CIRCUITE MAGNETICE

CIRCUITE MAGNETICE

Numim circuit magnetic succesiunea de medii prin care se concentreaza un flux magnetic. Fluxul este produs de bobine care inlantuie circuitul partial sau in intregime, numite bobine de excitatie.

1. Definitii, clasificari, aplicatii tehnice

Fluxul prin sectiunea transversala a circuitului magnetic se numeste flux fascicular. El rezulta ca produs al numarului de spire cu fluxul fascicular mediu.

Fluxul fascicular prin portiunile considerate utile ale circuitului magnetic se numeste flux util. Fluxul corespunzator liniilor inductiei magnetice care se inchid in afara portiunilor utile se numeste flux de dispersie sau flux de scapari.

Portiunea circuitului magnetic pe care este montata bobina de excitatie se numeste miez. Portiunile de circuit care servesc la asamblarea miezurilor se numesc juguri.

Circuitele magnetice se confectioneaza de regula din materiale feromagnetice. Din anumite motive functionale sau/si tehnologice, portiunile de circuit pot fi intrerupte cu intervale in aer sau pot contine intervale din materiale nemagnetice numite intrefieruri.

1.1. Cateva clasificari

Din punctul de vedere al configuratiei geometrice, exista circuite magnetice neramificate (fig. 1a) si circuite magnetice ramificate (fig. 1b).

In circuitele magnetice ramificate laturile, nodurile si ochiurile se definesc analog modului in care se face acest lucru in circuitele electrice.

Dupa felul curentului prin bobinele de excitatie, numit curent de excitatie, sunt circuite magnetice de curent continuu si circuite magnetice de curent alternativ. Circuitele magnetice de curent alternativ au miezul divizat in tole subtiri, izolate intre ele si asezate paralel cu liniile de camp, pentru a reduce pierderile prin curenti turbionari (Foucault).

1.2. Utilizari in tehnica

Circuitele magnetice se construiesc fie pentru a obtine lucru mecanic util pe seama deformarii lor, fie pentru a obtine inductii magnetice mari cu ajutorul unor curenti putin intensi, pe seama permeabilitatii magnetice mari a materialului introdus in campul magnetic produs de acesti curenti. Ele sunt elemente componente esentiale ale transformatoarelor, masinilor si aparatelor electrice.

Electromagnetii deformabili, conceputi pentru a efectua lucru mecanic prin deplasarea armaturii proprii sau a unei alte piese se numesc electromagneti de tractiune. Ei sunt excitati in curent continuu sau alternativ. O alta categorie de electromagneti deformabili o constituie electromagnetii purtatori, conceputi pentru a retine materialele magnetice cu care sunt pusi in contact si care sunt de obicei alimentati in curent continuu.

Utilizarile electromagnetilor in tehnica sunt extrem de variate. O clasificare din acest punct de vedere, dar nu completa, este prezentata in figura 2.

Circuitele magnetice pot fi construite si din magneti permanenti, fluxul magnetic fiind produs de magnetizatia permanenta a unor magneti. Avantajele acestora consista din simplitatea constructiva a circuitului care necesita un spatiu redus, ceeace permite rezolvarea unor probleme cum sunt acelea ale constructiei de micromasini.

2. Proprietatile materialelor feromagnetice

Circuitele magnetice sunt confectionate, in marea majoritate a aplicatiilor tehnice, din materiale feromagnetice. Acestea sunt materiale paramagnetice cu susceptivitate pozitiva si foarte mare - de ordinul zecilor de mii. La aceste materiale dependenta nu este liniara, ea depinzand de intensitatea campului si de starile de magnetizare avute anterior.

2.1. Curba de magnetizare

Dependenta dintre modulele celor doi vectori, este o dependenta ciclica care se poate ridica experimental cu ajutorul unui montaj ca acela din figura 3.

