Notiuni de teoria sistemelor

Clasificare sistemelor

Un sistem este un ansamblu de componente, adica o multime de elemente si o multime de relatii intre aceste elemente. Deci un sistem este un tot organizat, in sensul ca orice sistem inseamna mai mult decat suma componentelor sale, datorita includerii si a relatiilor existente intre componente.

Structura unui sistem este modul in care el este constituit din elemente si legaturile dintre acestea.

Mediul unui sistem este constituit din ansamblul elementelor care nu fac parte din sistemul respectiv. Legaturile sistemului cu mediul sunt legaturi orientate, intrarile sau iesirile, avand sensul "la" sau "de la", sau perturbatii ("zgomote") la care sensul nu poate fi stabilit, fiind deci legaturi neorientate.

Sistemul inchis nu are nici o legatura cu mediul sau. Sistemul deschis are legaturi orientate sau neorientate cu mediul sau (Fig. 1.1). Sistemul simplu are putine elemente si legaturi intre acestea, spre deosebire de sistemul complex care are multe elemente si legaturi intre ele. Sistemul concret are elemente materiale, spre deosebire de sistemul abstract care nu le are. Sistemul artificial este creat de om, iar sistemul natural exista fara interventia omului. Sistemul determinist are legaturile orientate, iar sistemul stohastic are legaturile neorientate.

Fig. 1.1 Sistem deschis

Functia de transfer

Deci legaturile (relatiile) dintre elementele sistemului sunt intrarile (input) si iesirile (output) fiecarui element component. Intrarea este influenta pe care un element al sistemului o sufera din partea altui element al sistemului sau al mediului.

Iesirea este influenta pe care elementul in cauza o exercita asupra unui element diferit din acelasi sistem sau altul

Rolul sistemului consta in a transforma, intr-un mod determinat, intrarile X in iesiri Y, rol ce este definit prin functia de transfer T. Functia de transfer a sistemului asigura deci transformarea marimii de intrare, de excitatie X = X (t), in marimi de iesire, de raspuns Y = Y (t), exprimata prin relatia:

(1.1)

unde X este vectorul intrarilor:

(1.2)

Y este vectorul iesirilor:

(1.3)

iar T este matricea de transfer.

Asupra sistemului pot actiona si marimi perturbatorii (Fig. 1.1). Vectorul perturbatiilor Z este de forma:

(1.4)

Cum perturbatiile au un caracter aleatoriu Z = Z (t), vectorul de iesire Y' dintr-un sistem perturbat va fi tot aleatoriu:

(1.5)

unde Y' este vectorul iesirilor perturbate.

Fig. 1.2 Sistem cu bucla de reactie

Pentru a elimina efectul perturbatiilor asupra marimii de iesire, se impune acordarea (reglarea) printr-o "bucla de reactie" (Fig. 1.2) a erorilor:

(1.6)

avand ca marime de intrare erorile si ca marime de iesire T_R, unde T_R este functia de transfer a buclei de reactie, marime care se constituie ca intrare in (S). Cu acestea functia sistemului (S), denumita si "regulator" este descrisa de relatia:

(1.7)

Ierarhizarea sistemelor

Orice sistem de rangul R contine unul sau mai multe subsisteme de rang R-1:

(1.8)

Orice sistem de rangul R este un element al unui sistem de rang superior R+1, numit hipersistem:

(1.9)

Ierarhizarea sistemelor presupune cunoasterea structurii unui sistem, modul in care acesta se compune din subsisteme si relatiile dintre acestea si sistem. Sistemele se reprezinta schematic prin scheme bloc ca si in figurile 1.1 si 1.2.

Cuplarea a doua sisteme

Doua sisteme sunt cuplate daca intre ele exista o singura relatie de forma:

a)     cand o iesire din sistemul S₁ este o intrare in sistemul S₂ (Fig. 1.3a) relatia dintre vectorul intrarilor si vectorul iesirilor este:

(1.10)

caz in care vectorii asociati sunt de forma:

b)    cand o iesire din sistemul S₂ este o intrare in sistemul S₁ (Fig. 1.3b) aceasta relatie devine:

(1.12)

iar vectorii asociati iau forma:

Fig. 1.3 Cuplare a doua sisteme: a) legatura orientata de la S₁ la S₂;

b) legatura orientata de la S₂ la S₁

Matricea de cuplare

a)     Matricea de cuplare a sistemului S₁ si S₂ este o matrice de "m" linii si "n" coloane unde m este numarul intrarilor in S₂, iar n este numarul iesirilor din S₁:

(1.14)

sau

(1.15)

Existenta legaturii dintre doua subsisteme se exprima prin relatia e_pq=1, iar inexistenta acestei legaturi prin relatia e_pq=0, respectiv:

(1.16)

Modelul matematic al cuplarii celor doua sisteme este dat de relatia:

(1.17)

b)    Matricea de cuplare a sistemului S₂ si S₁ este o matrice de "k" linii si "l" coloane unde k este numarul intrarilor in S₁, iar l este numarul iesirilor din S₂:

(1.18)

sau

(1.19)

Existenta legaturii dintre doua subsisteme se exprima prin relatia e_ij=1, iar inexistenta acestei legaturi prin relatia e_ij=0, respectiv:

(1.20)

Modelul matematic al cuplarii celor doua sisteme este dat de relatia:

(1.21)

In Fig. 1.4 se prezinta schema bloc a cuplarii sistemelor (S₁) si (S₂). Aplicand relatiile (1.11) vectorii asociatii sunt de forma:

matricea de cuplare K₁₂ din relatia (1.14) are expresia:

(1.23)

iar elementele matricei de cuplare din relatiile (1.16) conduc la:

e₁₁=1 Þ x₂₁=y₁₁ e₃₂=1 Þ x₂₃=y₁₂ (1.24)

Fig. 1.4 Schema bloc a cuplarii sistemelor (S₁) si (S₂)

Matricea de structura

Daca sistemul S de rang R contine mai mult de doua subsisteme S_i de rang R-1, atunci structura lui se exprima si prin matricea de structura de forma:

(1.25)

unde K_ij,    sunt matricele de cuplare ale subsistemelor S_i, iar K_ii = 0 deoarece sistemul S_i nu se cupleaza cu sine insusi.

Numarul maxim de cuplari ale celor "n" subsisteme, daca fiecare subsistem ar fi cuplat cu celelalte, este dat de suma:

Fig. 1.5 Schema bloc a sistemului (S) cu subsistemele (S_i), cuplate

In Fig. 1.5 se prezinta schema bloc a unui sistem cu 6 subsistem cuplate intre ele. Conform relatiei (1.26) numarul maxim de cuplari este de N _max = 6x5=30.

Din Fig. 1.5 rezulta insa un numar de numai 9 cuplari dintre subsisteme, fiecarei cuplari corespunzandu-i o matrice de cuplare, in conformitate cu relatia (1.27) a matricei de structura.

(1.27)