui :

de unde:

. (5.129)

Variatia se calculeaza in ipoteza ca intensitatea curentului, , printr-o suprafata oarecare , antrenata de mediul in miscare, ramane constanta. Ca urmare a deplasarii, poate varia si densitatea de curent cu cat si cu , datorita deformarii curbei .

Elementul al curbei , deplasandu-se cu , descrie suprafata elementara (fig. 5.25), astfel ca .

Variatia totala a curentului fiind nula:

si suprafata arbitrara, aplicandu-se teorema lui Stokes si identificandu-se integranzii se obtine:

.

Tinandu-se acum seama de relatiile (5.129) si (5.130), expresia (5.128) a lui devine:

Primele doua integrale se transforma astfel :

integralele de suprafata fiind nule, datorita conditiilor de regularitate la infinit. Inlocuind aceste valori in ecuatia (5.131) se obtine:

.

Daca elementele sistemului se pot deplasa independent, fiind diferit de zero pentru oricare din ele, prin identificarea ecuatiei (5.132) cu ecuatia (5.125) rezulta expresia densitatii de volum a fortei in camp magnetic :

^,

iar daca acestea nu se pot deplasa independent unele de altele, formula (5.133) determina fortele lagrangeene corespunzatoare gradelor de libertate.

Primul termen al ecuatiei (5.133) reprezinta densitatea de volum a fortei magnetice Lorentz, al doilea intervine daca permeabilitatea este functie de punct iar ultimul se datoreaza variatiei permeabilitatii cu densitatea de masa si intereseaza la studiul magnetostrictiunii .

Inlocuindu-se in ultimii doi termeni inductia magnetica cu expresia ei si efectuand calculele se obtine:

.

Tensiuni maxwelliene in campul magnetic. Se introduce densitatea de volum a fortei in ecuatia (5.122) care exprima rezultanta fortelor de volum in functie de rezultanta tensiunilor ce actioneaza asupra unitatii de suprafata de versor , obtinandu-se:

.

Se xprima sub forma , unde :

(5.136)

si

. (5.137)

Termenul se transforma astfel:

. (5.138)

Se tine seama de relatiile:

si

,

astfel ca relatia (5.138) devine:

in care s-a facut inlocuirea:

.

Deoarece , rezulta:

.

Termenii grupati intre parantezele drepte se dezvolta in modul urmator:

(5.140)

S-a notat cu tensorul a carei matrice este:

. (5.141)

In raport cu un sistem de coordonate triortogonale, tensorul de ordinul al doilea asociaza unei orientari oarecare o marime vectoriala , functie liniara si omogena de cosinusurile directoare , si :

,

in care vectorii , si senumesc componentele vectoriale pe care le asociaza tensorul orientarilor axelor de coordonate de versori , si . Fiind determinat de trei vectori, tensorul este caracterizat de 9 marimi scalare reprezentate de componentele scalare ale vectorilor , si .

Deoarece:

si

,

rezulta:

Matricea tensorului este tabela ale carei coloane contine coeficientii liniilor sistemului de mai sus:

.

In concluzie, termenul , dat de ecuatia(5.136), se va scrie, tinand cont de relatia (5.139):

unde , avand expresia (5.141), este tensorul tensiunilor maxwelliene in camp magnetic.

Termenului , cu expresia (5.137), ii corespunde tensorul tensiunilor de magnetostrictiune a carui matrice este:

(5.142) .