Din materialul de cercetat se executa un inel omogen pe care se executa doua infasurari din cupru izolat. Daca se intrerupe sau se stabileste brusc curentul in infasurarea cu spire (infasurarea de excitatie), se obtine prin inductie electromagnetica o deviatie in galvanometrul balistic conectat la infasurarea cu spire ( infasurarea de masura care masoara o variatie a sarcinii in circuit). Variatia de sarcina este o masura a variatiei inductiei.

Intr-adevar, curentul indus este:

^,

de unde, in valoare absoluta:

si

.

Pe de alta parte, cu ajutorul ampermetrului montat in circuitul de excitatie se stabileste valoarea intensitatii campului magnetic:

^.

este rezistenta totala a circuitului de excitatie iar este raza medie a torului.

Pe baza schemei din figura 3 s-au realizat aparate specializate (denumite ferotestere) sau sisteme ce utilizeaza placi de achizitie a datelor si microprocesoare sau calculatoare de tip IBM-PC.

In regim stationar se poate trasa curba marind treptat curentul de excitatie. Daca materialul nu a mai fost magnetizat, prin cresterea intensitatii campului de la la se obtine curba de prima magnetizare (fig. 4). Aceasta prezinta o portiune aproape liniara in care inductia creste practic liniar cu intensitatea campului inductor dupa care, pentru intensitati mai mari decat aceea corespunzatoare punctului , cresterea inductiei este mai putin pronuntata. Se parcurge o zona de cot -zona cotului de saturatie- dupa care, dincolo de punctul , caruia i se atribuie valoarea a intensitatii campului, inductia nu mai creste oricat s-ar mari intensitatea campului. De la valoarea a campului, materialul se afla in stare de saturatie magnetica.

Fenomenul de saturatie magnetica este explicat in teoria microscopica a feromagnetismului prin orientarea spinilor electronilor. In portiuni microscopice , dar continand un numar mare de atomi, numite domenii, toti atomii au momentele orientate in acelasi sens, astfel ca domeniul este magnetizat permanent. Orientarea diferitelor domenii este insa haotica, ele tinzand sa se orienteze in directia campului aplicat din exterior. In momentul orientarii complete magnetizatia atinge o valoare limita mumita magnetizatie de saturatie , foarte mare, asfel ca deoarece .

2.2. Ciclul de histerezis

Micsorandu-se intensitatea campului de la catre , se constata ca valorile inductiei raman mai mari decat cele anterioare si ca, la anularea campului inductor, materialul ramane cu inductia remanenta . Pentru a o anula, trebuie sa se creasca intensitatea campului, in sens contrar celui initial, pana la o valoare numita camp coercitiv.

Continuandu-se variatia campului inductor pana la si inapoi pana la , se parcurge o curba inchisa numita ciclu de histerezis magnetic. Dupa 4 - 5 parcurgeri ale ciclului acesta incepe sa fie parcurs in mod identic - se spune ca ciclul de histerezis s-a stabilizat.

2.3. Criterii de calitate pentru materialele feromagnetice

Calitatea unui material feromagnetic este apreciata dupa urmatoarele criterii:

- forma ciclului de histerezis;

- curba de magnetizare, care este curba medie a ciclului, media facandu-se pe abscise;

- permeabilitatea magnetica initiala, calculata in portiunea liniara a curbei de magnetizare;

- permeabilitatea maxima, calculata ca panta a dreptei ce trece prin origine si este tangenta la curba de magnetizare (dreapta OA - fig. 4)

- inductia remanenta;

- campul coercitiv.

In functie de aceste criterii, materialele feromagnetice se clasifica in materiale magnetice moi, care se magnetizeaza si se demagnetizeaza usor, avand ciclu de histerezis ingust si camp coercitiv mic ( 80A/cm) si materiale magnetice dure, cu ciclu de hysterezis larg, cu camp coercitiv mare ( 4000A/cm), care se magnetizeaza si se demagnetizeaza greu.

Materialele magnetice moi (tabelul 1) au permeabilitati foarte mari, datorita campului coercitiv mic, isi pierd practic complet magnetismul la incetarea actiunii campului exterior si sunt utilizate la fabricarea circuitelor magnetice ale masinilor, aparatelor si transformatoarelor electrice.

Tabelul 1

Fierul pur, obtinut pe cale electrolitica, prezinta calitati magnetice foarte ridicate. In general adausurile si tratamentele termice si mecanice reduc aceste calitati: otelul continand peste 0,9% carbon devine prin calire rapida material magnetic dur cu ciclu de histerezis larg. Recoacerea ingusteaza ciclul de histerezis; tolele de otel prin incalzire indelungata isi reduc permeabilitatea iar pierderile prin histerezis cresc; manganul produce micsorarea inductiei remanente dar mareste campul coercitiv; siliciul in proportie de 4 - 5% micsoreaza campul coercitiv, pierderile prin histerezis si, datorita cresterii rezistentei ohmice a otelului, reduce si pierderile prin curenti turbionari.

Materialele magnetice dure (tabelul 2) au inductie remanenta mare si permeabilitati mici. Ele se utilizeaza la confectionarea magnetilor permanenti utilizati la micromotoare, transformatoare de foarte mica putere, la confectionarea memoriilor. Cifra de calitate a materialului magnetic dur este valoarea maxima a produsului , marime proportionala cu energia localizata in unitatea de volum a campului.

Tabelul 2

3. Teoremele circuitelor magnetice

Relatiile fundamentale care modeleaza fenomenele circuitelor magnetice sunt legea circuitului magnetic si legea fluxului magnetic. In regim stationar si -in anumite conditii- in regim cvasistationar, consecinte ale acestor legi sunt teoremele lui Ohm si Kirchhoff pentru circuitele magnetice, al caror nume este atribuit prin analogie, datorita corespondentei duale cu legea lui Ohm si teoremele lui Kirchhoff din circuitele electrice.

3.1 Teorema lui Ohm extinsa la circuitele magnetice

Se considera un tub de flux magnetic (fig. 5). Alegandu-se elemente de arie orientate omoparalel cu elementul de arc al axei a tubului de flux, expresia tensiunii magnetice intre doua puncte 1 si 2 ale curbei ia forma:

^, (1)

unde este fluxul fascicular, acelasi prin orice sectiune transversala a tubului.

Marimea pozitiva, definita de raportul dintre tensiunea magnetica si fluxul fascicular se numeste reluctanta sau rezistenta magnetica a portiunii de tub (a portiunii neramificate de circuit magnetic):

in sau (2)

Din relatia (1) rezulta expresia reluctantei:

^, (3)

iar daca pe portiunea de circuit aria sectiunii si permeabilitatea sunt constante atunci:

^. (4)

Marimea pozitiva egala cu raportul dintre fluxul fascicular si tensiunea magnetica se numeste permeanta a circuitului :

in sau . (5)

Relatiile:

(6)

si

, (7)

sunt numite relatiile lui Ohm pentru circuite magnetice, prin analogie cu relatiile lui Ohm pentru circuitele electrice. Tot prin analogie, produsele de forma sunt numite caderi de tensiune magnetica.

Se pot alcatui scheme echivalente circuitelor de din figura 1 asa cum se procedeaza in figura 6, utilizandu-se simboluri grafice asemanatoare celor din circuitele electrice. Se constata usor, urmatoarele corespondente duale intre marimile din circuitele magnetice si cele din circuitele electrice:

- tensiune electrica tensiune magnetica ;

- tensiune electromotoare tensiune magnetomotoare sau solenatie ;

- intensitate a curentului electric flux fascicular ;

- rezistenta electrica reluctanta ;

- conductanta electrica permeanta .

3.2 Teoremele lui Khirchhoff pentru circuitele magnetice

Teorema I a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. In circuitele magnetice ramificate fluxurile magnetice se ramifica in puncte numite noduri. Portiunea de circuit cuprinsa intre doua noduri, de-a lungul careia fluxul fascicular este constant, se numeste latura. O succesiune inchisa de laturi alcatuieste un ochi sau bucla.