Scriindu-se acum ecuatia (5.135) sub forma:

dv

si introducand componentele tensorului se deduc componentele dupa orientarea de versor ale tensiunii care sunt:

si inca doua similare. Ele conduc la expresia vectoriala:

, (5.145)

unde:

. (5.146)

Daca liniile de camp sunt normale la suprafata, ca in figura 5.26a, ecuatiile (5.145) si (5.146) devin:

(5.147)

si

, (5.148)

iar daca sunt tangentiale la suprafata, ca in figura 5.26b, atunci:

(5.149)

si

. (5.150)

Pentru o orientare oarecare, se considera elemente de suprafata perpendiculare intre ele, dintre care unul omoparalel cu iar celalalt perpendicular pe si se aplica relatiile (5.147) - (5.150). In acest fel, tensiunile se reduc la o tractiune in directia campului si la o presiune normala pe liniile de camp, ca si cum liniile de camp ar fi fire elastice supuse la tractiune si, lateral, supuse unei presiuni (fig. 5.27).

Deoarece pe suprafetele corpurilor feromagnetice liniile de camp sunt fie perpendiculare, fie tangentiale, elementele de suprafata sunt supuse fie la o tractiune spre exterior (fig. 5.28a), fie la o presiune spre interior (fig. 5.28b).

Teorema impulsului electromag-netic. Expresia generala a impulsului electromagnetic in medii imobile, liniare, izotrope si lipsite de polarizatie permanenta se stabileste printr-o interpretare a ecuatiilor campului electromagnetic similara cu aceea care a condus la formularea teoremei energiei electromagnetice:

- se multiplica vectorial la dreapta ambii membri ai ecuatiei legii inductiei electromagnetice cu si ambii membri ai ecuatiei legii circuitului magnetic cu . Se aduna ecuatiile astfel obtinute membru cu membru, rezultand:

(5.151) ;

- termenii de forma se transforma asa cum s-a procedat cu ecuatia (5.138) devenita (5.139):

,

unde , si, in conformitate cu (5.139) rezulta:

,

in care:

(5.154)

si

(5.155) .

si sunt: tensorul tensiunilor electrice, respectiv, tensorul tensiunilor magnetice.

Primul termen din membrul al doilea al relatiei (5.151) este densitatea de volum a fortei magnetice a lui Lorenz, , iar ultimul termen al relatiei (5.153), luat cu semn schimbat, este densitatea de volum a fortei magnetice datorata variatiei spatiale a permeabilitatii, :

,

.

Analog, ultimii doi termeni din ecuatia (5.152) reprezinta densitatea de volum a fortei electrice, , care se exercita asupra sarcinii electrice, respectiv, cu semn schimbat, densitatea de volum a fortei electrice datorata variatiei spatiale a permitivitatii - :

,

(5.159) .

Daca se noteaza:

(5.160)

si

,

inlocuindu-se termenii din primul membru al ecuatiei (5.151) cu expresiile lor (5.152), (5.154) si (5.153), (5.155) se obtine:

(5.162) .

Integrand pe volumul in care se presupune localizat impulsul electomagnetic si aplicand teorema Gauss - Ostrogradski ultimului termen rezulta:

. (5.163)

In acord cu relatia dintre forta si impuls cunoscuta de la Mecanica, mai rezulta ca expresia impulsului electromagnetic este:

, (5.164)

cu densitatea de volum:

. (5.165)

Ecuatia (5.163) exprima teorema impulsului electromagnetic : derivata in raport cu timpul a impulsului electromagnetic este egala cu suma cu semn schimbat a integralei de volum a densitatii fortei electromagnetice si integrala de suprafata a tensorului tensiunilor maxwelliene in camp electric si magnetic.

Evident, daca permitivitatea si permeabilitatea sunt variabile cu densitatea de masa a materialului atunci in expresia (5.160) a densitatii fortei electromagnetice intervin aditiv densitatile de volum ale fortelor de electrostrictiune si ale fortelor de magnetostrictiune :

(5.166)

si

. (5.167)

Momentul cinetic rezulta din relatia:

). (5.168)

In regim cvasistationar impulsul electromgnetic este neglijabil iar ecuatiile de mai sus devin:

; (5.169)

). (5.170)

Ele exprima acum echivalenta dintre forta electromagnetica repartizata volumetric si forta electromagnetica repartizata superficial.