Din legea fluxului magnetic aplicata suprafetei care inchide nodul magnetic din figura 7a se obtine relatia:

,

adica:

,

numita teorema I a lul Khirchhoff pentru circuite magnetice, prin analogie cu relatia care se scrie cu referire la nodul unei retele electrice (fig. 7b).

Suma (8) este si aici o suma algebrica. Se considera pozitive fluxurile al caror sens se asociaza cu sensul normalei la suprafata (fluxurile care ies din nod) si negative, celelalte.

Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se considera un ochi de circuit magnetic (fig. 8a) a carei axa va fi conturul cu referire la care se scrie legea circuitului magnetic, adoptandu-se un sens de scriere care va fi sensul de parcurgere al buclei:

,

sau

,

unde sunt tensiunile magnetice (magnetomotoare) ale laturilor iar sunt solenatiile acestora.

Tinandu-se seama de relatia (6) se mai poate scrie:

.

Relatia (11) este similara cu relatia din teoria circuitelor electrice in regim stationar (fig. 8b) si este numita, prin analogie, teorema a II-a a lui Kirkhhoff pentru circuite magnetice.

Sumele din relatia (11) sunt, evident, sume algebrice in care produsele sunt pozitive pentru fluxurile al caror sens coincide cu sensul de parcurgere al buclei, iar solenatiile sunt de asemenea pozitive daca sensul lor se asociaza cu sensul de parcurgere dupa regula burghiului drept.

Tensiunea magnetica intre doua puncte ale unui circuit magnetic. Pentru a se calcula tensiunea magnetica , prin aer , intre punctele 1 si 2 ale circuitului magnetic din figura 9, se considera ochiul -trasat prin aer de la 1 la 2- care se inchide apoi prin laturile circuitului. Teorema a II-a a lui Kirkhhoff conduce la:

,

de unde:

. (12)

Teoremele reluctantelor echivalente. Reluctanta echivalenta intre doua puncte ale unui circuit magnetic (fara solenatii pe laturi) este egala cu raportul intre tensiunea magnetica dintre cele doua puncte si fluxul fascicular ce intra prin punctul 1 si iese prin punctul 2:

. (13)

Reluctanta echivalenta a laturi in serie (fig. 10) se calculeaza tinand seama ca fluxul este acelasi prin toate laturile si ca tensiunea magnetica intre punctele 1 si 2 este egala cu suma tensiunilor magnetice ale laturilor. Exista relatiile:

,

unde:

si rezulta:

. (14)

Prin urmare, reluctanta echivalenta a laturi in serie este egala cu suma reluctantelor laturilor.

Reluctanta echivalenta a laturi in paralel (fig. 11) rezulta din aplicarea teoremei I a lui Kirchhoff la nod si, tinandu-se seama ca tensiunea magnetica este aceeasi pentru toate laturile se obtine:

,

sau:

,

de unde:

^,

adica:

^,

sau:

.

Aici permeanta echivalenta este egala cu suma permeantelor.

Conditia de dispersie magnetica nula a unui circuit magnetic. Se pune problema repartitiei solenatiei in lungul circuitului magnetic din figura 12 astfel ca dispersia magnetica sa fie nula.

Se alege pe linia mijlocie a circuitului, avand lungimea , un punct de origine de la care se masoara pe curba lungimea , la capatul careia se stabileste punctul . Se formeaza un contur inchis cu segmentul de curba , segmentele de dreapta si -normale pe liniile de camp- si segmentul de curba trasat arbitrar prin aer. Tensiunea magnetica de-a lungul curbei este:

,

in care este solenatia inlantuita de curba si care este o functie de coordonata iar ultimele trei integrale sunt nule: segmentele si sunt normale pe liniile de camp iar pe portiunea s-a presupus dispersia nula.

Notandu-se cu reluctanta portiunii rezulta:

,

iar pentru :

.

Raportandu-se membru cu membru cele doua relatii rezulta ca dispersia magnetica a unui circuit magnetic se anuleaza daca solenatia se repartizeaza in lungul circuitului proportional cu reluctanta:

^.

Pentru circuitul magnetic omogen si de reluctanta constanta conditia este indeplinita daca solenatia este repartizata uniform.

Teoremele generale ale teoriei retelelor magnetice. Analogia dintre teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice si teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele electrice permite sa se stabileasca in teoria retelelor magnetice, teoreme analoge celor din teoria retelelor electrice de curent continuu: teorema superpozitiei, teorema reciprocitatii, teorema Helmoltz -Thevenin, teorema fluxurilor de ochiuri etc (v. cap8). Ele vor fi insa valabile pentru circuitele magnetice liniare (cu ), adica pentru circuite magnetice nesaturate si ale caror laturi nu prezinta dispersii.

4. Calculul circuitelor magnetice

Calculul unui circuit magnetic consta in a determina solenatia care produce un anumit flux magnetic sau fluxul magnetic produs de o anumita solenatie. El se face adesea in ipoteze simplificatoare care neglijeaza fluxul de dispersie si care presupun fluxul fascicular repartizat uniform in sectiune. Aceste ipoteze revin la a considera vectorii si ca fiind aceeasi in oricare punct al unei sectiuni transversale pe axa circuitului magnetic si orientati omoparalel cu normala la sectiunea respectiva.

4.1. Calculul circuitelor magnetice liniare

Sunt considerate liniare acele circuite magnetice a caror permeabilitate magnetica este constanta. In aceasta categorie putem include si circuitele confectionate din materiale feromagnetice daca punctul lor de functionare ramane intotdeauna in zona liniara a curbei de magnetizare. Daca este cunoscuta geometria circuitului si permeabilitatea, ecuatiile (6), (8), (11), (14) si (15) sunt cele necesare rezolvarii oricarui circuit serie sau ramificat.

4.2 Calculul circuitelor magnetice neliniare

Practic, circuitele magnetice sunt executate din materiale feromagnetice a caror permeabilitate nu este constanta, punctul de functionare intrand in zona cotului de saturatie. Permeabilitatea fiind dependenta de intensitatea campului magnetic materialele sunt neliniare, iar circuitele magnetice respective sunt circuite neliniare.

Ecuatiile circuitelor neliniare sunt tot ecuatiile lui Ohm si Kirchhoff pentru circuite magnetice:

(18)

numai ca tensiunea magnetica a laturii nu mai poate fi exprimata prin produsul dintre fluxul fascicular si reluctanta, reluctanta ne mai fiind constanta.

Dependenta , numita caracteristica magnetica a laturii se determina experimental cu ajutorul curbei de magnetizare a materialului(fig. 13): pentru fiecare portiune omogena de lungime si sectiune constanta de arie , considerandu-se fluxul repartizat uniform in sectiune, se inmultesc ordonatele cu sectiunea iar abscisele cu lungimea portiunii de circuit, obtinandu-se diagrama care are in ordonate fluxul fascicular si in abscise tensiunea magnetica (fig. 14) conform relatiilor:

    (19)

si

. (20)

Din acest moment, calculul poate decurge dupa metode grafo - analitice sau numerice.

Presupunandu-se cunoscute dimensiunile geometrice ale circuitelor si curbele de magnetizare se pot efectua calculele de circuite magnetice in cele doua cazuri la care ne-am referit mai sus:

a)     se cunosc fluxurile magnetice in laturile circuitului si trebuie determinate solenatiile. Se deduc valorile inductiilor din relatii de forma iar din curba de magnetizare rezulta valorile corespunzatoare. Scriindu-se apoi teorema a II-a a lui Kirchhoff pe contururile inchise ale ochiurilor se obtin ecuatiile necesare determinarii solenatiilor;

b)     se cunosc solenatiile si trebuie determinate fluxurile magnetice in diverse laturi ale circuitului. Utilizandu-se curbele sub forma grafica, tabelara sau aproximata polinomial si relatiile (18), se determina din aproape in aproape caracteristici magnetice echivalente unor structuri ale circuitelor si caracteristica magnetica echivalenta intregului circuit, caracteristici cu ajutorul carora, cunoscandu-se solenatiile, se determina fluxurile.

4.3. Definitivarea calculului solenatiilor

Valoarea a solenatiei rezultate din calculul circuitului magnetic reprezinta produsul dintre intensitatea necesara a curentului prin bobina si numarul de spire. Ecuatia fiind o ecuatie cu doua necunoscute, explicitarea celor doi factori din primul membru necesita gasirea sectiunii potrivite a conductorului, care trebuie infasurat in fereastra de dimensiuni date, pentru a se obtine amperspirele necesare la tensiunea data. Procedeul este urmatorul:

- se presupune un coeficient de umplere astfel ca aria sectiunii bobinei fiind , sectiunea conductorului va fi, in principiu, unde este numarul de spire ;

- rezistenta electrica a bobinei va fi:

^,

in care este lungimea medie a spirei;

- se impunne tensiunea electrica la bornele infasurarii si se exprima rezistenta prin relatia:

;

- eliminand intre relatiile (21) si (22) rezulta numarul de spire:

;

- diametrul conductorului va rezulta din relatia:

;

- se alege conductorul avand diametrul sarmei cu valoare apropiata celei ce rezulta din (24) si, in functie de diametrul exterior (care tine seama de grosimea izolatiei conductorului), se calculeaza numarul de straturi care trebuie sa fie un numar intreg. Pentru a-l obtine se face corelarea intre inaltimea straturilor si diametrul exterior al bobinei. Tinandu-se seama si de grosimea izolatiei exterioare si de dimensiunile suportului (mosorului) pe care se face infasurarea, se verifica accesul bobinei in spatiul dat (in asa zisa fereastra a circuitului magnetic);

- se calculeaza caldura dezvoltata prin efect Joule in infasurare:

(25)

si se verifica incadrarea temperaturii de regim a bobinei in valoarea maxima admisa.

4.4. Calculul circuitelor cu magneti permanenti

Magnetii permanenti sunt utilizati pentru producerea unei inductii magnetice intr-un intrefier de dimensiuni date. Studiul circuitelor magnetice cu magneti permanenti, in care rolul amperspirelor magnetizante este indeplinit de magnetul permanent, este asemanator cu acela al electromagnetilor, inlocuind solenatia cu produsul .

Din ecuatiile fundamentale ale magnetostaticii (5.12), (5.13), (5.14):

, (5.12)

(5.13)

si

, (5.14)

se pot trage urmatoarele concluzii:

a) ecuatia (5.12) sub forma integrala se scrie:

. (26)

Circulatia intensitatii campului magnetic pe orice curba inchisa fiind nula, rezulta ca in conditii magnetostatice ( si ) se poate defini un potential magnetostatic astfel incat:

, (27)

cu

. (28)

Prin urmare, campul magnetostatic este un camp potential. Ecuatia (26) este numita teorema potentialului magnetostatic ;

b) din ecuatiile (5.13) si (5.14) se obtine, aplicandu-se divergenta celei de a doua ecuatii:

, (29)

din care rezulta ca pentru a stabili un camp magnetostatic, in conditiile in care nu exista magnetizatie temporara stabilita de un camp magnetic exterior, este nevoie de magnetizatie permanenta, adica de magneti permananenti ;

c) daca se scrie ecuatia (26) pe o curba ce coincide cu o linie de camp, (fig. 15), avand in exteriorul magnetului , rezulta ca in interior trebuie sa avem . Campul magnetic propriu al magnetului permanent in punctele din interior este deci un camp demagnetizant.

Campul demagnetizant se noteaza cu . El are sens opus magnetizarii corpului in interiorul lui si tinde sa-l demagnetizeze. De aceea pe ciclul de histerezis punctul de functionare nu are coordonatele () ci coordonatele (), fiind situat in cadranul al doilea.

Conform ecuatiei (29) vectorii si ar trebui sa fie antiparaleli iar inductia in interiorul magnetului omoparalela cu . In general insa, in functie de forma magnetului, liniile de camp ale lui si nu coincid. Raportul componentelor celor doi vectori dupa directia de versor :

^,

se numeste factor de demagnetizare.

Deoarece materialele din care se confectioneaza magnetii permanenti sunt costisitoare, numai o mica portiune a circuitului va fi constituita din magnet permanent iar jugurile vor fi confectionate din fier moale. De aceea, stabilirea conditiilor in care un material de magnet permanent, de volum dat, este utilizat eficient in circuitul magnetic, constituie una din problemele calcului circuitelor cu magneti permanenti.

Indicele de calitate al magnetilor permanenti este valoarea maxima a produsului (. La valori date ale volumului intrefierului si la valori date ale inductiei in intrefier volumul materalului magnetului permanent va fi minim daca produsul este maxim. Intr-adevar, fie circuitul magnetic din figura 16 in care, legea fluxului magnetic si legea circuitului magnetic ne furnizeaza relatiile:

,

respectiv,

(32) ,

in care si sunt inductiile magnetice medii in intrefier si respectiv in magnet, si sunt ariile sectiunilor utile ale intrefierului, respectiv magnetului, si sunt lungimile portiunilor curbei cuprinse in intrefier si respectiv in magnet.

Daca se inmultesc, membru cu membru, ultimile doua ecuatii si se tine seama ca si sunt valorile volumelor intrefierului si magnetului si notandu-se , se obtine relatia:

(33) ^,

din care rezulta ca este minim atunci cand produsul de la numitorul fractiei este maxim.

Curba a materialului pentru magneti permanenti se poate aproxima cu relatia:

(34) ^,

in care este campul coercitiv, - inductia remanenta, - inductia la saturatie (fig. 17).

Derivata produsului , obtinut prin multiplicarea cu a relatiei (34), se anuleaza pentru:

^. (35)

Introducand cu expresia (35) in (34) se obtine:

^. (36)

Raportarea membru cu membru a ecuatiilor (35) si (36) va conduce, in continuare, la relatia:

^, (37)

de unde deducem ca punctul P corespunzator valorii maxime a produsului se afla la intersectia curbei cu diagonala ce trece prin origine, a dreptunghiului cu laturile si (fig. 17).

Pentru a se determina si cunoscandu-se caracteristicile materialului pentru magnet, , si , la valori date pentru si , se procedeaza astfel:

- din raportul ecuatiilor (31) si (32) se deduce:

^, (38)

relatie valabila si pentru si ;

- in acord cu relatia (37) rezulta:

; (39)

- din ecuatiile (34), (37) si (39) rezulta inca:

si (40)

4.5. Circuite cu scapari de flux

Calculul circuitelor magnetice se complica atunci cand fluxul de scapari nu mai poate fi neglijat.

De exemplu, pentru circuitul magnetic in forma de U din figura (18) fluxul util este acela care de inchide prin portiunile considerate utile ale circuitului si care strabate intrefierul util. Acele linii de camp care se inchid total sau partial prin aer constituie, dupa cum s-a mai precizat, fluxul de dispersie sau de scapari.

Se cuvine insa, sa se deosebeasca doua aspecte in ceea ce priveste fluxul de dispersie: o componenta a acestuia (numita flux real de dispersie), corespunde liniilor de camp care, dupa un parcurs in aer, patrunzand in intrefierul util, participa la lucrul mecanic efectuat de armatura electromagnetului; o alta (numita flux marginal), corespunde liniilor de camp ce nu ajung in intrefierul util si care poate fi intr-adevar neglijata.

Se ajunge astfel la necesitatea determinarii precise a fluxului in diferitele portiuni ale circuitului iar pentru aceasta se utilizeaza metodele de analiza numerica a campului magnetic cvasistationar prezentate in subcapitolul 5.1.

5. Aplicatii

In continuare sunt prezentate, ca aplicatii, doua metode insa aproximative -utilizate in practica- pentru problema din figura 18 considerata suficient de sugestiva pentru intelegerea modului in care pot fi abordate, in mod simplificat, asemenea probleme.

5.1. Circuit echivalent cu reluctante concentrate

Se imparte circuitul in portiuni presupuse de reluctanta constanta si strabatute de flux constant, circuitul echivalent celui din figura 18 fiind acela din figura 19 care contine reluctante concentrate. Fluxul principal se inchide prin intrefierul util iar fluxurile de scapari se inchid intre coloane.

Cu notatiile din figura 19 si presupunand fluxul in armatura , cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff pentru circuite magnetice se stabilesc relatiile:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

,

in care: - este solenatia circuitului magnetic, - fluxul portiunii a circuitului magnetic si - reluctanta portiunii .

Reluctantele diferitelor portiuni ale miezului se calculeaza cu relatia:

^,

in care este lungimea portiunii de circuit, - aria sectiunii iar - permeabilitatea materialului presupusa constanta deoarece, de regula, electromagnetii de acest tip sunt dimensionati pentru a functiona in portiunea liniara a caracteristicii de magnetizare.

Calculul reluctantelor cailor fluxului prin aer ( utilizeaza aceeasi relatie ca mai sus, in care iar aria sectiunii este (fig. 20).

Prin aceasta metoda se rezolva direct problema in care se da fluxul in intrefier si se cere solenatia necesara. Problema inversa se va rezolva insa numai prin aproximari succesive.

5.2. Circuit echivalent cu reluctante distribuite uniform

Se considera circuitul din figura 21.

Pentru acelasi electromagnet in forma de , considerandu-se reluctanta circuitului magnetic repartizata uniform, se alege portiunea cuprinsa intre doua sectiuni aflate la distantele si fata de jug. Pentru aceasta portiune de circuit se scriu relatiile:

si

,

in care: este fluxul in miez inaintea sectiunii , - fluxul de scapari intre cele doua miezuri pe portiunea , - tensiunea magnetica, - reluctanta pe unitatea de lungime a miezului si - permeanta de scapari pe unitatea de lungime a miezului.

Impartindu-se cu si derivandu-se, ecuatiile de mai sus devin:

; (41)

Evident, s-au presupus si constante.

Sistemul (41) are solutiile:

, (42)

unde sunt constante de integrare.

Particularizarea solutiilor (42) in functie de dispunerea solenatiei conduce la rezultatele ce urmeaza.

i) Electromagnet cu bobina pe jug (fig. 18) :

^,

in care:

, iar:

Daca :

;

^,

in care:

este tensiunea magnetica intre coloane pentru ;

- permeanta intrefierului;

- permeanta armaturii;

- permeanta fluxului de scapari, socotita pe o sectiune avand latura in lungul coloanelor egala cu unitatea;

- permeanta jugului;

- reluctanta miezului pe unitatea de lungime;

- reluctanta jugului;

- reluctanta intrefierului la imbinarea coloanelor cu jugul;

- aria sectiunii miezului;

- fluxul intr-o sectiune a miezului la distanta de jug;

- fluxul in intrefier.

Daca:

, si ,

atunci:

.

ii) Electromagnet in cu bobina repartizata pe cele doua miezuri (Fig. 21).

Fluxul la distanta de jug are expresia:

^,

in care: , , , , ^{, ,} , ^, ,

Daca , si , atunci:

^, si

este fluxul de dispersie la distanta de jug. Indicii sunt atribuiti miezului, armaturii, jugului respectiv intrefierului. Celelalte simboluri au semnificatia de la punctul i).